tai lieu on cao hoc

B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 Bài tập phơng pháp toán lí chơng 1: Giải tích véc tơ trong các hệ toạ độ Bài tập 1: Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc hãy xác định: 1) Véc tơ đơn vị song song với vectơ v i j k = + 2 3 6. . . . 2) Véc tơ đơn vị của đờng thẳng nối điểm P(1,0,3) với Q(0,2,1) Bài tập 2: Chứng minh rằng véc tơ v a i b j c k = + + . . . vuông góc với mặt cho bởi phơng trình: ax + by + cz = Bài tập 3: Giả thiết rằng véc tơ r x i y j z k = + + . . . là véc tơ xuất phát từ gốc đến một điểm tuỳ ý P(x, y, z) còn v a i b j c k = + + . . . là một véc tơ không đổi nào đấy. Chứng minh rằng ( ). r v r = 0 là phơng trình mặt cầu. Bài tập 4: Chứng minh rằng ( .[ , ]. ) ( . ). ( . ) ( . ) a b c r a r b c b r c a c r a b = + + Bài tập 5: Chứng minh rằng a b c.[ , ] = 0 nếu a , b và c phụ thuộc tuyến tính. Kiểm tra sự độc lập tuyến tính của ba véc tơ sau v i j k = + 3 2. . u i j k = 4. w i j k = + 2. Bài tập 6: Nghiệm lại rằng tích hỗn tạp của ba véc tơ a , b , c ( a b c.[ , ] ) có thể biểu diễn nh sau: = a b c.[ , ] = ijk .a i .b j .c k i, j, k = 1, 2, 3 với cách ký hiệu a x = a 1 , a y = a 2 , a z = a 3 ijk là ký hiệu ten xơ Levi - chivita + ijk = 0 nếu có hai chỉ số trùng nhau. + ijk = 1 nếu i j k và có số lần hoán vị chẵn để về thứ tự 1,2,3 + ijk = -1 nếu i j k và có số lần hoán vị lẻ để về thứ tự 1,2,3 các chỉ số lặp lại có nghĩa là lấy tổng theo các chỉ số đó. Bài tập 7: Cho a và b là tuỳ ý . Chứng minh rằng = ( ).( ) ( . ) a b a b a b + = 2 (a.b) 2 Bài tập 8: Cho du dt u u = = ; dv dt v v = = Chứng minh rằng d dt u v u v( ) ( ) = Bài tập 9: Tính Grad ( . ) a r với a là véc tơ không đổi 1 B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 Bài tập 10: CM hệ thức sau: Grad(.) = .Grad + .Grad Bài tập 11: Tính Grad( p r r . 3 ) ( p là véc tơ không đổi) Bài tập 12: Chứng minh các hệ thức sau (các đại lợng vô hớng và véc tơ đều là những hàm của toạ độ) 1) Div(. A ) = .Div A + A .Grad 2) Rot(. A ) = .Rot A - [ A , Grad] 3) Div[ A , B ] = B .Rot A - A .Rot B 4) Grad( A . B ) = [ A , Rot B ] + [ B , Rot A ] + ( B . ) A + ( A . ) B 5) Rot[ A , B ] = A .Div B - B .Div A + ( B . ). A - ( A . ). B 6) C .Grad( A . B ) = A .( C . ). B + B .( C . ). A 7) ( C . )[ A , B ] = [ A ,( C . ) B ] - [ B ,( C . ) A ] 8) ( . A ). B = ( A . ). B + B .Div A 9) [ A , B ].Rot C = B .( A . ). C - A .( B . ). C 10) [ [ A , ], B ] = ( A . ). B + [ A ,Rot B ] - A .Div B Bài tập 13: Dùng hệ toạ độ Đề các, tính: * Div( r ) * Rot( r ) * ( a . ). r Trong đó r là bán kính véc tơ, a là véc tơ không đổi Bài tập 14: Dùng hệ toạ độ Đề các, tính: * Grad (r) * Div ((r). r ) * Rot ((r). r ) * ( a . ).(r). r Bài tập 15: Với p là véc tơ không đổi, tính * Div[ p , r ] * Rot[ p , r ] Bài tập 16: Tính lu thông ( lu số) của véc tơ [ , r ] theo vòng tròn bán kính r 0 nằm trong mặt phẳng vuông góc với véc tơ không đổi. Biết tâm vòng tròn trùng với gốc toạ độ. Bài tập 17: Tính thông lợng của bán kính véc tơ r qua mặt trụ nh hình vẽ bên Bài tập 18: Chứng minh rằng các tích phân sau đây bằng nhau: r a n ds.( . ). và ( . ). . a r n ds Trong đó a là véc tơ không đổi, n là véc tơ pháp tuyến của mặt tích phân. Bài tâp 19: Chứng minh hệ thức sau 2 y x z h o B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 Rota dV V . = [ , ]ds a S = [ . ]. n a ds S Với S là diện tích bao quanh thể tích V, n là véc tơ pháp tuyến đơn vị hớng ra ngoài thể tích V, trờng véc tơ a liên tục trong miền V Bài tập 20: Chứng minh hệ thức sau . [ , ]dl n Grad ds SL = L là công tua bao quanh diện tích S, n là véc tơ pháp tuyến đơn vị có chiều làm với chiều dơng trên L 1 hệ đinh ốc thuận, là trờng vô hớng liên tục trong miền S. Bài tập 21: Cho trờng vectơ A y i z j x k = + + . . . Dùng công thức Xtốc để tính tích phân đờng A dr C . Trong đó C là đờng trònC: x y z a x y z 2 2 2 2 0 + + = + + = chạy ngợc chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dơng của trục x. Bài tập 22: Tính hệ số Lame h i trong các hệ toạ độ cong: 1) Hệ toạ độ cực: x = r.cos y = r.sin 2) Hệ toạ độ trụ: x = r.cos y = r.sin z = z 3) Hệ toạ độ cầu: x = r.sin.cos y = r.sin.sin z = r.cos Bài tập 23 Chứng minh rằng hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu là những hệ toạ cong trực giao. Bài tập 24: * Viết biểu thức dive A trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ * Viết biểu thức rote A trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ * Viết biểu thức A trong hệ tọa độ cầu, trụ, cực. Bài tập 25: Cho hệ toạ độ cong: q 1 = y x 2 q 2 = x y 2 2 4 2 + q 3 = z Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h i Bài tập 26: Cho hệ toạ độ cong: = x y z z 2 2 2 + + + 3 B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 à = x y z z 2 2 2 + + = arctg y x Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h i Bài tập 27: Cho hệ toạ độ cầu tổng quát: x = a.u.sin.cosv y = b.u.sin.sinv z = c.u.cos với 0 + u 0 2 v 0 Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h i Chơng 2: Phơng trình dao động 4 B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 Bài tập 1(6): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol f x x L x M ( ) ( ) = và vận tốc ban đầu F x( ) = 0 Bài tập 2(7): ở thời điểm t = 0, ta truyền cho các điểm của sợi dâynằm trong khoảng (c - , c + ) một vận tốc ban đầu không đổi V 0 . Hãy xác định dao động của sợi dây nếu ban đầu nó có dạng f x( ) = 0 Bài tập 3(42): Tìm dao động của sợi dây ở bài một với giả thiết g(x,t) = g, trong đó g là hằng số dơng đủ nhỏ. Bài tập 4: Một sợi dây vô hạn có dạng ban đầu là: U x x t = = 0 0 1 3 0 Hãy vẽ dạng của sợi dây ở các thời điểm t 0 = 0 ; t 1 = 0,5 ; t 2 = 1 ; t 3 = 2,5. Xét dao động của các điểm x = 0, x = 1, x = -1, biết vận tốc truyền sóng a = 2. Bài tập 5(41): Hãy xác định dao động tự do của sợi dây hữu hạn đợc gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L, dao động với vận tốc ban đầu bằng không, sợi dây có dạng ban đầu là: 2 )(4 )0,( L xLx xU = 0 x L Bài tập 6(8): Xác định dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đợc gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L, sợi dây có độ lệch ban đầu bằng không, dao động với vận tốc dạng ban đầu là: U V x c t t ' cos( ) = = 0 0 0 Trong đó V 0 > 0, /2 < c < L - /2. Bài tập 7: Tìm tần số dao động của sợi dây dài 10cm, có tiết diện chữ nhật 0,2x0,4mm 2 , có = 7,8 g.cm -3 và sức căng T = 10 N Bài tập 8(52): Một sợi dây đồng chất, hữu hạn đợc gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L. ở thời điểm ban đầu t = 0, sợi dây đợc căng lên độ cao h 5 Khi x c < 2 Khi 2 cx Khi x < 1 Khi 12 Khi 2 < x < 3 Khi x 3 B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 tại điểm x = x 0 và sau đó buông ra không vận tốc ban đầu. Hãy tính năng l- ợng của dao động tử thứ n của sợi dây dao động. Bài tập 9(40): Tìm nghiệm của phơng trình: 2 2 2 2 U t U x Mx = + Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng không và các điều kiện biên: U(0,t) = 0 U(L,t) = 0 Bài tập 10: Tìm nghiệm của phơng trình: 2 2 2 2 U t U x bx x L = + ( ) Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng không và các điều kiện biên: U(0,t) = 0 U(L,t) = 0 Bài tập 11(38): Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0, còn mút x = L chuyển động theo quy luật U(L,t) = Asin t . Biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không. Bài tập 12: Tìm nghiệm của phơng trình: xsin.b x U a t U 2 2 2 2 2 + = Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = 0 U t t = = 0 0 và các điều kiện biên: U(0,t) = 0 U(L,t) = 0 Bài tập 13: Hãy xét dao động của một dây gắn chặt ở các mút x = 0 và x = L trong một môi trờng có sức cản tỉ lệ với vận tốc, cho biết các điều kiện ban đầu: U(x,0)= f(x) U t F x t = = 0 ( ) Bài tập 14(39): Hãy xác định dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút x= 0 và x = L cho biết các hình dạng ban đầu của sợi dây: U x hx c h L x L c ( , ) ( ) 0 = và U t t = = 0 0 6 Khi 0 x c Khi c x L B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 Bài tập 15(9): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U '' tt - a 2 U '' xx = 0 (a= const) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0)= x L t U t = = 0 và các điều kiện biên: U x x = = 0 0 U x x L = = 0 Bài tập 16: Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, hai biên gắn chặt, thoả mãn phơng trình: U '' tt - U '' xx = - h. cosx Với các điều kiện ban đầu: U(x,0)= Lx U t t = = 0 0 Bài tập 17: Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U '' tt - a 2 U '' xx = -Mx (a= const) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0)= x(L-x) U t t = = 0 0 và các điều kiện biên: U x x = = 0 0 U x x L = = 0 Bài tập 18(10): Lúc ban đầu, một màng vuông cạnh L có dạng U(x,y,0) = Axy(L- x)(L - y) (A = const). Màng dao động với vận tốc ban đầu bằng không. Hãy nghiên cứu dao động tự do của màng gắn chặt theo chu tuyến. Bài tập 19: Tìm nghiệm phơng trình sau bằng phơng pháp tách biến. 2 2 2 4 4 0 U t a U x + = Thoả mãn điều kiện ban đầu: U(x,0) = Ax(L - x) U t ' (x,0) = 0 và điều kiện biên U(0,t) = U(L,t) = 0 U '' xx (0,t) = U '' xx (L,t) = 0 Bài tập 20: Chứng minh rằng J 1 (x) = -J ' 0 (x). Dựng đồ thị của J 1 (x). Bài tập 21: Chứng minh rằng: x dJ 0 0 )(. = x.J 1 (x) Bài tập bổ xung 7 B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 Bài 1(4): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung Parabol U(x,0) = f(x) = L xLx 3 ).(4 và vận tốc ban đầu U' t (x,0) = F(x) = 0 Bài 2(11): Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0, còn mút x = L chuyển động theo quy luật U(L,t) = B.cos t . Biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không. Bài 3(12): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu ban đầu sợi dây nằm ở vị trí cân bằng f(x) = 0 và vận tốc ban đầu có dạng )xL(Ax)x(F = Bài 4(13): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U '' tt - a 2 U '' xx = 0 ( a = const) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = x xL t U t = = 0 và các điều kiện biên: 0 0 = = x x U U x x L = = 0 Bài 5: Tìm nghiệm của phơng trình: x 2 2 2 2 e.L x U t U = Thoả mãn các điều kiện ban đầu và các điều kiện biên bằng không. Bài 6: Một sợi dây đồng chất, hữu hạn đợc gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L. ở thời điểm ban đầu t = 0, sợi dây đợc căng lên độ cao h tại điểm x = x 0 và sau đó buông ra vận tốc ban đầu )xL.(x.A)0,x(u t = . Hãy xác định dao động tự do của sợi dây. Bài 7: Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol f x x L x M ( ) ( ) = và vận tốc ban đầu F x( ) = 0 , với giả thiết g(x,t) = Mx 2 . Bài 8: Tìm nghiệm phơng trình 0 x U a t U 2 2 2 2 2 = (a = const; 0 x L ; t > 0 ) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = U t (x,0) = 0 và các điều kiện biên: U(0,t) = M.sint U(L,t) = 0 Bài 9: Tìm nghiệm phơng trình 8 B i t p ph ng ph ỏp to ỏn l ý ph n 1 2 2 2 2 2 x U a t U = (a = const; 0 x L ; t > 0 ) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = A. x L U t (x,0) = B và các điều kiện biên: U(0,t) = 0 U(L,t) = A.cost + Bsint Bài 10: Hãy xác định hình dạng tại thời điểm t của một sợi dây có độ dài L, đầu mút x = 0 và x = L luôn đợc gắn chặt. Biết rằng g(x, t) = const = g (g là hằng số d- ơng đủ nhỏ), hình dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol U(x, 0) = f(x) = ( ) 2 a2 xLgx và sợi dây dao động với vận tốc ban đầu bằng không. Hãy nhận xét kết quả thu đợc. Bài 11(51): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U '' tt - a 2 U '' xx = - A.sinwt (a = const) thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = L, 2 Lx 3 x )x(F t U 23 0t == = và các điều kiện biên: 0 x U 0x = = , 0 x U Lx = = Bài 12(54): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U '' tt - a 2 U '' xx = 0 ( a = const) thoả mãn các điều kiện biên: 0 x U 0x = = 0 x U Lx = = và các điều kiện ban đầu: U(x,0) = L x cos L t U 0t = = 9 . chơng 1: Giải tích véc tơ trong các hệ toạ độ Bài tập 1: Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc hãy xác định: 1) Véc tơ đơn vị song song với vectơ v i j k. cầu là những hệ toạ cong trực giao. Bài tập 24: * Viết biểu thức dive A trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ * Viết biểu thức rote A trong hệ tọa độ cầu,