Tài liệu ôn CAO HỌC TOÁN hay

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) TS Trần Huyên Ngày 11 tháng 10 năm 2004 Mở Đầu Độc giả thân mến, bạn tham gia chuyên đề "Đại số sở" Khoa Toán Tin ĐHSP Tp HCM Chuyên đề xây dựng, trước hết nhằm trợ giúp ứng viên Thạc sĩ tương lai chuyên ngành đại số hệ thống lại kiến thức sở, kỹ thuật bản, rèn luyện kỹ giải toán để vững vàng vượt qua kỳ thi tuyển sinh cao học ĐHSP Tp HCM, trở thành học viên Cao học ngành Đại số trường Chuyên đề bám sát nội dung đề chương trình tuyển sinh, không giúp học viên vững tâm đối diện với kỳ thi tuyển mà giúp cho học viên khả năng, phương pháp tự học, tự đào tạo Để học viên dễ theo dõi, tiếp thu nội dung biên soạn dạng giảng với ngôn ngữ đơn giản dễ hiểu nhất, giảng độ hai tiết cho tuần Chuyên đề đề dàn dựng với thời lượng chừng 40 tiết, liên tục cập nhật ngày bạn tham gia đợt ôn tập tập trung trước bước vào kỳ thi tuyển, dịp tháng 05 − 2005 Để chuyên đề ngày triển khai cách hữu ích, hiệu hơn, luôn sẳn sàng đón nhận góp ý, yêu cầu bạn Chúng sẳn sàng trao đổi, giải đáp thắc mắc bạn, hầu mong chuyên đề người bạn tâm giao độc giả hành trình phấn đấu khoa học Các tập kiểm tra nhóm Nhóm khái niệm Đại số, nội dung vắng bóng đề thi tuyển sinh chuyên ngành Đại số sở Vì bạn phải nắm vững kỹ kiểm tra tập X cho trước với phép toán X lập thành nhóm Dĩ nhiên bạn phải năm vững khái niệm nhóm để theo mà bước kiểm tra tập X cho phép toán cho có thỏa mãn tất điều kiện cần có cho nhóm hay không? Theo chương trình Đại số đại cương ta có ba định nghĩa nhóm, tương đương với sau : Định nghĩa Nhóm tập hợp X = ∅, xác định phép toán hai thỏa điều kiện : N1 : (Điều kiện kết hợp) : ∀x, y, z ∈ X (xy)z = x(yz) N2 : (Điều kiện đơn vị ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X ex = x xe = x N3 : (Điều kiện khả nghịch ) ∀x ∈ X, ∃x−1 ∈ X cho x−1 x = e xx−1 = e Định nghĩa Nhóm nửa nhóm X, có đơn vị trái e x ∈ X có nghịch đảo trái x (tức x x = e) Như so với định nghĩa 1, định nghĩa tiết kiệm hơn; điều kiện N2 cần kiểm tra ex = x điều kiện N3 phải kiểm tra x−1 x = e Một dạng đối ngẫu định nghĩa xem định nghĩa 2’ : Nhóm nửa nhóm X, có đơn vị phải e ∀x ∈ X có nghịch đảo phải x (tức xx = e) Định nghĩa Nhóm nửa nhóm X mà phương trình ax = b xa = b giải (tức có nghiệm) X với a, b ∈ X Để kiểm tra tập cho trước X phép toán cho X nhóm, tùy trường hợp cụ thể mà ta lựa chọn định nghĩa định nghĩa nêu để áp dụng cho phù hợp Ví dụ 4.1 Ví dụ Cho tập hợp X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} xác định X phép toán sau : (k1 , k2 ).(l1 , l2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 ) Chứng minh X với phép toán nhóm Giải : Cách : (Nếu sử dụng định nghĩa 1, ta kiểm tra bước sau:) • X = Z × Z = ∅ Z = ∅ • Dễ dàng thấy (k1 , k2 ), (l1 , l2 ) cặp số nguyên (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 ) cặp số nguyên nên phép toán X phép toán hai • ∀(k1 , k2 ), (l1 , l2 ), (t1 , t2 ) ∈ X ta có :[(k1 , k2 )(l1 , l2 )](t1 , t2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 )(t1 , t2 ) = (k1 + l1 + t1 , k2 + (−1)k1 l2 + (−1)k1 +l1 t2 ) (1) Mặt khác : (k1 , k2 )[(l1 , l2 )(t1 , t2 )] = (k1 , k2 )(l1 + t1 , l2 + (−1)l1 t2 ) = (k1 + l1 + t1 , k2 + (−1)k1 l2 + (−1)k1 +l1 t2 So sánh ( 1) vào ( 2) ta có điều kiện kết hợp • Tồn (0, 0) ∈ X mà với (k1 , k2 ) ∈ X (0, 0)(k1 , k2 ) = (0 + k1 , + (−1)0 k2 ) = (k1 , k2 ) (k1 , k2 )(0, 0) = (k1 + 0, k2 + (−1)k1 0) = (k1 , k2 ) Vậy (0, 0) đơn vị X (2) • ∀(k1 , k2 ) ∈ X, ∃(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) ∈ X mà (−k1 , (−1)k1 +1 k2 )(k1 , k2 ) = (−k1 + k1 , (−1)k1 +1 k2 + (−1)−k1 k2 ) = (0, 0) (k1 , k2 )(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) = (k1 − k1 , k2 + (−1)2k1 +1 k2 ) = (0, 0) tức (k1 , k2 )−1 = (−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) Vậy X nhóm • Nhận xét : Như để kiểm tra nhóm theo định nghĩa 1, ta làm theo yêu cầu định nghĩa kiểm tra tập X = ∅, kiểm tra phép toán cho X thật phép toán hai (hai phần tử tập hợp X phải có tích phần tử thuộc X!) ba tiên đề N1 , N2 , N3 Dĩ nhiên, bước đó, có bước mà đòi hỏi đuợc thỏa mãn cách hiển nhiên ta bỏ qua Chẳng hạn ví dụ xem bước 1, bước hiển nhiên thỏa mãn chấp nhận Tuy nhiên số trường hợp cần kiểm tra cách cẩn trọng, tránh sai sót Cách : Nếu sử dụng định nghĩa lời giải cần bỏ hai đẳng thức kiểm tra đơn vị phải, kiểm tra nghịch đảo phải (hoặc bỏ hai đẳng thức kiểm tra đơn vị trái, kiểm tra nghịch đảo trái) Cách : (Nếu sử dụng định nghĩa ) Trước hết hết ta kiểm tra X = ∅, phép toán X thật phép toán hai ngôi, kiểm tra điều kiện kết hợp phép toán (Điều cách 1) Tiếp theo ta kiểm tra phương trình ax = b xa = b có nghiệm X Cho a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ∈ X x = (x1 , x2 ) • ax = b ⇐⇒ (a1 , a2 )(x1 , x2 ) = (b1 , b2 ) ⇐⇒ (a1 + x1 , a2 + (−1)a1 x2 ) = (b1 , b2 ) a1 + x1 = b1 x1 = b − a1 ∈ Z ⇐⇒ ⇐⇒ a2 + (−1)a1 x2 = b2 x2 = (−1)a1 (b2 − a2 ) ∈ Z Vậy phương trình ax = b có nghiệm nghĩa x = (b1 − a1 , (−1)a1 (b2 − a2 )) ∈ X • Tương tự : xa = b ⇐⇒ (x1 , x2 )(a1 , a2 ) = (b1 , b2 ) ⇐⇒ (x1 + a1 , x2 + (−1)x1 a2 ) = (b1 , b2 ) x1 + a1 = b1 x = b1 − a1 ∈ Z ⇐⇒ ⇐⇒ x1 b1 −a1 x2 + (−1) a2 = b2 x2 = b2 − (−1) a2 ∈ Z b1 −a1 tức phương trình xa = b có nghiệm : x = (b1 − a1 , b2 − (−1) a2 ) ∈ X Vậy tập X với phép toán cho lập thành nhóm • Nhận xét : Để tìm phần tử đơn vị (0, 0) hay nghịch đảo (k1 , k2 )−1 = (−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) cách 1, ta sử dụng việc giải phương trình đưa cách với b = a tìm đơn vị e hay với b = e = (0, 0) tìm a−1 4.2 Ví dụ a b : ac = 0 c Chứng minh X nhóm phép nhân ma trận Cho X = Giải : Cách : (Nếu sử dụng định nghĩa 1) • Hiển nhiên X = ∅ a1 b a2 b • ∀ , ∈ X c1 c2 a1 b a2 b a1 a2 b = ∈ X(a1 a2 c1 c2 = 0) c1 c2 c1 c2 Vậy phép nhân ma trận phép toán hai X • Theo đại số tuyến tính, phép nhân ma trận có tính chất kết hợp • Đơn vị E = ∈X • ∀ a b c ∈ X ac = theo đại số tuyến tính ta có : a b c −1 = ac c −b a ∈X Vậy X nhóm • Nhận xét : Trong ví dụ trên, tập ma trận phép nhân ma trận đối tượng mà chuyên ngành ĐSTT nghiên cứu, để kiểm tra số điều kiện mà chất kết biết chuyên ngành này, ta không cần lặp lại kiểm tra chi tiết mà cần nhắc theo chuyên ngành (hay kết đó) ta có điều muốn kiểm tra Chẳng hạn tính chất kết hợp phép nhân ma trận, đơn vị hay nghịch đảo ma trận không suy biến ví dụ Tuy nhiên trường hợp đơn vị hay nghịch đảo, cần phải ra, phần tử nói tới phải thuộc tập X cho Cách : (nếu sử dụng định nghĩa 3) : Trước hết ta kiểm tra X = ∅, phép nhân ma trận phép toán X, tính kết hợp phép nhân ma trận X (như làm cách 1) Tiếp theo cho a= a1 a2 a3 ,b= b1 b2 b3 ∈X ta cần phương trình ax = b xa = b có nghiệm X Gọi x = x1 x2 x3 • ax = b ⇐⇒ a1 a2 a3 x1 x2 x3 = b1 b2 b3 ⇐⇒ a1 x a1 x + a2 x a3 x b1 b2 b3  = b1  a1 x a3 x = b3 ⇐⇒  a1 x2 +a2 x3 = b2  b1   x1 = (a1 = 0)   a1   b3 ⇐⇒ x3 = (a3 = 0)  a3   b a − a2 b    x2 = (a1 a3 = 0) a1 a3 =  b a3 − a2 b  a1 a3 ∈X b3 a3 • Tương tự chứng minh phương trình xa = b có nghiệm Vậy X nhóm b1  Vậy nghiệm x =  a1  • Nhận xét : Thật cách dài dòng, đưa nhằm để bạn làm quen nhiều với định nghĩa 3, muốn khẳng định điều rằng, toán có nhiều lời giải khác ta ta biết huy động vận dụng kiến thức biết cách hợp lý, động 4.3 Ví dụ Cho tập số M = {−1, 1} Chứng minh M lập thành nhóm với phép nhân thông thường số Giải : Cách : • Hiển nhiên M = ∅ · • Xét bảng nhân M : -1 Kết tích M phép toán -1 1 -1 -1 hai phần tử M lại thuộc M nên phép nhân số • Phép nhân số (nói riêng M ) có tính kết hợp • Đơn vị ∈ M • Dễ thấy x ∈ M x−1 = x ∈ M Vậy M nhóm Cách : Ta biểu diễn M dạng sau : M = {x ∈ R : |x| = 1} • Hiển nhiên M = ∅ • ∀x, y ∈ M |x| = |y| = nên |xy| = |x|.|y| = 1, xy ∈ M , tức phép nhân số M phép toán hai • Phép nhân số có tính chất kết hợp • Đơn vị ∈ M • ∀x ∈ M |x| = nên |x−1 | = = x−1 ∈ M Vậy M nhóm |x| Cách : Ta biểu diễn M = {x ∈ R : x2 = 1} hay M = {(−1)n : n ∈ Z} tiến hành kiểm tra điều kiện Cách : Các bạn sử dụng định nghĩa với lưu ý : 1.M = M = M.1 (−1).M = M = M.(−1) • Nhận xét : Mỗi tập hợp biểu diễn dạng khác Và với cách biểu diễn, có cách xử lý khác để có lời giải không giống Ví dụ muốn bạn nhìn nhận vấn đề phải biết xem xét góc độ khác để thấy cách tiếp cận khác giải vấn đề 4.4 Ví dụ Chứng minh nửa nhóm hữu hạn X có luật giản ước hai phía nhóm Giải : Cách : (Nếu sử dụng định nghĩa 3) Điều kiện phương trình ax = b xa = b giải X định nghĩa tương đương với đòi hỏi aX = X = Xa, ∀a ∈ X Gải sử X = {x1 , x2 , , xn } Khi ∀a ∈ X aX = {ax1 , ax2 , , axn } ⊂ X đồng thời X có luật giản ước nên n tích aX đôi khác (nếu axi = axj xi = xj ) nên |aX| = |X| suy aX = X Một cách tương tự chứng minh Xa = X Vậy X nhóm Cách : Các bạn sử dụng định nghĩa (hay định nghĩa với ý X = ∅ nên ∃a ∈ X X hữu hạn nên có m > n > am = an Đơn vị X e = am−n (hãy tự chứng minh) Với x ∈ X, tồn k > l > mà xk = xl x−1 = xk−l−1 (hãy tự chứng minh) Lưu ý chứng minh luôn có ý thức sử dụng luật giản ước • Nhận xét : Đây ví dụ tương đối khó Việc sử dụng dạng tương đương cho tồn nghiệm phương trình ax = b, xa = b hoàn toàn có quyền chấp nhận, không cần phải chứng minh Thật dạng phát biểu khác điều kiện theo ngôn ngữ tập hợp Cách thứ đưa cách tìm đơn vị nghịch đảo, việc hoàn thiện chứng minh dành cho độc giả để tự khám phá lấy mình, thử khơi dậy khéo léo BÀI TẬP LÀM THÊM Cho X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} Trên X xác định phép toán sau : (k1 , k2 )(l1 , l2 ) = (k1 + (−1)k2 l1 , k2 + l2 ) Chứng minh X với phép toán nhóm a : ac = Chứng minh X với phép nhân ma trận lập thành b c nhóm Nhóm X có giao hoán không? Cho X = Cho tập số phức D = {1, i, −1, −i} Chứng minh D nhóm với phép nhân thông thường số Cho tập X = ∅ Φ(X) tập song ánh X lên X Chứng minh Φ(X) nhóm phép nhân ánh xạ Cho Mn ∗ tập hợp ma trận cấp n không suy biến Chứng minh Mn ∗ nhóm với phép nhân ma trận Ta gọi ma trận vuông A = (aij ) cấp n có dạng tam giác aij = i > j Chứng minh tập ma trận vuông cấp n không suy biến có dạng tam giác lập thành nhóm với phép nhân ma trận ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 28 tháng 10 năm 2004 Các tập kiểm tra nhóm Một dạng khác kỹ kiểm tra nhóm kỹ kiểm tra nhóm Muốn kiểm tra nhóm ta cần nắm vững ba tiêu chuẩn thông thường nhóm sau Tiêu chuẩn Một tập A = ∅ nhóm X nhóm X (viết A ⊂n X A X) • ∀x, y ∈ A xy ∈ A; • e ∈ A; • ∀x ∈ A x−1 ∈ A Ví dụ 1: Chứng minh Mn1 = A : det A = (gồm ma trận vuông cấp n, định thức 1) nhóm nhóm Mn∗ (nhóm nhân ma trận cấp n không suy biến) Bài giải: Ta chứng minh Mn1 ⊂n Mn∗ theo tiêu chuẩn Trước hết hiển nhiên Mn1 = ∅, đồng thời ta có • ∀ X, Y ∈ Mn1 det X = det Y = det X.Y = det X det Y = 1.1 = nghĩa X.Y ∈ Mn1 • Ma trận đơn vị E ∈ Mn1 (vì det E = 1) • ∀ X ∈ Mn1 det X = nên det X −1 = = 1, X −1 ∈ Mn1 det X Vậy Mn1 thỏa ba điều kiện tiêu chuẩn nên Mn1 ⊂n Mn∗ Tiêu chuẩn Được suy từ tiêu chuẩn bỏ đòi hỏi e ∈ A (vì đòi hỏi hệ hai đòi hỏi lại) Như vậy, áp dụng tiêu chuẩn để xử lí Ví dụ lời giải ta loại bỏ đòi hỏi E ∈ Mn1 Ví dụ 2: Cho trước số nguyên m Chứng minh mZ = {mz : z ∈ Z} ⊂n (Z, +) Bài giải: Ta kiểm tra mZ ⊂n (Z, +) theo tiêu chuẩn Trước hết, hiển nhiên mZ = ∅ ta có: • ∀ mz1 , mz2 ∈ mZ : mz1 + mz2 = m(z1 + z2 ) ∈ mZ • ∀ mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ Vậy mZ thỏa hai đòi hỏi tiêu chuẩn nên mZ ⊂n (Z, +) Nhận xét: Thông thường lý thuyết ta ngầm định phép toán nhóm nhân ký hiệu phần tử nghịch đảo (·)−1 Tuy nhiên phép toán nhóm cộng tất dấu nhân biểu thức đổi sang dấu cộng phần tử nghịch đảo đổi thành phần tử đối viết −(·) Tiêu chuẩn Một tập hợp A = ∅ nhóm X nhóm X ∀ x, y ∈ A xy −1 ∈ A Nếu áp dụng tiêu chuẩn để xử lý Ví dụ ta cần kiểm tra: ∀ X, Y ∈ Mn1 ⇒ det X = det Y = 1 det X = =1 ⇒ det(XY −1 ) = det Y ⇒ XY −1 ∈ Mn1 Nếu áp dụng tiêu chuẩn cho ví dụ 2, ta cần kiểm tra ∀ mz1 , mz2 ∈ mZ ⇒ mz1 − mz2 = m(z1 − z2 ) ∈ mZ Nhận xét: Trong ba tiêu chuẩn nêu trên, lời giải sử dụng tiêu chuẩn ngắn gọn Tuy nhiên lời giải bắt buộc phải tính phần tử nghịch đảo để tránh rườm rà ta nên dùng tiêu chuẩn thực chất việc dùng tiêu chuẩn lúc bước tính toán dài ngang với dùng tiêu chuẩn Ví dụ 3: Cho tập hợp ma trận cấp hai K= a b :a=0 Chứng minh K ⊂n M2∗ (M2∗ nhóm nhân ma trận cấp hai không suy biến) Bài giải: (Vì dùng tiêu chuẩn 3, ta phải tính trước phần tử nghịch đảo, ta dùng tiêu chuẩn 2) Trước hết K = ∅ (hiển nhiên) Và đồng thời: • ∀ a b , c d ∈ K ta có: a = 0, b = nên a b c d = ac ad + b ∈K ac = • ∀ a b ∈ K a b −1 = 1/a −b/a ∈ K a = Vậy theo tiêu chuẩn 2: K ⊂n M2∗ Đến đây, độc giả ôn lại ba tiêu chuẩn thông dụng để kiểm tra tập hợp A = ∅ nhóm X cho trước có nhóm nhóm X không? Tùy theo tập cụ thể mà lựa chọn hợp lý tiêu chuẩn để áp dụng giải tập cho Khi đặt vấn đề đầu mục có nói kỹ kiểm tra nhóm dạng khác kiểm tra nhóm Nguyên phần lớn tập kiểm tra nhóm, tập A cho với phép toán phận nhóm quen biết thay kiểm tra nhóm theo định nghĩa ta cần kiểm tra theo tiêu chuẩn nhóm đương nhiên đơn giản Ví dụ 4: Cho X tập hợp tất phức bậc n đơn vị Chứng minh X với phép nhân thông thường số phức lập thành nhóm Bài giải: Hiển nhiên X = ∅ với phép toán nhân phận nhóm nhân C∗ số phức khác Vậy để chứng minh X nhóm ta cần kiểm tra X ⊂n (C∗ , ) Ta biểu diễn X = z ∈ C : zn = áp dụng tiêu chuẩn 3: ∀ z1 , z2 ∈ X ⇒ z1n = z2n = ⇒ z1n = n = =1 z2 ∈X (z1 z2−1 )n ⇒ z1 z2−1 Vậy X ⊂n (C∗ ), tức X nhóm Nhận xét: Mỗi tập hợp X cho trước có số cách biểu diễn khác nhau, tương đương cho lời giải khác Chẳng hạn Ví dụ 4, ta biểu diễn: 2kπ 2kπ X = {z = cos + i sin : k ∈ Z} n n nhờ vào công thức lấy phức bậc n đơn vị Khi lời giải dựa theo biểu diễn là: 2k1 π 2k1 π 2k2 π 2k2 π ∀ z1 = cos + i sin , z2 = cos + i sin ∈X n n n n 2(k1 − k2 )π 2(k1 − k2 )π z1 z2−1 = cos + i sin ∈X n n (Dĩ nhiên độc giả có biết dạng Ơle số phức lời giải viết ngắn gọn hơn!) 3- Cho u = u(x, y), v = v(x, y), z = z(x, y) hàm ẩn suy từ:   x = u + ln v y = v − ln u  z = 2u + v ∂z ∂z , điểm u = 1, v = ∂x ∂y 4- Cho u = u(x, y), v = v(x, y) hàm ẩn suy từ: Tính xeu+v + 2uv − = u yeu−v − − 2x = 1+v ∂u ∂v ∂u ∂v (1, 2), (1, 2), (1, 2), (1, 2), biết u(1, 2) = 0, v(1, 2) = ∂x ∂y ∂x ∂y HD: Sau đạo hàm riêng hai phương trình theo x, y thay điều kiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = Tính 13 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 10 tháng 12 năm 2004 Bài Các Bài Tập Liên Quan Đến Đồng Cấu Để xử lí tập liên quan đến đồng cấu ta cần nắm vững khái niệm đồng cấu kết liên quan tới đồng cấu Ta nhắc lại khái niệm đồng cấu: "Cho X, Y nhóm Ánh xạ f : X → Y gọi đồng cấu nhóm với x1 , x2 ∈ X f (x1 x2 ) = f (x1 ).f (x2 )(∗)" Hiển nhiên định nghĩa lý thuyết ta ngầm định phép toán nhóm ký hiệu theo lối nhân, nhiên toán thực tế, phép toán kí hiệu khác đi, chẳng hạn theo lối cộng Bởi vậy, kiểm tra đồng cấu cụ thể cần lưu ý chuyển đổi kí hiệu phép toán biểu thức kiểm tra (*) cho phù hợp với thực tế Ví dụ Chứng minh ánh xạ: exp : (R, +) → (R∗ , ·) mà với x ∈ R exp(x) = ex đồng cấu Rõ ràng dấu phép toán nhóm (R, +) phép cộng, dấu nhóm (R, ·) phép nhân Vì vậy, biểu thức đồng cấu lúc phải là: ∀x1 , x2 ∈ R : exp(x1 + x2 ) = exp(x1 ).exp(x2 ) việc kiểm tra tính đắn hệ thức không khó khăn nhờ tính chất hàm số mũ, xin nhường cho độc giả Ví dụ Cho X, G1 , G2 nhóm, G = G1 × G2 nhóm tích Cho f : X → G1 , g : X → G2 ánh xạ Ta xác định ánh xạ h : X → G = G1 × G2 mà x ∈ X : h(x) = (f (x), g(x)) Chứng minh h đồng cấu f g đồng cấu Giải: Ta có:h đồng cấu khi: ∀x1 , x2 ∈ X : h(x1 x2 ) = h(x1 ).h(x2 ) ⇔ (f (x1 x2 ), g(x1 x2 )) = (f (x1 ), g(x1 ))(f (x1 ), g(x2 )) ⇔ (f (x1 x2 ), g(x1 x2 )) = (f (x1 ).f (x2 )), (g(x1 ).g(x2 )) ⇔ f (x1 x2 ) = f (x1 )f (x2 ) g(x1 x2 ) = g(x1 )g(x2 ) ⇔ f g đồng cấu Ví dụ Cho X, Y nhóm cyclic có phần tử sinh x, y có cấp m, n tương ứng, tức là: X =< x >m , Y =< y >n a/ Chứng minh quy tắc ϕ cho tương ứng phần tử xl ∈ X với phần tử (y k )l (trong k số tự nhiên cho trước) đồng cấu km bội n b/ Khi ϕ đồng cấu, tính Kerϕ **Phân tích ban đầu: Có thể nhận thấy quy tắc ϕ ánh xạ, hiển nhiên ϕ thỏa yêu cầu đồng cấu Vì thực chất toán là: ϕ ánh xạ ⇔ km n Vì phần tử nhóm cyclic hữu hạn biểu diễn lũy thừa khác Do vậy, để chứng minh ϕ ánh xạ ta cần ϕ không phụ thuộc vào dạng biểu diễn khác phần tử Giải: a/ • Nếu ϕ đồng cấu, theo tính chất đồng cấu biến đơn vị thành đơn vị, ta có: eY = ϕ(eX ) = ϕ(xm ) = (y k )m = y km (∗∗) Vì cấp y = n, nên từ (**) suy ra: km n • Nếu km n, trước hết ta chứng minh ϕ ánh xạ, tức cần chứng minh xα = xβ (y k )α = (y k )β Thật vậy: xα = xβ ⇒ xα−β = e ⇒ (α − β) m ( cấp x = m) ⇒ k(α − β) km ⇒ k(α − β) n ( km n) ⇒ y k(α−β) = e( cấp y = n) ⇒ (y k )α = (y k )β ( đpcm) Việc kiểm tra ϕ đồng cấu, xin nhường cho độc giả b/ Khi ϕ đồng cấu thì: Kerϕ = xl ∈ X : (xk )l = e = xl ∈ X : kl n = xl : n l d với d = (k, n) n n Vậy Kerϕ = x d nhóm cyclic xinh phần tử x d , với d = (k, n) .n n **Nhận xét 1: Do câu a/, ϕ đồng cấu nên km n Suy m hiển nhiên n , d d n ước chung m n Do vậy, từ câu b/ ta đưa toán sau: d "Cho nhóm cyclic X =< x >m , Y =< y >n t số nguyên dương mà ước đồng thời m, n Chứng minh tồn đồng cấu ϕ : X → Y cho Kerϕ = xt nhóm cyclic sinh xt " Xem tập, độc giả xem xét lại lời giải ví dụ tự xây dựng thử đồng cấu ϕ theo yêu cầu! **Nhận xét 2: Kết ví dụ giúp cho ta phương tiện hữu hiệu để xử lí toán tìm số đồng cấu có nhóm cyclic cấp m n Nếu ϕ : X → Y với X =< x >m Y =< y >n đồng cấu mà ϕ(x) = y k , tính chất đồng cấu mà ∀xl ∈ X ϕ(xl ) = (y k )l , tức ϕ có dạng mô tả ví dụ Vậy số đồng cấu ϕ : X → Y số tất số nguyên k mà ≤ k < n cho km n Ví dụ Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp tới nhóm cyclic cấp 24 Giải: Cho nhóm X =< a >6 , Y =< b >24 nhóm cyclic cấp 24 Nếu ϕ : X → Y đồng cấu, tồn k mà ≤ k < 24 cho với al ∈ X ϕ(al ) = (bk )l Ta biết ϕ đồng cấu 6k 24 Vậy số đồng cấu ϕ : X → Y số số nguyên k mà ≤ k < 24 thỏa 6k 24 Có số nguyên k k = 0, 4, 8, 12, 16, 20 Vậy có tất đồng cấu khác từ nhóm cyclic cấp tới nhóm cycic cấp 24 Cụ thể đồng cấu là: ϕ1 : al −→ e ϕ2 : al −→ b4l ϕ3 : al −→ b8l ϕ4 : al −→ b12l ϕ5 : al −→ b16l ϕ6 : al −→ b20l Các toán tìm số đồng cấu từ nhóm tới nhóm khác toán hấp dẫn đa dạng Ví dụ cho ta phương tiện để xử lí phạm vi hẹp lớp toán Ví dụ sau thuộc lớp toán Ví dụ Tìm tất đồng cấu từ nhóm (Q, +) số hữu tỉ với phép cộng tới nhóm (Q∗ , ·) số hữu tỉ khác với phép nhân **Phân tích ban đầu: đồng cấu ϕ : Q → Q∗ hoàn toàn xác định ⇔ xác định giá trị ϕ(1) Độc giả thử tự lí giải điều nhận xét này! Và thay cho việc tìm số đồng cấu ϕ ta tìm xem có cách cho ϕ(1) cách hợp lí Giải: Nếu ϕ : (Q, +) → (Q∗ , ·) đồng cấu ϕ(1) = a Khi với số tự nhiên n > ta có: a = ϕ(1) = ϕ 1 + + ··· + n n n = ϕ( ) n n n lần Vậy với số tự nhiên n > 0, ta có: √ n a=ϕ n ∈ Q∗ (∗ ∗ ∗) Kết luận cuối thỏa mãn với giá trị a = Vậy có đồng cấu ϕ : Q → Q∗ mà ϕ(1) = 1, đồng cấu tầm thường (bạn đọc tự kiểm tra cách chi tiết ϕ(1) = ∀m ∈ Z : ϕ(m) = 1m = m = n ϕ(1) ϕ = n ϕ(m) = 1, ∀n > : ϕ n n **Nhận xét: Có thể bạn đọc chưa hài lòng với kết luận từ (***) suy a = Chúng ta đưa một√chứng minh để tham khảo Ta chứng minh a = tồn số nguyên / Q∗ Nếu a = 1, ta phân tích tử số mẫu số a dạng nhân tử nguyên n > mà n a ∈ tố được, chẳng hạn: pn1 pn2 pnk k a = m1 m l c1 c2 cm l với pi , ci số nguyên tố khác (ta giả√thiết phân số tối giản!) Đặt n = max{n1 , , nk , m1 , , ml } n a ∈ Q∗ phân số tối giản có dạng: √ n a= q1s1 q2s2 qtst , dα1 dα2 dαh h n q1s1 q2s2 qtst qj , dj nhân tử nguyên tố, α1 α2 phân số tối giản ta d1 d2 dαh h phải có: q1s1 n qtst n = pn1 pnk k =(tử số phân số tối giản a) l dα1 n dαh h n = c1m1 cm =(mẫu số phân số tối giảng a) l Tuy nhiên đẳng thức xảy số mũ lũy thừa các√nhân tử nguyên tố vế trái lớn hẳn số mũ lũy thừa nhân tử nguyên tố vế phải Vậy n a ∈ / Q∗ BÀI TẬP Cho X nhóm Aben Chứng minh ánh xạ ϕ : X → X mà ϕ(x) = xk với k số nguyên cho trước, đồng cấu Cho X nhóm Chứng minh ánh xạ ϕ : X → X mà ϕ(x) = x−1 , ∀x ∈ X đồng cấu X nhóm Aben Cho X nhóm Với phần tử a ∈ X, xác định ánh xạ fa : X → X mà f (x) = axa−1 , ∀x ∈ X (a) Chứng minh fa tự đẳng cấu X, gọi tự đẳng cấu xác định a (b) Chứng minh tập tất tự đẳng cấu fa với a ∈ X, lập thành nhóm với phép nhân ánh xạ Kí hiệu nhóm D(X) (c) Chứng minh ánh xạ ϕ : X → D(X), từ nhóm X tới nhóm tự đẳng cấu D(X) mà ∀a ∈ X : ϕ(a) = fa , đồng cấu (d) Tìm Kerϕ với ϕ đồng cấu nói câu c Tìm tất đồng cấu: (a) Từ nhóm cyclic cấp n đến (b) Từ nhóm cyclic cấp 24 đến nhóm cyclic cấp (c) Từ nhóm cyclic cấp đến nhóm cyclic cấp 20 Cho nhóm cyclic X =< x >m , Y =< y >n , với (m, n) = Chứng minh từ X → Y có đồng cấu tầm thường Tìm tất đồng cấu từ nhóm cộng số hữu tỉ (Q, +) tới nhóm cộng số nguyên (Z, +) Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp tới nhóm S3 _nhóm phép bậc 1 Đánh máy: Nguyễn Ngọc Quyên Ngày 5/12/2004 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 30 tháng 12 năm 2004 Bài Các Bài Tập Về Nhóm Đẳng Cấu Theo định nghĩa, nhóm X đẳng cấu với nhóm Y (và viết X ∼ = Y ) tồn ánh xạ f đẳng cấu f : X → Y Để X đẳng cấu với Y theo ánh xạ f , ta viết X ∼ = Y Quan hệ đẳng cấu lớp nhóm quan hệ tương đương, X • Với nhóm X: X ∼ =X f f −1 f g • Nếu X ∼ = Y Y ∼ = X gf • Nếu X ∼ =Z = Z X ∼ = Y Y ∼ Như vậy, để chứng tỏ hai nhóm X, Y đẳng cấu với ta thiết lập ánh xạ đẳng cấu từ X tới Y hay từ Y tới X thiết lập ánh xạ đẳng cấu từ X, Y tới nhóm thứ ba Ví dụ 1: Cho tập hợp ma trận cấp hai sau A= a :a∈R a) Chứng minh A nhóm với phép nhân ma trận b) Chứng minh A ∼ = (R+ , ·) (R+ , ·) nhóm nhân số thực dương Giải a) Để chứng minh A nhóm với phép nhân ma trận ta cần chứng minh A ⊂n (M2∗ , ·), (M2∗ , ·) nhóm nhân ma trận cấp hai không suy biến Xin dành việc kiểm tra chi tiết cho bạn đọc b) Để chứng minh A ∼ = (R+ , ·) ta xây dựng ánh xạ: f : R+ → A mà ∀a ∈ R+ f (a) = 1 ln a Dễ thấy f đồng cấu ∀a, b ∈ R+ ta có f (a.b) = = ln ab = ln a 1 ln a + ln b 1 ln b = f (a)f (b) Tính Ker f = a ∈ R+ : f (a) = ln a = 0 = a ∈ R+ : ln a = = {1} Vậy f đơn cấu Hiển nhiên f toàn ánh với x ∈ A, tồn a = ex ∈ R+ mà f (a) = x Vậy f đẳng cấu: A ∼ = (R+ , ·) Nhận xét 1: Chúng ta quen biết với ánh xạ đẳng cấu ln : (R+ , ·) → (R, +), từ nhóm nhân số thực dương tới nhóm cộng số thực, đồng thời từ phép nhân a b a+b A: = ta dễ phát ra: A ∼ = (R, +) Vì ta chứng 1 minh A ∼ = (R+ , ·) thông qua hai đẳng cấu thật ánh xạ đẳng cấu xây dựng kết hợp hai ánh xạ nói Nhận xét 2: Nếu nhớ rằng, ánh xạ song ánh f từ nhóm X tới tập Y có trang bị phép toán hai mà f bảo toàn phép toán Y nhóm Và toán trên, kết câu (a) suy trực tiếp từ câu (b) mà không cần phải kiểm tra độc lập Ví dụ 2: Cho nhóm X A, B nhóm chuẩn tắc X thỏa A.B = X A∩B = {e} Chứng minh: a) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba b) X ∼ =A×B Giải a) Ta có ∀a ∈ A, ∀b ∈ B aba−1 b−1 = (aba−1 )b−1 ∈ B B X aba−1 b−1 = a(ba−1 b−1 ) ∈ A A X Như vậy: aba−1 b−1 ∈ A ∩ B = {e} tức aba−1 b−1 = e ⇔ ab = ba b) Để chứng minh X ∼ = A × B (tích trực tiếp A B) ta xây dựng ánh xạ f : A × B → X mà với (a, b) ∈ A × B f (a, b) = ab • Ta kiểm tra f đồng cấu: ∀(a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B f [(a1 , b1 ), (a2 , b2 )] = f (a1 a2 , b1 b2 ) = a1 (a2 b1 )b2 = (a1 b1 )(a2 b2 ) = f (a1 , b1 ).f (a2 , b2 ) ( a2 b1 = b1 a2 theo (a)) • Tính Ker f = {(a, b) : ab = e} = {(a, b) : a = b−1 ∈ A ∩ B} = {(a, b) : a = b−1 = e} = {(e, e)} Vậy f đơn cấu • Tính toàn ánh f suy từ X = A.B Thật vậy, với x ∈ X, ∃a ∈ A, b ∈ B cho x = ab nên tồn (a, b) ∈ A × B mà f (a, b) = x Nhận xét 1: Để ý tính chuẩn tắc hai nhóm A, B dùng để chứng minh cho tính chất giao hoán hai phần tử a ∈ A, b ∈ B tức ab = ba, phục vụ cho việc kiểm tra f : A × B → X đồng cấu Bởi vậy, biến dạng ví dụ là: Cho A, B nhóm X thỏa A.B = X, A ∩ B = {e} ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba Chứng minh X∼ = A × B Nhận xét 2: Trong đẳng cấu X ∼ = A × B nhận xét cho ta A X B X Như với giả thiết A.B = X A ∩ B = {e} hai nhóm A, B cho trước, hai giả thiết lại A, B X ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ab = ba tương đương Bạn thử chứng minh trực tiếp tương đương không? Ví dụ 3: Cho X nhóm cộng giao hoán E(X) tập hợp tất tự đồng cấu X Xác định E(X) phép cộng ∀f, g ∈ E(X) f +g : X → X mà ∀x ∈ X (f +g)(x) = f (x)+g(x) Chứng minh a) E(X) nhóm cộng giao hoán với phép cộng b) E(Q) ∼ = Q với Q nhóm cộng số hữu tỷ Giải a) Để kiểm tra E(X) nhóm cộng giao hoán ta kiểm tra: • Phép cộng E(X) phép toán hai ngôi, nói cách khác f, g : X → X đồng cấu ? f + g đồng cấu tức là: ∀x1 , x2 ∈ X : (f + g)(x1 + x2 ) = (f + g)(x) + (f + g)(y) • Phép cộng E(X) kết hợp, giao hoán • Phần tử ∈ E(X) ánh xạ θ : X → X mà θ(X) = • ∀x ∈ E(X) (−f ) : X → X mà (−f )(x) = −f (x) đồng cấu đối f Tất tính toán chi tiết để hoàn tất nội dung kiểm tra không khó khăn xin nhường cho độc giả b) Để chứng minh E(Q) ∼ = Q ta thiết lập ánh xạ ϕ : E(Q) → Q mà ∀f ∈ E(Q) ϕ(f ) = f (1) Dễ thấy ϕ đồng cấu ∀f, g ∈ E(Q) ϕ(f +g) = (f +g)(1) = f (1)+g(1) = ϕ(f )+ϕ(g) Ta chứng minh ϕ song ánh, tức ∀q ∈ Q tồn đồng cấu f : Q → Q mà f (1) = q Đồng cấu f xác định công thức: m m m ∀ ∈ Q f ( ) = q n n n Bạn đọc dễ dàng kiểm tra đồng cấu f (1) = q Nếu có đồng cấu g : Q → Q ∈ Q: mà g(1) = q ∀n = 0: n.g( n1 ) = g(n n1 ) = g(1) = q Suy g( n1 ) = nq ∀ m n q m m m g( n ) = m.g( n ) = m n = n q = f ( n ) Vậy f = g Do vậy, ϕ đẳng cấu Ngoài cách thiết lập đẳng cấu trực tiếp hai nhóm để chứng minh hai nhóm đẳng cấu với trường hợp nhóm biểu diễn dạng nhóm thương ta áp dụng định lý Nơte toàn cấu nhóm Ta nhắc lại định lý đó: Định lý (Nơte) Cho f : X → Y toàn cấu Khi tồn đẳng cấu f˜ : X/Ker f → Y cho f = f˜.p p : X → X/Ker f đồng cấu chiếu Sử dụng định lý ta muốn chứng minh đẳng cấu nhóm thương X/A ∼ = Y , ta cần thiết lập toàn cấu f : X → Y cho Ker f = A từ định lý ta có đẳng cấu f˜ : X/A ∼ = Y Ví dụ 4: Chứng minh nhóm cyclic hữu hạn cấp n đẳng cấu với Phân tích: Trong nhóm cyclic cấp n có nhóm Zn = Z/nZ Để chứng minh nhóm cyclic cấp n đẳng cấu với nhau, ta cần chứng minh chúng đẳng cấu với Zn Vậy lấy nhóm cyclic cấp n: a n ta phải chứng minh Zn ∼ = a n Giải Cho nhóm cycilc cấp n: a n Ta xây dựng ánh xạ f : Z → an Dễ thấy f đồng cấu ∀m1 , m2 ∈ Z ta có n mà ∀m ∈ Z f (m) = am f (m1 + m2 ) = am1 +m2 = am1 am2 = f (m1 ).f (m2 ) Hiển nhiên f toàn ánh Vậy f toàn cấu Đồng thời Ker f = {m : am = e} = {m : n|m} = nZ Vậy theo định lý Nơte, tồn đẳng cấu f˜ : Z/nZ ∼ = a n Vậy nhóm cyclic cấp n đẳng cấu với Zn chúng đẳng cấu với Ví dụ 5: Trong nhóm nhân C∗ số phức khác 0, xét tập hợp H gồm tất số phức nằm trục thực trục ảo Chứng minh H ⊂n C∗ , đồng thời có đẳng cấu: C∗/H ∼ = D D nhóm nhân số phức có môđun Giải Ta biểu diễn số phức thuộc H dạng lượng giác được: H= r cos kπ kπ + i sin 2 : r ∈ R+ , k ∈ Z Hiển nhiên H = ∅ ta kiểm tra H ⊂n C∗ , theo tiêu chuẩn thứ ba: với z1 = r1 cos k12π + i sin k12π , z2 = r2 cos k22π + i sin k22π thuộc H, ta có z1 z2−1 = r1 r2 cos (k1 − k2 )π (k1 − k2 )π + i sin 2 ∈H Vậy H ⊂n C∗ Để chứng minh C∗/H ∼ = D ta thiết lập ánh xạ f : C∗ → D mà f [r(cos ϕ + i sin ϕ)] = cos 4ϕ + i sin 4ϕ với ∀ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) ∈ C∗ Độc giả dễ dàng kiểm tra f đồng cấu toàn ánh! Đồng thời Ker f = {r(cos ϕ + i sin ϕ) : (cos 4ϕ + i sin 4ϕ) = 1} = {r(cos ϕ + i sin ϕ) : 4ϕ = 2kπ} kπ }=H = {r(cos ϕ + i sin ϕ) : ϕ = Vậy, theo định lý Nơte, tồn đẳng cấu f˜ : C∗/H ∼ =D Nhận xét: Mấu chốt lời giải việc biểu diễn H dạng lượng giác, điều có nhờ nhận xét phần tử thuộc H nằm hai trục có argument bội nguyên π/2 Việc xây dựng đồng cấu f : C∗ → D mà Ker f = H, cách biểu diễn H mà thỏa hai đòi hỏi: chuyển phần tử tới phần tử có mođun (bằng cách chia phần tử cho môđun nó) chuyển phần tử có argument kπ/2 thành phần tử có argument k2π (bằng cách nhân argument lên lần); từ cho ta ánh xạ cần tìm Bài tập 1) Chứng minh nhóm cyclic vô hạn đẳng cấu với 2) Cho X nhóm Aben hữu hạn cấp m.n với (m, n) = Đặt A = {x ∈ X : xm = e}, B = {x ∈ X : xn = e} Chứng minh X ∼ = A × B 3) Cho C∗ nhóm nhân số phức khác 0, R∗ nhóm nhân số thực khác 0, D nhóm nhân số phức có môđun Chứng minh C∗/R∗ ∼ = D 4) Cho E(X) nhóm cộng đồng cấu nhóm cộng giao hoán X (xem ví dụ 3) Chứng minh E(Z) ∼ = Z 5) Cho Mn∗ Mn1 tập ma trận vuông cấp n không suy biến tập ma trận có định thức Chứng minh Mn∗/Mn1 ∼ = (R∗ , ·) 6) Cho f : (R, +) → (R∗ , ·) đẳng cấu nhóm Chứng minh tồn phần tử a ∈ R cho f (x) = ax , ∀x ∈ R ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 31 tháng năm 2005 Bài Các Bài Toán Xác Định Tính Chất Và Mô Tả Cấu Trúc Của Một Nhóm Các toán dạng thường có nội dung sau: Cho nhóm X thỏa mãn số điều kiện cho trước đó, kết luận toán yêu cầu rằng, nhóm X thỏa mãn số tính chất xác định Ví dụ Cho X nhóm mà với phần tử a ∈ X a2 = e Chứng minh X nhóm aben Về mặt nguyên tắc, muốn xử lý toán xác định tính