Về môđun M CP nội xạ

MỞ ĐẦU Môđun nội xạ đối tượng nghiên cứu lý thuyết vành môđun Người ta mở rộng khái niệm thành khái niệm môđun M-nội xạ, môđun tự nội xạ, môđun M-nội xạ cốt yếu, …Trên sở tương tự dựa yếu tố nội xạ, luận văn tìm hiểu khái niệm tính chất môđun M-cp-nội xạ Giả sử M N hai R-môđun Khi đó, môđun N gọi Mcp-nội xạ môđun đóng M-xyclic X M, đồng cấu f từ X đến N mở rộng tới đồng cấu từ M đến N Môđun N gọi cp- nội xạ R-cp-nội xạ Rõ ràng môđun M-p-nội xạ M-cp-nội xạ, điều ngược lại nói chung không Luận văn dựa báo “Quasi-c-Principally injective Modules and self-c-Principally injective Rings” A.K.Chaturvedi, B.M.Pandeya A.J.Gupta, đăng Southeast Asian Bulletin of Mathemmatics (2009) 33: 685-702 để tìm hiểu trình bày cách chi tiết môđun M-cp-nội xạ Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo luận văn chia làm hai chương Chương Trình bày kiến thức tổng trực tiếp, tích trực tiếp, môđun cốt yếu, môđun đóng, môđun M-xyclic điều kiện (Ci) môđun nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương Ngoài ra, trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương Đây nội dung luận văn Trong chương trình bày kiến thức môđun M-nội xạ, môđun Mcp-nội xạ số tính chất môđun M-cp-nội xạ Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, thầy tận tình bảo, dìu dắt, giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tin bước đầu nghiên cứu khoa học, dành cho tác giả ý kiến đạo quý báu để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo chuyên nghành Đại số Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo sau đại học Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn cho học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu theo chương trình liên kết sau đại học hai trường Đại học Vinh Đại học Sài Gòn Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, tạo kiều kiên thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp chân thành quý thầy, cô giáo bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng 08 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Mai Lam BẢNG KÝ HIỆU A B Môđun A đẳng cấu với môđun B A M A môđun môđun M A  M A môđun cốt yếu M A  M A hạng tử trực tiếp M A B Tổng trực tiếp A B  N Tích trực tiếp họ môđun ( N ) I  N Tổng trực tiếp họ môđun ( N ) I I I Phép nhúng □ Kết thúc chứng minh Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong luận văn vành giả thiết vành có đơn vị, ký hiệu môđun môđun phải unita Nếu không viết thêm ta hiểu môđun vành R cố định 1.1 TỔNG TRỰC TIẾP 1.1.1 Định nghĩa Cho  Ai  iI R-môđun M Khi họ tùy ý môđun Ai thỏa mãn:  iI Ak   Ai  k  I iI ik Ai  iI gọi tổng trực tiếp môđun Ai , i  I Kí hiệu là:  Ai iI 1.1.2 Định lí (Định lí tính phổ dụng tổng trực tiếp) Giả sử B R-môđun với họ đồng cấu  j : Aj  B , j  I Khi tồn đồng cấu  :  Ai  B cho  p j   j , tức biểu đồ sau giao hoán  Ai  B iI j pj Aj Chứng minh Ta chọn  : i A  B xác định  ( x)   i ( xi ) với I i iI x   xi iI   Ai Khi iI ta  (ax  by)   i (axi  byi )  a i ( xi )  b i ( yi )  a ( x)  b ( y) iI iI có: với iI a, b R với x   xi iI  i