Phân tích đa thức thành nhân tử

Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Phần I lời nói đầu Phân tích đa thức thành nhân tử phần quan trọng mặt kiến thức lẫn kĩ thực học sinh bậc THCS Nội dung đợc giới thiệu chơng trình Toán lớp coi nội dung nòng cốt chơng trình Vì đợc vận dụng nhiều chơng sau, phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, giải phơng trình, bất phơng trình Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần không nhiều nên đa số học sinh lúng túng học sinh giỏi nhiều vấn đề kiến thức cha đợc đề cập tới Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành phân tử kỹ quan trọng, nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải đợc nhiều vấn đề chơng trình Đại số lớp lớp nh nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm đợc lời giải hay ngắn gọn cho toán Nhng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Để giúp cho tất học sinh đại trà để bồi dỡng học sinh giỏi đạt kết tốt việc phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề cần đợc quan tâm Nhng thị trờng có sách dành riêng cho chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Đó lý đa đề tài Về nội dung đề tài, sau giới thiệu phơng pháp có ví dụ cụ thể, giới thiệu tập có lời giải vận dụng tổng hợp phơng pháp Tất phần đợc trình bày theo lôgic Giới thiệu phơng pháp bớc làm, ví dụ minh hoạ số tập tơng tự để làm thêm Với nội dung cách trình bày trên, hy vọng đề tài không tài liệu hớng dẫn học sinh THCS mà tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn việc giảng dạy trờng THCS sau Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Phần II NộI DUNG A Phân tích đa thức thành nhân tử Một số khái niệm : Đa thức Đa thức biểu thức đại số phép tính thực biến phép cộng, trừ, nhân (đa thức biểu thức nguyên ) Ví dụ: Biểu thức: f(x) = 5x 3- x + 3x + đa thức biến (ẩn) x Biểu thức: g(y) = 7y + 3y - đa thức biến (ẩn) y Biểu thức: h(x,y) = 5x 3y - 3x y2- 2y + đa thức hai biến (ẩn) x y Phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức có bậc nhỏ Ví dụ: a) x2 xy + x y =(x y)(x + 1) b) x + x4 + = (x + x + 1)(x x + 1) I Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau, nhng thờng sử dụng số phơng pháp thông dụng nh sau: - Đặt nhân tử chung - Sử dụng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm hạng tử - Phối hợp nhiều phơng pháp - Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử - Đổi biến số (hay đặt ẩn phụ) - Thêm bớt hạng tử - Phơng pháp hệ số bất định - Tìm nghiệm đa thức Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Trừ số trờng hợp toán đơn giản, nhiều toán toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp phơng pháp cách linh hoạt để giải Phơng pháp đặt nhân tử chung a) Phơng pháp : + Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt tất hạng tử đa thức + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đa nhân tử chung dấu ngoặc Các hạng tử dấu ngoặc thơng phép chia hạng tử đa thức cho nhân tử chung b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) A = 5x 2y 10xy 2) B = 2x(3y z) + 6y(7z 3y) 3) C = (y z)(2x 2y yz) (4yx + yz 2)(z y 2) + 6x 2z(y z) Giải : 2 1) A = 5x y 10xy Ta thấy hạng tử đa thức chứa thừa số chung 5xy, ta có A = 5x 2y 10xy = 5xy.x 5xy.2y = 5xy(x - 2y) 2) B = 2x(3y 7z) + 6y(7z 3y) Đổi dấu hạng tử 6y(7z 3y) = - 6y(3y 7z), ta có thừa số (3y 7z) chung : B = 2x(3y 7z) + 6y(7z 3y) = 2x(3y 7z) - 6y(3y - 7z) = (3y 7z)( 2x 6y) = (3y 7z).2(x 3y) = 2(3y 7z)(x 3y) 3) C = (y z)(2x 2y yz) (4yx + yz 2)(z y 2) + 6x 2z(y z) Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Đổi dấu (4yx + yz 2)(z y ) = (4yx + yz )( y z), ta có thừa số (y z) chung: C = (y z)(2x 2y yz) (4yx + yz 2)(z y 2) + 6x 2z(y z) = (y z)(2x y yz) + (4yx + yz )( y z) + 6x z(y z) = (y z)[( 2x y yz ) + (4yx + yz ) + 6x z] = (y z)[ 2x y + 4yx + 6x z] = (y z)[ 2xy + 4yx + 6x z] = (y z)[ 2x (y + 2y + 3z)] = (y z)[ 2x (3y + 3z)] = (y z) 2x 3(y + z) = 6x 2(y2 z)(y + z) Khai thác toán: Nếu ý đến hạng tử biểu thức cách đặt thừa số chung , ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức Q = (x + 2z)(3x + 5x 2y) (7x 3x 2y)(2z + x) Bài toán 1.2: Phân tích đa thức P = 3a(b 2c) (a 4)(2c b ) Bài toán 1.3: Phân tích đa thức H = 3xmy 9x ny2 + 15x n+1 với m, n N, m > n 2 Phơng pháp dùng đẳng thức a) Phơng pháp: Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi hạng tử để làm xuất đẳng thức (nếu có thể) Sau dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) D = x2 x + 2) E = 9(x + 5) (x +7) 3) F = x3 + 9x2 27x + 27 4) G = 27a3b6 Giải : Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Ta thấy hạng tử đa thức nhân tử chung nên phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung Mặt khác ta thấy biểu thức đêù có dạng đẳng thức Vì áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử 1) D = x2 x + 2 1 = x 2.x + ữ = x ữ 2 2 2) 3) E = 9(x + 5) (x + 7) = [3(x + 5)] (x + 7) = [3(x+5) + x +7][3(x+5) (x+7)] = (4x + 22)(2x + 8) = 4(2x + 11)(x + 4) F = - x3 + 9x2 27x + 27 = ( x)3 + 3.3.( x)2 + 3.( x).32 + 33 = (-x +3)3 4) G = 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) Khai thác toán: Bằng cách dùng đẳng thức đáng nhớ , ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M= x 81y 25 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N = x y6 + (x + x2 y2 + y4 ) Bài toán 1.3: Phân tích đa thức K = x6 Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng 3) Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử: a)Phơng pháp: Sử dụng tính chất giao hoán tính chất kết hợp phép cộng đơn thức, ta kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Trong nhóm này, ta áp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để tiếp tục phân tích Lu ý: Thờng ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác b)Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) x2 xy + x y 2) x - 2xy - z + y + 2zt t 3) x + 2xy y Giải : Ta thấy hạng tử thừa số chung không thấy có dạng đẳng thức Vì ta nhóm hạng tử với để làm xuất nhân tử chung có dạng đẳng thức để phân tích tiếp: 1) x2 xy + x y * Cách 1: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ t ta có : x2 xy + x y = (x2 xy) + (x y) = x(x y) + (x y) =(x y)(x + 1) * Cách 2: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ t, ta có : x2 xy + x y = (x2 + x) (xy + y) = x(x + 1) y(x + 1) = (x + 1)(x y) Nhận xét : ví dụ ta nhóm hạng tử thích hợp để sử dụng phơng pháp đặt nhân tử chung Đối với đa thức có nhiều cách nhóm khác hạng tử thích hợp 2) x - 2xy - z + y + 2zt t Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Nhóm hạng tử thứ nhất, thứ hai với hạng tử thứ t, hạng tử thứ ba, thứ năm với hạng tử thứ sáu để có dạng đẳng thức tiếp tục phân tích, ta có : x - 2xy - z + y + 2zt t = (x 2xy + y 2) (z 2zt + t) = (x y) (z t) = (x y + z t)(x y z + t) 3) x2 + 2xy y2 = (x2 2xy + y2 ) = 32 (x y2) =(3 +x y)( x + y) Nhận xét : Trong cách giải trên, ta nhóm hạng tử cuối đa thức đa vào dấu ngoặc đằng trớc có dấu để phân tích đa thức phơng pháp dùng đẳng thức Khai thác toán: Nếu ý đến phơng pháp nhóm hạng tử, ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức E = 3x3 75x + 6x 150 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức F = x + ( a + b + c ) x + (ab + ac + bc ) x + abc Bài toán 1.3: Phân tích đa thức G = x ( y z ) + y ( z x ) + z( x y ) Ph ơng pháp phối hợp ph ơng pháp a) Phơng pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp, ta nên ý chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau : Bớc 1: Đầu tiên ta xét xem hạng tử có xuất nhân tử chung hay không? Có nhân tử chung: áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung Sau ta xem đa thức ngoặc toán quay lại với bớc tiếp tục thực đến kết cuối Nếu nhân tử chung, chuyển sang bớc Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Bớc 2: Nếu đa thức có dạng hàng đẳng thức áp dụng phơng pháp đẳng thức Nếu không chuyển qua bớc Bớc 3: Dùng phơng pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất đẳng thức nhân tử chung b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + 2y2 2) 2a2 12ab + 18b2 3) 5x3z 10x2z 5xz3 5xy2z + 5xz + 10xyz2 Giải: 1) Ta thấy hạng tử có thừa số chung, ta đặt thừa số chung tiếp tục phân tích đa thức ngoặc: 2x2 + 4x + 2y2 = 2(x2 + 2x + y2) Đặt nhân tử chung 2 = [(x + 2x + 1) y ] Nhóm hạng tử thích hợp đa thức ngoặc = 2[(x + 1)2 y2] Xuất đẳng thức = 2(x + y)(x + + y) Dùng đẳng thức Nh thứ tự u tiên là: Đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm hạng tử Vậy 2x2 + 4x + 2y2 = 2(x + y)(x + + y) 2) 2a2 12ab + 18b2 Cách giải tơng tự câu a) : 2a2 12ab + 18b2 = 2(a2 6ab + 9b2) = 2(a 3b)2 3) 5x3z 10x2z 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2 = 5xz(x2 2x z2 y2 + + 2yz) = 5xz[ (x2 2x + 1) (y2 2yz + z2)] = 5xz[(x 1)2 (y z)2] = 5xz(x y + z)(x + y z) Khai thác toán: Bằng phơng pháp phối hợp phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng I = 3n 12n + 27 3m Bài toán 1.2: Phân tích đa thức K = 3x3y 6x2y 3xy3 6axy2 3a2xy + 3xy Bài toán 1.3: Phân tích đa thức L = 7a c + 14a c 7ac + 28c + 7ac 28 Phơng pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a) Phơng pháp: Có số đa thức nhân tử chung dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành hai nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để phân tích tiếp b) Ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích: x2 6x + Nhận xét: Đa thức không chứa thừa số chung Không có dạng đẳng thức đáng nhớ, nhóm số hạng Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều số hạng sau nhóm hạng tử lại với cách phù hợp: Cách 1: Tách số hạng thứ hai x2 6x + = x2 2x 4x + = x(x 2) 4( x 2) = (x )(x 4) Cách 2: Tách số hạng thứ x2 - 6x + = x2 6x + = (x 3)2 = ( x 1)(x + 1) = (x 4)( x 2) Cách 3: x 6x + = x2 6x + 12 = ( x 2)(x + 2) 6(x 2) = (x 2)(x 4) Cách 4: x 6x + = x2 16 6x + 24 = ( x 4)(4 + x) 6(x 4) Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng = (x 4)( x + 6) = (x 4) ( x 2) Cách : x2 6x + = x2 4x + 2x + = (x 2)2 2( x 2) = (x 2)( x 2) = ( x 2)(x 4) Mặc dù có nhiều cách tách nhng thông dụng cách sau: * Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau: + Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích thừa số nguyên cách + Chọn hai thừa số có tổng b Khi hạng tử bx đợc tách thành hạng tử bậc Ví dụ 2: 4x2 4x Ta có tích: ac = 4.( 3) = 12 Phân tích : 12 = 1.12 = 1.( 12) = 2.6 = 3.4 = 3.( 4) Chọn thừa số có tổng : (6) 4x2 4x = 4x2 + 2x 6x = 2x(2x + 1) 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x 3) * Cách 2: Tách hạng tử thứ ba thành hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng 4x2 4x = 4x2 4x +1 = ( 2x 1) 22 = ( 2x 2)( 2x + 2) = (2x + 1)(2x 3) Ví dụ 3: 3x2 8x + = 4x2 8x + x2 = (2x 2)2 x2 = ( 2x x)(2x + x) = (x 2)(3x 2) Ví dụ 4: Phân tích x 5x + Sinh viên: 10 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Bài a) f(x) = x - 2x - 3x + 4x + Thấy x có hệ số 1, nên f(x) = (x + ax + b) Khai triển sử dung phơng pháp đồng hệ số để tìm a, b ĐS: f(x) = (x x -2) b) g(x) = x + 2x - 23x - 24x +144 Tơng tự câu a ĐS: g(x) = (x + x 12) Bài a) f(x) = x - 9x + 26x 24 Do f(x) có số hạng bậc cao x có hệ số 1, nên giả sử f(x) = (x + a)(x + bx + c) Đồng hệ số ta thu đợc kết quả: f(x) = (x 2)(x 3)(x 4) b) g(x) = x x x + 2x Do g(x) có hệ số số hạng bậc cao 1, hệ số tự nên ta viết đợc: g(x) = (x + ax 2)(x + bx + c) Đồng hệ số ta thu đợc kết quả: g(x) = (x 2)(x x + 1) Bài 6: a) P = (y 5)(x 4), thay giá trị x, y vào : P = (5,5 5)(14 4) = 0,5.10 = b) Q = ( x- 5)(x + y) ĐS: Q = 130 c) H = (x -1)(x 4x + 5) = (x 1)[(x 2) + 1] ĐS: H = 40 Bài 7: Sinh viên: 58 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng 2 áp dụng HĐT: ( A + B) = A + 2AB + B Khai triển P ta có: P = x + 2x y + y + 2y z + 2x z + z = (x + y )2 + 2(x + y )z + z = ( x + y2 + z )2 Vậy P = 10 = 100 Bài Xét trờng hợp x = => ( x + b )( x + c ) = Từ suy ra: + b = + c = Hoặc + b = + c = Bài Nhân (x + a )( x + b )( x+ c ) ta đ ợc x + ( a + b +c ) x + ( ab + bc +ac ) x +abc Từ ta có: a = a + b + c b = ab + bc +ac c = abc Bài 10: áp dụng định lý Bơdu:Tìm f(1)và f(3)và xét xem có giá trị hay không.Từ suy kết luận Bài 11 a) Biến đổi:10x 7x + a = 10x 15x + 8x 12 + 12 + a = 5x.(2x 3) + 4.(2x 3) + (12 + a) => 12 + a = b) 2x + ax +1 chia cho x d => f(3) = hay 3a +19 = c) áp dụng đinh lý Bơdu ta có f(1) = Từ tính a Bài 12 Vì ax + bx + c chia hết cho x + nên đa thức có nghiệm Sinh viên: 59 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Vậy ta có 8a + 4b + c = Mặt khác, ta có ax + bx + c= (x 1) q(x) + Với x =1 => a + b + c = Với x = => a + b + c = Giải hệ phơng trình ta tìm đợc a, b, c (*) (* *) (* * *) Bài 13: HD: Phân tích vế chứa ẩn phơng trình để đa phơng trình tích a) (x 3)(x + 6) = x = x = b) (4x + 1)(2x + 7) = x=- x = c) x(x 6)(x 5) = x = x = x = Bài 14 MTC: ( a - b ) ( b - c ) ( c - a ) Ta có: -1 1 ( a - b) ( c - a ) ( a - b) ( b - c) ( b - c) ( c - a ) ( b - c) + ( c - a ) + ( a - b ) = ( a - b) ( b - c) ( c - a ) ( a, b, c đôi khác ) Vậy A = ( b - c) + ( c - a ) + ( a - b ) ( a - b ) ( b - c) ( c - a ) = Bài 15 x2 + y2 xy xy B = x + ữ x + y - x ữ : x - y x y Sinh viên: 60 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng x - xy + xy xy - x - xy x + y = ữ x + y ữ : x - y x y 2 -x x -y = 2 x - y x + y2 -x Vậy B = x + y2 Bài 16: Đặt y = x + 1, ta có: A = y + 9y + 21y - y - 30 = (y -1)(y + 2)(y + 3)(y + 5) A = x (x + 3)(x + 4)(x + 6) với giá trị x Bài 17: B = x - 4x - 2x +12x + = (x - 4x + 4x ) - (6x -12x) + = (x - 2x)2 - 6(x - 2x) + = ( x - 2x - 3)2 = [ (x - 3)(x + 1)] Với x Z B bình phơng số nguyên Bài 18: Ta có: 5n +15n +10n = 5n(n + 1)(n + 2) Vì n(n + 1)(n + 2) tích số nguyên liên tiếp nên n(n + 1)(n + 2) M6 5n(n + 1)(n + 2)M30 Bài 19: a) C = (x + y + z)(xy + yz + xz) b) Vì x , y, z số nguyên (x + y + z ) M6 nên C M6 Lại (x + y + z ) M6 số x, y, z phải có số chẵn xyz M2 3xyz M6 C - 3xyz M6 Bài 20: Sinh viên: 61 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Ta có: D = n (n - 7) - 36n = (n - 3)(n - 2)(n -1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3) D chia hết cho 3, cho 5, cho Mà số đôi nguyên tố nên D M(3.5.7) = 105 D M105 2 Một số tập nâng cao Bài 1: f(x) = x + y - (x + y)5 ; = x + y - (x + 5x y +10x y +10x y + 5xy + y ) = -5xy(x + 2x y + 2xy + y ) = -5xy (x + y)(x - xy + y ) + 2xy(x + y) = -5xy(x + y)(x + xy + y ) Bài 2: Ta có: ( a + b ) = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b = a + b + 5ab ( a + b ) + 10a b ( a + b ) Đặt : a = x y , b = y z , c = z x a + b + c = a + b = -c ( a + b ) = -c5 Mặt khác, ta có: a + b = ( a + b ) - 3ab ( a + b ) = -c3 + 3abc a + b + 5ab ( -c3 + 3abc ) + 10a b ( -c ) = -c5 a + b + c5 = 5abc [ c - ab ] Vì , ta có: A = ( x - y) + ( y - z) + ( z - x) 5 = ( x - y ) ( y - z ) ( z - x ) ( x + y + z - xy - yz - zx ) Sinh viên: 62 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Vậy: 5 ( x - y) + ( y - z) + ( z - x) = ( x - y ) ( y - z ) ( z - x ) ( x + y + z - xy - yz - zx ) Bài 3: Đặt x - = y , phơng trình trở thành: (y +1)4 + (y -1)4 = 16 Rút gọn ta đợc: 2y +12y + = 16 y + 6y + = y + 6y - = Đặt a = y2 , a > 0, ta có: a2 + 6a - = (a -1)(a + 7) = a =1 a = -7 Với a =1, ta có y2 = y = Từ x1 = 8; x2 = Với a = - < (loại) Vậy S = {8; 6} Chú ý: Khi giải phơng trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c, ta thờng đặt ẩn phụ y = x + a+b Bài 4: Đặt u = x + 3x - 4; v = 2x - 5x + u + v = 3x - 2x - Phơng trình cho có dạng: u + v = (u + v)3 Mặt khác ta lại có: u + v = (u + v)3 - 3uv(u + v) Nên (u + v)3 - 3uv(u + v) = (u + v)3 Sinh viên: 63 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng 3uv(u + v) = u = v = u + v = x + 3x - = 2x - 5x + = 3x - 2x - = Giải ba phơng trình trên, tìm đợc bốn nghiệm phơng trình cho là: x = 1; x = ; x = -4; x = - Bài 5: a) 9994 + 999 = 999(9993 + 1) = 999(999 + 1)(999 999 + 1) =1000.999(9992 999 + 1) có tận chữ số b) 495 49 = 49(494 1) = 49.(492 + 1)(49 1) = 49.(492 + 1)(49 1)(49 + 1) = 49.(492 + 1).24.100M100 495 49 M100 Bài 6: 2 2 Ta có: x - y = y - x x - y + x - y = (x y)(x + y + 1) = Vì x y nên x + y + = x + y = A = x + 2xy + y - 3x - 3y = (x + y)2 - 3(x + y) A = ( 1)2 3( 1) = Bài 7: a) (x + y + z)3 - x - y - z = [ (x + y) + z ] - x - y - z 3 = (x + y)3 + z + 3z(x + y)(x + y + z) - x - y - z = x + y + 3xy(x + y) + z + 3z(x + y)(x + y + z) - x - y - z = 3(x + y)(xy + xz + yz + z ) = 3(x + y)(y + z)(z + x) b) M = (a + b + c)3 + (a - b - c)3 + (b - c - a)3 + (c - a - b)3 Sinh viên: 64 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Ta đặt: x = a + b - c; y = c + a - b; z = b + a - c; x + y + z = a + b + c 3 3 Vậy A = (x + y + z) - x - y - z = 3(x + y)(y + z)(z + x) (theo câu a) A = 3(b + c - a + c + a - b)(c + a - b + b + a - c)(b + a - c + b + c - a) = 3.2c.2a.2b = 24abc Bài 8: 2002 2000 2 x 2002 + x 2000 +1 = (x - x) + (x - x ) + (x + x +1) = x(x 2001 -1) + x (x1998 -1) + (x + x + 1) = x (x )667 -1 + x (x )666 -1 + (x + x +1) Vì (x )667 -1Mx -1, (x )666 -1Mx -1 nên (x )667 -1Mx -1 (x )666 -1Mx -1 chia hết cho x + x +1 Vậy x 2002 + x 2000 +1 chia hết cho x + x +1 Bài 9: Ta có: A = n + 6n + 11n + 6n = n(n + 6n + 11n + 6) = n ( n + n ) + ( 5n + 5n ) + ( 6n + ) = n [ n (n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)] = n(n + 1)(n + 5n + 6) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Ta