Chuyên đề đơn điệu và cực trị

Thi TNPT 2009 CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ¤n Vấn đề : Tính đơn điệu A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : f tăng (a;b) ⇔ ∀x1; x 2∈ (a;b) : x1< x ⇒ f(x1 ) < f(x2 ) f giảm (a;b) ⇔ ∀x1; x 2∈ (a;b) : x1< x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 ) ĐL : Gỉa sử hàm số f có đạo hàm khoảng I w f tăng (đồng biến) khoảng I ⇔ f ′ (x) > ;∀x ∈ I w f giảm (nghòch biến) khoảng I ⇔ f ′ (x) < ;∀x ∈ I w f ′ (x) = với x ∈ I f(x) = C (= số ) khoảng I Chú ý : Hàm số tăng hay giảm gọi chung hàm đơn điệu Nhận xét : gf ′ (x) ≥ ;∀x ∈ I  ⇒ f tăng (đồng biến) khoảng I gf ′ (x) = số hữu hạn điểm I gf ′ (x) ≤ ;∀x ∈ I  ⇒ f giảm (nghòch biến) khoảng I gf ′ (x) = số hữu hạn điểm I Chú ý : Khoảng I ĐL thay đoạn hay nửa khoảng Khi phải bổ sung giả thiết " Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng " , Chẳng hạn : Nếu hàm số f liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm f ′(x)> khaỏng (a;b) hàm số f đồng biến [a;b] Áp dụng gXét dấu f ′ (x) ta giải f ′ (x) ≥ hay f ′ (x) ≤ gx i điểm tới hạn f(x) ⇔ f ′ (x i ) = hay ∃ f ′ (x i ) gx1; x2 điểm tới hạn gần kề Khi dó (x1; x ) f ′ (x) dấu với f(x o ) với x o∈ (a;b) PP: 1) Tập xác đònh : D = (a; b) 2) Đạo hàm : y′  → y′ =  → x i ( xi nghiệm có đạo hàm ) ( Dấu ? thay hay || ) x y′ a y xo b − (?) + ] Z x y′ y a xo b + (?) − Z ] 3) Kết luận : B VÍ DỤ VD : Xét chiều biến thiên ( Tính đơn điệu ) hà m số sau : 1 a) y = x − 2x + b) y = x − 2x +3x +1 c) y = x3 − x2 + 3x +1 d) y = − x + 3x − 3x + 3 x4 e) y = − x + 3x f) y = x + 4x2 −1 g) y = −3x + h) y = −(2 − x )2 i) y = − x +1 Giải a) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = 2x − gy′ = ⇔ 2x − = ⇔ x = Bảng biến thiên - - x −∞ − y′ +∞ Thi TNPT 2009 ¤n + y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : (1; +∞) gNghòch biến : ( − ∞; 1) b) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = x − 4x + x = gy′ = ⇔ x2 − 4x + = ⇔  x = gBảng biến thiên : −∞ x − y′ + 0 +∞ + y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ∞;2) , (3;+ ∞) gNghòch biến : (2;3) c) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = x − 2x + gy′ = ⇔ x2 − 2x + = ( vô nghiệm ) gBảng biến thiên −∞ +∞ x y′ + y Vậy : Hàm số cho đồng biến : ( − ∞;+ ∞) d) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = − 3x2 + 6x − = −3(x − 2x + 1) = −3(x − 1)2 gy′ = ⇔ −3(x − 1)2 = ⇔ x = ( nghiệm kép ) gBảng biến thiên - - −∞ x y′ Thi TNPT +∞ − 2009 ¤n y Vậy : Hàm số cho nghòch biến : ( − ∞;+ ∞) e) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = − 3x2 + 6x = −3x(x − 2) x = gy′ = ⇔ −3x(x − 2) = ⇔  x = gBảng biến thiên −∞ x y′ − 0 + − +∞ y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : (0 ; 2) gNghòch biến : ( − ∞; 0) , (2 ;+ ∞) f) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = 4x3 + 8x = 4x(x + 2) ( y′ dấu với x ) gy′ = ⇔ 4x(x + 2) = ⇔ x = gBảng biến thiên : +∞ x −∞ − + y′ y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : (0; +∞) gNghòch biến : ( − ∞; 0) g) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = 2x3 − 6x = 2x(x − 3) x = gy′ = ⇔ 2x(x2 − 3) = ⇔  