Luận văn thạc sĩ Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH TÙNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA GIÁC LƯỠNG TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH TÙNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA GIÁC LƯỠNG TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN VIỆT CƯỜNG Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời nói đầu 1 Tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm 1.1 1.2 Tam giác lưỡng tâm 1.1.1 Tính chất tam giác lưỡng tâm 1.1.2 Khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp Tứ giác lưỡng tâm 16 1.2.1 Tính chất tứ giác lưỡng tâm 16 1.2.2 Diện tích tứ giác lưỡng tâm 36 Đa giác lưỡng tâm ứng dụng 2.1 2.2 39 Đa giác lưỡng tâm 39 2.1.1 Tính chất đa giác lưỡng tâm 39 2.1.2 Mối quan hệ n-giác lưỡng tâm 2n-giác lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp 41 Một số ứng dụng 45 2.2.1 Bài toán Fuss tứ giác lưỡng tâm 45 2.2.2 Định lý Poncelet đa giác lưỡng tâm 50 2.2.3 Một số tập ứng dụng chương trình phổ thông 57 ii Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 iii Danh sách hình vẽ Đa giác lưỡng tâm a Tam giác lưỡng tâm b Tứ giác lưỡng tâm 1 1.1 Tam giác có đường tròn ngoại tiếp (O, R), cạnh có độ dài a, b, c thỏa mãn c ≥ b ≥ a Tam giác ABC với cạnh có độ dài c ≥ b ≥ a Đường cao có độ dài h kẻ từ C xuống cạnh AB 11 12 13 15 16 17 18 20 21 22 24 24 25 25 26 26 27 28 29 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 iv 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 30 31 32 33 34 35 Các tứ giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Các lục giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Các bát giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Các thập giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Bàn bi-a tròn với chướng ngại vật hình tròn Bàn bi-a tròn với lỗ tròn Tiếp tuyến điểm tiếp xúc bi-a với đường tròn lớn 46 47 48 49 50 51 51 52 53 53 54 54 55 55 55 55 56 56 57 58 59 61 Lời nói đầu Trong lĩnh vực hình học sơ cấp, vấn đề đa giác lưỡng tâm chủ đề hấp dẫn nhắc đến thường xuyên Một số toán đa giác lưỡng tâm xếp lớp toán kinh điển hình học, chẳng hạn toán Fuss hay định lý Poncelet đa giác lưỡng tâm Khái niệm đa giác lưỡng tâm P không gian R2 phát biểu sau: Đa giác P gọi đa giác lưỡng tâm tồn đồng thời đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ứng với P (xem Hình 1) (a) Tam giác lưỡng tâm (b) Tứ giác lưỡng tâm Hình 1: Đa giác lưỡng tâm Trong luận văn này, mục tiêu trình bày lại cách có hệ thống kết quả, số tính chất thú vị đa giác lưỡng tâm Nội dung luận văn gồm hai chương Trong chương thứ nhất, trình bày khái niệm, tính chất tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm Nội dung chương chủ yếu xoay quanh việc tìm hiểu tính chất lên mối quan hệ bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp khoảng cách hai tâm Bên cạnh đó, số công thức thú vị để tính diện tích tứ giác lưỡng tâm trình bày cụ thể Tiếp theo, chương thứ hai, trình bày tính chất đa giác lưỡng tâm với mối quan hệ bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp khoảng cách hai tâm Ngoài ra, có trình bày lại mối quan hệ giữa n− giác lưỡng tâm 2n− giác lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp chúng Cuối cùng, đề cập đến số toán tiếng đa giác lưỡng tâm, toán Fuss Poncelet Yên Bái, tháng năm 2016 Tác giả Bùi Thanh Tùng Chương Tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm Trong Chương 1, trình bày khái niệm, số tính chất, công thức tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm 1.1 Tam giác lưỡng tâm Từ kiến thức hình học sơ cấp, biết tam giác T có đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tương ứng với Do đó, đa giác tam giác tam giác lưỡng tâm Trong mục này, xin đưa tính chất đẹp tam giác lưỡng tâm 1.1.1 Tính chất tam giác lưỡng tâm Các tính chất thú vị tam giác lưỡng tâm chủ yếu xoay quanh hai đại lượng, bán kính ngoại tiếp R bán kính nội tiếp r, phần đưa mối liên hệ, cách tính R r Với trường hợp đường tròn ngoại tiếp tam giác T , có độ dài cạnh a, b, c, công thức sin cho phép ta tính toán độ dài bán kính R cách thuận lợi Ta biểu diễn R hàm với độ dài a, b, c Mệnh đề 1.1.1 ([4, tr 2-3]) Gọi T tam giác có độ dài cạnh a, b, c (c ≥ b ≥ a) Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp R tính công thức sau R= abc 4a2 b2 − (a2 + b2 − c2 )2 (1.1) Chứng minh Gọi A, B, C đỉnh tam giác T thỏa mãn AB = a, AC = b, BC = c, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác T , w góc hợp cạnh BC OC , e góc hợp BC OB , d góc hợp AC OA, f góc hợp AB OA (Hình 1.1) Ta có công thức sau cos w = w = e, c , 2R (tính chất tam giác cân) (1.2) (1.3) C + w = d, (1.4) d + f = A, (1.5) e + B = f (1.6) Kết hợp (1.4) với (1.5) biến đổi, ta thu đẳng thức sau C + w = A − f (1.7) Kết hợp (1.3) với (1.6), ta có w + B = f (1.8) A b C ω R d f a c e O B Hình 1.1: Tam giác có đường tròn ngoại tiếp (O, R), cạnh có độ dài a, b, c thỏa mãn c ≥ b ≥ a 51 Hình 2.6 Ví dụ 2.2.4 Minh họa cho Định lí Poncelet với hai đường conic hai elip, + Hình 2.7 đa giác khép kín tứ giác A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 + Hình 2.8 đa giác khép kín lục giác A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 B3 B4 B5 B6 Hình 2.7 52 Hình 2.8 Định lí phát biểu tổng quát cho hai đường conic chứa Nếu hai đường conic hai đường tròn đa giác khép kín đa giác lưỡng tâm Trong hình học Euclide nội dung phát biểu sau (tuy nhiên tính chất hình học phát định lý tính chất xạ ảnh.) Định lý 2.2.5 Cho hai đường tròn C0 C Từ điểm A C , ta dựng dãy điểm Ai , i = C sau: A1 = A, Ai = Ai+1 đường thẳng Ai Ai+1 tiếp xúc với C0 với i; đường thẳng Ai Ai+1 khác với đường thẳng Ai Ai−1 với i = Khi tồn số nguyên dương n = cho An = A với điểm A C Ai = A với số nguyên dương i = với điểm A C Dưới đưa số hình ảnh minh họa cho Định lý 2.2.5 Ví dụ 2.2.6 Minh họa cho Hệ Định lí Poncelet, + Hình 2.9 đa giác khép kín tứ giác lưỡng tâm + Hình 2.10 đa giác khép kín lục giác lưỡng tâm + Hình 2.11 đa giác khép kín bát giác lưỡng tâm + Hình 2.12 đa giác khép kín thập giác lưỡng tâm 53 Hình 2.9: Các tứ giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Hình 2.10: Các lục giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé 54 Hình 2.11: Các bát giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Hình 2.12: Các thập giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn ngoại tiếp vòng tròn bé Ứng dụng học định lý Poncelet Định lý Poncelet có tính chất để giải thích số tượng học cách tự nhiên tinh tế, ta lấy C0 C đường tròn, C chứa C0 Khi đó, quỹ đạo chuyển động bi-a C đa giác lưỡng tâm nội tiếp đường tròn C ngoại tiếp đường tròn C0 Hay nói cách khác, ta quan tâm đến quỹ đạo bi-a hình 55 Hình 2.13: Bàn bi-a tròn với Hình 2.14: Bàn bi-a tròn với lỗ chướng ngại vật hình tròn tròn tròn C Giả sử ta bắn bi-a chạm đường tròn C điểm P , góc đến, kí hiệu góc a, góc đi, kí hiệu góc b, (xem hình 2.15) Hơn nữa, tất đoạn thẳng thuộc quỹ đạo bi-a tiếp tuyến với C0 (xem Hình 2.17) Hình 2.15 Hình 2.16 56 P Hình 2.17: Tiếp tuyến điểm tiếp xúc bi-a với đường tròn lớn Nếu quỹ đạo bi-a chu kỳ, đường bi-a lấp đầy phần hình tròn C mà trừ phần bao C0 (xem Hình 2.18) Hình 2.18 Trong mô tả toán học hệ động lực bi-a, người ta cải thiện số giả định chẳng hạn coi bi-a chất điểm, lực ma sát coi không biên phản xạ xem hoàn toàn đàn hồi 57 2.2.3 Một số tập ứng dụng chương trình phổ thông Trong mục nêu toán liên quan đến đa giác lưỡng tâm chương trình toán phổ thông Bài toán 2.2.7 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), nội tiếp đường tròn (O) AI cắt (O) lần thứ hai E Chứng minh E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Lời giải Hình 2.19 Trước tiên ta có CBE = EAC (hai góc nội tiếp chắn cung EC ) BIE = IBA + IAB (tính chất góc tam giác) Do đó, ta có IBE = IBC + CBE = IBA + ECA = IBA + BAI = BIE Tam giác EBI có IBE = BIE nên cân đỉnh E Suy EI = EB Tương tự EI = EC Vậy E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Bài toán 2.2.8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm (O) ngoại tiếp đường tròn tâm (I) Gọi X, Y, Z, T tiếp điểm đường tròn (I) với AB, BC, CD, DA Gọi H, K hình chiếu I BD, AC Chứng minh SXKT = SXHY 58 Hình 2.20 Lời giải Ta có tứ giác T KXA XBY H nội tiếp đường tròn đường kính IA IB suy KXT = CAD = CBD = HXY Từ SXKT XT · XK · sin T XK = SXY H XY · XH · sin HXY XT · XK = XY · XH IA2 · sin DAB · sin CAB = IB · sin ABC · sin DAB IA2 · BD · BC = IB · AC · A Như vậy, ta cần chứng minh Thật vậy, ta có IA2 AC · AD = IB BD · BC AD BC = IA.ID IB.IC AC BD = IA.IC IB.ID Do đó, AC · AD IA · IC IA · ID IA2 = · = BD · BC IB · ID IB · IC IB 59 Vì vậy, SXKT =1 SXY H hay SXKT = SXY H Bài toán 2.2.9 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm (O) ngoại tiếp đường tròn tâm (I) Kéo dài AI, BI, CI, DI cắt (O) A’, B’, C’, D’ Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB, BIC, CID, DIA nằm cạnh tứ giác A’B’C’ D’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’IB’, B’IC’, C’ID’, D’IA’ R2 − d2 nằm đường tròn tâm I bán kính 2r Lời giải Hình 2.21 Gọi O1 , O2 , O3 , O4 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB, BIC, CID, DIA; O1 , O2 , O3 , O4 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A IB , B IC , C ID , D IA 60 Ta có IO2 C = 2IBC = ABC = IA C , suy tứ giác IO2 A C nội tiếp Suy IO2 A = ICA = 900 Tương tự ta có O2 hình chiếu I A D Như O1 , O2 , O3 , O4 hình chiếu I cạnh tứ giác A B C D Mặt khác, đặt k = PI /(O) Ta có IO2 = Mặt khác, B C = BC sin B IC = BC sin BIC k.BC , suy IB.IC k R − d2 = IO2 = 2r 2r 2.IB.IC sin BIC k.BC Chứng minh tương tự suy O1 , O2 , O3 , O4 nằm đường tròn tâm I R2 − d2 bán kính 2r Bài toán 2.2.10 Cho ngũ giác lưỡng tâm ABCDE Gọi A1 , B1 , C1 , D1 , E1 giao điểm cặp đường thẳng BD CE, CE DA, DA EB, EB AC, AC BD Chứng minh ngũ giác A1 B1 C1 D1 E1 ngoại tiếp Lời giải Gọi A2 , B2 , C2 , D2 , E2 tiếp điểm CD, DE, EA, AB, BC với (I) Gọi A3 , B3 , C3 , D3 , E3 giao điểm B2 D2 C2 E2 , D2 A2 C2 E2 , E2 B2 D2 A2 , A2 C2 E2 B2 , B2 D2 A2 C2 Áp dụng định lý Pascal cho điểm A2 , B2 , C2 , D2 , C2 , D2 suy A nằm đường thẳng nối giao điểm B2 D2 A2 C2 , B2 C2 A2 D2 Tương tự