Nhaèm muïc ñích giuùp caùc em hoïc sinh Trung hoïc Phoå Thoâng vaø caùc ñoäc giaû: –Phöông phaùp suy nghó, suy luaän Toaùn. –Phöông phaùp vaän duïng kieán thöùc giaùo khoa vaøo baøi taäp.–Cung caáp kó naêng vaø ñöùc tính kieân trì, caàn maãn khi giaûi toaùn.Toâi bieân soaïn cuoán saùch naøy.Saùch ñöôïc vieát tæ mæ, coâng phu, kó löôõng; do soá löôïng kieán thöùc vaø baøi taäp nhieàu neân ñöôïc chia thaønh 2 cuoán:Cuoán I: Boài döôõng hoïc sinh gioûi Hình hoïc giaûi tích trong maët phaúng bao goàm: phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng, ñöôøng thaúng, ñöôøng troøn, elip, Hình hoïc giaûi tích trong maët phaúng: hyperbol, parabol vaø caùc baøi toaùn toång hôïp.Cuoán II: Boài döôõng hoïc sinh gioûi Hình hoïc giaûi tích trong khoâng gian: vectô, phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian, maët phaúng, ñöôøng thaúng, maët caàu vaø ñöôøng troøn trong khoâng gian.Phöông phaùp giaûi ngaén goïn, ñôn giaûn, deã hieåu vaø chæ söû duïng caùc kieán thöùc cho pheùp duøng trong saùch giaùo khoa hieän haønh; tröôùc moãi muïc ñeàu coù toùm taét caùc kieán thöùc cô baûn vaø caùc kó naêng caàn coù. Hy voïng raèng cuoán saùch naøy seõ laø taøi lieäu tham khaûo quí baùu cho taát caû caùc em hoïc sinh vaø caùc ñoäc giaû muoán töï hoïc, töï boài döôõng moân Hình Hoïc.
LỜI NÓI ĐẦU Nhằm mục đích giúp em học sinh Trung học Phổ Thông độc giả: – Phương pháp suy nghó, suy luận Toán – Phương pháp vận dụng kiến thức giáo khoa vào tập – Cung cấp kó đức tính kiên trì, cần mẫn giải toán Tôi biên soạn sách Sách viết tỉ mỉ, công phu, kó lưỡng; số lượng kiến thức tập nhiều nên chia thành cuốn: Cuốn I: Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích mặt phẳng bao gồm: phương pháp tọa độ mặt phẳng, đường thẳng, đường tròn, elip, Hình học giải tích mặt phẳng: hyperbol, parabol toán tổng hợp Cuốn II: Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích không gian: vectơ, phương pháp tọa độ không gian, mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu đường tròn không gian Phương pháp giải ngắn gọn, đơn giản, dễ hiểu sử dụng kiến thức cho phép dùng sách giáo khoa hành; trước mục có tóm tắt kiến thức kó cần có Hy vọng sách tài liệu tham khảo q báu cho tất em học sinh độc giả muốn tự học, tự bồi dưỡng môn Hình Học Chân thành chúc em học sinh độc giả thành công sau sử dụng sách TÁC GIẢ Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh Chương I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A TÓM TẮT GIÁO KHOA I Vectơ không gian uuu r AB : A: điểm đầu, B: điểm cuối uuu r uuu r ∆: giá AB , ∆′: giá CD uuu r uuu r AB = AB: độ dài AB B A ∆ D E có phương r uuu r uuu AB = CD có phương, ngược hướng uur uuu r uuu r uur AB CE đối ⇔ AB = CE uuu r uuu r AB = CD ⇔ • Các hệ thức quy tắc cần nắm vững: uuu r uur uuu uuu r uuur uuu r r + Quy tắc xen điểm: AB = AC + CB , AB = OB – OA uuur uuur uuur + Hệ thức trung điểm: O trung điểm AB MA + MB = 2MO uuur uuu r uuu r ur + Hệ thức trọng tâm tam giaùc ABC: GA + GB + GC = O uuur uuu r uuu r uuur ur + Hệ thức trọng tâm tứ diện ABCD: GA + GB + GC + GD = O + Quy tắc hình bình hành: r uuu r uuur uuu AB + AD = AC uuur uuu r uuu r AD – AB = BD + Quy tắc hình hộp uuu r uuur uuur uuur AB + AD + AA′ = AC′ r r r • a , b , c đồng phẳng khi: r r r – Các giá a , b , c thuộc mặt phẳng (α) r r r – ∃m, n ∈ ¡ : a = mb + nc r r r r • Hệ thức d ba vectơ không đồng phẳng a , b , c cho trước: r r r r d = m.a + n.b + p.c (m, n, p ∈ ¡ vaø nhất) C ∆′ II Phương pháp tọa độ khoâng gian M (xM; yM; zM), N (xN; yM; zM) uuur ⇒ MN = (xN – xM; yN – yM; zN – zM) r ur r a = (a1; a2; a3), O = (0; 0; 0), b = (b1; b2; b3) a1 = b1 r r a = b ⇔ a2 = b a = b r r r a ± b = c = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3) r r p a = (pa1; pa2; pa3) phương với a (p > 0: hướng; p < ngược hướng) a3 a1 a2 r r r r a phương b ( b ≠ ) ⇔ b = b = b (quy ước: mẫu không tử không) rr r2 • a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ; a = a12 + a22 + a32 r r Các hệ quả: * a1b1 + a2b2 + a3b3 = ⇔ a ⊥ b rr a1b1 + a2 b2 + a3 b3 a.b r r * cos ( a , b ) = r r = a.b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 uuur 2 * MN = MN = ( x N − x M ) + ( y N − y M ) + ( z N − z M ) r r a a a a a a a, b = ; ; ÷ b2 b3 b3 b1 b1 b2 ÷ r r r r r r Caùc tính chất: a, b a = a, b b = r r r r r r a, b = a b sin a, b r r a, b = 0r ⇔ ar phương với br r r r r r r a , b , c đồng phẳng ⇔ a, b c = r uuu r uuu Các hệ quả: * SABC = AB, AC • Tích có hướng ( ) uuu r uuu r uuur * Thể tích hình hộp ABCD.A′B′C′D′ = AB, AC AA′ r uuu r uuur uuu * Thể tích tứ diện ABCD: V = AB, AC AD Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh * Phương trình mặt cầu tâm I (a, b, c) bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 * x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = phương trình mặt 2 a2 + b2 + c2 − d (a + b + c > d) caàu tâm I (a, b, c), bán kính R = B ĐỀ TOÁN VÀ LỜI GIẢI Bài Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cuûa AC, BD uuu r uuu r uuur uur uuur Chứng minh AB + CD = AD + CB = 2MN Giải uuur uuur uuur N trung điểm BD: MB + MD = 2MN uuur uuu r uuur uuu r uuur ⇔ MA + AB + MC + CD = 2MN uuur uuur uuuur uuu r uuur ⇔ MA + MC + AB + CD = 2MN r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur ⇔ + AB + CD = 2MN ⇔ AB + CD = 2MN (1) uuur uuu r uur uuu r uuur Từ (1): AD + DB + CB + BD = 2MN uuur uur uuu r uuu r uuur ⇔ AD + CB + DB + BD = 2MN uuur uur r uuur ⇔ AD + CB + = 2MN uuur uur uuur ⇔ AD + CB = 2MN (2) ( ) ( ) Từ (1) (2) ⇒ đpcm uuur uuur Bài Cho hình tứ diện ABCD M, M′ hai điểm định MA = k MB ; uuuu r uuu r uuu r uuuur uuuur M′C = k M′D (k ≠ vaø k ≠ 1) Chứng minh AC = kBD + (1 – k) MM′ Giaûi uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r MA = k MB ⇔ AM = –k MD + DB = – k MD + k BD (1) uuur uuuur uuuu r uuur uuuur uuuur MD − MM′ = k ⇔ = k ′ ′ ′ MC MC − MM MD uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur ⇔ MC = k MD + MM′ – k MM′ = k MD + (1 – k) MM′ (2) uuur uuur uuu r uuuur Cộng vế (1) vaø (2): AM + MC = k BD + (1 – k) MM′ uuu r uuu r uuuur ⇔ AC = kBD + (1 – k) MM′ Baøi Gọi P Q trung điểm cạnh AC, BD tứ diện uuu r uuur uur uuu r uuu r ABCD Chứng minh AB + AD + CB + CD = 4PQ ( ( ) ) Giaûi uur uur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uuu r PB + PD = 2PQ ⇔ PA + AB + PC + CD = 2PQ uuu r uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r r uuu r ⇔ AB + CD + PA + PC = 2PQ ⇔ AB + CD + = 2PQ uuu r uuu r uuu r ⇔ AB + CD = 2PQ (1) uuur uur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uur uuu r uuu r Từ (1) ⇔ AD + DB + CB + DB = 2PQ ⇔ AD + CB + DB + DB = 2PQ uuur uur uuu r ⇔ AD + CB = 2PQ (2) uuu r uuur uur uuu r uuu r Cộng vế (1) (2): AB + AD + CB + CD = 4PQ ( ) ( ) Baøi Trong không gian cho hai tam giác ABC, A′B′C′ có trọng tâm G, G′ uuur uuur uuur uuur Chứng minh AA′ + BB′ + CC′ = 3GG′ Giaûi uuur uuur uuur uuuur AA′ = AG + GG′ + G′A′ uuur uuu r uuur uuuu r + BB′ = BG + GG′ + G′B′ uuur uuu r uuur uuuu r CC′ = CG + GG′ + G′C′ uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuuur uuuu r uuuu r ⇒ AA′ + BB′ + CC′ = AG + BG + CG + 3GG′ + G′A ′ + G′B′ + G′C′ ( ) ( ) Bài Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Gọi K giao điểm AC′ mặt uuur uuur uuur r phẳng (BDA′) Chứng minh KA′ + KB′ + KD = Giaûi Trong mp (ACC′A′), AC′ cắt A′O K (O tâm đáy ABCD) ∆ KOA ∽ ∆ KA′C′ theo tỉ số đồng dạng OA KO k= = ⇒ = A′C′ KA′ A′O trung tuyến ∆ A′DB ⇒ K trọng tâm ∆ A′DB uuur uuur uuur r ⇒ KA′ + KB′ + KD = Bài Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng M ñieåm di chuyeån uuu r uuur uuur uuur r a) Chứng minh vectơ v M = 2MA + MB − 3MC véctơ v không phụ thuộc vào vị trí M uuu r r b) P điểm cho AP = v Đường thẳng AP cắt BC U uuu r uuu r Chứng minh UB = 3UC c) Chứng tỏ M di chuyển mặt phẳng (α) qua tâm I đường r tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với vectơ v biểu thức: Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh 2MA2 + MB2 – 3MC2 không đổi Giải uuur uuur uuur a) 2MA + MB − 3MC uuur uuur uuur uuur = MA − MC + MB − MC uuu r uur r = 2CA + CB = v không phụ thuộc vị trí M ( ) ( ) uuur uuu r b) Treân tia AC, đặt điểm D cho C trung diểm AD AD = 2AC uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r r Từ D, vẽ DP = BC AP = AD + DP = 2AC + BC = v uuu r uuu r Đặt CU = x ⇒ BC = 2x ⇒ UB = 3x ⇒ UB = 3UC c) Goïi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC IA = IB = IC uur uur uur uur 2MA2 = MI + IA = 2MI2 + MI.IA + 2IA2 uur uu r uur uu r MI + IB = MI2 + MI.IB + IB2 + MB2 = uur uu r uur uu r –3MC2 = –3 MI + IC = –3MI2 – MI.IC + (–3IC2) uur uur uu r uu r 2MA2 + MB2 – 3MC2 = MI 3IA + IB − 3IC uur r uur r = MI.v = ∀M ∈ (α) MI ⊥ v ( ( ( ) ) ) ( ) Baøi Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ uuur uuur uuu r a) Chứng minh AC′ + A′C = 2AC b) Xác định vị trí điểm O cho uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD + OA ′ + OB′ + OC′ + OD′ = c) Chứng minh với điểm M không gian, ta có: uuur uuur uuur uuur uuuur uuuu r uuuu r uuuur uuur MA + MB + MC + MD + MA ′ + MB′ + MC′ + MD′ = 8MO Giải a) Là hình hộp nên bốn đường chéo AC′, CA′, BD′, DB′ đồng quy trung điểm O đường Trong hình bình hành ACC′A′ uuur uuur uuur uuu r uuu r AC′ = 2AO uuur uuur uuur uuu r AC′ + A′C = AO + OC = 2AC A′C = 2OC ( ) b) Do O trung điểm chung bốn đường chéo AC′, CA′, BD′, DB′ neân: uuur uuur r OA + OC′ = uuu r uuur r OB + OD′ = uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r ⇒ OA + OB + OC + OD + OA ′ + OB′ + OC′ + OD′ = OD + OA′ = uuur uuur r OD + OB′ = uuur uuuu r uuur c) O trung điểm AC′ ⇔ MA + MC′ = 2MO uuur uuuur uuur O trung điểm BD′ ⇔ MB + MD′ = 2MO uuur uuuur uuur O laø trung ñieåm CA′ ⇔ MC + MA′ = 2MO uuur uuuu r uuur O trung điểm DB′ ⇔ MD + MB′ = 2MO uuur uuur uuur uuur uuuur uuuu r uuuu r uuuur uuur ⇒ MA + MB + MC + MD + MA ′ + MB′ + MC′ + MD′ = 8MO uuur uuur r Bài Cho tứ diện ABCD M, N hai điểm cho MA + kMC = , uuu r uuur r NB + kND = Chứng tỏ k thay đổi trung điểm MN di chuyển đường thẳng cố định Giải Gọi E trung điểm AB, F trung điểm CD E, F cố định I trung điểm MN thì: uuur uuu r uuu r uuur uur uuu r uu r EM + EN EA + AM + EB + BN EI = = 2 uuur uuu r AM + BN = (1) uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur Từ MA + kMC = ⇔ AM + kCM = ⇔ CM = − AM k uuu r uuur r uuu r uuur r uuur u r uu NB + kND = ⇔ BN + kDN = ⇔ DN = − BN k uuur uuu r uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuu r uu r FM + FN FC + CM + FD + DN CM + DN AM + BN (2) FI = = = =− 2 k uu r r uu Từ (1) vaø (2) ⇔ FI = − EI ⇒ F, I, E thẳng hàng ⇒ đpcm k uuur uuu r uuu r uuur r Bài Cho hình tứ diện ABCD Tìm điểm G cho GA + GB + GC + GD = chứng tỏ điểm G Giải Gọi A′ trọng tâm tam giác BCD Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh uuur uuur uuur GA = GA′ + A′A uuu r uuur uuur GB = GA′ + A′B uuu r uuur uuur GC = GA′ + A′C uuur uuur uuur GD = GA′ + A′D uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur r GA + GB + GC + GD = 4GA ′ + A′A = uuur uuur ⇔ 4GA′ = A′A ⇔ G ∈ AA′ Bài 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Xác định vị trí uur uuur uuu r uuu r uuur r điểm O cho OS + OA + OB + OC + OD = Giải Gọi I giao diểm hai đường chéo AC BD đáy uur uuur uuu r uuu r uuur r OS + OA + OB + OC + OD = uur uur uur r ⇔ OS + 2OI + 2OI = uur uur r ⇔ OS + 4OI = uur uur ⇔ S, O, I thẳng hàng OS = − 4OI uur uur ⇔ OS = − 4IO : điểm O ∈ SO cho OS = 4OI Baøi 11 Cho ba điểm cố