thấy A tích số tự nhiên liên tiếp, phải có hai số chẳn liên tiếp 2k; 2k + 2; (k N) Mà 2k(2k + 2) = 4k(k + 1) M8 (vì k k + phải có số chẵn) Vậy A M Mặt khác A M3; (3, 8) = A M(3, 8) A M24 Bài 10: Ta có (a + b + c)2 = a + b + c + 2(ab + bc + ca) Sinh viên: 65 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Mà a + b + c = ab + bc + ca = a + b + c2 = a = b = c = T = (-1)1995 + 01995 + 11995 = Bài 11: Ta có M = (x + y)3 - 3(x + y)(x + y ) + 2(x + y ) = (x + y) [ (x + y)2 - 3(x + y ) + 2(x - xy + y ) ] = (x + y)(x + y + 2xy - 3x - 3y + 2x - 2xy + 2y ) = (x + y).0 = Bài 12: T = a + b + c4 = (a + b + c2 )2 - 2(a b + a c + b c ) = (a + b + c2 )2 - [ (ab + bc + ca)2 - 2abc(a + b + c) ] Ta có a + b + c = a + b + c = Và có: 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a + b + c ) = -(a + b + c ) = -1 b + bc + ca = Do T = - Bài 13: a) Sinh viên: 66 1 = a + a c - abc + b c + b Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng = (a + b ) + c(a - ab + b ) 3 = (a + b)(a - ab + b ) + c(a - ab + b ) = (a - ab + b )(a + b + c) Mà a + b + c = (a - ab + b )(a + b + c) = a + a c - abc + b c + b = b) Từ a + b + c = b + c = -a (b + c)2 = a b + 2bc + c = a a - b - c2 = 2bc (a - b - c2 )2 = 4b c2 a + b + c = 2a b + 2a c + 2b c a + b + c4 + a + b + c4 = = 2a b + 2a c2 + 2b c2 + a + b + c 2(a + b + c ) = (a + b + c )2 Bài 14: a) Ta có: x 95 + x 94 + x 93 + + x + x + = = x 64 (x 31 + x 30 + x 29 + + x + x + 1) + +x 32 (x 31 + x 30 + x 29 + + x + x + 1) + +(x 31 + x 30 + x 29 + + x + x + 1) = (x 31 + x 30 + x 29 + + x + x + 1)(x 64 + x 32 + 1) x 95 + x 94 + x 93 + + x + x + chia hết cho đa thức x 31 + x 30 + x 29 + + x + x + 10 10 5 5 b) x - y = (x - y )(x + y ) 5 2 = (x - y )(x + y)(x - x y + x y + xy + y ) Sinh viên: 67 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng x - y M(x - x y + x y + xy + y ) 10 10 Bài 15: Ta có: x1995 - ax1994 + ax - = (x - 1)(x1994 + x1993 + + 1) - ax(x - 1)(x1992 + x1991 + + 1) = (x - 1) [ x1994 + x1993 + + - ax(x1992 + x1991 + + 1) ] (x - 1)2 (theo ra) Vì M M x1994 + x1993 + + - ax(x1992 + x1991 + + 1) phải chia hết cho (x 1) Đặt x1994 + x1993 + + - ax(x1992 + x1991 + + 1) =(x 1).g(x) Đẳng thc với x, nên với x = 1, ta có: M = 1995 a.1993 = a= 1995 1993 Bài 16 : Ta có: A = x (y - z) + y (z - x) + z (x - y) = x (y - z) + y (z - x) - z [ (y - z) + (z - x)] = x (y - z) - z (y - z) + y (z - x) - z (z - x) = (y - z)(x - z ) + (z - x)(y - z ) = (y - z)(x - z)(x + z)(x + z ) - (x - z)(y - z)(y + z)(y + z ) = (y - z)x - z)(x + xz + x z + z - y - yz - y z - z ) = (y - z)(x - z) (x - y ) + z (x - y) + z(x - y ) = (y - z)(x - z)(x - y)(x + xy + y + z + zx + yz) = (x - y)(y - z)(x - z) (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 Vì x > y > z nên A > (đpcm) Sinh viên: 68 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Phần III KếT LUậN CHUNG trờng THCS, đa thức phân tích đa thức thành nhân tử nội dung kiến thức mà học sinh đợc học với thời lợng không nhiều chơng trình đại số nhng lại đợc ứng dụng rộng rãi xuyên suốt chơng trình học tập em, học sinh thờng xuyên phải sử dụng đến kỹ việc xây dựng số nội dung kiến thức sau việc giải toán Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích đa thức thành nhân tử Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác , lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Trong đề tài đề cập đến đa thức ẩn chủ yếu Các tập đa đề tài dừng mức ví dụ minh hoạ, cha phải hệ thống tập vận dụng đầy đủ kiến thức đa ra.Ngoài có số tập tổng hợp tập nâng cao nhằm vận dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải Trong thời gian không dài, tài liệu tham khảo ỏi kinh nghiệm giảng dạy cha có Mặc dù cố gắng nhiều nhng số suy nghĩ phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Vì mong nhận đợc góp ý, giúp đỡ Thầy, Cô giáo bạn để tiếp tục nghiên cứu vận dụng đề tài cách hoàn chỉnh Nhân đây, muốn gửi lời Sinh viên: 69 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán Tin, bạn Lớp CĐSP Toán Tin K48 đặc biệt Giảng viên.ThS.NCS.Nguyễn Quang Hoè trực tiếp hớng dẫn giúp đỡ suốt trình làm đề tài Xin chân thành cảm ơn! Đồng Hới, ngày 12 tháng 12 năm 2008 Sinh viên Phạm Thị Thà Mục lục Phần i lời nói đầu Phần II Nội dung A.phân tích đa thức thành nhân tử I Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1.Phơng pháp đặt nhân tử chung 2.Phơng pháp dùng đẳng thức.4 3.Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử 4.Phơng pháp phối hợp phơng pháp 5.Phơng pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 6.Phơng pháp đổi biến số(hay đặt ẩn phụ).11 7.Phơng pháp thêm bớt hạng tử.16 8.Phơng pháp hệ số bất định 18 9.Phơng pháp tìm nghiệm đa thức 21 II.Bài tập ứng dụng 25 A Giải mẫu số tập 25 B Bài tập làm thêm31 I Bài tập trắc nghiệm 31 II Bài tập tự luận.32 Sinh viên: 70 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng C Hớng dẫn giải 35 B.ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử I Các toán liên quan 42 1.Bài toán giải phơng trình.42 2.Bài toán giải bất phơng trình 44 3.Bài toán rút gọn biểu thức.46 4.Bài toán chứng minh chia hết48 II.Bài tập tổng hợp 50 III.Một số tập nâng cao 53 IV.Hơng dẫn giải 54 Bài tập tổng hợp 58 Một sốBài tập nâng cao 60 Phần III Kết luận chung 68 Mục lục 69 Một số tài liệu tham khảo 70 Một số tài liệu tham khảo Toán nâng cao chuyên đề Đại số Nhà xuất giáo dục.Vũ Dơng Thuỵ (chủ biên)- Nguyễn Ngọc Đạm Đại số sơ cấp thực hành giải Toán Nhà xuất đại học s phạm Hoàng Kỳ (chủ biên) Hoàng Thanh Hà Sinh viên: 71 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Bài tập nâng cao Đại số Nhà xuất Đà Nẵng Phan Văn Đức Nguyễn Thái Hoà - Nguyễn Thế Thợng Nguyễn Anh Dũng 4.Toán nâng cao Đại số Nhà xuất Đại học s phạm Nguyễn Vĩnh Cận Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán Nhà xuất giáo dục Hoàng Ngọc Hng Phạm Thị Bạch Ngọc 400 tập mở rộng Đai số 8.Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Dơng Đức Kim - Đỗ Duy Đồng Nâng cao phát triển Toán 8, tập Nhà xuất giáo dục Vũ Hữu Bình Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số Nhà xuất giáo dục Nguyễn Vũ Thanh Sinh viên: 72 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang [...]... Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó Chú ý: + Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x 1) + Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1) Ví dụ: * Đa thức : x3 5x2 + 8x 4 có 1 5 + 8 4 = 0 Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số ( x 1) * Đa thức: 5x3 5x2... Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó Bằng phơng pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toán t ơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M = x4 + 4y 4 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N = x4 + x2 + 1 Bài toán 1.3: Phân tích đa thức P = (1 + x 2 )2 4x(1 + x 2) 8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định: a)Phơng... hạng tử a) Phơng pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích Thông thờng hay đa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) a3 + b3 + c3 3abc 2) x5 1 3) 4x4 + 81 4) x8 + x4 + 1 Giải: Các hạng tử của các đa thức đã... đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử ( x a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra ac = 4 suy ra a là ớc của 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi Ước của ( 4) là 1; 1; 2; 2; 4; 4 Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức Suy ra đa thức chứa nhân tử ( x 1) Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân. .. giải các bài toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức f(x)=x3 6x2 +11x 6 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức g(x) = x 5 + 6x 4 + 13x 3 + 14x 2 + 12x + 8 Bài toán 1.3: Phân tích đa thức h(x) = 2x 4 + 7x 3 - 2x 2 - 13x + 6 ***Mở rộng: Định lý Bơdu (Bezout) Định lý Bơdu (Bezout) về nghiệm của một đa thức Nếu đa thức f(x) có thể phân tích thành nhân tử có nghĩa là có thể viết dới dạng f(x) = g(x)... B ài 1: Kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là: A (xy 2)(5x 2 15x) ; B y(x 2)(5x 2 15x) ; C y(x 2)5x(x 3) ; D ( xy 2y ) 5x ( x 3) ; Bài 2 : 2 Kết quả phân tích đa thức x (x y) (x y) thành nhân tử là: A (x y)x 2 ; B (x y)(x 2 + 1) ; C (x y)(x 1)(x + 1) ; Sinh viên: 31 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của... Kết quả phân tích đa thức 0,16 x 2 y 2 + 2xy thành nhân tử là: A 0,4(x y)(x y) ; B (0,4 + x y)(0,4 x y) ; C (0,4 + x y)(0,4 x + y) ; D (0,4 + x + y)(0,4 x y) ; Bài 4: Kết quả phân tích đa thức y 2 x 2 6x 9 thành nhân tử là: A y(x + 3)(x + 3) ; C (y + x + 3)(y + x 3) ; Bài 5: B (y + x + 3)(y x 3) ; D Cả 3 câu trên đều sai; Kết quả phân tích đa thức x(x 2) + x 2 thành nhân tử là A... 2) 2 x ; D (x 2)(x + 1) Kết quả phân tích đa thức x 2 y 2 2y 1 thành nhân tử là A (y + x + 1)(x y 1) ; C (x + 1)(y + 1)x ; B (x y)(x + y) 2y 1 ; D (y + x + 1)(x y + 1) ; Bài 7: Kết quả phân tích đa thức 8x 16x x 2 thành nhân tử là: A (x 4) 2 ; B (4 x) 2 ; C (x 4)(x 4) ; D (4 x)(x 4) ; Bài 8: Kết quả phân tích đa thức ax 2 ax ay 2 ay thành nhân tử là: A a(x 2 y 2 x y) ; B a(x... = x 4 8 x + 63 9 Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức: a) Phơng pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x a) thì a phải là nghiệm của đa thức Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x a) và Q(x) P(x)... toán, ta nên đa một biến phụ vào để việc giải bài toán đợc gọn gàng, tránh nhầm lẫn Đặt ẩn phụ để đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phơng pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12 Sinh viên: 11 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: 1) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng ... pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Ta thấy hạng tử đa thức nhân tử chung nên phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung Mặt khác ta thấy biểu thức đêù có dạng đẳng thức. .. phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Phần II NộI DUNG A Phân tích đa thức thành nhân tử Một số khái niệm : Đa thức Đa thức biểu thức đại số phép tính thực biến phép cộng, trừ, nhân (đa thức. .. nhân tử chung a) Phơng pháp : + Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt tất hạng tử đa thức + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đa nhân tử chung dấu ngoặc Các hạng tử