A , y   yi iI   Ai Vậy  I i iI đồng cấu Dễ thấy  p j ( x j )   [ x j ]   j ( x j ) với x j  Aj nên  p j   j với j  I Tiếp tục giả sử có đồng cấu   : i A  B cho I i jI với pj   j  j ( x j )    p j ( x j )     p j ( x j )    ( x j )    iI  với Khi jI , nên  ( x)      [ xi ]    ([ xi ])   i ( xi )   ( x) iI với iI x   xi iI   Ai Do  ( x)   ( x) với x   Ai hay     Vậy iI iI đồng cấu  □ 1.1.3 Định lí Cho M R-môđun  Ai  iI họ môđun R-môđun M Khi khẳng định sau tương đương (i) Ai  iI tổng trực tiếp họ  Ai  iI (ii) Với phần tử x thuộc Ai  iI biểu thị dạng x  ai1  ai2   ain , j  Ai j , i j  I (iii) Đẳng thức ai1  ai2   ain   Ai j , i j  I , i  1,2, , n xảy ai1  ai2   ain  j Chứng minh (i)  (ii) Với phần tử x thuộc Ai , tồn tập  iI hữu hạn J  I cho x có biểu thị x   với  Ai Giả sử có iJ tập hữu hạn J '  I cho x có biểu thị x   ai' với ai'  Ai Đem iJ ' trừ theo vế hai biểu thị x, ta nhận (a  ai' )  ,  iJ  J ' i  i  J ' \ J ai'  i  J \ J ' Như với j  J  J ' a j  a 'j   iJ  J ',i  j Bởi Ai  iI    i  j  (ai'  )  A j    Ai  tổng trực tiếp họ  Ai  iI , điều kéo theo a j  a'j với j  J  J ' , tức hai biểu thị x trùng (ii)  (iii) Ta có phần tử   Ai có biểu thị : = + +….+ iI Do có biểu thị khác = ai1  ai2   ain , tính biểu thị , ta phải có ai1  ai2   ain    i  jI  (iii)  (i) Giả sử i  I phần tử Ai    Aj  Khi tồn j1 , , j2  I \ i  a j1  a j1   a jn , hay a ji  Aji , i  1,2, , n cho  a j1  a j1   a jn  Theo giả thiết, điều   i jI  kéo theo  a j1  a j1   a jn  Vậy Ai    Aj   0 với i  I , tức Ai  iI tổng trực tiếp họ  Ai  iI □ 1.1.4 Định nghĩa Cho M R-môđun, A môđun M, kí hiệu A  M Khi A gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun B M cho A  B  A  B  M , M  A  B Ký hiệu A  M có nghĩa A hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi không phân tích M hạng tử trực tiếp M 1.2 TÍCH TRỰC TIẾP 1.2.1 Định nghĩa Cho  Ai  iI họ tùy ý R-môđun Khi tích Đề  Ai  (ai ) | i  I ,  Ai  với phép cộng phép I nhân với vô hướng theo thành phần: gọi tích trực tiếp họ  Ai  iI (ai )  (bi )  (ai  bi ) R-môđun, (ai )r  (ai r ) 1.2.2 Định lí (Định lí tính phổ dụng tích trực tiếp) Giả sử B R-môđun với đồng cấu  j : B  Aj , j  I Khi tồn đồng cấu  : B   Ai cho g j    j , tức biểu đồ iI sau giao hoán  B  Ai i I gj j Aj Chứng minh Ta chọn  : B   Ai xác định  ( x)    j ( x)  jI với iI x B Khi ta có  (ax  by )   i (ax  by) iI   ai ( x )  bi ( y ) iI  a  i ( x)   b  i ( y)  iI iI Do  (ax  by)  a ( x)  b ( y) với a, b R x, y  B Vậy  đồng cấu R-đồng cấu Dễ thấy g j  ( x)  g j   ( x)   g j   i ( x) iI    j ( x) với x  B nên g j    j với j  I Bây giả sử có đồng cấu   : B   Ai cho g j     j với iI j  I Khi  j ( x)  g j  ( x)  g j   ( x)  với j  I , nên  ( x)   i ( x) iI với x  B Do  ( x)   ( x) với x  B hay     Vậy đồng cấu  □ 1.3 MÔĐUN CON CỐT YẾU 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun A môđun M Ta nói A môđun cốt yếu M với môđun B khác M A  B  (Một cách tương đương, A  B  B  ) Khi ta nói M mở rộng cốt yếu A Kí hiệu A  M 1.3.2 Ví dụ i)Với môđun M ta có M  M ii) Xem vành số nguyên   -môđun, ta có n  , n  Thật vậy, lấy  A, B   , ta có A  m, B  n, m, n  suy mn  m mn  nm  n Từ suy mn  m  n Hay A  B  Vậy n  , n  1.3.3 Tính chất a) Cho A môđun M Khi A  M  xR  A  0, x  0, x  M b) Cho A  N  M Khi A  M  A  N N  M c) Cho A  M B  M A  B  M n n i 1 i 1 d) Ai  M i  M , Ai  M i , i  1, n  Ai   M i e) Cho A  N  M N / A  M / A N  M f) Cho f : M  N đồng cấu môđun B  N f 1 ( B)  M g) Cho M i  M , M   M i Ai  M i , i  I Khi tồn iI  Ai iI M i  i Mi  I iI i A   M i I i iI Chứng minh a)* Cho A môđun M Giả sử A  M , ta cần chứng minh xR  A  0, x  0, x  M Thật  x  M nên  xR  M Mặt khác A  M nên A  xR  * Cho A môđun M Giả sử xR  A  0, x  0, x  M , ta cần chứng minh A  M Lấy  B  M suy tồn x  B , x  Ta có A  xR  mà xR  B suy A  B  Vậy A  M □ b) (  )Giả sử A  N  M A  M , ta cần: *Chứng minh A  N Lấy X  N  M , X  Do A  M nên A  X  Vậy A  N *Chứng minh N  M Lấy Y  M ,Y  Do A  M nên A  Y  Mà A  N nên N  Y  Vậy N  M (  )Giả sử A  N  M ; A  N N  M Ta chứng minh A  M Thật vậy, lấy X  M , X  Do N  M nên N  X  Đặt B  N  X  N Do A  N nên A  B  suy A  N  X  A  X  Vậy A  M □ c) Giả sử A  M B  M ta chứng minh A  B  M Thật vậy, lấy X  M , X  Do B  M nên B  X  0, B  X  M A  M suy A  ( B  X )   ( A  B)  X  Vậy A  B  M □ d) Dùng phương pháp quy nạp theo n , ta chứng minh mệnh đề với n  Cho A1  M1  M , A2  M  M Ta chứng minh A1  A2  M1  M Lấy B  M  M , B  suy B  M1 A1  M nên A1  B  Đặt X  A1  B Lấy A2  M A2  X  suy ( A1  B)  A2  ( A1  A2 )  B  Vì A1  A2  M  M □ Chú ý Trường hợp vô hạn không đúng, tức   i 1 i1 Ai  M i  M , Ai  M i , i  1,   Ai không cốt yếu  M i   n 1 i 1 Ví dụ Ta có n  , n  Nếu có  n   Ai , Ai  , i suy   (vô lý) e) Giả sử A  N  M , N / A  M / A Ta cần chứng minh N  M Lấy X  M , X  Ta chứng minh X  N  Thật vậy, ta có X  A / A  M / A Nếu X  A / A  suy X  A  A X  A  N Vì X  N  Nếu X  A / A  N / A  M / A suy X  A / A  N / A  nên tồn n  A  cho n  A  x  a  A suy n  a  x  a  a với a, a  A, n  N , x  X , x  A suy x  n  a  a  a  N X  N  Vậy N  M □ f) Lấy X  M , X  Trường hợp f ( X )   X  kerf  f 1 (0) mà f 1 (0)  f 1 ( B) (do  B ) suy X  f 1 (B) nên X  f 1 ( B)  X  Vậy f 1 (B)  M Trường hợp f ( X )  0, f ( X )  N Do B  N nên suy B  f ( X )  Do tồn b  f ( x)  , với b  B, x  X , x  Suy f ( x)  B  x  f 1 ( B )  x  X  f 1 ( B) Vậy f 1 ( B )  M □ g) Trường hợp Nếu I hữu hạn I  n Ta cần chứng minh mệnh đề với n  Cho A1  M1 , A2  M  M  M    A1  A2  M  M Thật vậy, A1  A2 Ta chứng A1  M , A2  M A1  A2  M  M  M  M Vì M  M  10 minh: suy cho  (mk )  (mk ), k  K Khi giả thiết  mở rộng tới đồng cấu  : mR  N Bây ta định nghĩa  : A  mR  N cho  (a  mr )   (a)   (mr ) Khi đó, a+mr=0 r  K  (a)   (mr )   (a)   (mr )   (a)  (mr )   (a  mr )  0, k  K Nhưng cặp (A+mR,  ) mâu thuẫn với tính tối đại (A,  ) Do A = M  : M  N mở rộng  □ 2.1.4 Mệnh đề N =  N M- nội xạ N M-nội I xạ với   I Chứng minh (  ) Giả sử N môđun nội xạ, i : X  M phép nhúng đồng  : X  N đồng cấu với   I Gọi  : N  N phép nhúng tắc ta có  : X  N đồng cấu Do N nội xạ nên tồn đồng cấu  : M  N cho biểu đồ sau giao hoán, nghĩa  i   i X  M   N  N Bây ta xét đồng cấu     ,   : N  N phép chiếu tắc, ta có: i  (  )i    ( i)    (  )   Điều chứng tỏ N nội xạ (  ) Giả sử N môđun nội xạ với   I Xét biểu đồ giao hoán i X M   N   N 20 i phép nhúng đồng nhất,  đồng cấu từ X vào N,   phép chiếu tắc từ N vào N ,  đồng cấu có tính nội xạ N ,     i Khi đó, theo tính chất phổ dụng tích trực tiếp [1, định lý 3.2], tồn đồng cấu  từ M vào N cho     , cụ thể với m  M :  (m)   (m) ,   I Ta khẳng định   i Thật , với x  X ta có  ( x)    ( ( x))   i( x)    ( i( x))  i( x) ,   I suy  ( x)   i( x) Do   i Điều chứng tỏ N nội xạ □ 2.2 MÔĐUN M-CP-NỘI XẠ 2.2.1 Định nghĩa i) Cho M N hai R-môđun phải Khi môđun N gọi M-p-nội xạ (M-p-injective) đồng cấu  từ môđun Mxyclic X M đến N mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N X xyclic i M   N ii) Cho M N hai R-môđun phải Khi môđun N gọi M-c-nội xạ (M-c-injective) đồng cấu  từ môđun đóng X M đến N mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N X đóng i M   N 21 iii) Cho M N hai R-môđun Khi đó, môđun N gọi Mcp-nội xạ (M-cp-injective) môđun đóng M-xyclic X M, đồng cấu  từ X vào N mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N N gọi cp-nội xạ R-cp-nội xạ i X đóng,xyclic M   N Rõ ràng môđun M-p-nội xạ M-cp- nội xạ; M-c-nội xạ M-cp-nội xạ, điều ngược lại nói chung không N M-p-nội xạ N M-cp-nội xạ; N M-c-nội xạ N M-cp-nội xạ 2.2.2 Ví dụ 1) Cho  vành số nguyên Khi đó,  -môđun   -cpnội xạ không  -p-nội xạ 2) Cho R = Cho F 0 MR 0 F  F    0 = F  0 = F F ,  F F F ,  với F trường 0 F  0 ,  0 PR =  0  F  ,  0 QR =  P  QR 0   0 F  NR =  Khi PR, QR, P  QR NR M-cp-nội xạ , không môđun M-c-nội xạ Chứng minh 1) Cho  vành số nguyên Theo ý 1.4.6(ii) môđun  môđun  -xyclic không môđun đóng Khi 2 môđun  -xyclic  Giả sử  : 2   22 đồng cấu cho  (2a)  a, 2a  2 Giả thiết có đồng cấu  :    cho biểu đồ sau giao hoán i 2     Khi ta có   (2)  (i(2))  2 (1) Vô lý Vì  thành đồng cấu  Do  -môđun không  -p-nội xạ Theo ý 1.4.6 (ii) môđun  môđun  xyclic không môđun đóng Vì môđun đóng   Do  -môđun   -cp-nội xạ F F F  0 2) Cho MR   □ R-môđun phải Khi P Q môđun đóng MR Giả sử  : Q  P đồng cấu cho  (0, x )    0  =  (x,0)     0 với x  F Rõ ràng  đẳng cấu Giả  (0,0)   0  thiết có đồng cấu khác không  : M  P Khi    (x,0)  với 0   x F  a (b, c)   F     0 F F ,  ta = có  a (b, c)   1 (0,0)   a (b, c)    (x, 0)   a (b, c)   (0,0)     =      =       0   0  0    0   0   0  Vì ,  = Điều có nghĩa  đồng cấu không Vì vậy,  mở rộng thành đồng cấu từ M đến P Do đó, P không M-cnội xạ Tương tự, QR, P  QR NR không môđun M-c-nội xạ 23 Theo trên, rõ ràng P Q môđun đóng M, không môđun M-xyclic M Vì vậy, môđun M-xyclic M M Do PR, QR, P  QR NR môđun M-cp-nội xạ □ 2.2.3 Nhận xét Trong [11], Xue giới thiệu khái niệm môđun với tính chất (**) Một môđun M gọi thỏa mãn tính chất (**) tự đồng cấu khác không M toàn cấu Đối với môđun M với tính chất (**), môđun M-xyclic M Vì vậy, ví dụ rõ ràng R-môđun N M-cp-nội xạ, môđun M-c-nội xạ 24 2.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN M-CP-NỘI XẠ 2.3.1 Mệnh đề (i) Cho M R-môđun {Ni : i  I} họ R-môđun Khi iI Ni M-cp-nội xạ Ni M-cp-nội xạ, với i  I (ii) Cho X môđun đóng M-xyclic R-môđun M Nếu X M-cp-nội xạ, X hạng tử trực tiếp M (iii) Cho A, B M R-môđun với A đẳng cấu B Nếu A M-cpnội xạ, B M-cp-nội xạ (iv) Cho M, N A R-môđun với M đẳng cấu N Nếu A N-cpnội xạ, A M-cp-nội xạ Chứng minh (i) Chứng minh tương tự [9, Mệnh đề 2.2] (ii) Cho I: X  X đồng thức i: X  M (phép nhúng) bao hàm thức Vì X M-cp-nội xạ, nên tồn đồng cấu f: M  X cho I = fi Do đó, X hạng tử trực tiếp M i Xđóng,xyclic I M f X (iii) Hiển nhiên (iv) Cho f : M  N phép đẳng cấu C môđun đóng M-xyclic M Chúng ta thấy rằng, f (C ) N-xyclic đóng N Giả sử:  : C  A đồng cấu, (  f 1 ) đồng cấu từ f (C ) vào A, f 1 ánh xạ ngược từ N đến M, cho ff 1  I Vì A N-cp-nội xạ, (  f 1 ) mở rộng thành đồng cấu h : N  A Chúng ta ý rằng, có đồng cấu hf từ M đến A mở rộng  Do A M-cp-nội xạ 25 □ 2.3.2 Hệ Cho M Ni R-môđun, i A A tập hợp hữu hạn Khi đó, với i, Ni M-cp-nội xạ in1 Ni M-cp-nội xạ 2.3.3 Bổ đề Cho A môđun B-xyclic đóng B B môđun M-xyclic đóng R-môđun M Khi A môđun M-xyclic đóng M (Ađóng,xyclic  B, Bđóng,xyclic  M  Ađóng,xyclic  M) Chứng minh Từ [6, Mệnh đề 1.5], A môđun đóng B B môđun đóng M, A môđun đóng M Ngoài ra, ta dễ dàng thấy được, A môđun B-xyclic B B môđun M-xyclic M, A môđun M-xyclic M Bằng cách kết hợp hai điều trên, ta nhận kết cần chứng minh □ 2.3.4 Mệnh đề Cho A M R-môđun Giả sử B môđun A-xyclic đóng A N hạng tử trực tiếp M Nếu M A-cp- nội xạ, đó: (i) N B-cp-nội xạ, (ii) N A-cp- nội xạ, (iii) M B-cp-nội xạ Chứng minh Giả sử B môđun A-xyclic đóng A, N hạng tử trực tiếp M M A-cp- nội xạ Ta cần chứng minh N B-cp-nội xạ Thật vậy, cho X môđun B-xyclic đóng B từ giả thiết B môđun A-xyclic đóng A Khi đó, theo Bổ đề 2.3.3, X môđun A-xyclic đóng A Giả sử f : X  N đồng cấu kỳ, j1 : N  M đơn ánh tự nhiên,  : M  N phép chiếu 26 i : X  B i1 : B  A phép nhúng chìm Vì M A-cp-nội xạ, nên tồn đồng cấu g : A  M cho j1 f  gi1i Điều có nghĩa 1 j1 f  1gi1i Khi đó, If  hi , I   j1 h   1gi1 đồng cấu từ B đến N Vì f  hi , N B-cp-nội xạ i Xđóng,xyclic h f N (i) i Bđóng,xyclic A g j1 1 M Phần xem Hệ 2.3.2 (ii) Phần rõ ràng (i) □ 2.3.5 Hệ Cho N M hai R-môđun Khi đó, N M-cp-nội xạ N X-cp-nội xạ cho môđun M-xyclic đóng X M 2.3.6 Hệ Cho M, A hai R-mô đun M A-cp-nội xạ Nếu N hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp A, N B-cp-nội xạ 2.3.7 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương cho R-môđun M: (i) M CMS-môđun (ii) Mỗi R-môđun M-cp- nội xạ (iii) Mỗi môđun M-xyclic đóng M M-cp-nội xạ Chứng minh (i)  (ii) Hiển nhiên môđun M-xyclic đóng CMS-môđun hạng tử trực tiếp (ii)  (iii) Dễ dàng chứng minh (iii)  (i) Theo Mệnh đề 2.3.1 ii 27 □ 2.3.8 Mệnh đề Các phát biểu sau tương đương cho Rmôđun M: (i) M nội xạ (ii) M N-c-nội xạ cho R-môđun N (iii) M N-cp-nội xạ R-môđun N Chứng minh (i) (iii)   (ii) (ii)  (iii) hiển nhiên (i) Giả sử M nội xạ Khi đó, M  E , E bao nội xạ M Chúng ta xem xét tổng trực tiếp M E ký hiệu M  E Vì M môđun M-xyclic đóng M  E Cho I : M  M đồng thức, i : M  E đơn cấu j2 : E  M  E phép nội xạ tự nhiên Từ giả thiết (iii), M M  E -cp-nội xạ Vì thế, I mở rộng thành đồng cấu f : M  E  M cho I  fj2i Điều chứng tỏ I  gi , fj2  g đồng cấu từ E đến M Vì M hạng tử trực tiếp E, M nội xạ □ Tính chất CM môđun định nghĩa [3] Ví dụ 2.2.2 môđun đóng môđun M môđun M-xyclic M Kết sau cung cấp điều kiện đủ cho môđun M-cp-nội xạ mở rộng 2.3.9 Mệnh đề Các phát biểu sau tương đương cho Rmôđun M: (i) M mở rộng môđun (ii) Mỗi R-môđun M-c-nội xạ (iii) Mỗi R-môđun M-cp-nội xạ M đáp ứng tính chất CM Chứng minh (i)  (ii) [5, Mệnh đề 2.2] 28 (ii)  (iii) Cho X mô đun đóng M Khi đó, từ giả thiết (ii), X M-c-nội xạ Vì vậy, X hạng tử trực tiếp M, M thoả mãn tính chất CM Phần lại hiển nhiên (iii)  (i) Cho X đóng M Từ M thỏa mãn tính chất CM, X môđun M-xyclic M Từ giả thiết (iii), môđun M-xyclic đóng X M-cp-nội xạ, từ Mệnh đề 2.3.1 (ii), X hạng tử trực tiếp M Vì M môđun mở rộng □ 2.3.10 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương với môđun M xạ ảnh: (i) Mỗi ảnh đồng cấu môđun M-cp- nội xạ M-cp-nội xạ (ii) Mỗi ảnh đồng cấu môđun M-c-nội xạ M-cp-nội xạ (iii) Mỗi ảnh đồng cấu môđun M-nội xạ M-cp-nội xạ (iv) Mỗi ảnh đồng cấu R-môđun nội xạ M-cp-nội xạ (v) Mỗi môđun M-xyclic đóng M xạ ảnh Chứng minh (i) (iv)   (ii), (ii)  (iii) (iii)  (iv) hiển nhiên (v) Cho X môđun M-xyclic đóng M Bây giờ, ta phải X xạ ảnh Từ Bổ đề 5.1 [2, Chương 1], X xạ ảnh hai R-môđun N K, N nội xạ  : N  K toàn cấu, đồng cấu  : X  K nâng lên đồng cấu từ X đến N Hãy xem xét biểu đồ sau: N  K  X M Từ giả thiết (iv), K M-cp- nội xạ  mở rộng 29 đến đồng cấu  : M  K Vì M xạ ảnh ,  nâng lên thành đồng cấu  : M  N Khi đó,  / X rõ ràng nâng lên  X xạ ảnh (v)  (i) Cho X môđun M-xyclic đóng M N M-cp-nội xạ R-môđun Giả sử K môđun N  : N  N K toàn cấu tắc Hãy xem xét biểu đồ sau: X M  N/K N Từ giả thiết (v), X xạ ảnh đồng cấu  : X  N K nâng lên thành đồng cấu  : X  N Vì N M-cp- nội xạ,  mở rộng đồng cấu từ M đến N Nó rõ ràng đồng cấu  từ M đến N K mở rộng  □ Ta gọi iđêan vành R iđêan đóng phần mở rộng cốt yếu riêng bên R Một vành R gọi C-chính quy phải iđêan phải đóng hạng tử trực tiếp Mỗi vành quy C-chính quy, ngược lại không Ví dụ, tập hợp số nguyên Z C-chính quy không quy 2.3.11 Mệnh đề Cho R vành, điều kiện sau tương đương: (i) R C-chính quy phải (ii) RR CMS-môđun (iii) Mỗi R-môđun R-cp-nội xạ (iv) Mỗi R-môđun xyclic R-cp-nội xạ Chứng minh (i) (ii) (iii)    (ii) Hiển nhiên (iii) Theo Mệnh đề 2.3.7 (iv) Dễ dàng chứng minh 30 (iv)  (v) Cho aR Iđêan phải đóng R với a  R Vì aR R- môđun phải xyclic, từ giả thiết (iv), aR R-cp-nội xạ Từ Mệnh đề 2.3.1 (ii), aR hạng tử trực tiếp R Do R □ C-chính quy phải 31 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại phần kết đăng báo “Quasi-c-Principally injective Modules and self-c-Principally injective Rings” A.K.Chaturvedi, B.M.Pandeya A.J.Gupta, đăng Southeast Asian Bulletin of Mathemmatics (2009) (xem [4]) Cụ thể luận văn thực nội dung sau: Trình bày định nghĩa môđun M-nội xạ, môđun M-p-nội xạ, môđun M-c-nội xạ, môđun M-cp-nội xạ ví dụ Trình bày số mệnh đề liên quan (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.3.1, Bổ đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.4, Mệnh đề 2.3.6, Mệnh đề 2.3.7, Mệnh đề 2.3.8, Mệnh đề 2.3.10) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [2] H Cartan, S Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton University Press, Princeton [3] A.K Chaturvedi, B.M Pandeya, A.J Gupta, Modules whose closed M-cyclics are summand, ( to appear) [4] A.K Chaturvedi, B.M Pandeya and A.J Gupta (2009), Quasi-cPrincipally Injective Modules and Self-c-Principally Injective Rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics 33: 685-702 [5] C.S Clara, P.F Smith (2000), Modules which are self-injective relative to closed submodules, Contemporary of Mathemmatics 259, American math Soc Providence, pp 487-499 [6] N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith, R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman London [7] F Kasch (1982), Modules and Rings, Ludwig-Maximilian University, Munich, Germany [8] S.H Mohamed, B.J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, Cambridge Univ.Press, Cambridge, UK [9] D.W.Sharpe, P.Vamos (1972), Injective Modules, Cambridge University Press, Cambridge [10] P.F.Smith and A.Tercan, Continuous and Quasi-continuous Modules (1992) Houston Journal of Mathemmatics, 18 (3) 339374 33 [11] W Xue (1994), On Morita Duality, Bull Austral Math Soc 49 (1) 35-45 34 [...]... m t m đun con M- xyclic của M Từ giả thiết (iii), m t m đun con M- xyclic đóng của X là M- cp- nội xạ, và do đó từ M nh đề 2.3.1 (ii), X là m t hạng tử trực tiếp của M Vì vậy M là m t m đun m rộng □ 2.3.10 M nh đề Các điều kiện sau đây tương đương với m t m đun M xạ ảnh: (i) M i ảnh đồng cấu của m i m đun M- cp- nội xạ là M- cp- nội xạ (ii) M i ảnh đồng cấu của m i m đun M- c -nội xạ là M- cp- nội xạ (iii) M i... Ni là M- cp- nội xạ nếu và chỉ nếu Ni là M- cp- nội xạ, với m i i  I (ii) Cho X là m t m đun con đóng M- xyclic của m t R -m đun M Nếu X là M- cp- nội xạ, khi đó X là m t hạng tử trực tiếp của M (iii) Cho A, B và M là R -m đun với A đẳng cấu B Nếu A là M- cpnội xạ, khi đó B là M- cp- nội xạ (iv) Cho M, N và A là R -m đun với M đẳng cấu N Nếu A là N-cpnội xạ, khi đó A là M- cp- nội xạ Chứng minh (i) Chứng minh tương... có thể m rộng tới đồng cấu  từ M vào N N được gọi là cp- nội xạ nếu nó là R -cp- nội xạ i X đóng,xyclic M   N Rõ ràng m i m đun M- p -nội xạ là M- cp- nội xạ; M- c -nội xạ là M- cp- nội xạ, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng N là M- p -nội xạ N là M- cp- nội xạ; N là M- c -nội xạ N là M- cp- nội xạ 2.2.2 Ví dụ 1) Cho  là vành các số nguyên Khi đó,  -m đun  là  -cpnội xạ nhưng không là  -p -nội xạ 2)... N là X -cp- nội xạ cho m i m đun con M- xyclic đóng X của M 2.3.6 Hệ quả Cho M, A là hai R -m đun và M là A -cp- nội xạ Nếu N là m t hạng tử trực tiếp của M và B là m t hạng tử trực tiếp của A, khi đó N là B -cp- nội xạ 2.3.7 M nh đề Các điều kiện sau đây tương đương cho m t R -m đun M: (i) M là CMS -m đun (ii) M i R -m đun là M- cp- nội xạ (iii) M i m đun con M- xyclic đóng của M là M- cp- nội xạ Chứng minh (i)... đó M1  M 2  M1   M 2 Thật vậy, lấy m1  m2  M1  M 2 Do m2  M 2  m2  M  M 1  M 1 suy ra m2  m1   m1  nên  (m2 )  m1  Vậy m1  m2  m1  m1   m1   m1  m1    (m2 )  M1   M 2 Lấy y1   ( y2 )  M1   M 2 Với m i y2  M 2 Suy ra y2  m1   m1   m1   ( m1 )  y2 15 ta có y2  M (vì M 2  M ) Ta có y1   ( y2 )  y1  m1   y1  ( m1 )  y2  M1  M 2 Vậy ta có M1  M. .. xem xét  -m đun M     p M đun con M- xyclic đóng của M chỉ là 0,  ,  p và M Do đó M là CMS -m đun nhưng theo [10, ví dụ 10], M không là CS -m đun 1.5.4 M nh đề Nếu m t m đun M có điều kiện (C2) Khi đó m đun M thỏa m n điều kiện (C3) Chứng minh Cho M1 , M 2  M , M1  M 2  0 Ta cần chứng minh: M1  M 2   M *Giả sử M  M1  M1  Xét phép chiếu  : M1  M1   M1  sao cho  (m1  m1  )  m1 ... (**) M t m đun M được gọi là thỏa m n tính chất (**) nếu m i tự đồng cấu khác không của M là m t toàn cấu Đối với m t m đun M với tính chất (**), m đun con M- xyclic chỉ là 0 và M Vì vậy, trong ví dụ trên rõ ràng m i R -m đun N là M- cp- nội xạ, nhưng không phải là m t m đun M- c -nội xạ 24 2.3 M T SỐ TÍNH CHẤT CỦA M ĐUN M- CP- NỘI XẠ 2.3.1 M nh đề (i) Cho M là R -m đun và {Ni : i  I} m t họ của R -m đun Khi... M1   ( M 2 )  M Do (1) nên M1  M 2  M □ 1.5.5 M nh đề M i hạng tử trực tiếp của CMS -m đun là m t CMS- m đun Chứng minh Cho N là m t hạng tử trực tiếp bất kỳ của CMS -m đun M sao cho M  N  K với K là m đun con của M Khi đó N là m t m đun con M- xyclic đóng của M Giả sử rằng X là m t m đun con Nxyclic đóng của N Khi đó rõ ràng X là m đun con M- xyclic đóng của M Vì vậy M là CMS -m đun Do đó X là... là m t đồng cấu từ E đến M Vì vậy M là m t hạng tử trực tiếp của E, do đó M là nội xạ □ Tính chất CM của m đun được định nghĩa trong [3] Ví dụ 2.2.2 chỉ ra rằng m i m đun con đóng của m t m đun M không phải là m t m đun con M- xyclic của M Kết quả sau đây cung cấp m t điều kiện đủ cho m t m đun M- cp- nội xạ được m rộng 2.3.9 M nh đề Các phát biểu sau đây là tương đương cho m t Rmôđun M: (i) M là m ... hạng tử trực tiếp của M sao cho M  X  L với L là m đun con của M Vì M  X  L  N  K và X là m đun con của N do đó X là hạng tử trực tiếp của N Vì vậy N là □ CMS -m đun 16 Chương 2 M ĐUN M – CP – NỘI XẠ 2.1 M ĐUN M- NỘI XẠ 2.1.1 Định nghĩa Cho M là R- m đun phải M t m đun N được gọi là M- nội xạ nếu với m i m đun con X của M, m i đồng cấu  từ X vào N đều m rộng tới đồng cấu  từ M vào N, tức là  i ... tiếp M Vì M m đun m rộng □ 2.3.10 M nh đề Các điều kiện sau tương đương với m đun M xạ ảnh: (i) M i ảnh đồng cấu m đun M- cp- nội xạ M- cp- nội xạ (ii) M i ảnh đồng cấu m đun M- c -nội xạ M- cp- nội xạ. .. m đun M- p -nội xạ M- cp- nội xạ; M- c -nội xạ M- cp- nội xạ, điều ngược lại nói chung không N M- p -nội xạ N M- cp- nội xạ; N M- c -nội xạ N M- cp- nội xạ 2.2.2 Ví dụ 1) Cho  vành số nguyên Khi đó,  -m đun. .. Đối với m đun M với tính chất (**), m đun M- xyclic M Vì vậy, ví dụ rõ ràng R -m đun N M- cp- nội xạ, m đun M- c -nội xạ 24 2.3 M T SỐ TÍNH CHẤT CỦA M ĐUN M- CP- NỘI XẠ 2.3.1 M nh đề (i) Cho M R -m đun