định A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp điểm uuur uuur uuur uuur uuur uuur M khoâng gian cho MA + MB + MC = 2MA − MB − MC Giaûi Gọi G trọng tâm tam giác ABC thì: uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC = 2MA − MB − MC uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur ⇔ MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3MA − MA + MB + MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇔ 3MG = 3MA − 3MG ⇔ MG = GA ⇔ MG = GA ( ) ⇔ Tập hợp điểm M mặt cầu tâm G, bán kính AG Bài 12 Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Chứng minh hình hộp hình hộp chữ nhật khi: uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur AB + AD + AA′ = AB + AD − AA′ = AB − AD + AA ′ = − AB + AD + AA ′ uuu r uuur uuur uuu r AB + AD + AA′ = AC = AC′ uuu r uuur uuur uuu r uuur AB + AD − AA′ = AC − AA′ = uuu r uuur uuur uuu r uuur AB − AD + AA′ = BD + AA′ = uuur = BD′ = BD′ Giaûi uuur CA′ = CA′ uuu r uuur BD + BB′ uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur − AB + AD + AA′ = AD′ − AB = D′B = D′B ⇒ Hình hộp có đường chéo hình hộp chữ nhật Bài 13 Cho tứ diện OABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hãy phân tích uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r véctơ OG, GA, GB, GC theo ba véctơ OA, OB, OC Giaûi uuur uuur uuur OG = OA + AG uuur uuu r uuu r OG = OB + BG uuur uuu r uuu r OG = OC + CG uuur uuur uuu r uuu r ⇒ 3OG = OA + OB + OC uuur uuu r uuu r uuur OA + OB + OC ⇔ OG = uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur OA + OB + OC uuur −2OA + OB + OC GA = OG − OA = − OA = 3 uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r OA + OB + OC uuu r OA + −2OB + OC GB = OG − OB = − OB = 3 uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r OA + OB + OC uuu r OA + OB − 2OC GC = OG − OC = − OC = 3 uuuur r uuur r Bài 14 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ Đặt B′A′ = a , B′B = b , uuuu r r B′C′ = c M, N hai điểm nằm AC′, CD′ định uuur uuu r MA NC uuuu r = m ; uuur = n MC′ ND uuuu r uuur r r r a) Hãy biểu thị vectơ B′M, B′N theo a, b, c , m, n b) Xác định m, n để MN // B′D c) Tính độ dài đoạn thẳng MN Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh Giải uuuu r uuuu r uuuu r a) B′M = B′C′ + C′M uuur uuuu r uuur AC′ = MC′ − MA uuuu r uuuu r uuuu r = MC′ − m.MC′ = (1 − m).MC′ uuur uuur uuuu r uuuu r AC′ AC′ ⇒ MC′ = ⇒ C′M = 1− m m −1 uuu r uuur uuur AB + AD + AA′ = m −1 r r r uuuu r a+b−c ⇒ C′M = 1− m r r r r r r uuuu r r a + b − c a + b − mc ⇒ B′M = c + = 1− m 1− m uuur uuuur uuur B′N = B′D′ + D′N uuur uuu r uuur uuur uuur uuur CD′ = CN + ND′ = − n.ND′ + ND′ = ND′(1 − n) r r r r r r uuur uuur a − b uuur b − a ⇔ a − b = ND′(1 − n) ⇔ ND′ = ⇒ D′N = 1− n 1−n r r r r r r r r r r uuur r r b − a c(1 − n) + a − na + b − a −na + b + (1 − n)c ⇒ B′N = c + a + = = 1− n 1− n 1− n uuur r r r b) B′D = a + b + c r r r r r r uuur uuur uuuu r − na + b + (1 − n)c a + b − mc MN = B′N − B′M = − 1− n 1− m r r r n = + − ÷a + ÷b + − ÷c n − m − 1 m − n − 1 m − 1 uuur uuur uuur Để MN // B′D MN phương với B′D ⇔ MN = kB′D n (1) n − + m − = k n + = k (2) ⇔ − n −1 m −1 n (3) − m − = k 1 = 2k ⇔ + =k m −1 m −1 1 1 =− ⇔ =− Theá k = − từ (3): + m −1 m −1 m −1 m −1 Cộng vế (1) (2): + 10 Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh (S) có tâm I (2; 2; 2) bán kính R = Vì OAB tam giác đều, OA = IA = 42 + 42 = (4 − 2)2 + (4 − 2)2 + (0 − 2)2 = 12 neân A ∈ (S) O ∈ (S), B ∈ (S): (OAB) thiết diện (S) Bán kính thiết diện (OAB): r = ⇒ d(I,(OAB) = OA = 3 R + r = 12 − 32 = = 3 Phương trình mặt phẳng (OAB) có dạng Ax + By + Cz = Điểm A ∈ (OAB) ⇔ 4A + 4B = ⇔ B = –A (OAB) ≡ Ax – Ay + Cz = 2A − 2A + 2C C d ( I, (OAB) ) = = ⇔ = 2 2 3 A +A +C 2A + C ⇔ (2A2 + C2) = 3C2 ⇔ A2 = C2 ⇔ C = ± A ⇒ (OAB) ≡ Ax – Ay ± Az = ⇔ x – y ± z = Lời bình: Bài 40 trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011, để độïc giả biết đề toán biên soạn sách không xa trọng tâm, giúp độïc giả phương pháp suy nghó, phương pháp giải luyện tập theo lời giải kỹ tính toán, kỹ sử dụng kiến thức chương trình học Bài 41: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi P, Q uuu r uuuur uuuur uuuur điểm xác định AP = − AD'; C'Q = −C' D a) Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm M cạnh BB’ b) Tính độ dài đoạn thẳng PQ Giải Đặt hình lập phương vào hệ trục Oxyz hình vẽ: a) A(0; 0; 0) A’(0; 0; a) B(a; 0; 0) B’(a; 0; a) C(a; a; 0) C’(a; a; a) D(0; a; 0) D’(0; a; a) P(xP; yP; zP) uuu r AP = (x P ; y P ; z P ) uuuur − AD' = (0; − a; − a) 210 xP = uuu r uuuur AP = − AD' ⇔ y P = −a ⇒ P(0; − a; − a) z = −a P Q(xQ; yQ; zQ) uuuur C'Q = (xQ − a; y Q − a; z Q − a) uuuur −C' D = (a; 0; a) xQ − a = a xQ = 2a uuuur uuuur C'Q = −C'D ⇔ yQ − a = ⇒ y Q = a ⇒ Q(2a; a; 2a) zQ − a = a zQ = 2a a Trung điểm M BB' : M a; 0; ÷ 2 ⇒ M ≡ M ' ⇒ ñpcm a Trung điểm M ' PQ : M ' a; 0; ÷ (2a)2 + (2a)2 + (3a)2 = a 17 b) PQ = Baøi 42 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh AD’, BD lấy điểm M, N theo thứ tự cho AM = DN = x (0 < x < a) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a x Tìm x để MN ngắn b) Khi MN có độ dài ngắn nhất, chứng minh MN // AC’ c) Chứng minh x thay đổi MN song song với mặt phẳng (BCD’A’) Giải a) Đặt hình lập phương vào hệ trục Oxyz hình vẽ A(0; 0; 0), A’(0; 0; a) B(a; 0; 0), B’(a; 0; a) C(a, a, 0), C’(a; a; a) D(0; a; 0), D’(0; a; a) x x x x ; ; a− ; 0÷ ⇒ M 0; ÷, N 2 2 MN = 2 x2 2x x + a− ÷ + − ÷ 2 2 = 3x2 − 2ax + a2 211 Boài dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh a 2 a2 a2 = 3x − + ≥ ÷ 3 ÷ ⇒ MN2 có giá trị nhỏ a a2 , đạt x = 3 a a a 2a a M 0; ; ÷, N ; ; ÷ 3 3 uuuu r a a r a MN = ; ; − ÷ phương với u = (1; 1; − 1) 3 3 uuuur r A 'C = (a; a; − a) = a.u ⇒ MN // A’C ⇔ MN // (BCD’A’) b) x = c) B(a; 0; 0); C(a; a; 0); A’(0; 0; a) uuur BC = (0; a; 0) uuur uuuur 2 uuuur BC, BA ' = (a ; 0; a ) BA ' = (−a; 0; a) r cuøng phương với v = (1; 0; 1) r uuuu r a a uuuu r a a ⇒ v.MN = − = ⇔ MN //(BCA 'D') a 3 MN = ; ; − ÷ 3 3 Bài 43 Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(3; 2; 1) vuông góc cắt x y z+3 đường thẳng d: = = Giải Gọi (α) mặt phẳng chứa A vuông góc với d Phương trình (α) có dạng: 2x + 4y + z + D = A ∈ (α) ⇔ 2.3 + 4.2 + + D = ⇔ D = −15 Phương trình (α): 2x + 4y + z − 15 = x = 2t (t ∈ ¡ ) d có phương trình tham soá: y = 4t z = −3 + t Thế vào phương trình (α): 2(2t) + 4(4t) + (−3 + t) − 15 = ⇔ t = 12 24 15 ⇒ d caét (α) M ; ; − ÷ 7 7 Đường thẳng cần tìm đường thẳng AM: uuuur 12 r 24 15 10 22 AM = − 3; − 2; − − 1÷ = − ; ; − ÷ phương với véctơ a = (9; − 10; 22) 7 7 7 212 x = + 9t Đường thẳng AM có phương trình tham soá y = − 10t (t ∈ ¡ ) z = + 22t Baøi 44 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a; AA’ = a M điểm thuộc đoạn AD K trung điểm B’M a) Đặt AM = x (0 ≤ x ≤ 2a) Tính thể tích tứ điện A’KID theo a x (I tâm hình hộp) Tìm vị trí điểm M để thể tích tứ diện A’KID lớn b) Khi M trung điểm AD i Xác định tính diện tích thiết diện hình hộp bị cắt mặt phẳng (B’CK) ii Chứng minh đường thẳng B’M tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA’ Giải Đặt hình hộp vào hệ trục Oxyz hình vẽ: a) A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), M(0; x; 0), M(0; x; 0), ( ) B’ ( a; 0; a ) C’ ( a; 2a; a ) C’ ( a; 2a; a ) D’ ( 0; 2a; a ) A’ 0; 0; a a a 2 ÷ I ; a; ÷ 2 a x a 2 ÷ K ; ; ÷ 2 2 uuuur a x a uuur a a uuuur A 'K = ; ; − , A 'I = ; a; − ÷ ÷, A ' D = 0; 2a; − a ÷ ÷ 2 2 ( ) uuuur uuur ax a2 ax ⇒ A 'K, A 'I = − ; 0; − ÷ 4 ÷ uuuur uuur uuuur a3 a2 x a2 A 'K, A 'I A ' D = − + = − (2a − x) 4 213 Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh uuuur uuur uuuur a2 A 'K, A ' I A 'D = (2a − x) 6 24 2a − x ≤ 2a ⇒ VA 'KID = a3 VA 'KID đạt giá trị lớn x = 0, lúc M ≡ A 12 ⇒ VA 'KID ≤ a a a 2 ÷ b) i M(0; a; 0), K ; ; ÷ 2 2 uuuur B'C = (0; 2a; − a 2) uuuur uuuur a2 a2 2 uuuur a a ⇒ B'C, B'K = − ; ; a ÷ phương a ÷ 2 B'K = − ; ; − ÷ ÷ 2 r với véctơ n = (1; − 1; − 2) Phương trình mặt phẳng (B’CK) có dạng: x − y − 2z + D = Qua B’ ⇔ a − − 2(a 2) + D = ⇔ D = a x = Trục Ox có phương trình tham số: y = z = t Thế vào phương trình (B’CK) t = a ⇒ (B’CK) cắt trục Oz N a 2 0; 0; ÷ : điểm trung điểm AA’ ÷ Thiết diện tạo (B’CK) hình hộp tứ giác B’CMN ( B’ a; 0; a ) C ( a; 2a; ) M (0; a; 0) a 2 ÷ N 0; 0; ÷ uuuur a B'N = −a; 0; − ÷ uuuur uuuuu r a2 a2 2 ÷ ;− ; − a2 ÷ ⇒ B'N, B'M = ÷ uuuuu r B'M = −a; a; − a ( ⇒ SB' MN = ) r uuuur uuuuu 1 a2 B' N, B'M = = a + + ÷ 2 uuuur B'C = 0; 2a; − a uuuuu r uuuur B'M, B'C = a2 2; − a2 2; − 2a2 ( 214 ( ) ) ⇒ SB' MC = uuuuu r uuuur 4 B'M B'C = 2a + 2a + 4a = a ⇒ SB'CMN = SB' MN + SB'MC = a2 3a2 + a2 = 2 a 2 ÷ ii Tâm mặt cầu đường kính AA’ N 0; 0; ÷ uuuuu r B'M = −a; a; − a ( ) uuuu r a 2 NB' = a; 0; ÷ ÷ uuuu r uuuuu r a2 a2 NB', B' M = ; − ; − a2 ÷ ÷ 1 uuuu r uuuuu r a4 + + ÷ NB', B'M 2 a a d(N, B' M) = = = = uuuuu r 2a B'M a2 ( + + ) Khoảng cách bán kính mặt cầu đường kính AA’ ⇒ đpcm Bài 45 Trong không gian toạ độ Oxyz cho hình chóp tứ giác S.ABCD coù S (3; 2; 4), B(1; 2; 3), D(3; 0; 3) a) Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng AC SD b) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Lập phương trình mặt phẳng qua BI song song với AC c) Gọi H trung điểm BD, G trực tâm tam giác SCD Tính HG Giải Để giải toán này, công nhận (không chứng minh) vài tính chất hình chóp tứ giác đều: + Chân đường cao hình chóp tâm đáy + Từ tâm đáy, kẻ đường vuông góc với cạnh bên SD, đường vuông góc đường vuông góc chung AC SD + Từ tâm đáy, kẻ đường thẳng vuông góc với mặt bên chân đường vuông góc trực tâm mặt bên a) H tâm đáy H(2; 1; 3) uuu r DS = (0; 2; 1) Goïi (P) mặt phẳng qua H vuông góc với DS, phương trình (P) có dạng: 2y + z + D = 215 Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh H ∈ (P) ⇔ + + D = ⇔ D = −5 (P): 2y + x − = x = Phương trình tham số đường thẳng SD: y = 2t z = + t Thế vào phương trình (P): 2.(2t) + + t − = ⇔ t = 17 ⇒ Tọa độ qua điểm K SD (P): K 3; ; ÷ 5 uuur r 2 HK = 1; − ; ÷ phương với a = (5; − 1; 2) 5 x = + 5t ⇒ Phương trình đường vuông góc chung AC SD: y = − t (t ∈ ¡ ) z = + 2t uuu r b) HS = (1; 1; 1) Tâm I(x; y; z) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thuộc SH, toạ độ I thoả phương trình tham số SH x = + t y = + t ⇒ I(2 + t; + t; + t) z = + t DI2 + SI2 ⇔ (t −1)2 + (t + 1)2 + t2 = (t −1)2 + (t −1)2 + (t −1)2 ⇔ t = 13 19 ⇒I= ; ; ÷ 6 6 uuu r Mặt phẳng (ABCD) nhận HS làm vectơ pháp tuyến Phương trình (ABCD) có dạng: x + y + z + D = H ∈ (ABCD) ⇔ + + + D = ⇔ D = −6 (ABCD) ≡ x + y + z − = Gọi C(x; y; z) Toạ độ C thỏa ba điều kieän: C ∈ (ABCD) ⇔ x + y + z − = (1) uuur HC = ( x − 2; y − 1; z − ) uuur BD = (2; −2; 0) uuur uuur HC ⊥ BD ⇔ x − − (y−1) = ⇔ x − y − = (2) CH2 = HB2 ⇔ (2 − x)2 + (1 − y)2 + (3 − z)2 = (3) 216 Giải hệ (1), (2), (3) C + ; 1+ ; 3− 1 ÷ C − ; − ; + ÷ 3 3 3 Do tính đối xứng nên kết toạ độ đỉnh A uur r 1 BI = ; − ; ÷ phương với a = (7; − 5; 1) 6 6 uuur 2 r AC = ; ;− ÷ phương với b = (1; 1; − 2) 3 3 r r r a, b = (9;15; 12) phương với n(3; 5; 4) r Chọn n làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BI song song với AC Phương trình mặt phẳng có dạng: 3x + 5y + 4z + D = qua B ⇔ D = −25 Phương trình mặt phẳng chứa BI song song với AC: 3x + 5y + 4z − 25 = c) S(3; 2; 4) D(3; 0; 3) C 1 ; −1+ ; 3− 2 + ÷ 3 3 uuu r SD = (0; − 2; − 1) uuu r 1 SC = −1 + ; −1+ ; −1− ÷ 3 3 uuu r uuu r SD, SC = + ; 1− ; −2+ ÷ 3 3 Phương trình (SCD) có dạng + ÷x + − ÷y − − ÷z + D = 3 3 3 D ∈ (SDC) ⇔ D = − 21 21 ⇒ (SCD) ≡ + =0 ÷x + − ÷y − − ÷z + − 3 3 3 SG = d(H, (SCD)) = 21 + 1 + −6+ +3− ÷+ − 3 3 2 1 + ÷ + 1 − ÷ + 2 − ÷ 3 3 3 3 = = = 2 Baøi 46 Trong không gian cho đoạn OO’ = h hai nửa đường thẳng Od, O’d’ vuông góc với Điểm M chạy Od, điểm N chạy O’d’ cho có OM2 + O’N2 = k2 (k > cho trước) 217 Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh a) Chứng minh đoạn thẳng MN có độ dài không đổi b) Xác định vị trí M Od, N bên O’d’ cho tứ diện OO’MN tích lớn c) Tìm điều kiện h, k để MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OO’ Giải a) Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ: O (0; 0; 0), O’(0; 0; h) M(m; 0; 0), N(0; n; h) MN2 = m2 + n2 + h2 Giả thiết: OM2 + O’N2 = k2 ⇔ m2 + n2 + k2 ⇒ MN2 = k2 + h2 không đổi uuuur uuuu r OM = (m; 0; 0) b) OO' = (0; 0; h) uuur ON = (0; n; h) r uuur uuuur uuuu VOO 'MN = OO', OM ON uuuur uuuu r OO', OM = (0;mh; 0) uuuur uuuu r uuur OO', OM ON = m.n.h ⇒ VOO' MN = m.n.h Từ m.n ≤ m + n2 k = ⇒ VOO' MN ≤ k h 2 12 m = n k ⇒ VOO' MN lớn ⇔ ⇔m=n= 2 2m + k ⇒ OM = O'N = k VOO' MN lớn c) Gọi K tiếp điểm MN với mặt cầu tâm I, đường kính OO’ Dễ thấy ∆IO'N = ∆IKN ⇒ O 'N = NK O' N + OM = MN ∆IOM = ∆IKM ⇒ OM = KM ⇔ O’N2 + OM2 + 2O’N.OM = MN2 ⇔ n2 + m2 + 2O’N.OM = m2 + n2 + h2 ⇔ h2 = 2OM.O’N ≤ OM2 + O’N2 ⇔ h ≤ k Bài 47 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a 218 a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD’ B’C AM = Tính khoảng cách từ b) Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỉ số MD M đến mặt phẳng (AB’C) c) Tính thể tích tứ diện AB’D’C Giải a) Đặt hình hộp chữ nhật ABCD.A”B’C’D’ vào hệ trục Oxyz hình vẽ: A(0; 0; 0) A’(0; 0; 3a) B(a; 0; 0) B’(a; 0; 3a) C(a; 2a; 0) C’(a; 2a; 3a) D(0; 2a; 0) D’(0; 2a; 3a) uuuur AD' = (0; 2a; 3a) uuuur B'C = (0; 2a; − 3a) uuuu r AB' = (a; 0; 3a) uuuur uuuur uuuu r AD', B'C AB' d(AD', B'C) = uuuur uuuur AD ', B'C uuuur uuuur AD', B'C = (12a2 ; 0; 0) uuuur uuuur uuuu r 12a3 AD', B'C AB' = −12a3 d(AD ', B'C) = =a 12a2 uuuur uuuur AD', B'C = 12a2 3a b) M 0; ; ÷ uuuur r AB' = (a; 0; 3a) uuuur uuur 2 uuur AB', AC = (−6a ; 3a ; 2a ) phương với vectơ n(6; − 3; − 2) AC = (a; 2a; 0) Phương trình mặt phẳng (AB’C) có dạng: 6x − 3y − 2z + D = qua A ⇔D=A (AB’C) ≡ 6x − 3y − 2z = 3a 9a 6.0 − − 2.0 3a d ( M, (AB'C) ) = = = 45 62 + (−3)2 uuuu r uuuur uuur AD' = (0; 2a; 3a) AC = (a; 2a; 0) c) AB' = (a; 0; 3a) uuuu r uuuur AB', AD' = −6a2 ; − 3a2 ; 2a2 ( ) 219 Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh uuuu r uuuur uuur AB', AD' AC = −6a3 + (−6a3 ) = −12a3 ⇒ VAB' D'C = uuuu r uuuur uuur AB', AD' AC = 2a3 Baøi 48 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Trên AB lấy điểm M, CC’ lấy điểm N, D’A’ lấy điểm P cho AM = CN = D’P = x (0 ≤ x ≤ a) a) Chứng minh MNP tam giác Tính diện tích tam giác MNP theo a x Định x để diện tích nhỏ a b) Khi x = , tính thể tích tứ diện B’MNP tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Giải a) Đặt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ vào hệ trục Oxyz hình vẽ A(0; 0; 0) A’(0; 0; a) B(a; 0; 0) B’(a; 0; a) C(a; a; 0) C’(a; a; a) D(0; a; 0) D’(0; a; a) uuuu r ⇒ M(x; 0; 0) MN = (a − x; a; x) N(a; a; x) ⇒ uuur MP = (−x; a − x; a) P(0; a − x; a) MN = (a − x)2 + a2 + x MP = (−x)2 + (a − x)2 + a2 NP = (−a)2 + (−x)2 + (a − x)2 ⇒ MN = NP = MP ⇔ MNP laø tam giác uuuu r uuur MN, MP = a2 − ax + x2 ; − x − a2 + ax; a2 − ax + x r uuur uuuu SMNP = MN, MP = 3(x − ax + a2 ) 2 ( ) 3 a 3a2 3a2 = (x − ax + a ) = x − ÷ + ≥ 2 2 a ⇒SMNP ⇔ x = a b) x = 220 B'(a; 0; a) r a uuuuu B'M = − ; 0; − a ÷ a M ; 0; ÷ 2 u u u u r a a ⇒ B'N = 0; a; − ÷ N a; a; ÷ 2 2 uuuu r a B'P = −a; ; ÷ a P 0; ; a ÷ uuuuu r uuuur a2 a2 B'M, B' N = a2 ; − ; − ÷ ÷ uuuuu r uuuur uuuu r a 5a3 B'M, B' N B' P = −a3 − = − 4 VB'MNP = r uuuu r uuuuu 5a3 B' M, B'P = 24 6 MI2 = BI2 2 Goïi I(x; y; z) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện B’MNP ⇒ MI = NI 2 MI = PI a x − ÷ + y + z = (x − a)2 + y2 + (z − a)2 2 2 a a 2 2 ⇔ x − ÷ + y + z = (x − a) + (y − a) + z − ÷ 2 2 2 x − a ÷ + y + z = x2 + y − a ÷ + (z − a)2 2 2 7a 7a x = 12 x + 2z = 5a ⇔ x + 2y + z = 2a ⇔ y = 12 −x + y + 2z = a 7a z = 12 R2 = 7a 5a 7a ⇒ I ; ; ÷ 12 12 12 a2 + 25a2 + 49a2 75a2 3a = ⇒R= 144 144 12 Baøi 49 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hai điểm M, N di động hai đoạn thẳng BD B’A tương ứng cho BM = B’N = x Gọi α β góc tạo đường thẳng MN với đường thẳng BD B’A 221 Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh a) Tính độ dài đoạn MN theo a x Định x để MN ngắn b) Tính α, β MN ngắn c) Chứng minh cos2α + cos2β không phụ thuộc vào x Giải a) Đặt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ vào hệ trục Oxyz hình vẽ A(0; 0; 0) A’(0; 0; a) B(a; 0; 0) B’(a; 0; a) C(a; a; 0) C’(a; a; a) D(0; a; 0) D’(0; a; a) x x M = a − ; ; 0÷ 2 x x Na − ; 0; a − ÷ 2 2 x x MN = ÷ + a − ÷ 2 a a2 a = x − 2a + a = x − + ≥ ÷ 2 2 x 2 a a a a b) Khi MN ngắn M ; ; ÷; N ; 0; ÷ 2 2 2 uuuu r a a uuur MN = 0; − ; ÷; BD = ( −a; a; ) 2 uuuu r uuur cos MN, BD = ( ) uuuur B'A = (a; 0; a) uuuu r uuuur cos MN, B' A = ( ) − a2 a2 2a2 a2 a2 2a2 =− = o o ⇒ góc MN BD 60 (α = 60 ) o o ⇒ góc MN B’A 60 (β = 60 ) uuuu r x x uuur ; a− c) MN = 0; − ÷; BD = (−a; a; 0) 2 222 − uuuu r uuur cos MN, BD = ( ) ) 2 = x a a − ÷ 2 2 x2 x − + a − ÷ ÷ a ÷ 2 = x a − ÷ 2 cos2 β = ; x 2 x − ÷ + a − ÷ 2 2 x x − ÷ + a − ÷ 2 2 x − ÷ 2 x − ÷ + a − 2 2 cos α + cos β = x 2 − ÷ + a − 2 x x − ÷ + a − ÷ 2 2 ⇒ cos2 α = x − x x + a − − ÷ ÷ a ÷ 2 uuuu r uuuur cos MN, B' A = ( ax x a − ÷ 2 x 2 x − + a − ÷ ÷ 2 x ÷ 2 2 x ÷ = Bài 50 Cho hai tia Am, Bn chéo nhau, vuông góc với nhận AB = 2a làm đoạn vuông góc chung, M điểm Am, N điểm Bn · Gọi O trung điểm AB Đặt MON = α a) Chứng minh α > 90o Trong câu sau, giả sử M, N di động cho α không đổi b) Chứng minh diện tích S tam giác OMN không đổi c) Gọi I trung điểm MN, x y khoảng cách từ I đến hai mặt phẳng (AB, Bn), (AB, Am) Chứng tỏ rằng: S2 = a2 (x2 + y2) + 4x2y2 Giải Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ: O(0; 0; 0) M(m; 0; −a) A(0; 0; −a) N(0; n; a) m n B(0; 0; a) I ; ; 0÷ 2 uuuu r uuur a) OM = (m; 0; − a) ; ON = (0; n; a) 223 Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích − Phần – Bùi Ngọc Anh uuuu r uuur cos OM, ON = ( ) b) Từ cos α = − a2 2 2 m +a n +a − a2 m + a2 n + a2 ⇒ (m + a2 ).(n + a2 ) = < ⇔ α > 90o ⇔ m + a n + a2 = − a2 cos α a4 cos2 α uuuu r uuuu r uuur OM = (m; 0; − a) ⇒ OM, ON = (an; − am; mn) uuur ON = (0; n; a) r uuur uuuu 2 SOMN = OM; ON = a n + a2 m + m n = (a2 + m )(a2 + n ) − a4 2 = a4 1 − a = a2 − = a2 tan α = không đổi 2 cos2 α 2 cos α c) (AB, Bn) = (yOz) ≡ x = (AB, Am) = (xOz) ≡ y = m d ( I; (AB, Bn) ) = x = ⇔ m = 4x 2 n d ( I; (AB, Am) ) = y = ⇔ n = 4y 2 SOMN = a (4x2 + 4y ) + 16x y = a2 (x + y ) + 4x y 2 ⇔ S2 = a2(x2 + y2) + 4x2y2 (đpcm) Lời bàn: 10 tập bổ sung cung cấp cho độc giả phương pháp tập hình không gian việc sử dụng hệ trục toạ độ Oxyz, phương pháp dễ dàng, tính toán mà không cần lập luận, giải thích Tuy nhiên, áp dụng tập mà giả thiết có đường thẳng đồng quy đôi vuông goùc 224 ... 3; 1; 11 33 33 ÷ ( ) 6m − 6m + r 6m − 6m + ? ?12 m + 12 m − 18 m − 18 m + a= ; ; ữ ã ữ 11 11 11 11 2 19 + 6m − 6m r 6m − 6m − 19 ; −6m + 6m + 19 ; ? ?12 m + 12 m + 38 ÷÷ b= 11 33... (1) : x = ; từ (2): y = − vào (3): z + 3z + 21 4 + 12 z − = ⇔ 16 9z ? ?1 = ⇔ z = ÷+ 16 9 1 +2 +7 339 11 3 ; y = 16 9 296 ⇒ x = 16 9 = = − =− 3 .16 9 16 9 16 9 11 3 −269 ; ; ⇒ H ÷ 16 9 16 9 16 9... hệ (1) (2): − 21 + 21p + 10 − 10 p m= = 11 − 11 p −2m + 5n = − 3p ? ?1 ⇔ 3m − 7n = −2 + 2p n = − 4p − + 9p = − 5p ? ?1 10 Thế vào (3): 11 – 11 p + 4p = ⇔ p = r −33 ? ?15 33 r 15 r 10 r