một số bài toán đại số và số học Bài1: Cho các số x, y thỏa mãn: (x + 2 2009x + )(y + 2 2009y + ) = 2009 (1) Tính giá trị của biểu thức A = 2009 2009 x y+ Lời giải: + Ta có: (1) 2009(y + 2 2009y + ) = 2009( 2 2009x + - x) (y + 2 2009y + ) = ( 2 2009x + - x) (2) + Tơng tự ta cũng có: (x + 2 2009x + ) = ( 2 2009y + - y) (3) Từ (2) và (3) ta có: x + y = 0 x = - y . Vậy: A = 2009 2009 x y+ = 0 Bài2: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2 2x y+ + 2xy - 5x- 5y = - 6 (1) để x + y là số nguyên? Lời giải: (cách1) (1) (x + y - 5 2 ) 2 + 2 y - 1 4 = 0. Do 2 y 0 nên: (x + y - 5 2 ) 2 - 1 4 0 - 1 2 (x + y - 5 2 ) 1 2 2 x + y 3. Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0) Cách2: Đặt x + y = T y = T x thế vào (1) ta đợc phơng trình bậc hai đối với ẩn x: 2 x - 2Tx +2T 2 - 5T + 6 = 0 (2). Giá trị của T nếu có là điều kiện có nghiệm của phơng trình (2) , = - T 2 + 5T - 6 0 2 T 3 2 x + y 3 Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0) Bài3: Cho các số nguyên dơng khác nhau: a 1 ; a 2 ; .; a 900 . Chứng minh rằng phơng trình : 1 2 900 1 1 1 . 60 a a a + + + = vô nghiệm Lời giải: Ta chứng minh đẳng thức: 1 2( 1)n n n < với n 1. Thật vậy: Ta có: 1 n = 2 2 n < 2 1n n+ = 2 1n n+ = 2( 1)n n . Vậy: 1 2( 1)n n n < (*) Do a 1 ; a 2 ; .; a 900 là các số nguyên dơng khác nhau nên tacó: 1 2 900 1 1 1 . a a a + + + 1 1 1 . 1 2 900 + + + < 2(- 0 + 1 1 2 2 . 899 899 900 + + + + ) = 60. Suy ra: 1 2 900 1 1 1 . a a a + + + < 60. Vậy phơng trình 1 2 900 1 1 1 . 60 a a a + + + = vô nghiệm Bài4: Tìm GTNN của biểu thức C = 2 2 20082 x xx + (x 0) Ta có thể giải câu này bằng nhiều cách nh sau: Cách1: Do x 0 nên ta có: C = 1 - x 2 + 2 2008 x . Đặt x 1 = t, khi đó: Ta đa về đa thức bậc hai nh sau: C = 2008t 2 2t + 1 = 2008(t 2 2t 2008 1 + 2008 1 ) C= 2008(t 2 2t 2008 1 + 2 2008 1 - 2 2008 1 + 2008 1 ) C = 2008(t - 2008 1 ) 2 + 2008 2007 2008 2007 Suy ra: GTNN (C) = 2008 2007 t = 2008 1 x = 2008 Cách2: Ta có thể giải cách khác nh sau: Do x 0 nên C = 2 2 20082 x xx + (C - 1) x 2 + 2x 2008 = 0 (2) + Nếu C = 1 suy ra x = 1004 (*) + Nếu C 1 thì giá trị của C nếu có chính là điều kiện có nghiệm của phơng trình (2) , = 1 + 2008(C - 1) 0 C 2008 2007 suy ra GTNN(C) = 2008 2007 , = 0 x = 2008.(**) Từ (*) và (**) ta tìm đợc GTNN(C) = 2008 2007 Cách3:Với mọi a R .Ta có: C a = 2 2 20082 x xx + - a = 2 2 20082)1( x xxa + (3) Xét f(x) = (1- a)x 2 -2x + 2008. Gọi , = 2008a 2007 Do (3) đúng với mọi giá trị của R nên (3) đúng với giá trị của a làm cho , = 0 a = 2008 2007 . Với a = 2008 2007 thì: C - 2008 2007 = 2 2 2008 )2008( x x 0. Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 2008 C = 2008 2007 . Vậy GTNN(C) = 2008 2007 Cách4: Ta cã: C = 2 22 2008 2008200822008 x xx +− = 2 222 2008 2007200820082 x xxx ++− = 2 22 2008 2007)2008( x xx +− = 2 2 2008 )2008( x x − + 2008 2007 ≥ 2008 2007 (Do x ≠ 0) DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: x = 2008. VËy GTNN(C) = 2008 2007 Cßn n÷a . . n n < (*) Do a 1 ; a 2 ; .; a 900 là các số nguyên dơng khác nhau nên tac : 1 2 900 1 1 1 . a a a + + + 1 1 1 . 1 2 900 + + + < 2(- 0 + 1. 2 2008 )2008( x x − + 2008 2007 ≥ 2008 2007 (Do x ≠ 0) DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: x = 2008. VËy GTNN(C) = 2008 2007 Cßn n÷a .