D nằm đường thẳng nối giao điểm B2 D2 A2 C2 , B2 C2 A2 D2 Từ E3 ∈ AD 61 Hình 2.22 Chứng minh tương tự ta có A3 ∈ BE , B3 ∈ AC , C3 ∈ BD D3 ∈ EC Ta có C1 E3 A3 = EB2 D2 − EDA = EB2 D2 − EBA = C1 A3 E3 Từ đó, ta có C1 A3 = C1 E3 Tương tự D1 A3 = D1 B3 , suy AE3 +AB3 = PAC1 D1 Mặt khác, AE3 = AD2 sin E3 D2 A sin AE3 D2 , AB3 = AC2 sin B3 C2 A sin AB3 C2 Ta chứng minh AE3 = AB3 AD2 sin E3 D2 A sin AE3 D2 = AC2 sin B3 C2 A sin AB3 C2 Thật vậy, AD2 sin E3 D2 A sin AE3 D2 sin E3 D2 A ⇔ = sin AE3 D2 sin E3 D2 A ⇔ = sin AB3 C2 = AC2 sin B3 C2 A sin AB3 C2 sin B3 C2 A sin AB3 C2 sin AE3 D2 sin AB3 C2 = sin D2 A3 B sin E2 A3 B 62 Hơn nữa, ta có BE2 sin E2 A3 B = BA3 sin A3 E2 B , BD2 sin D2 A3 B = BA3 sin A3 D2 B Suy ra, ta có sin E3 D2 A sin AB3 C2 = sin A3 D2 B sin A3 E2 B = sin D2 A3 B sin E2 A3 B Vậy AE3 = AB3 , hay A3 , B3 , E3 tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác AC1 D1 với ba cạnh Chứng minh tương tự suy tam giác AC1 D1 , BD1 E1 , CE1 A1 , DA1 B1 , EB1 C1 có chung đường tròn bàng tiếp, hay ngũ giác A1 B1 C1 D1 E1 ngoại tiếp 63 Kết luận Luận văn trình bày số kết sau: - Trình bày định nghĩa đa giác lưỡng tâm tính chất đa giác lưỡng tâm - Trình bày chứng minh mối quan hệ đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp khoảng cách hai tâm hai đường tròn vừa nêu - Trình bày chứng minh số công thức tính diện tích tứ giác lưỡng tâm - Trình bày số toán đa giác lưỡng tâm ứng dụng 64 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Linh, Một số vấn đề đa giác lưỡng tâm, Euclidean Geometry Blog URL http : //nguyenvanlinh.wordpress.com Tiếng Anh [2] Dorrie H (1965), 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Publications Inc., New York [3] Dragovi´c V and Radnovic M (2011), Poncelet porism and beyond, Springer, Berlin [4] Heinlein D J (1998), Properties of bicentric circles for three-sided polygons, Master thesis, University of North Texas [5] Josefsson M (2010), "Characterizations of bicentric quadrilaterals", Forum Geometricorum, pp 165-173 [6] Josefsson M (2011), "The Area of a Bicentric Quadrilateral", Forum Geometricorum, pp 155-164 [7] Josefsson M (2012), "Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral", Forum Geometricorum, pp 237 - 241 [8] Josefsson M (2014), Angle and circle characterizations of tangential quadrilaterals, Forum Geometricorum, pp 1-13 [9] Radi´c M (2004), "Some relations concerning triangles and bicentric quadrilaterals in connection with Poncelet’s closure theorem when conics are circles not one inside of the other", Elem Math., 59, pp 96-116 [10] Radi´c M and Trinajsti´c N I (2008), "On A System Of Equations Related To Bicentric Polygons", Applied Mathematics E-Notes, 8, pp 9-16 [11] Reiman I (2005), "International Mathematical Olympiad 19761990", Anthem Press, pp 170–171 ... Tứ giác lưỡng tâm 16 1.2.1 Tính chất tứ giác lưỡng tâm 16 1.2.2 Diện tích tứ giác lưỡng tâm 36 Đa giác lưỡng tâm ứng dụng 2.1 2.2 39 Đa giác lưỡng tâm ... cấp, vấn đề đa giác lưỡng tâm chủ đề hấp dẫn nhắc đến thường xuyên Một số toán đa giác lưỡng tâm xếp lớp toán kinh điển hình học, chẳng hạn toán Fuss hay định lý Poncelet đa giác lưỡng tâm Khái... Thanh Tùng Chương Tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm Trong Chương 1, trình bày khái niệm, số tính chất, công thức tam giác lưỡng tâm tứ giác lưỡng tâm 1.1 Tam giác lưỡng tâm Từ kiến thức hình