x = ± gBảng biến thiên : - - Thi TNPT x y′ −∞ − − + − ¤n 2009 +∞ + y Vậy : Hàm số cho : gNghòch biến : ( − ∞; − ) , (0 ; 3) gĐồng biến : ( − 3;0) , ( 3; +∞) h) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = 2(2 − x2 )(−2x) = −4x(2 − x ) x = gy′ = ⇔ −4x(2 − x ) = ⇔  x = ± gBảng biến thiên : Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ∞ ; − ) , (0 ; 2) gNghòch biến : ( − 2; 0) , ( ; +∞) i) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : gy′ = − 4x3 gy′ = ⇔ − 4x3 = ⇔ x = gBảng biến thiên : +∞ x −∞ ′ − y + y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ∞; 0) gNghòch biến : (0; +∞) x y′ −∞ − + − 0 + +∞ − y a) Tập xác đònh : D = ¡ \ { 2} Đạo hàm : gy′ = −5 (x − 1)2 < , ∀x ∈ D - - Thi TNPT gBảng biến thiên : −∞ x y′ − − 2009 ¤n +∞ y Vậy : Hàm số cho nghòch biến : ( − ∞;2) , (2;+ ∞) b) Tập xác đònh : D = ¡ \ { −3} Đạo hàm : gy′ = > , ∀x ∈ D (x + 3)2 gBảng biến thiên : −∞ x y′ +∞ −3 + + y Vậy : Hàm số cho đồng biến : ( − ∞ ; − 3) , ( − ;+ ∞) c) Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} Đạo hàm : gy′ = 4x2 − 8x + (x − 1)2 gy′ = ⇔ 4x2 − 8x + (x − 1)2 gBảng biến thiên : x y′ −∞ + =0⇔x= ∨x = 2 − − +∞ + y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ∞ ; ) , ( ; +∞) 2 - - ¤n Thi TNPT 2009 gNghòch biến : ( ; 1) , (1 ; ) 2 d) Tập xác đònh : D = ¡ \ { −2} Đạo hàm : y′ = + > , ∀x ∈ D (x + 2) Bảng biến thiên : x y′ −∞ +∞ −2 + + y Vậy : Hàm số cho đồng biến : ( − ∞ ; − 2) , ( − ;+ ∞) d) Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} Đạo hàm : y′ = − + (x − 1) Bảng biến thiên : x y′ −∞ 0 + − = −(x − 1)2 + (x − 1) + ; y′ = ⇔ − −(x − 1)2 + (x − 1) x = = ⇔ −(x − 1)2 + = ⇔  x = +∞ y Vậy : : Hàm số cho : gĐồng biến : (0 ; 1) , (1 ; 2) gNghòch biến : ( − ∞ ; 0) , ( ; +∞) x −1 Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} d) Viết lại : y = − x + + Đạo hàm : y′ = − − (x − 1)2 < , ∀x ∈ D Bảng biến thiên : x y′ −∞ − − +∞ y - - ¤n Thi TNPT 2009 Kết luận : Hàm số cho nghòch biến : ( − ∞;1) , (1;+ ∞) VD : Xét chiều biến thiên ( Tính đơn điệu ) hàm số sau : a) y = x − 2sinx (0 < x < 2π) b) y = x + cos2x , x ∈ [0 ; π] c) y = cos2x + 2sinx , x ∈ ( ; 2π ) d) y = x + 4x3 − e) y = a) Tập xác đònh : D = (0 ; π) Đạo hàm : gy′ = − cos x x f) y = x2 + Để xét dấu y′ ta chọn x =  x = gy′ = ⇔ − cos x = ⇔ cos x = ⇔  x =  gBảng biến thiên : x y′ − x4 8x(x + 2) π + 5π π 5π π π ∈ (0; ) : π π y′ ( ) = − cos = − < nên 4 π khoảng (0; ) y′ có dấu − , sau dùng luật dấu 2π − y π 5π ; ) 3 π 5π gNghòch biến : (0 ; ) , ( ; 2π) 3 Lưu ý : Có hai cách để tìm nghiệm w Cách : Tìm k ∈ ¢ π Ta có : cosx = ⇔ x = ± + k2π, k ∈ ¢ π π 1 5 gXét : x = + k2π Do < x < 2π ⇔ < + k2π < 2π ⇔ < + 2k < ⇔ − < 2k < ⇔ − < k < 3 3 6 π Vì k ∈ ¢ nên k = ⇒ x = π π 1 7 gXét : x = − + k2π Do < x < 2π ⇔ < − + k2π < 2π ⇔ < − + 2k < ⇔ < 2k < ⇔ < k < 3 3 6 5π Vì k ∈ ¢ nên k = ⇒ x = π 5π Vậy (0 ; 2π ) phương trình có hai nghiệm : x = , x = 3 w Cách biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác : Chú ý : x ∈ (0;2π) Cho k chạy k = ; ; ; đến nghiệm cuối trùng nghiệm ứng với k = dừng π π gXét : x = + k2π : k = ⇒ x = [ k ≥ , k ∈ ¢ nghiệm x ∉ ( ; 2π ) ] 3 π π 5π π 5π gXét : x = − + k2π : k = ⇒ x = − ∉ (0 ; 2π ) nên ta viết lai x = ; k = ⇒ x = − + 2π = 3 3 Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( - - ¤n Thi TNPT 2009 π 5π Vậy phương trình có nghiệm : x = , x = 3 b) Tập xác đònh : D = [0 ; π] Đạo hàm : gy′ = − 2sin 2x π 5π gy′ = ⇔ − sin 2x = ⇔ sin 2x = ⇔ x = ∨ x = 12 12 gBảng biến thiên : x − y′ π 12 + 5π 12 − π y π 5π ; ) 12 12 π 5π gNghòch biến : [ ; ),( ; π] 12 12 c) Tập xác đònh : D = ( ; 2π ) Đạo hàm : gy′ = − 2sin 2x + cos x = cos x( −2sin x + 1) gy′ = ⇔ cos x(−2sin x + 1) = ⇔ cos x = ∨ sin x = π 3π π 5π cos x = ⇔ x = ∨ x = ; sin x = ⇔ x = ∨ x = 2 6 gBảng biến thiên : Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( x y′ + π − π + 5π − 3π 2π + y π π 5π 3π ),( ; ),( ; 2π ) 6 π π 5π 3π gNghòch biến : ( ; ),( ; ) 6 π π π π π π Chú ý : Để xét dấu ta chọn ∈ ( ; ) : y′( ) = 2(− + 1) < nên khoảng ( ; ) , y′ có dấu (− ) 6 Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( ; - - Thi TNPT d) Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm : 2009 ¤n gy′ = 4x3 + 12x = 4x (x + 3) ( y′ dấu với x + ) x = gy′ = ⇔ 4x (x + 3) = ⇔   x = −3 gBảng biến thiên : −∞ x − y′ −3 + +∞ 0 + y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( − 3; +∞) gNghòch biến : ( − ∞; − ) e) Tập xác đònh : D = ¡ ( Vì x + ≠ , với x ∈ ¡ ) Đạo hàm : gy′ = − x2 2 (x + 1) ( y′ dấu với − x ) gy′ = ⇔ − x2 = ⇔ x = ± gBảng biến thiên : −∞ −1 x − y′ + − +∞ y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : (0 ; 2) gNghòch biến : ( − ∞; 0) , (2 ;+ ∞) e) Tập xác đònh : D = ¡ \ { −2 , } Đạo hàm : gy′ = x2 (x + 3) (x + 2) gy′ = ⇔ x = −3 gBảng biến thiên : ( y′ dấu với x + ) −3 x −∞ − y′ + +∞ + + y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ; − 2) , ( − ; 0) , (0 ;+ ∞) gNghòch biến : ( − ∞; − 3) - - ¤n Thi TNPT 2009 VD : Xét chiều biến thiên ( Tính đơn điệu ) hàm số sau : a) y = − x2 b) y = x 1+ x c) y = x − 2x − d) y = x3 x −6 e) y = x (x + 2) f) y = x Giải a) Tập xác đònh : D = [−1;1] ( Vì − x2 ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ ) Đạo hàm : −x gy′ = ( y′ dấu với − x ) 1− x gy′ = ⇔ x = gBảng biến thiên : −1 +∞ x −∞ − y′ + + − y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( − 1; ) gNghòch biến : ( 0;1) b) Tập xác đònh : D = [0 ; +∞ ) ( Vì x ≥ ) 1− x gy′ = ( y′ dấu với − x ) 2 x(x + 1) gy′ = ⇔ x = gBảng biến thiên : +∞ x −∞ y′ + + − y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : ( 0;1) gNghòch biến : ( 1; + ∞) c) Tập xác đònh : D = ( − ∞; −1) ∪ (3 ; +∞ ) ( Vì x − 2x − ≥ ⇔ x ≤ −1 ∨ x ≥ ) Đạo hàm : 2x − gy′ = ( y′ dấu với 2x − ) x − 2x − gy′ = ⇔ x = gBảng biến thiên : −1 +∞ x −∞ − − + y′ + y Vậy : Hàm số cho : gĐồng biến : (3 ; +∞) gNghòch biến : ( − ∞; − 1) - 10 - Thi TNPT ¤n 2009 15 12) M = y(0) = , m = y( ) = π π π π 11) M = y( − ) = , m = y( ) = − 2 2 13) ∃M , m = y(1) = 2π 3 3 3 )= , m = y(0) = 15) M = y( )= , m = y( − ) =− 16) M= y(1) = 1, 4 3π m = y( − 1) = − 17) M = y( ) = − ,x = α ∨ x = π − α ; m = y(−1) = 2, x = 18) M = y(2kπ) = 3, 8 − 2t m = y[(2k + 1)π] = − 19) Đặt t = sin 2x,t ∈ [0;1] y = g(t) = liên tục [0;1] 16 − 3t −8 ⇒ g′(t) = < 0, ∀t ∈ [0;1] ⇒ g đồng biến [0;1] nên Maxy = g(0) = sin 2x = , (16 − 3t)2 14) M = y( y = g(1) = 16 sin2x = ± 20) Dùng BĐT Côsi miny = y( ± Gỉa sử x,y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = S= + x 4y HD : S = 2b a2 b ) = 33 a 4 Tìm GTNN biểu thức 1 1 5.5 25 25 + + + + ≥ ≥ = = =5 x x x x 4y x.x.x.x.4y x + x + x + x + 4y 4x + 4y S = 1 = ; x = 4y ; x + y = ⇔ x = 1,y = x 4y x Cho x,y số dương thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm GTNN biểu thức P = HD : Đặt x = sin 2a , y = cos2a với < a < 1− x + y 1− y π Khi : sin2 a cos2 a sin3 a + cos3 a (sin a + cos a)(1 − sin a cos a) + = = cos a sin a sin a cos a sin a cos a π Đặt : t = sin a + cos a với < a < nên t ∈ [1; 2] P= ta : P = − t − 3t t −1 =g(t) ; g′ = −t − 2 (t − 1) < 0, ∀t ∈ (1; 2] suy g(t) hàm số nghòch biến [1; 2] ⇒ g(t) ≥ g( 2) ⇒ P = g = g( 2) = t = ⇔ x = y = [1; 2] Cho x,y số không âm thay đổi thỏa mãn x + y = a) Chứng minh : ≤ x + y ≤ b) Tìm GTLN , GTNN biểu thức P = ĐS : maxP = + 2x + + 2y + 2 + + 2 x = y = ; P = + x = hay y = Cho a,b,c ba số dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức : P= a2 b2 c2 + + b+ c c+a a+ b Đònh m để pt : x3 − 3x + = m có nghiệm phân biệt Đònh m để bpt : x + > x+ m có nghiệm ĐS : minP = a = b = c = ĐS: − < m < ĐS: m < - 65 - Thi TNPT 2009 ¤n - 66 - Thi TNPT ¤n 2009 Vấn đề : KHẢO SÁT HÀM ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : HÀM SỐ BẬC BA , HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG TXĐ : D = ? (chẵn, lẻ, tuần hoà n) Giới hạn : • lim f(x) = ? ∞ x →+ ∞ • lim f(x) = ? ∞ x →− ∞ ĐH : • Cấp : y′  →BBT (tăng , giảm , cực trò ) • Cấp : y′′ →y′′ = ⇔ x = ? (y = ?) ( Tìm điểm uốn ) ĐĐB ĐT B.VÍ DỤ LOẠI : HÀM SỐ BẬC BA Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = x3 − 6x + 9x − (C) Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = +∞ ; lim f(x) = −∞ Đạo hàm : x →+ ∞ x →− ∞ x = • y′ = 3x − 12x + = 3(x − 4x + 3) ; y′ = ⇔ x − 4x + = ⇔  x = Bảng biến thiên −∞ +∞ x − y′ + 0 + +∞ y −∞ −1 Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ∞;1) , (3;+ ∞) gNghòch biến : (1;3) gCực trò : xCĐ = 1, yCĐ = ; x CT = 3, yCT = −1 • y′′ = 6x − 12 ; y′′ = ⇔ 6x − 12 = ⇔ x = Điểm uốn : I(2;1) Điểm đặc biệt : x −1 y Đồ thò 3 −1 - 67 - Thi TNPT 2009 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = − x3 + 3x − 3x Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = −∞ ; lim f(x) = +∞ Đạo hàm : x →+ ∞ ¤n (C) x →− ∞ • y′ = − 3x + 6x − = −3(x − 2x + 1) = −3(x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ ¡ Bảng biến thiên −∞ x y′ +∞ y +∞ − −∞ Hàm số cho : Nghòch biến : ( − ∞;+ ∞) • y′′ = −6(x − 1) ; y′′ = ⇔ −6(x − 1) = ⇔ x = Điểm uốn I(1; − 1) Điểm đặc biệt : x y Đồ thò −1 −2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = − x3 + 3x + (C) Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = −∞ ; lim f(x) = +∞ Đạo hàm : x →+ ∞ x →− ∞ x = • y′ = − 3x + 6x = −3x(x − 2) ; y′ = ⇔ −3x(x − 2) = ⇔  x = Bảng biến thiên −∞ +∞ x − − y′ + +∞ y −∞ Hàm số cho : gNghòch biến : (0;2) gĐồng biến : ( − ∞;0) , (2;+ ∞) gCực trò : x CĐ = 2, y CĐ = ; x CT = 0, y CT = - 68 - Thi TNPT ′′ ′′ • y = − 6x + ; y = ⇔ −6x + = ⇔ x = Điểm uốn : I(1; 3) Điểm đặc biệt : −1 x y 5 Đồ thò 1 Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = +∞ ; lim f(x) = −∞ Đạo hàm : 2009 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = x →+ ∞ ¤n x −x +x (C) x →− ∞ • y′ = x − 2x + = (x − 1)2 ≥ , ∀x ∈ ¡ Bảng biến thiên −∞ x y′ y +∞ + −∞ +∞ Hàm số cho : Đồng biến : ( − ∞;+ ∞) • y′′ = 2x − ; y′′ = ⇔ 2x − = ⇔ x = Điểm uốn I(1; ) Điểm đặc biệt : x 2 y 3 Đồ thò Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = x3 + x − (C) Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = +∞ ; lim f(x) = −∞ Đạo hàm : x →+ ∞ x →− ∞ • y′ = 3x + > , ∀x ∈ ¡ Bảng biến thiên −∞ x y′ y −∞ − +∞ +∞ - 69 - Thi TNPT ¤n 2009 Hàm số cho : Đồng biến : ( − ∞;+ ∞) • y′′ = 6x ; y′′ = ⇔ 6x = ⇔ x = Điểm uốn I(0; − 1) Điểm đặc biệt : −1 x −2 y Đồ thò −1 1 LOẠI : HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = 3x − 6x + Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = +∞ ; lim f(x) = +∞ Đạo hàm : x →+ ∞ (C) x →− ∞ x = • y′ = 12x3 − 12x = 12x(x − 1) ; y′ = ⇔ 12x(x − 1) = ⇔   x = ±1 Bảng biến thiên −∞ +∞ −1 x − − ′ y + 0 + +∞ +∞ y −1 −1 Hàm số cho : gĐồng biến : ( − 1;0) , (1;+ ∞) gNghòch biến : ( − ∞; −1) , (0;1) gCực trò : x CĐ = 0, y CĐ = ; x CT = ±1 , y CT = −1 • y′′ = 36x − 12 ; y′′ = ⇔ 36x − 12 = ⇔ x = ± Điểm uốn : I1,2 ( ± 1 ; ) 3 Điểm đặc biệt : x − −1 −1 −1 y 2 Đồ thò : Vì hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy - 70 - Thi TNPT 2009 ¤n Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = x + 2x + (C) Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = +∞ ; lim f(x) = +∞ Đạo hàm : x →+ ∞ x →− ∞ • y′ = 4x3 + 4x = 4x(x + 1) ; y′ = ⇔ 4x(x + 1) = ⇔ x = Bảng biến thiên −∞ x y′ y 0 − +∞ +∞ + +∞ −1 Hàm số cho : gĐồng biến : (0 ;+ ∞) gNghòch biến : ( − ∞;0) • y′′ = 12x + > 0, ∀x ∈ ¡ nên đồ thò hàm điểm uốn Điểm đặc biệt : −1 x − y 2 Đồ thò : Vì hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = − x + 2x + (C) Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = −∞ ; lim f(x) = −∞ Đạo hàm : x →+ ∞ x →− ∞ x = • y′ = − 4x3 + 4x = −4x(x − 1) ; y′ = ⇔ −4x(x − 1) = ⇔   x = ±1 Bảng biến thiên −∞ +∞ −1 x − − ′ y + 0 + y −∞ 2 −∞ - 71 - Thi TNPT ¤n 2009 Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ∞; − 1) , (0; 1) gNghòch biến : ( − 1;0) , (1; + ∞) gCực trò : xCĐ = ±1, yCĐ = ; x CT = , y CT = 1 • y′′ = − 12x + ; y′′ = ⇔ −12x + = ⇔ x = ± 14 Điểm uốn : I1,2 ( ± ; ) Điểm đặc biệt : x −1 − 2 y 2 Đồ thò : Vì hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = − x − 2x + Giải TXĐ : D = ¡ Giới hạn : lim f(x) = −∞ ; lim f(x) = −∞ Đạo hàm : x →+ ∞ (C) x →− ∞ • y′ = − 4x3 − 4x = −4x(x + 1) ; y′ = ⇔ −4x(x + 1) = ⇔ x = Bảng biến thiên x −∞ y′ y −∞ + 0 − +∞ −∞ Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ∞ ; 0) gNghòch biến : (0; +∞) • y′′ = − 12x − < 0, ∀x ∈ ¡ nên đồ thò hàm điểm uốn Điểm đặc biệt : −1 x −1 −1 y Đồ thò : Vì hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy C.BÀI TẬP - 72 - Thi TNPT 2009 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : a) y = x3 + 3x − b) y = x3 − 2x + 4x − c) y = − x3 + 3x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : a) y = − x + 2x b) y = x + 4x − ¤n c) y = x − 2x + d) y = − x3 + x − 2x − 3 d) y = − Vấn đề : KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ A KIẾN THỨC CƠ BẢN SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC x4 − x2 + 2 TXĐ : D = ? Giới hạn , tiệm cận : • lim y = ? x →±∞ • Đứng • Ngang ( hay xiên) BBT : y′  →BBT (tăng , giảm , cực trò ) ĐĐB ĐT LOẠI : HÀM SỐ y = ax + b (c ≠ ad − bc ≠ 0) cx + d Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = Giải Tập xác đònh : D = ¡ \ { −1} Tiệm cận : g lim y = +∞ lim x →(−1)+ x →( −1)− x+2 x+1 y = −∞ nên đường thẳng x = − tiệm cận đứng g lim y = lim y = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞ gTâm đối xứng I( − 1;1) Bảng biến thiên −1 Ta có : y′ = < 0, ∀x ≠ −1 (x + 1)2 x y′ y −∞ − −1 +∞ − +∞ −∞ Hàm số nghòch biến (−∞; −1) ( − 1; +∞) Điểm đặc biệt −2 −1 x y - 73 - Thi TNPT Đồ thò Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = Giải Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} 2009 ¤n 2x − x −1 Tiệm cận : g lim y = −∞ lim y = +∞ nên đường thẳng x = − tiệm cận đứng x →1+ x →1− g lim y = lim y = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞ gTâm đối xứng I( − ; 2) Bảng biến thiên Ta có : y′ = > 0, ∀x ≠ (x − 1)2 x y′ y −∞ + +∞ +∞ + −∞ Hàm số đồng biến (−∞;1) (1; +∞) Điểm đặc biệt x y Đồ thò LOẠI : HÀM SỐ y = ax + bx + c (a ≠ 0,a′ ≠ 0) a′x + b′ - 74 - Thi TNPT ¤n 2009 x2 − x + 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = x −1 Giải Viết lại : y = x + x −1 Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} Giới hạn ,tiệm cận : g lim y = −∞ , lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ g lim y = +∞ lim y = −∞ nên đường thẳng x = tiệm cận đứng x →1+ x →1− = lim [y − x] = nên đường thẳng y = x tiệm cận xiên x →+∞ x →∞ x − x →−∞ gTâm đối xứng I( − 1;1) g lim [y − x] = lim Bảng biến thiên Ta có : y′ = − (x − 1) x y′ y = (x − 1)2 − (x − 1) −∞ + −∞ −1 0 ; y′ = ⇔ (x − 1)2 − = ⇔ x = ∨ x = − −∞ − +∞ +∞ + +∞ Hàm số cho : gĐồng biến : ( − ∞; 0) , (2; + ∞) gNghòch biến : (0;1) , (1; 2) gCực trò : x CĐ = 0, y CĐ = −1 ; xCT = , y CT = Điểm đặc biệt −1 x y − −1 2 Đồ thò - 75 - Thi TNPT Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = Giải 2009 ¤n x − 2x − x− x−2 Tập xác đònh : D = ¡ \ { 2} Viết lại : y = x − Giới hạn ,tiệm cận : g lim y = −∞ , lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ g lim y = −∞ lim y = +∞ nên đường thẳng x = tiệm cận đứng x → 2+ x → 2− −3 = lim [y − x] = nên đườn g thẳng y = x tiệm cận xiên x →+∞ x →+∞ x − x →−∞ gTâm đối xứng I(2; 2) g lim [y − x] = lim Bảng biến thiên Ta có : y′ = + x y′ y (x − 2)2 > ,∀ ≠ −∞ + −∞ +∞ + +∞ +∞ −∞ Hàm số cho : Đồng biến : ( − ∞; 2) , (2; + ∞) Điểm đặc biệt −1 x y Đồ thò - 76 - Thi TNPT Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = Giải ¤n 2009 − x + 2x − x −1 x −1 Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} Viết lại : y = − x + − Giới hạn ,tiệm cận : g lim y = +∞ , lim y = −∞ x →−∞ x →+∞ g lim y = −∞ lim y = +∞ nên đường thẳng x = tiệm cận đứng x →1+ x →1− −1 = lim [y − ( −x + 1)] = nên đường thẳng y = − x + tiệm cận x →∞ x − x →−∞ g lim [y − (−x + 1)] = lim x →+∞ xiên gTâm đối xứng I(1; 0) Bảng biến thiên Ta có : y′ = − + (x − 1) x y′ y −∞ = −(x − 1)2 + (x − 1) 0 − +∞ ; y′ = ⇔ (x − 1)2 − = ⇔ x = ∨ x = + +∞ + −∞ −2 − +∞ −∞ Hàm số cho : gĐồng biến : (0;1) , (1; 2) gNghòch biến : ( − ∞; 0) , (2; + ∞) gCực trò : xCĐ = 2, y CĐ = −2 ; x CT = , y CT = Điểm đặc biệt x y −1 5/2 2 −2 − 9/2 - 77 - Thi TNPT Đồ thò 2009 ¤n − x + 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : y = x −1 Giải Viết lại : y = − x + + x −1 Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} Giới hạn ,tiệm cận : g lim y = +∞ , lim y = −∞ x →−∞ x →+∞ g lim y = −∞ lim y = +∞ nên đường thẳng x = tiệm cận đứng x →1+ x →1− −1 = lim [y − (−x + 1)] = nên đường thẳng y = − x + tiệm cận x →∞ x − x →−∞ g lim [y − (−x + 1)] = lim x →+∞ xiên gTâm đối xứng I(1; 0) Bảng biến thiên Ta có : y′ = − − x y′ y (x − 1)2 −∞ < ,∀ ≠ 1 − +∞ −∞ − +∞ +∞ −∞ Hàm số cho : Nghòch biến : ( − ∞; 1) , (1; + ∞) Điểm đặc biệt x −1 - 78 - y Đồ thò −1 Thi TNPT −1 ¤n 2009 C.BÀI TẬP Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số : x +1 x +1 x−2 a) y = b) y = c) y = x −1 2x + x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hà m số : x + 2x − a) y = x −1 b) y = − x + + x −1 2x − 2x − c) y = x −1 d) y = x+2 x +1 2x + 5x + d) y = x+2 - 79 - [...]... có cực trò : 1 1 Đònh m để hàm số y = x3 + mx 2 + mx + 1 3 a) Có cực đại và cực tiểu b) Không có cực trò Giải TXĐ : D = ¡ y′ = x2 + 2mx + m có ∆′= m 2 − m a) Hàm số y có cực đại và cực tiểu ⇔ y′ đổi dấu hai lần ⇔ ∆′> 0 ⇔ m 2 − m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 1 b) Hàm số y không có cực trò ⇔ y′ khô ng đổi dấu ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m 2 − m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 Lưu ý : Số nghiệm của phương trình y′ chưa chắc là số cực trò Số cực. .. đổi dấu của y′ 2 Đònh m để hàm số y = (m − 2)x 3 − x 2 + x − 1 a) Có cực trò b) Có cực đại và cực tiểu Giải TXĐ : D = ¡ y′ = 3(m − 2)x 2 − 2x + 1 1 1 , do đó y có cực trò tại x = 2 2 7 gNếu m ≠ 2 : Hàm số y có trò ⇔ y′ đổi dấu ⇔ ∆′> 0 ⇔ 1 − 3(m − 2) > 0 ⇔ m < 3 7 Vậy y có cực trò khi m < 3 m ≠ 2 m ≠ 2  ′ b) Hàm số y có cực đại và cực tiểu ⇔ y đổi dấu hai lần ⇔  ⇔ 7  ∆′> 0 m < 3 7 Vậy : Gía trò... THỨC CƠ BẢN Vấn đề 2 : Cực trò - 24 - Thi TNPT ¤n 2009 1 ĐN : Gỉa sử hàm f xác đònh trên D ( D ⊂ ¡ ) và xo ∈ (a; b) ⊂ D  xo gọi là điểm cực đại của f ⇔ f(x) < f(xo ) , ∀x ∈ (a;b)\ { xo } ‚ xo gọi là điểm cực tiểu của f ⇔ f(x) > f(xo ) , ∀x ∈ (a;b)\ { x o } 2 Điều kiện cần (ĐL Fermat )  gf đạt cực trò tại x o ⇒ f ′(xo ) = 0   gf có đạo hàm tại x o Chú ý : Hàm số f có thể đạt cực trò tại xo mà... xo và có đạo hàm trên các khoảng (a ;xo ),(xo ; b)  gf ′(xo ) < 0 , ∀x ∈ (a ; x o )   ⇒ f đạt cực tiểu tại x o ′ g f (x ) > 0 , ∀ x ∈ (x ; b )  o o  ‚  gf ′(xo ) > 0 , ∀x ∈ (a ; x o ) ⇒ f đạt cực đại tại x o  ′ g f (x ) < 0 , ∀ x ∈ (x ; b )  o o  Chú ý : Không cần xét hàm số f có hay không có đạo hàm tại x o ĐL2 : (Dấu hiệu 2) Gỉa sử hàm số f có đạo hàm liên liên tục đến cấp hai tại x o và. .. Bảng biến thiên : −∞ +∞ −1 x 1 − y′ + 0 0 + +∞ 2 y −∞ −2 Với : lim y = lim (x3 − 3x) = +∞ ; x →+∞ x →+∞ lim y = lim (x 3 − 3x) = −∞ x →−∞ x →−∞ Căn cứ vào bảng biến thiên : pt (4) có nghiệm duy nhất ⇔ m < − 2 ∨ m > 2 VD 9 : Đònh tham số để hàm số đơn điệu trên một tập cho trước 1 1 Với giá trò nào của a , hàm số y = − x3 + 2x2 + (2a + 1)x − 3a + 2 nghòch biến trên ¡ ? 3 Giải Tập xác đònh : D = ¡ Đạo... hàm tại x o ĐL2 : (Dấu hiệu 2) Gỉa sử hàm số f có đạo hàm liên liên tục đến cấp hai tại x o và f ′(x o ) = 0 gNếu f ′′(x o ) ≠ 0 thì hàm số f đạt cực trò tại xo gNếu f ′′(x o ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x o gNếu f ′′(x o ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại xo PP1 : Dấu hiệu 1 1 Tập xác đònh : D = (a;b) 2 Đạo hàm : y′  → y′ = 0  → x i  → BBT ( x i là nghiệm nếu có của y′) x a y′ − (... Có thể tìm y CTrò = ′ 2 2)  ax + bx + c ÷ =  a′x 2 + b′x + c′ ÷   u′ ( xo ) u , với xo là điểm cực trò của hàm số y = v′ ( xo ) v a b 2 a c b c x + 2 x + a′ b′ a′ c′ b′ c′ ( a′x 2 + b′x + c′ ) 2 ( ăn bánh , ăn cơm × 2 lần , bỏ cơm ) 3 Tìm cực trò các hàm số sau : a) y = x Giải Hàm số xác đònh và liên tục trên ¡  x nếu x ≥ 0 Ta có : y = x =   −x nếu x < 0 Tập xác đònh : D = ¡ Đạo hàm :  1... ) 5 m ≤ 5 ( y′ ≥ 0,∀x ∈ D ⇔ a = 1> 0, ∆′ ≤ 0 , g(1) ≠ 0) 6 m ≥ 4 7 (x1 + x 2 )2 − 4x1x2 = 20 → m = 2,m = −4 3 Dùng tính đơn điệu để giải các bài toán sau: 1 CMR : a) x < tanx , với 0 < x < π tana tan b π 2 3 b) < với 0 < a < b < c) x − x 3 ≤ với x ∈ (0;1) 2 a b 2 9 2 Giải các pt và bpt sau : a) x+1 + 3x − 5 + 3x2 − 2 = 9 x+3 + 3 7+x + 4 x ≥ 5 sin x − sin y = 2x − 2y   5−x + y = 5−y + x  c) x −... [ − 1 ; 0) và ( 0 ; 1] (1) 1 gy′ = 1 − < 0 trên mỗi nửa khoả ng ( − 1 ; 0 ) , (0 ;1) (2) 2 x Từ (1) , (2) suy ra hàm số nghòch biến trên mỗi nửa khoản g [ − 1 ; 0) và ( 0 ; 1] d) Tập xác đònh : D = ¡ \ { 2} Đạo hàm : gy′ = −x 2 + 4x − 5 (x − 2)2 gy′ = 0 ⇔ −x2 + 4x − 5 = 0 ( vô nghiệm ) gBảng biến thiên : x y′ −∞ − 2 − +∞ y 3 Kết luận : Hàm số đã cho nghòch biến trên mỗi khoảng ( − ∞ ; 2 ) và ( 2 ; +... để y = − x + mx − x + 1 đạt cực trò tại x = 1 Giải gNếu m = 2 : thì y′ = − 2x + 1 nên y′ đổi dấu tại x = Ta có : y′ = − 3x 2 + 2mx − 1 ; y′′ = − 6x + 2m y đạt cực trò tại x = 1 thì y′(1) = 0 ⇔ −3 + 2m − 1 = 0 ⇔ m = 2 Với m = 2 thì y′′(1) = − 6 + 4 = −2 < 0 Vậy m = 2 là giá trò cần tìm 4 Tìm m để hàm số y = Giải Tập xác đònh : D = ¡ \ { 1} Đạo hàm y′ = x2 − x + m đạt cực tiểu tại x = 2 x −1 x 2 ... m để hàm số có cực trò : 1 Đònh m để hàm số y = x3 + mx + mx + a) Có cực đại cực tiểu b) Không có cực trò Giải TXĐ : D = ¡ y′ = x2 + 2mx + m có ∆′= m − m a) Hàm số y có cực đại cực tiểu ⇔ y′ đổi... − m = ¤n 2009 x2 + x + m có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm hai phía x +1 g(x) (x + 1)2 (x + 1)2 Đồ thò hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu ⇔ Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ y′ đổi dấu hai lần ∆′... điểm cực trò y′= ⇔ x + x + m + = ⇔ x1 = - 40 - Thi TNPT ¤n 2009 14 Cho hàm số y = x3 + 3x + mx + a) Tìm m để y có cực đại cực tiểu b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu