Một số kết quả về đa giác

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đề tài “ MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐA GIÁC “ kết mà trực tiếp tìm tòi nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng lài liệu số tác giả Tuy nhiên, sở để tơi rút vấn đề cần tìm hiểu đề tài Đây kết cá nhân tơi, hồn tồn khơng trùng với kết tác giả khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Liên Hoàng Thị Liên Lớp K35 - CN Toán LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo Bùi Văn Bình, người hướng dẫn em tận tình, chu đáo suốt trình em thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Hình Học, Ban Chủ Nhiệm Khoa Tốn, Ban Quản lí Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập trường bốn năm vừa qua giúp em thực hiên khóa luận Đề tài em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết thu thập tài liệu có cách giải sáng tạo cá nhân hạn chế Với thời gian lực hạn chế em hy vọng đề tài giúp ích nho nhỏ cho người đọc mong người đóng góp ý kiến để khóa luận hồn thiện Và em hy vọng qua đề tài người u Tốn có thái độ đắn sâu sắc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Liên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3.NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 4.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC I LÝ THUYẾT Các định nghĩa .3 Miền trong, điểm đa giác .4 3.Các tính chất đa giác 4 Đường chéo đa giác .6 Cách gọi tên đa giác .6 6.Đường tròn ngoại tiếp II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TỐN TRONG ĐA GIÁC IV MỘT SỐ BÀI TOÁN .9 Tính số cạnh đa giác .9 Tính số đo góc đa giác 13 Bài Toán liên quan đến đường chéo đa giác 19 Diện tích đa giác 24 4.1 Hàm diện tích 24 4.2 Diện tích đa giác đơn .24 4.3 Diện tích hình phẳng 24 a Hình đơn giản 24 b Hình khả diện .24 c Các tính chất diện tích đa giác .24 4.4 Các cơng thức tính diện tích 25 Các khoảng cách đa giác 31 6.Ứng dụng định lí Ptoleme vào giải tốn đa giác .35 6.1 Nội dung lí thuyết .35 6.2 Áp dụng 36 6.2.1 Bất đẳng thức Ptoleme kết kinh điển 36 IV KẾT LUẬN 47 V TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU 1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong mơn học học sinh mơn Tốn có ý nghĩa vị trí đặc biệt quan trọng.Tốn học với tư cách khoa học nghiên cứu số mặt giới thực,nó có hệ thống khái niệm, quy luật có phương pháp riêng Hệ thống ln phát triển q trình nhận thức giới đưa kết tri thức toán học Những tri thức toán học, kĩ toán học phương pháp toán học trở thành cơng cụ tốn học giúp học sinh ứng dụng khoa học vào thực tiễn, đồng thời phát triển tư nhân cách học sinh Đa giác chương quan trọng chương trình hình học trung học sở nói chung hình học nói riêng.Nó cung cấp cho học sinh cách nhìn tổng quan hình học Chính em chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số kết đa giác” Đề tài nhằm mục đích sưu tầm khái qt hóa dạng tốn liên quan đến đa giác diện tích đa giác để giúp cho người đọc có nhìn hệ thống lĩnh vực ; giúp em học sinh phụ huynh có tài liệu hữu ích để tham khao, nghiên cứu phục vụ nhu cầu giảng dạy sinh viên sư phạm chúng em sau Hoàng Thị Liên Lớp K35 - CN Tốn 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đưa số kết mang tính chất hệ thống tài liệu giúp học sinh, phụ huynh tra cứu, tham khảo nhằm góp phần nâng cao việc giảng dạy học 3.NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1 Xác định xây dựng hệ thống cấu trúc hệ thống kết đa giác 3.2 Xây dựng phân loại hệ thống tập phương pháp giải nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ việc giải toán đa giác 4.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4.1 Đối tượng nghiên cứu :các kết đa giác, toán áp dụng với cách giải cụ thể 4.2 Phạm vi nghiên cứu : kết toán đa giác 5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu sách,báo, tạp chí,các cơng trình nghiên cứu,một số đề thi học sinh giỏi quốc gia … có liên quan đến đề tài 5.2 Thực hành giải toán : Giải toán liên quan tới kết toán đa giác đưa GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu biết xây dựng hệ thống kết quả, tập áp dụng cụ thể rõ ràng đề tài tài liệu hữu ích, thích hợp,chủ động nâng cao chất lượng học tập học sinh giảng dạy thầy cô,tạo tiềm lực phát triển lực học toán cho em I LÝ THUYẾT Các định nghĩa a) Đường gấp khúc : Đường gấp khúc n cạnh hình hợp thành đoạn thẳng Ai1 Ai A1 A2 , A2 A3 , , An An1 , hai đoạn thẳng liên tiếp Ai Ai1 không nằm đường thẳng ( i  2,3, , n ) Đường gấp khúc kí hiệu Các điểm A1A2 An1 Ai gọi đỉnh đường gấp khúc (có n+1 đỉnh), đoạn thẳng Ai Ai1 gọi cạnh đường gấp khúc Từ định nghĩa ta suy ba đỉnh liên tiếp Ai1 , Ai và hai cạnh liên tiếp Ai Ai1 Ai Ai1 không thẳng hàng, Ai Ai1 có điểm chung đỉnh b) Đa giác : Đa giác n cạnh đường gấp khúc n cạnh ( n  ) A1 A2 An1 A1 A2 cho đỉnh đầu A1 đỉnh cuối trùng nhau, cạnh đầu An1 cạnh cuối An An1 (cũng coi hai cạnh liên tiếp)không nằm đường thẳng Đa giác kí hiệu A1 A2 An1 Đa giác n cạnh gọi n  giác Các điểm Ai gọi đỉnh đa giác, đoạn thẳng Ai Ai1 gọi cạnh đa giác Góc Ai1 Ai Ai1 gọi góc đa giác Ai đỉnh c) Đa giác đơn : Đa giác đơn đa giác mà hai cạnh không liên tiếp khơng có điểm chung d) Đa giác lồi : Đa giác lồi đa giác mà nằm phía đường thẳng chứa cạnh đa giác e) Đa giác : đa giác có tất cạnh chúng tất góc chúng Miền trong, điểm đa giác a) Định lí Jordan: Cho H đa giác nằm mặt phẳng P Khi tập hợp P\H hợp hai tập hợp H  H , có tính chất sau đây: i) Bất kì hai điểm thuộc vào hai tập hợp nối với đường gấp khúc khơng có điểm chung với H ii)Một đường gấp khúc nối hai điểm thuộc hai tập hợp H  H ln có điểm chung với H Tập H iii) không chứa đường thẳng nào, tập H  có chứa đường thẳng b) Định nghĩa : Tập H nói định lí Jordan gọi miền đa giác H  Tập H gọi miền đa giác H Mỗi điểm H gọi điểm đa giác H Mỗi điểm thuộc  H gọi điểm đa giác H Tập H  H = P\ H  gọi miền đa giác H, đơn giản miền đa giác H Miền đa giác H kí hiệu  H  3.Các tính chất đa giác a) Trong mặt phẳng cho điểm A số  > 0, tập hợp tất điểm cách A khoảng cho Thật vậy, A điểm H, ta chọn  số dương, cho  < AM với điểm M  H Khi điểm B   A,  hiển nhiên đoạn thẳng AB khơng cắt H Vì A điểm nên B điểm Ngược lại điểm A có lân cận  A,   H cố nhiên A H tức A điểm ii) Điều kiện cần đủ để điểm A điểm H có lân cận  A chứa H :  A,   H   Từ suy : iii) Nếu A H lân cận  A,  có chứa điểm điểm H b ) Cho A đỉnh đa giác H, hai cạnh có chung đỉnh A AB AC Ta lấy lân cận  A,  với  đủ nhỏ cho khơng có điểm chung với cạnh khác H hai cạnh AB AC Khi lân cận  A,  phân thành hai phần : phần nằm góc BAC mà ta kí hiệu phần I, phần nằm ngồi góc BAC mà ta kí hiệu phần II Hiển nhiên hai phần chứa điểm (tương ứng điểm ngoài) H điểm phần điểm (tương ứng điểm ngồi) H Vì lân cận A,  phải chứa điểm điểm nên ta suy ra: Một hai phần chứa H , phần chứa H Định nghĩa : Đỉnh A gọi đỉnh lồi phần I chứa  gọi đỉnh lõm phần II chứa H Định lí : Mỗi đa giác có đỉnh lồi H , Trong □ABC lấy điểm M cho: □ABD  M□ BC, A□DB  M□ CB Dễ dàng chứng minh: AD BAD  BMC   BD MC  AD.CB  BD.CM CB Cũng từ kết luận suy ra: AB  BD  D□BC  ABM , □ABM □ DBC  cgc BM BC BD AB   AB.CD  BD.AM  AM CD Áp dụng bất đẳng thức tam giác điều ta có: AD.BC  AB.DC  BD  AM  CM   BD.AC Vậy định lí Ptơ-lê-mê mở rộng chứng minh a.1.3 Định lí Ptơ-lê-mê tổng quát: Trong mặt phẳng định hướng cho đa giác tròn  O  M điểm thuộc cung A Khi : A  tan OA 0k n  OA  1k n Từ đó: 1  2k 2    tan  , OA  tan 1 A0 , A1 , , A2n (Không chứa A1 ; ; A2n1 ) 2n 2k 2 2k 3  OA  ,OA 2k 1   2k  , OA  4  OA , OA    2k   tan OA 2k nội tiếp đường 2k 1 2k 1 A1  A2n , A2  A2n1 , A2n1  A0 , A _ 2n  2  A1 OA  2k 1 6.2 Áp dụng 6.2.1 Bất đẳng thức Ptoleme kết kinh điển Điểm Toricelli: Xét toán “Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm M mặt phẳng tam giác cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất” Điểm M tìm được gọi điểm Toricelli tam giác ABC Có thể giải ngắn gọn tốn cách sử dụng bất đẳng thức Ptoleme sau: Trên cạnh BC, dựng phía ngồi tam giác BCA’ Áp dụng bất đẳng thức Ptoleme cho tứ giác MBA’C ta có BM.CA’ + CM.BA’  BC.MA’ Từ đó, CA’ = BA’ = BC nên ta BM + CM  MA’ Như AM + BM + CM  MA + MA’  AA’ Tức AM + BM + CM  AA’ (là số) Dấu xảy Tứ giác BMCA’ nội tiếp M nằm A A’ Dễ thấy ta tìm điểm M thoả mãn hai điều kiện tất góc tam giác ABC khơng lớn 120 Nếu chẳng hạn, góc A > 120 điểm M cần tìm điểm A Bất đẳng thức Erdos-Mordell Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Đặt x1 = MA, x2 = MB, x3 = MC; p1, p2, p3 khoảng cách từ M đến BC, CA, AB tương ứng Khi ta có bất đẳng thức x1 + x2 + x3  2(p1 + p2 + p3) Có nhiều cách chứng minh kết kinh điển Sau trình bày phương pháp chứng minh sử dụng định lý Ptoleme Nối dài AM cắt đường tròn nội tiếp tam giác A’ Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ABA’C, ta có AB.CA’ + AC.BA’ = BC.AA’ Hạ A’D vng góc với AC A’E vng góc với AB rõ ràng A’B  A’E, A’C  A’D Do a.AA’ c.A’D + b.A’E Hay A' D c A' E b  AA' a  AA' a Nhưng A’D/AA’ = p2/x1 A’E/AA’ = p3/x1 Nên từ c b x p p a a Tương tự ta có đánh giá cho x2, x3, từ c x1  x2  x3  p1  b  b c a b a    p3     2( p1  p2  p3 )   p2  c a c a b Dấu xảy tam giác ABC M trùng với tâm O tam giác Những ví dụ lần cho thấy gần gũi bất đẳng thức Ptoleme bất đẳng thức tam giác Sau đây, ta xem xét số ứng dụng định lý Ptoleme tứ giác nội tiếp việc chứng minh số công thức lượng giác hình học Cơng thức tính sin(+) Với + góc nhọn, dựng đường tròn đường kính AC chọn điểm B D nằm hai nửa đường tròn, cho BAC = , DAC =  Áp dụng định lý Ptoleme, ta có AB.CD + AD.BC = AC.BD (7) Mặt khác, áp dụng định nghĩa hàm số lượng giác, ta có AB = AC.cos, BC = AC.sin, CD = AC.sin, DA = AC.cos Cuối cùng, áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABD, ta BD = AC.sin(+) Thay vào (7), ta sin(+) = sin.cos + sin.cos Định lý Pythagore Xét hình chữ nhật ABCD Rõ ràng tứ giác nội tiếp Vì ta có AB.CD + AD.BC = AC.BD Do AB = CD, AD = BC nên từ suy 2 AB + BC = AC (đpcm) Định lý hàm số cos Xét tam giác ABC với cạnh BC = a, CA = b, AB = c Dựng điểm D đường tròn ngoại tiếp tam giác cho AD = BC AC = BD (D điểm đối xứng C qua trung trực AB) Gọi E F hình chiếu C D lên AB Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ABCD ta có AB.CD + AD.BC = AC.BD Mặt khác, CD = AB – AE – BF = AB – 2BC.cosB Thay CD = AB – 2BC.cosB, AD = BC, BD = AC vào, ta có 2 AB – 2AB.BC.cosB + BC = AC Hay b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB (đpcm) Hệ thức Feuerbach Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, 2 BD SACD = CD SABD + AD SBCD (8) Chứng minh: Theo cơng thức tính diện tích SACD = AC.AD.CD/4R, SABD = AB.AD.BD/4R ; SBCD = BC.BD.CD/4R Do (8) tương đương