Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

Các cấu trúc nhóm có nhiều ứng dụng trong các ngành Toán như đại số tuyến tính, giải tích, phương trình đạo hàm riêng,… Vì lý do đó cùng với sự đam mê và lòng yêu thích Toán học em đã mạ

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu được rất nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - những người đã luôn chăm lo, dìu dắt chúng em trưởng thành như hôm nay

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th S

Nguyễn Thị Kiều Nga, cô đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt

quá trình hoàn thành khóa luận của mình

Do lần đầu tiên em được làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn nữa do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự giúp

đỡ, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên Cao Thị Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của bản thân em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn

tận tình của cô giáo Th S Nguyễn Thị Kiều Nga

Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Người cam đoan Sinh viên Cao Thị Hiền

MỤC LỤC

Lời mở đầu 1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Nhóm, tập sinh của nhóm 2

1.2 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp của nhóm 4

1.3 Lớp ghép trái, lớp ghép phải 6

1.4 Nhóm con chuẩn tắc và các điều kiện tương đương 7

1.5 Nhóm thương 7

1.6 Đồng cấu nhóm 8

1.7 Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm 10

Chương 2: Một số cấu trúc nhóm đặc biệt 11

2.1 Nhóm hữu hạn 11

2.2 Nhóm xyclic 28

2.3 Nhóm tự do 34

2.4 Nhóm giải được 38

2.5 Một số bài tập 43

Kết luận 52

Tài liệu tham khảo 53

LỜI MỞ ĐẦU

Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong Toán học, nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại Ngày nay như cầu học hỏi Toán học nói chung và đại số nói riêng của các thầy cô giáo dạy Toán, các bạn sinh viên khoa Toán cũng như nhiều người quan tâm đến môn Toán, ngày càng tăng

Đối tượng chủ yếu của đại số là các cấu trúc nhóm, vành, trường,… Trong đó nhóm là cấu trúc cơ bản, quan trọng, là cơ sở để xây dựng các cấu trúc khác Các cấu trúc nhóm có nhiều ứng dụng trong các ngành Toán như đại số tuyến tính, giải tích, phương trình đạo hàm riêng,…

Vì lý do đó cùng với sự đam mê và lòng yêu thích Toán học em đã

mạnh dạn chọn đề tài “Một số cấu trúc nhóm đặc biệt” để làm khóa

luận

Do khuôn khổ của luận văn nên phần nội dung của khóa luận chỉ trình bày một số cấu trúc nhóm cơ bản nhất

Nội dung của khóa luận gồm 2 chương:

 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

 Chương 2: Một số cấu trúc nhóm đặc biệt

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do điều kiện thời gian có hạn và khả năng còn nhiều hạn chế, cũng như lần đầu tiên được tiếp cận với nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong được sự quan tâm, góp ý, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nhóm, tập sinh của nhóm

1.1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản

a) Định nghĩa

Cho X là tập khác rỗng và   là phép toán hai ngôi trong X Khi

đóX là một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện:

i) (xy z) x yz( ), với mọi x y z, , X

ii) Tồn tại eX xe ex:  x , với mọi xX

iii) Với mỗi phần tử xX , luôn tồn tại 'x X sao cho:

' '

xx  x x e b) Chú ý

- Phần tử e trong ii) được gọi là phần tử đơn vị của X

- Phần tử 'x trong iii) được gọi là phần tử nghịch đảo của x trong

1) Phần tử đơn vị e của X được xác định duy nhất

2) Mỗi phần tử xX , tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo 1

x3) Trong nhóm có luật giản ước, với mọi a b x, , X:

4) Trong nhóm X , các phương trình ax (hoặc b yab) có nghiệm duy nhất 1

a) Định nghĩa

Cho X là một nhóm, A là một bộ phận ổn định của X A được gọi

là nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh lập thành một

nhóm

b) Điều kiện tương đương

Cho X là một nhóm, A X A là nhóm con của X khi và chỉ khi các điều kiện sau đây thỏa mãn:

c) Hệ quả

Cho X là một nhóm A khác rỗng và A X Khi đó các điều kiện sau tương đương:

i) A là nhóm con của nhóm X

ii) Với mọi x y, A thì xyA và x1A

iii) Với mọi x y, A thì xy1A

d) Tính chất

Giao của một họ bất kì những nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của X

1.1.3 Tập sinh của nhóm

a) Định nghĩa

Cho X là một nhóm, UX

Giao của tất cả các nhóm con của X chứa U là nhóm con bé nhất

của X chứa U , gọi là nhóm con sinh bởi tập U , kí hiệu U

Trong trường hợp U X thì U được gọi là tập sinh của nhóm

X và khi đó X được sinh ra bởi U

 Nếu U hữu hạn, U X thì X gọi là nhóm hữu hạn sinh

+) Nếu X không được sinh ra bởi một tập con thực sự nào của

U thì ta nói U là tập sinh cực tiểu của X

+) Một nhóm có thể có hai tập sinh cực tiểu với số phần tử khác nhau

Ví dụ: 6  1  2, 3

1.2 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp của nhóm

1.2.1 Định nghĩa

a) Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của 2 nhóm

Giả sử ,A B là các nhóm với phép toán nhân Trên tập tích Đề Các

a b c d,  ,   ac bd,  với mọi a b,  , c d,  A B

i) Nhóm A B cùng với phép toán trên lập thành một nhóm, gọi

là tích trực tiếp của hai nhóm A và B Kí hiệu A B

ii) Tích trực tiếp của hai nhóm A và B cũng được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm này Kí hiệu AB

b) Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm

 , gồm tất cả các phần tử ( )a i i I sao cho a i e i (e i là đơn

vị của G i ) hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i

Tương tự, có thể đồng nhất B với nhóm con  e A Bnhờ đơn cấu sau: B A B

6) Nhóm A B được sinh bởi tập AB Tức là A B  AB

7) A, B là các nhóm con chuẩn tắc của A B

Cho X là một nhóm, Hlà nhóm con của X Trên X ta xây dựng

hai quan hệ hai ngôi R và R như sau: Với mọi x y, X

 xRy khi và chỉ khi x y1 H

+) R và R là những quan hệ tương đương trên tập X

+) Lớp tương đương R x và   R x  của một phần tử xX được tính như sau:

Tập hợp xH được gọi là lớp ghép trái của Htrong X và tập hợp

Hx được gọi là lớp ghép phải của Htrong X Một phần tử trong một lớp ghép được gọi là một đại diện của lớp ghép đó

b) Nhận xét

Hai lớp ghép trái của A hoặc trùng nhau hoặc không có phần tử nào chung, các lớp ghép phải cũng vậy Như thế nhóm X được phân hoạch thành hợp rời của các lớp ghép trái (tương ứng các lớp ghép phải) 1.4 Nhóm con chuẩn tắc và các điều kiện tương đương

a) Định nghĩa

i) Cho X là một nhóm,Alà một nhóm con của nhóm X Khi đó

A được gọi là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X nếu với mọi xX và

b) Điều kiện tương đương

ChoA là một nhóm con của nhóm X Khi đó ta nói A là nhóm

con chuẩn tắc của nhóm X khi và chỉ khi xA  Ax, với mọi xX

c) Nhận xét

 ChoA là nhóm con của nhóm X , nếu xA thì xAAxA

 Mỗi nhóm X đều có hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường là

Khi đó X

A cùng với phép toán hai ngôi trên lập thành một nhóm, gọi là

nhóm thương của nhóm X trên nhóm con chuẩn tắc A

b) Chỉ số của nhóm con

Giả sử S là nhóm con (không nhất thiết chuẩn tắc) của nhóm X Lực lượng của tập X

S các lớp ghép trái của S trong X được gọi là chỉ số

của nhóm con S trong nhóm X và được kí hiệu là X S : 

 Khi đó Kcũng là một nhóm con chuẩn tắc và có duy nhất một đơn cấu nhóm : X X

    làm giao hoán biểu đồ sau:

Trong đó K và Klà các phép chiếu chính tắc

e) Hệ quả 1

Giả sử K là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm của nhóm X Khi

đó mỗi nhóm con chuẩn tắc của X

 

X K



chuẩn tắc của H và HK  KH là một nhóm con củaX Hơn nữa

Chú ý: Những bài toán yêu cầu tìm tất cả các ảnh đồng cấu của nhóm X

(chính xác tới một đẳng cấu) thường được quy về việc tìm tất cả các nhóm con chuẩn tắc Kcủa X và tính thương X

K

1.7 Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm

1.7.1 Cấp của nhóm

Định nghĩa

 Cấp của nhóm X là số phần tử của nhóm X nếu X hữu hạn

 Cấp của nhóm X   nếu X có vô hạn phần tử

Kí hiệu cấp của nhóm X là X hay C d Xar

1.7.2 Cấp của phần tử trong nhóm

Định nghĩa:

Cho X là một nhóm và aX Cấp của phần tử aX là cấp của a

Kí hiệu cấp của phần tử alà Ord a 

Nhận xét:

+) Ord e    1

+) Nếu a m a n, với mọi ,m n  , m n thì cấp của phân tử alà

vô hạn

+) Nếu tồn tại số nguyên dương mnhỏ nhất sao cho a m  thì e m

được gọi là cấp của a

Chương 2 MỘT SỐ CẤU TRÚC NHÓM ĐẶC BIỆT

2.1 Nhóm hữu hạn

2.1.1 Định nghĩa

 Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử

 Nhóm X được gọi là nhóm vô hạn nếu nó có vô hạn phần tử

Trước hết ta chứng minh aH  Ha  H , trong đó aH là lớp

ghép trái và Ha là lớp ghép phải của H trong X

Thật vậy, cho x là số phần tử tùy ý của X, xét ánh xạ:

:

hhx+) Vì với mọi h h,  H , giả sử hxh x suy ra hhnên f là một đơn ánh

Hơn nữa tất cả các lớp ghép trái (hoặc phải) lập thành một phân

hoạch trên nhóm hữu hạn X:

ii) Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm X nếu nó là

số mũ của mọi phần tử của X

Cấp x = cấp x , mà cấp x là ước của cấp của X Do đó ta có

điều phải chứng minh

Hệ quả 2: Cấp của một nhóm hữu hạn X là một số mũ của nó

Hệ quả 3: Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic

Ch ứng minh

Giả sử nhóm X có X  p là một số nguyên tố

Vì p 1 nên có phần tử a  trong X Nhóm xyclic e a có cấp

1

n  (vì a ) Suy ra e n là một ước của p Nhưng p nguyên tố nên

n p Do đó X  a

Hệ quả 4: (Định lý nhỏ của Fermat)

Nếu p là một số nguyên tố, a là một số nguyên bất kì thì p

a a chia hết cho p

nghĩa như sau: x y xy Thật vậy:

+) Phép nhân được xác định như trên có tính kết hợp và có đơn vị

là 1

+) Vì p là một số nguyên tố nên p và x nguyên tố cùng nhau (nếu

trái lại thì x 0 trong p) Do đó tồn tại k l,  :kx lp 1 Tức là 1

k x  hay  1 1 trong k *

p Như vậy mọi phần tử *

p

x  đều khả nghịch

Định lý Lagrange có thể tổng quát như sau:

Định lý: Cho X là nhóm hữu hạn, giả sử T là một nhóm con của H và H

là một nhóm con của X, trong đó X là một nhóm hữu hạn Khi đó:

nhóm, được gọi là nhóm đối xứng trên tập X

+) Mỗi nhóm con của S X được gọi là một nhóm các phép thế  

trên X

+) Nếu X 1, 2, ,nthì nhóm S X được kí hiệu đơn giản là S  n

và được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử hay nhóm đối xứng bậc n

Mỗi phần tử S n được biểu diễn như sau:

Cho X 1, 2, ,n Giả sử a a1, 2, ,a n là các phần tử đôi một

khác nhau trong X Phép thế S n được gọi là một vòng xích (hay một

chu trình) với độ dài k trên tập nền a a1, 2, ,a n (hay một vòng xích

iii) Ta gọi một chuyển trí (hay một phép thế sơ cấp) là một phép

thế sao cho với i thì j

ta bỏ qua phép thế là vòng xích cấp 1

nếu ki j,

3) Một vòng xích cấp k hay còn gọi là phép xoay vòng cấp k

4) Nếu  là một vòng xích cấp k thì k là số nguyên dương nhỏ

nhất sao cho k

e

  5) Hai vòng xích  1, 2 tác động lên hai bộ phận rời nhau của một phép thế là giao hoán, những vòng xích như thế không có phần tử nào chung, chúng gọi là những vòng xích độc lập

có 2 khả năng chọn n1 Có 1 khả năng chọn  n Số cách chọn (hay số khả năng chọn)  1 , 2 , , n chính là số phần tử của S n

Mọi phép thế S n đều là tích của tất cả các xích khác nhau của

nó Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của tập

1, 2, , 

Chứng minh

Với mọi x1 X nếu  x1 x1thì x1 là một xích của 

Trái lại, nếu  x1  x1 ta đặt x2  x1

Giả sử x x1, 2  x1 , , x k x k1 là những phần tử đôi một khác nhau, còn  x k thì trùng với một trong các phần tử x x1, 2, , x k

Ta chứng minh  x k x1 Thật vậy, nếu x k x ivới i 1 thì

 x k x i1

   Suy ra x k x i1 (mâu thuẫn giả thiết x x1, 2, , x k đôi một khác nhau)

Vậy x x1, 2, , x là một vòng xích của k 

Mỗi phần tử của tập X đều thuộc một tập con, là tập nền của một

xích của  Hai tập con như thế nếu có một phần tử chung thì phải trùng nhau Thật vậy, phương trình ( )x y hoàn toàn xác định y theo xvà

x theo y (do là song ánh)

Nhận xét : Khi phép thế của S n được viết dưới dạng tích các xích độc

lập thì thứ tự của các xích ở trong tích là không quan trọng

   , ở đây i  được lấy theo mođun k, tức là không phân biệt j

i j với phần dư của nó trong phép chia cho k Do đó t 

i i

  , với mọi i nếu và chỉ nếu t là một bội của độ dài của mọi xích của Số dương nhỏ nhất có tính chất đó là cấp của

Mọi nhóm X (hữu hạn hay vô hạn) đều đẳng cấu với một nhóm

các phép thế nào đó trên các phần tử của X

Chứng minh

Định lý có thể phát biểu lại: “Với mọi nhóm X (hữu hạn hay vô

hạn) có một đơn cấu nhóm X S X  từ X vào nhóm đối xứng trên tập X”

Với mỗi aX , xét phép tịnh tiến trái bởi a:

:

a

xaxKhi đó L aS X  Thật vậy:

+) Vì với mọi x y, X , giả sử axay  x y (luật giản ước) nên L alà một đơn ánh

+) Vì với mọi zX ta có  1 

a

L a z z

 nên L a là một toàn ánh

Cho X là nhóm hữu hạn cấp n Khi đó X đẳng cấu với một nhóm

con của nhóm đối xứng S n

+) Nếu nm thì có một phép nhúng các nhóm S n S m Như vậy

phép nhúng X S m đối với mỗi nhóm hữu hạn X có cấp X m +) Có nhiều phép nhúng X S m khác nhau

Tổng quát: Có nhiều đồng cấu X S m Mỗi đồng cấu X S m

được gọi là một biểu diễn hoán vị của X (trên m phần tử)

a.1) Dấu của phép thế

Với mỗi phép thế S n, ta gọi dấu của phép thế  , kí hiệu là

 Nếu sgn   thì  được gọi là phép thế chẵn 1

 Nếu sgn    thì  được gọi là phép thế lẻ 1

a.2) Nhóm thay phiên

Nhóm A n tất cả các phép thế chẵn trên tập 1, 2, , n được gọi là 

nhóm thay phiên trên n phần tử, với n 2

A

S là một nhóm xyclic cấp 2

Mà Kersgn là nhóm con chuẩn tắc của S n

Cố định mọi phép thế lẻ, chẳng hạn  1 2S n Khi đó mỗi phép thế trong A n đều lẻ, bởi sgn là một đồng cấu nhóm Hơn nữa mọi phép thể lẻ  đều thuộc A n , vì  1 

Với mỗi phép thế S n là một song ánh trên tập 1, 2, , n nên 

mỗi phần tử ji xuất hiện trong tích      

iii) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con Sylow của X nếu

H vừa là một p - nhóm con của X và n

H  p là lũy thừa cao nhất của p

+) Ta gọi quỹ đạo của xX dưới tác động của X là tập hợp tất

cả các phần tử liên hợp của x, kí hiệu Orb x  

Hệ quả là số phần tử của quỹ đạo Orb x bằng chỉ số   X G : x

Vì x là hợp rời của các quỹ đạo nên X  X G: x (ở đây tổng được

lấy trên các đại diện x của các quỹ đạo)

2) Quỹ đạo của zX chỉ có một phần tử nếu và chỉ nếu

1

 , với mọi gX tức là khi và chỉ khi z thuộc tâm Z của nhóm

X Khi đó ta có thể viết lại đẳng thức ở trên với X như sau:

X  Z  X G: x

Trong đó tổng  được lấy theo đại diện của các quỹ đạo có số phần tử

X G  Còn Z là số phần tử mà quỹ đạo của nó chỉ gồm một phần : x 1

:

+) Ta có f1 , f2 , f là những nhóm con của 3 S , chúng đều có 3

cấp bằng 2 nên f1 , f2 , f là các 2 - nhóm con của 3 S , đồng thời ta 3

f  f  f  là lũy thừa lớn nhất của 2 chia hết S  do 3 6

đó chúng cũng là 2 - nhóm con sylow của S 3

+) Tương tự ta có: f4  f5 là 3 - nhóm con Sylow của S3 Vì

Giả sử X là một nhóm Abel hữu hạn cấp m và p là một số nguyên

tố chia hết m Khi đó X chứa một nhóm con cấp p

Chứng minh

Trước tiên ta chứng minh mệnh đề sau: “Nếu có số nguyên dương

n sao cho với mọi xX ta đều có n

x  thì X chia hết cho một lũy e

thừa nào đó của n” Chứng minh bằng quy nạp theo cấp của X Thật

vậy,