Một số kết quả về đa giác

Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số kết quả về đa giác” Đề tài này nhằm mục đích sưu tầm và khái quát hóa các dạng toán liên quan đến đa giác và diện tích đa giác để g

LỜI CAM ĐOAN

 

 

       Tôi xin cam đoan đề tài “ MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐA GIÁC “ là kết  quả  mà  tôi  đã  trực  tiếp  tìm  tòi  nghiên  cứu.  Trong  quá  trình  nghiên cứu tôi đã sử dụng lài liệu của một số tác giả. Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở 

để tôi rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình. Đây là kết quả của cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác.       Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 

LỜI CẢM ƠN 

 

       Em  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  tới  Thầy  giáo  Bùi  Văn  Bình, người đã  hướng  dẫn  em  tận tình,  chu  đáo trong  suốt  quá  trình  em  thực hiện đề tài này. 

 

      Em  cũng  xin  chân  thành  cảm  ơn  các  thầy  cô  giáo  trong  tổ  Hình Học,  Ban  Chủ  Nhiệm  Khoa  Toán,  Ban  Quản  lí  Trường  Đại  Học  Sư Phạm  Hà  Nội  2  đã  tạo  điều  kiện  thuận  lợi  cho  em  trong  suốt  quá  trình  học tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp em thực hiên khóa luận này.  

  Đề tài của em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết và thu thập tài liệu cũng đã có những cách giải sáng tạo của cá nhân nhưng còn hạn chế  Với thời gian và năng lực còn hạn chế nhưng em hy vọng đề  tài sẽ giúp ích nho nhỏ cho người đọc và mong mọi người đóng góp ý kiến để khóa luận  được  hoàn  thiện  hơn.  Và em  hy  vọng  qua  đề  tài  này  những  người yêu Toán sẽ có thái độ đúng đắn và sâu sắc hơn. 

MỤC LỤC  

MỞ ĐẦU 1

1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI   1 

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU   2 

3. NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.   2 

4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.   2 

5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.   2 

6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC   2

I LÝ THUYẾT 3

1. Các định nghĩa.   3

2. Miền trong, điểm trong của đa giác.   4

3.Các tính chất của đa giác   4

4. Đường chéo của đa giác   6

5. Cách gọi tên đa giác.   6

6.Đường tròn ngoại tiếp   7

II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 7

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 9

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN 9

1. Tính số cạnh của một đa giác.   9

2. Tính số đo góc trong đa giác.   13

3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác.   19

4. Diện tích đa giác.   24

4.1 Hàm diện tích:   24

4.2 Diện tích đa giác đơn.   24

4.3 Diện tích của các hình phẳng.   24

b. Hình khả diện.   24

c. Các tính chất của diện tích đa giác.   24

4.4 Các công thức tính diện tích   25

5. Các khoảng cách trong đa giác   31

6.Ứng dụng của định lí Ptoleme vào giải bài toán đa giác   35

6.1 Nội dung và lí thuyết.   35

6.2 Áp dụng   36

6.2.1 Bất đẳng thức Ptoleme và những kết quả kinh điển   36

IV KẾT LUẬN 47

V TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

     

 

 Đa  giác  là  một  chương  quan  trọng  trong  chương  trình  hình  học  trung học cơ sở nói chung và hình học 8 nói riêng.Nó cung cấp cho học sinh cách nhìn tổng quan về hình học. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu là:  

“Một số kết quả về đa giác”

      Đề tài này nhằm mục đích sưu tầm và  khái quát hóa các dạng toán liên quan đến đa giác và diện tích đa giác để giúp cho người đọc có cái nhìn hệ thống về lĩnh vực này ; giúp các em học sinh và phụ huynh có tài liệu hữu ích để tham khao, nghiên cứu cũng như phục vụ nhu cầu giảng dạy của những sinh viên sư phạm chúng em sau này. 

      

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

       Đưa ra một số kết quả mang tính chất hệ thống là tài liệu giúp học sinh, phụ huynh có thể tra cứu, tham khảo nhằm góp phần nâng cao việc giảng dạy và học.  

3 NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

3.1 Xác định các căn cứ xây dựng hệ thống và cấu trúc hệ thống các kết quả về đa giác. 

3.2  Xây  dựng  và  phân  loại  các  hệ  thống  bài  tập  và  phương  pháp  giải nhằm rèn luyện cho học sinh các kĩ năng trong việc giải các bài toán đa giác. 

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

4.1 Đối tượng nghiên cứu :các kết quả về đa giác, các bài toán áp dụng  với cách giải cụ thể. 

4.2 Phạm vi nghiên cứu : các kết quả về bài toán đa giác. 

5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các sách,báo, tạp chí,các công trình nghiên cứu,một số đề thi học  sinh giỏi các quốc gia … có liên quan đến 

đề tài. 

5.2 Thực hành giải toán : Giải các bài toán liên quan tới các kết quả bài toán  đa giác đưa ra. 

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

         Nếu biết xây dựng hệ thống các kết quả, các bài tập áp dụng cụ thể 

rõ ràng  thì đề tài sẽ là một tài liệu hữu ích, thích hợp,chủ động nâng cao chất  lượng  học  tập  của  học  sinh  và  giảng  dạy  của  thầy  cô,tạo  tiềm  lực phát triển năng lực học toán cho các em. 

 

 

     Các điểm  Ai gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n+1 đỉnh), còn các  đoạn  thẳng  A Ai i1  gọi  là  các  cạnh  của  đường  gấp  khúc.  Từ  định nghĩa trên ta suy ra ba đỉnh liên tiếp Ai1, Ai và  Ai1 không thẳng hàng, 

    Đa giác như thế kí hiệu là A A1 2 An1. Đa giácn cạnh còn gọi là n  giác. 

    Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng A Ai i1 gọi là các cạnh của đa giác. Góc A A Ai1 i i1 gọi là góc của đa giác ở đỉnh Ai. 

c) Đa giác đơn : Đa giác đơn là đa giác mà bất kỳ hai cạnh không liên 

2 Miền trong, điểm trong của đa giác

a) Định lí Jordan: Cho H là đa giác nằm trong mặt phẳng P. Khi đó tập 

hợp P\H là hợp của hai tập hợp H0 và H, có các tính chất sau đây:     i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đó đều có thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc không có điểm chung với H.      ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập hợp H0 và 

i) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm trong của đa giác H là có một lân cận  của A chứa trong H0, nói khác đi có  > 0 sao cho

,

A   H  

     Thật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta có thể chọn   là số dương, sao cho   < AM với mọi điểm M  H. Khi đó nếu điểm B   A ,   thì hiển nhiên đoạn thẳng AB cũng không cắt H. Vì A là điểm trong nên B cũng là điểm trong. 

     Ngược  lại  nếu  điểm  A  có  lân  cận   0

,

A   H   thì  cố  nhiên  A H0 tức A là điểm trong. 

ii) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là có một lân cận

 của A chứa trong H :  A ,    H

     Vì    lân  cận A ,    phải  chứa  cả  điểm  ngoài  và  cả  điểm  trong  nên  ta suy ra: Một trong hai phần đó chứa  trong H0, và phần kia chứa trong 

H   

       Định nghĩa : Đỉnh A gọi là đỉnh lồi nếu phần I chứa trong H0, và gọi là đỉnh lõm nếu phần II chứa trong H.  

        Định lí : Mỗi đa giác có ít nhất là một đỉnh lồi. 

4 Đường chéo của đa giác

ĐN: Một  đoạn  thẳng  nối  2  đỉnh  không  kề  nhau  của  một  đa  giác  gọi  là đường chéo của đa giác đó. 

ĐL: Bằng  một  đường  chéo  thích  hợp  mọi  n  –  giác  đơn  có  thể  phân hoạch thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn  

5 Cách gọi tên đa giác

Đa giác thường được gọi theo số cạnh của nó, người Việt thường dùng các từ chỉ số lượng Hán- Việt. Ví dụ: 

6.Đường tròn ngoại tiếp

Một khái niệm có liên quan là bao tròn nhỏ nhất, đó là đường tròn nhỏ nhất chứa toàn bộ đa giác ở bên trong. Không phải  mọi đa giác đều có đường tròn ngoại tiếp thì, nhưng mọi đa giác đều có bao tròn nhỏ nhất. Thậm chí một đa giác có đường tròn ngoại tiếp thì đường tròn đó có thể trùng  với  bao  tròn  nhỏ  nhất;  ví  dụ,  một  tam  giác  tù,  bao  tròn nhỏ  nhất của  nó  có  đường  kính  là  một  cạnh  nhưng  nó  không  đi  qua  đỉnh  góc  tù của tam giác. 

II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC VD1: Cho hình n_ giác lồi. 

     Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)1800. Giải:   

         Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó. 

  Khi  đó  các  đường  chéo  và  các  cạnh  của  đa  giác  tạo  thành  n  –  2 tam giác. 

         Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác. 

  Cách  1:  Từ  mỗi  đỉnh  của  hình  n_  giác  ta  có  thể  vẽ  được  (n  -  1) đoạn thẳng nối từ đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó 

  +  Với n  đỉnh ta  vẽ được  n(n  -  1)  đoạn  thẳng (trong đó  mỗi đoạn 

thẳng được tính 2 lần) => số đoạn thẳng thực sự  là  ( 1)

2

n n 

.   +  Mặt  khác  trong  số  này  có  n  đoạn  thẳng  là  cạnh  của  hình  n  _ giác. 

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN

TRONG ĐA GIÁC

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN

1 Tính số cạnh của một đa giác

  Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A của nó bằng 5700. Tính số cạnh của đa giác đó và A 

  Sau đó với mỗi hình chữ nhật ta cắt đúng 16 lần để được 1 hình đa giác 20 cạnh. 

2  đa giác. Chứng minh: 

  a. n = 1 ta có: P1 = 1+ 1 + 2

2  = 2, tức là một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần  mệnh đề nói đúng với n = 1. 

  Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng. 

  Giả  sử  ta  có  n  đường  thẳng  d1,  d2,  …dn,  thoả  mãn  điều  kiện  bài toán. 

  Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn- 1 nên n -1 đường  thẳng  đó  chia  mặt  phẳng  thành  Pn  phần  với  Pn  = 

(n - 1) + (n - 1) + 2 n - n + 2

=

  Đường thẳng dn bị  n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n  phần (trong đó có n – 2 đoạn thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là 1, 2,…. 

3 - 3.3 + 2

Q = 

2  = 1 tức là trong số phần mà là 3 đường thẳng (đôi một cắt nhau và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có một phần là tam giác  Mệnh đề b đúng khi n = 3. 

  Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n  4) 

và ta chứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng. 

  Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đôi một cắt nhau và không 

có 3 đường thẳng nào đồng quy). Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn -1 nên trong số phần chúng phân chia mặt phẳng có :  

Bài tập đề nghị: 

Bài 1: Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp bằng nhau là ngũ giác đều. 

Bài 2: Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiệu giữa đường chéo lớn nhất và nhỏ nhất bằng cạnh của nó. 

Bài 3: a. Tìm số n sao cho trong mặt phẳng có thể được phủ kín bởi đa giác đều có n cạnh. 

b. Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng không? 

Bài  4:  Cho  lục  giác  đều  ABCDEF.  Gọi  A’,  B’,C’,D’,E’,F’  lần  lượt  là trung  điểm  của  các  cạnh  AB,BC,CD,  DE,  EF,  FA.  Chứng  minh  rằng A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều. 

2 Tính số đo góc trong đa giác

4  

b. Lấy một điểm 0 bất kì trong mặt phẳng của ngũ giác. Vẽ năm đường thẳng  song  song  với  các  đường  chéo  của  ngũ  giác,  chúng  tạo  thành  10 

A B

C D

E

F

15o

góc không có điểm chung, có tổng bằng 3600. Vì vậy tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 360. 

Bài  3:  Cho  hình  vuông  ABCD.  Lấy  một  điểm  E  thuộc  miền  trong  của hình  vuông  sao  cho  EAB  =  EBA  =  150.  Chứng 

minh rằng ΔCDE đều. 

Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn. 

Bài  5:  Cho  ngũ  giác  lồi  ABCDE  có  tất  cả  các  cạnh  bằng  nhau  và 

ABC = 2DBE. Hãy tính ABC. 

Thay vào (1) ta được: 900 - EAB

2  + 900 - 

2

BCD = 1

Giải: 

  + Tổng các góc trong của lục giác bằng : (6 - 2).1800 = 7200.   + Đặt α = A - B = B - C = D - E = E - F 

  Ta có A + B + C + D + E + F = 7200. 

Bài 5: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và 

EF, CD và AE vừa song song vừa bằng nhau. Lục giác ABCDEF có nhất thiếy là lục giác đều hay không? 

Bài 6: Cho lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau. Chứng  minh rằng hiệu giữa các cạnh đối diện thì bằng nhau. 

Bài 7: Cho ABC với AB = BC và ABC = 800. Lấy trong tam giác đó điểm I sao cho IAC = 100 và ICA = 300. Tính AIB. 

Bài  8:  Cho  Δ ABC,kẻ  các  đường  phân  giác  trong  BD  và  CE.  Hãy  xác định các góc  A ,  B ,  C  biết BDE = 240 và CED = 180. 

Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB 

và BC tương ứng sao cho BP = BQ. Giả sử H là chân đường vuông góc 

hạ từ điểm B xuống cạnh PC. Chứng minh rằng DHQ = 1v. 

Bài 10: Cho hình thang cân ABCD( BC AD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. 

Bài 12: Khoảng cách giữa 2 chân đường vuông góc hạ từ một đỉnh của hình  thoi  xuống  hai  cạnh  của  nó  bằng  ½  độ  dài  đường  chéo  của  hình thoi. Tính các góc của hình thoi. 

Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính BMK. 

Bài  14:  Cho  tứ  giác  lồi  ABCD,  biết  B + C 200,  BD180, 

BAC   CAD  ABD  CBD   Tính số đo của  BCD  

3 Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác

Chằng hạn: 

+ Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là 

10(10 3)

35 2

+ Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số đường chéo không? 

+ Tương tự như vậy chúng ta cũng có thể trả lời được những câu hỏi như 

có tồn tại hay không đa giác có số đường chéo lớn gấp k lần số cạnh hay 

là tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo nằm trong một khoảng xác đinh. 

2 SABCDEF  SEDCB= SEDI+ SDIKC+ SBKC. + H’ = BE  KI  SBKH' = SEIH'  BI // KE 

I

K H

S P S P

Bài  2:  Một  cuộc  hội nghị  gồm  20  người  ngồi  xung  quanh  1  chiếc  bàn. Thật  tình  cờ  những  người  không  biết  nhau  đều  không  ngồi  cạnh  nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp không biết nhau (dựa vào bài toán xác định 

số đường chéo của 1 đa giác). 

Bài 3: Cho đa giác n cạnh (n > 3). Có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là ba đường chéo của đa giác. 

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD) 

a. Đường thẳng m song song với đáy và qua giao điểm O của hai đường chéo cắt các cạnh bên ở E và F. Chứng minh: OE = OF. 

b. Đường thẳng n song song với đáy và cắt 2 đường chéo ở H và K, cắt hai cạnh bên ở M,N. Chứng minh rằng NH = KN. 

Bài  5:  Chứng  minh  rằng  có  vô  số  hình  bình  hành  MNPQ  nội  tiếp  một hình bình  hành ABCD cho  trước (mỗi  đỉnh  của  hình  bình  hành  MNPQ nằm  trên  mỗi  cạnh  của  hình  bình  hành  ABCD)  và  các  hình  bình  hành này có chung tâm đối xứng. 

4 Diện tích đa giác

4.1 Hàm diện tích:

là tập hợp tất cả các đa giác đơn trong mặt phẳng ánh xạ S:  R+ (R+ là tập hợp tất cả các số thực dương) gọi là hàm diện tích nếu nó thoả mãn các tính chất sau đây. 

b Hình khả diện

  + ĐN: Một hình X gọi là khả diện (có diện tích) nếu với mọi ε > 0 cho trước luôn luôn có các hình đơn giản G và H sao cho G X H và S(H) – S(G) < ε. 

  + Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích bằng một đơn vị vuông. 

Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD, qua giao điểm O của 2 đường chéo ta kẻ 

2  đường  thẳng  vuông  góc  MON  và  POQ  cắt  các  cạnh  AD,BC,CD,AB theo thứ tự tại M,N,P,Q. Chứng minh rằng 2 đường thẳng này chia hình vuông thành 4 tứ giác có diện tích bằng nhau. 

  + Chứng minh tương tự ta có: 

      SOAQ = SONB = SOPC = SOMD. 

+ Các tứ giác AMOQ, BNOQ,CNOP,DPOM trong đó mỗi tứ giác được chia thành 2 tam giác không có điểm trong chung nên diện tích của mỗi 

tứ giác sẽ bằng tổng diện tích 2 tam giác đó. 

Vậy SAMOQ = SBNOQ = SCNOP = SDPOM  đpcm. 

Bài 2: Trong lục giác lồi A1A2A3A4A5A6 có từng cặp cạnh đối song song với nhau. 

Vậy  tồn  tại  một  hình  bình  hành  có  diện  tích  bằng  diện  tích  tứ  giác  đã cho. 

Bài 4: Giả sử M là một điểm bất kì trong tam giác ABC. Qua M kẻ các đường thẳng DE,IJ,FG lần lượt song song với BC,CA,AB (trong đó G, J 

 BC, E, F  CA; D, I  AB). Chứng minh rằng:  

Giải: 

A G

  + Chứng minh tương tự ta có: SCEMJ= 2 SMEFSJGM   (8) 

Từ (7), (8), (9) và áp dụng bất đẳng thức xy + yz + zx  x2 + y2 + z2 ta 

 

F

E

C J

G B

D I