với 2 BD AC.AD.CD = CD AB.AD.BD + AD BC.BD.CD Hay AC.BD = AB.CD + AD.BC Như vậy, thấy định lý Ptolemy tương đương với hệ thức Feuerbach Định lý Carnot: Trong tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Gọi x, y, z khoảng cách từ O đến BC, CA, AB tương ứng Khi x+y+z=R+r r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh: Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB tương ứng Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp AEOF, ta AF.OE + AE.OF = AO.EF  c.y + b.z = R.a Tương tự c.x + az = R.b, ay + bx = R.c Cộng đẳng thức vế theo vế, ta (b+c)x + (c+a)y + (a+b)z = R(a+b+c)  (a+b+c)(x+y+z) = R(a+b+c) + ax + by + cz  x+y+z=R+r (Vì ax + by + cz = 2SOBC + 2SOCA + 2SOAB = 2SABC r = S/p) Hoàng Thị Liên 61 Lớp K35 - CN Toán Viết dạng lượng giác, định lý Carnot hệ thức cosA + cosB + cosC = + r/R Chú ý hệ thức với tam giác Với hệ thức hình học, định lý Carnot trường hợp tam giác tù, chẳng hạn A tù ta có –x + y + z = R + r 6.2.2 Áp dung vào giải toán Bài tập mẫu: Bài Lục giác có độ dài cạnh Chứng minh lục giác có đường chéo nhỏ hay Lời giải :Xét lục giác ABCDEF Xét tam giác ACE Khơng tính tổng qt, giả sử CE cạnh lớn tam giác Áp dụng bất đẳng thức Ptlemy cho tứ giác ACDE, ta có AC.DE + AE.CD  AD.CE Từ đó, CD = DE = CE  AC, CE  AE nên ta suy AD  (đpcm) Bài 2: (IMO SL 1997) Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC, CD = DE, EF = FA Chứng minh BC/BE + DE/DA + FA/FC ≥ 3/2 Dấu xảy nào? Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác ACDE ta DE.AC + DC.AE ≥ DA.CE Vì DE = DC, ta DE(AC + AE) ≥ DA·CE hay DE/DA ≥ CE/(AC + AE) Tương tự, ta có FA/FC ≥ EA/(CE + CA), Và BC/BE ≥ EA/(EA + EC) Cộng bất đẳng thức lại sử dụng bất đẳng thức Nesbitt ta thu điều phải chứng minh Để có dấu ta phải có dấu ba bất đẳng thức Ptolemy bất đẳng thức Nesbitt Dấu bất đẳng o thức Nesbitt xảy tam giác ACE đều, CAE = 60 o Vì ACDE tứ giác nội tiếp nên góc D phải 120 Bây tam giác ABC, CDE, EFA phải (Tam giác ABC cân, o o o góc 30 , 120 , 30 cạnh AC cạnh tam giác đều) Như lục giác có tất cạnh tất góc 1200, lục giác Ngược lại, hiển nhiên với lục giác đều, ta có dấu xảy Bài 3: (IMO 2001) Cho tam giác ABC với trọng tâm G độ dài cạnh a = BC, b = CA, c = AB Tìm điểm P mặt phẳng tam giác cho đại lượng AP.AG + BP.BG + CP.CG đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ theo a, b, c Lời giải: Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BGC Nối dài trung tuyến AL cắt đường tròn K Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB tương ứng Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác BGL, ta có BG/sin(BLG) = BL/sin(BGK) Tương tự, áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác CGL, ta có CG/sin (CLG) = CL/sin(CGK) Nhưng L trung điểm BC sin(BLG) = sin(CLG), nên BG/CG = sin(CGK)/sin(BGK) Ta có BK = 2R.sin(BGK), R bán kính đường tròn ngoại tiếp Tương tự CK = 2R sin(CGK), CK/BK = BG/CG, từ BG/CK = CG/BK Tương tự, AG/BG = sin(BGN)/sin(AGN) = sin(BGN)/sin(CGK) (góc đối nhau) Hơn BC = 2.R.sin(BKC) = 2.R.sin(BGN) (Vì BGCK tứ giác nội tiếp nên B□KC  B□GN Từ BC/CK = sin(BGN)/sin CGK = AG/BG, từ BG/CK = AG/BC BC:CK:BK = AG:BG:CG Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác PBKC: PK.BC  BP.CK + CP.BK Từ PK.AG  BP.BG + CP.CG Suy (AP + PK)AG  AP.AG + BP.BG + CP.CG  AK.AG  AP.AG + BP.BG + CP.CG Dấu “=” (1) P nằm đường tròn C B (để có đẳng thức BDT Ptolemy) (2) P nằm AK (để có đẳng thức bất đẳng thức tam giác) Do giá trị đạt P = G 2 2 2 Dễ dàng tính AG + BG + CG = (a + b + c )/3 Bài tập đề nghị Bài (IMO Shortlist) Giả sử M, N điểm nằm tam giác ABC cho M□ AB  N□AC, M□ BA  N□BC Chứng minh rằng: AM AN BM BN CM CN AB.AC  BA.B  CA.CB  C Bài2 (VMO 1997) Trong mặt phẳng, cho đường tròn tâm O bán kính R điểm P nằm tròn (OP = d < R) Trong tất tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O) có hai đường chéo AC BD vng góc cắt P, tìm tứ giác có chu vi lớn tứ giác có chu vi nhỏ Tính giá trị lớn nhỏ theo R d Bài (Bulgaria 2007) Cho tam giác ABC có BC > AB > AC cosA + cosB + cosC = 11/8 Xét điểm X thuộc BC Y thuộc AC kéo dài phía C cho BX = AY = AB a) Chứng minh XY = AB/2 b) Gọi Z điểm nằm cung AB đường tròn ngoại tiếp tam giác khơng chứa C cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC) Bài4 Cho tam giác ABC với BE, CF đường phân giác Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự M N Chứng minh rằng: 1  A BM  M CN  A N B N  CM Bài5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (O’) nằm (O) tiếp xúc với (O) T thuộc cung AC (không chứa B) Kẻ tiếp tuyến AA’, BB’, CC’ tới (O’) Chứng minh rằng: BB’.AC = AA’.BC + CC’.AB Bài (Định lý Thebault) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) D trung điểm BC Gọi (O1), (O2) đường tròn nằm (O), tiếp xúc với (O), BC AD Khi đường thẳng nối tâm (O1), (O2) qua I Hãy chứng minh Bài (CMO 1988, Trung Quốc) Cho ABCD tứ giác nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp có tâm O bán kính R Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kính 2R A’, B’, C’, D’ Chứng minh chu vi tứ giác A’B’C’D’ không nhỏ hai lần chu vi tứ giác ABCD Bài Cho đường tròn (O) dây cung BC khác đường kính Tìm điểm A thuộc cung lớn BC đường tròn để AB + 2AC đạt giá trị lớn Bài Lục giác lồi ABCDEF có ABF tam giác vng cân A, BCEF hình bình hành AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 Tính diện tích lục giác IV KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu, tìm tòi để thực đề tài hoàn tất đề tài, em rút số kinh nghiệm cho thân sau: Việc hệ thống tốn tính tốn đa giác công việc cần thiết bổ ích Qua ta có kiến thức, kĩ toán liên quan đến đa giác Các toán liên quan đến đa giác cho cách nhìn tổng quan Đồng thời ta thấy tốn ứng dụng vào sống thực tế để giải số khó khăn mà ta thường gặp Tuy nhiên: “Các tốn liên quan đến tính tốn đa giác” vơ phong phú sinh động thời gian có hạn kiến thức em hạn chế nên chủ yếu em tập trung vào tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác đa giác có số cạnh lớn đề cập Và em xét đa giác lồi, đa giác không lồi em không đề cập đến V TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Bình- Một số vấn đề phát triển hình học Văn Như Cương - Hình học sơ cấp thực hành giải toán Lê Quốc Hán - Ẩn sau định lý Ptô-lê-mê, NBX Giáo dục 2007 Đỗ Đức Thái- Những toán chọn lọc cho học sinh lớp chuyên I.F.Sharyghin- Các tốn hình học phẳng, NXB “Nauka”, Moscow 1986 (tiếng Nga) Internet, Ptolemy’s Theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy's_theorem ... cho số cạnh đa giác biết số đường chéo đa giác Ngược lại cho số đường chéo đa giác biết số cạnh đa giác Chằng hạn: + Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo 10(10  3)  35 + Nếu đa giác có số đường... góc đa giác Bài toán liên quan đến đường chéo đa giác Diện tích đa giác Các khoảng cách đa giác Ứng dụng định lí Ptoleme giải tốn đa giác IV.MỘT SỐ BÀI TỐN Tính số cạnh đa giác Bài 1: Tổng số. .. thẳng Đa giác kí hiệu A1 A2 An1 Đa giác n cạnh gọi n  giác Các điểm Ai gọi đỉnh đa giác, đoạn thẳng Ai Ai1 gọi cạnh đa giác Góc Ai1 Ai Ai1 gọi góc đa giác Ai đỉnh c) Đa giác đơn : Đa giác