chất nhóm, cần sử dụng tính chất thông dụng nhóm, kết hợp với điều kiện bổ sung toán, phân tích, đánh giá biến đổi tính chất có tới tính chất cần có theo đòi hỏi kết luận toán Các tính chất thông dụng nhóm bao gồm, trước hết tiên đề định nghĩa nhóm, tính chất dẫn xuất từ tiên đề đó, chẳng hạn như: • Trong nhóm X có luật giản ước (tức từ đẳng thức ax = ay (hay xa = ya) suy x = y!) • Trong nhóm X, phần tử a ∈ X đơn vị nhóm X ⇐⇒ a2 = a (tức a lũy đẳng!) • Trong nhóm X, nghịch đảo phần tử a ∈ X b = a−1 ⇔ ab = e ba = e • Trong nhóm X, nghịch đảo tích tích nghịch đảo theo thứ tự ngược (tức −1 −1 (a1 a2 an )−1 = a−1 n a2 a1 ) • Quay trở lại ví dụ 1, để chứng minh X nhóm aben ta cần ra: ∀a, b ∈ X ab = ba Để có tính chất cần thiết ta sử dụng điều kiện bổ sung toán a2 = e, ∀a ∈ X, kết hợp với số tính chất thông dụng có nhóm, biến đổi để có lời giải sau: • Lời giải thứ nhất: Từ điều kiện toán, ta có với a, b ∈ X thì: a2 = e, b2 = e =⇒ a2 b2 = e.e = e đồng thời (ab)2 = e Do đó: a.a.b.b = ab.ab (= e) Thực luật giản ước trái a luật giản ước phải b đẳng thức cuối ta được: ab = ba (đpcm) • Lời giải thứ hai: Từ điều kiện toán: a2 = e, ∀a ∈ X =⇒ a = a−1 , ∀ ∈ X Do ∀a, b ∈ X : ab = (ab)−1 = b−1 a−1 = ba, tức ta có đpcm Ở đây, đưa vài lời giải bản, bạn thực bước biến đổi khác chút bạn có thêm lời giải riêng Các bạn thử sức xem! Ví dụ Cho X nhóm có vô hạn phần tử Chứng minh X chứa vô hạn nhóm khác Giải Vì X có vô hạn phần tử nên X = {e} Xét cấp phần tử X, có hai khả sau đây: a) Trong X có phần tử cấp vô hạn Khi đó, nhóm cyclic sinh phần tử a < a > có vô hạn phần tử; thân < a > chứa vô hạn nhóm khác sau đây: < a >, < a2 >, , < ak >, Đó nhóm X Vậy, X chứa vô hạn nhóm b) Mọi phần tử X có cấp hữu hạn Khi đó, xét họ J tất nhóm cyclic < x >, sinh phần tử X, J = {< x >: x ∈ X} Dễ thấy X = x∈X họ J chứa hữu hạn nhóm khác do: < x >= x∈X ∈J có số phần tử hữu hạn, trái với điều kiện cho X có vô hạn phần tử Vậy J chứa vô hạn nhóm khác nhau, tức X chứa vô hạn nhóm khác Chú ý tính chất nhóm phong phú đa dạng, không phát biểu cho phần tử tập nền, phép toán nhóm mà xác định cho khái niệm dẫn xuất từ nhóm nhóm con, ước chuẩn tắc, Đặc biệt nhóm hữu hạn có tính chất quan trọng liên hệ cấp nhóm cấp nhóm con, nội dung định lý sau: Định lí (Lagran) Cho nhóm hữu hạn X, A ⊂n X Khi đó, cấp A ước số cấp X Định lý có vài hệ thường sử dụng toán xác định tính chất cho nhóm hữu hạn mô tả cấu trúc nhóm hữu hạn là: Hệ Cấp phần tử a nhóm X ước số cấp X Hệ Nếu cấp nhóm X số nguyên tố X nhóm cyclic Ví dụ Cho X nhóm aben cấp Chứng minh X nhóm cyclic Giải Để X nhóm cyclic, ta cần X có chứa phần tử cấp Vì X cấp nên tồn phần tử a ∈ X a = e Theo hệ định lý Lagrang cấp a 2, 3, Nếu cấp a = ta có đpcm Nếu cấp a = nhóm thương X/< a > có cấp Khi b ∈ X/ mà b =< a > cấp b = Do đó, phần tử đại diện b ∈ b phải có cấp cấp Trường hợp cấp b = tích ab phải có cấp Nếu cấp a = nhóm thương X/ có cấp Khi b ∈ X/ mà b =< a > cấp b = Do đó, phần tử đại diện b ∈ b phải có cấp hay cấp Trường hợp cấp b = tích ab có cấp Vậy khả xảy cho cấp phần tử a, ta X có chứa phần tử cấp 6, tức X cyclic Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng kiện: Các phần tử đại diện b lớp ghép b nhóm thương bội cấp b, điều chứng minh đơn giản sau: gọi cấp b = n, bn = e ⇒ (b)n = bn = e Vậy n bội cấp b Ví dụ Hãy mô tả cấu trúc nhóm cấp không đẳng cấu với Xét cấp phần tử x = e nhóm X cấp Theo hệ định lý Lagrang có tất khả sau: a) Tồn phần tử a cấp Khi X nhóm cyclic cấp X ∼ = Z6 b) Không tồn phần tử cấp 6; tức X không nhóm cyclic Do kết ví dụ 3, ta suy X không nhóm aben (vì nhóm cấp aben nhóm cyclic!) Vì X không aben nên tồn phần tử a ∈ X mà cấp a = (vì phần tử X mà cấp ≤ X lại nhóm aben!) Khi nhóm sinh a < a > có số nên ước chuẩn tắc X nhóm thương X/ < a > có phần tử Chọn b ∈< / a > b ∈ X/ < a > b = e nên cấp b = 2, suy cấp b = (vì cấp b = 6!) Vậy, tồn nhóm X cấp không aben X =< {a, b} > với cấp a = 3, cấp b = 2, gồm phần tử sau: X = {e, a, a2 , b, ab, a2 b} thỏa hệ thức ba = a2 b (Bạn đọc sử dụng tính chất nhóm để chứng minh X với phần tử nhóm tích ba ba = a2 b mà giá trị lại!) Bây xét nhóm S3 phép bậc 3, xem sinh phần tử α = (1 3) β = (1 2) ta có: S3 = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β} thỏa βα = α2 β Điều đảm bảo ánh xạ ϕ : X → S3 mà ϕ(e) = e, ϕ(a) = α, ϕ(a2 ) = α2 , ϕ(b) = β, ϕ(ab) = αβ ϕ(a2 b) = α2 β song ánh bảo toàn phép toán Từ đó, X nhóm X ∼ = S3 BÀI TẬP Chứng minh nhóm có cấp nhỏ nhóm aben Cho X nhóm hữu hạn cấp chẵn Chứng minh số phần tử cấp X số lẻ Cho X nhóm x, y ∈ X Ta gọi x−1 y −1 xy hoán tử x y Chứng minh rằng: a) Nhóm A X sinh tập tất hoán tử cặp x, y ∈ X nhóm chuẩn tắc X b) Nhóm thương X/A aben Đồng thời H X X/H aben ⇐⇒ A ⊂ H Cho A nhóm nhóm X a ∈ X, chứng minh tập aA = {ax : x ∈ A} nhóm X a ∈ A Mô tả cấu trúc nhóm cấp không đẳng cấu với Môt tả cấu trúc nhóm cấp không đẳng cấu với [...]... gần như trở thành thông dụng Chẳng hạn đó là các nhóm (C, +); (C∗ , ) các số phức; các nhóm (Mm×n , +) các ma trận cấp m × n với phép công ma trận; (Mn∗ , ) các ma trận vuông cấp n không suy biến; nhóm nhân các song ánh S(X) từ tập X = ∅ vào chính nó; nhóm công các đa thức hệ số thực Khi tiếp cận một bài toán kiểm tra nhóm, điều đầu tiên phải xem xét là tập hợp cho trước cùng phép toán có là bộ phận... căn phức bậc n của đơn vị Chứng minh X = Xn là nhóm với n: 2 phép nhân số phức 4 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 19 tháng 11 năm 2004 Bài 3 Các Dạng Toán Kiểm Tra Nhóm Cyclic Và Cấp Một Phần Tử Trong Nhóm Để kiểm tra một nhóm cho trước là cyclic, thông thường ta áp dụng định nghĩa về nhóm cyclic Ta nhắc lại định nghĩa đó: Định nghĩa 1 Nhóm X... có duy nhất hai nhóm con là {e} và X Chứng minh X là nhóm cyclic hữu hạn và cấp X = p là số nguyên tố 3 GIẢI TÍCH (CƠ BẢN) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Lê Hoàn Hóa Ngày 10 tháng 12 năm 2004 Phép Tính Vi Phân Hàm Nhiều Biến I - Sự liên tục 1 Không gian Rn : Định nghĩa: Với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , đặt: 1 - x = (x21 + x22 + + x2n )... yeu−v − − 2x = 0 1+v ∂u ∂v ∂u ∂v (1, 2), (1, 2), (1, 2), (1, 2), biết u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y HD: Sau khi đạo hàm riêng hai phương trình theo x, y thay điều kiện u(1, 2) = 0, v(1, 2) = 0 Tính 13 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 10 tháng 12 năm 2004 Bài 5 Các Bài Tập Liên Quan Đến Đồng Cấu Để xử lí các bài tập liên quan đến đồng cấu... x2 ) = f (x1 ).f (x2 )(∗)" Hiển nhiên là trong các định nghĩa lý thuyết ta luôn ngầm định các phép toán trong nhóm được ký hiệu theo lối nhân, tuy nhiên trong các bài toán thực tế, thì phép toán có thể được kí hiệu khác đi, chẳng hạn theo lối cộng Bởi vậy, khi kiểm tra một đồng cấu cụ thể cần lưu ý chuyển đổi kí hiệu phép toán trong biểu thức kiểm tra (*) cho phù hợp với thực tế Ví dụ 1 Chứng minh... (Q, +) tới nhóm cộng các số nguyên (Z, +) 7 Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 6 tới nhóm S3 _nhóm các phép thế bậc 3 1 1 Đánh máy: Nguyễn Ngọc Quyên Ngày 5/12/2004 5 ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 30 tháng 12 năm 2004 Bài 6 Các Bài Tập Về Nhóm Đẳng Cấu Theo định nghĩa, nhóm X là đẳng cấu với nhóm Y (và viết X ∼ = Y ) nếu tồn tại một... minh A ∼ = (R+ , ·) thông qua hai đẳng cấu này và thật ra ánh xạ đẳng cấu xây dựng ở trên là sự kết hợp hai ánh xạ nói trên Nhận xét 2: Nếu chúng ta nhớ rằng, một ánh xạ song ánh f từ một nhóm X tới tập Y có trang bị phép toán hai ngôi mà f bảo toàn các phép toán thì khi đó Y cũng là một nhóm Và do vậy trong bài toán trên, kết quả câu (a) có thể được suy trực tiếp từ câu (b) mà không cần phải kiểm tra... là bộ phận của một nhóm quen biết nào không, từ đó mà lựa chọn hợp lý phương thức kiểm tra: theo định nghĩa hay theo tiêu chuẩn nhóm con Bài tập làm thêm 1 Cho tập hợp các ma trận K1 = 1 0 a b :b=0 và K1 = 1 a 0 1 :a∈R Chứng minh rằng các tập hợp trên đều là nhóm với phép nhân ma trận 2 Chứng minh rằng tập hợp Mn±1 gồm các ma trận vuông cấp n có định thức bằng 1 hay −1 là nhóm với phép nhân ma trận √... al −→ e ϕ2 : al −→ b4l ϕ3 : al −→ b8l ϕ4 : al −→ b12l ϕ5 : al −→ b16l ϕ6 : al −→ b20l Các bài toán tìm số các đồng cấu từ một nhóm tới một nhóm khác là các bài toán khá hấp dẫn và rất đa dạng Ví dụ 3 chỉ cho ta một phương tiện để xử lí một phạm vi khá hẹp của lớp các bài toán đó Ví dụ sau cũng thuộc lớp bài toán trên 3 Ví dụ 5 Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm (Q, +) các số hữu tỉ với phép cộng tới nhóm... Dg là hai đường cong : C1 = x2 + y 2 = 1 , C2 = {x2 + y 2 = 4} 4 Mọi (x, y) ∈ C1 , (x, y) = (±2, 0) thì (x, y) ∈ Dg Mọi (x, y) ∈ C2 thì (x, y) ∈ / Dg Dg là tập bị chặn, Dg không là tập đóng cũng không là tập mở Dg không liên thông Thật vậy, đặt: O1 = {(x, y) ∈ R2 /y > 0} , O2 = {(x, y) ∈ R2 /y < 0} O1 , O2 là tập mở thỏa mãn: Dg ∩ Oi = Ø, i = 1, 2, Dg ⊂ O1 ∪ O2 , Dg ∩ O1 ∩ O2 = Ø 3.2 Cho A = / (x, ... vuông A = (aij ) cấp n có dạng tam giác aij = i > j Chứng minh tập ma trận vuông cấp n không suy biến có dạng tam giác lập thành nhóm với phép nhân ma trận ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học. .. R ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 31 tháng năm 2005 Bài Các Bài Toán Xác Định Tính Chất Và Mô Tả Cấu Trúc Của Một Nhóm Các toán dạng thường... nguyên tố GIẢI TÍCH (CƠ BẢN) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa PGS TS Lê Hoàn Hóa Ngày 10 tháng 12 năm 2004 Phép Tính Vi Phân Hàm Nhiều Biến I - Sự liên tục Không gian Rn : Định nghĩa: