Tính cách được của nửa nhóm Blauumslag Solitar

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH V TUN ANH TNH TCH C CA NA NHểM BLAUMSLAG - SOLITAR LUN VN THC S TON HC Ngh An 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH V TUN ANH TNH TCH C CA NA NHểM BLAUMSLAG - SOLITAR LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60 46 05 Ngi hng dn khoa hc: PSG TS Lấ QUC HN Ngh An 2013 MC LC MC LC LI NểI U Chng Kin thc chun b Trang 1.1 Na nhúm t V nhúm t 1.2 Biu din na nhúm Biu din v nhúm 14 Chng Tớnh tỏch c ca na nhúm Blaumslag-Solitar 19 2.1 Dng chun i vi na nhúm Blaumslag-Solitar 19 2.2 Tớnh tỏch c hu hn i vi na nhúm Blaumslag-Solitar 24 2.3 Mt s lp na nhúm tỏch c hu hn 28 KT LUN TI LIU THAM KHO 37 38 LI NểI U Gi s k v l l cỏc s nguyờn khụng õm Nhúm Blaumslag-Solitar B k,l vi biu din nhúm ( ) P G p = a, b | abk = bl a ó c Blaumslag v Solitar xut nghiờn cu t 1962 v ó t c nhiu kt qu sõu sc Trong cụng trỡnh Decision and separability problems for BlaumslagSolitar semigroups, David A Jackson ó a ý tng kho sỏt na nhúm S k ,l vi biu din na nhúm P ( S ) = a, b | abk = bl a v ó gii quyt c mt s bi toỏn liờn quan n lp na nhúm ny, ú cú bi toỏn xỏc nh tớnh tỏch c ca chỳng Na nhúm S c gi l na nhúm tỏch c hu hn nu vi mi na nhúm M ca S v mi phn t s S \ M , tn ti mt na nhúm hu hn T v mt ng cu na nhúm : S T cho ( s ) ( M ) Bn lun ca chỳng tụi da trờn cụng trỡnh ca D A Jackson tỡm hiu tớnh tỏch c i vi na nhúm Blaumslag-Solitar v mt s lp na nhúm khỏc tha tớnh cht liờn quan n hỡnh hc t h p nh na nhúm vi biu din tha iu kin ph nh C ( n ) hay T ( k ) Ngoi phn m u, kt lun v ti liu tham kho, lun gm hai chng Chng Kin thc chun b Trong chng ny, chỳng tụi h thng li cỏc kin thc v na nhúm t v v nhúm t do, biu din na nhúm v biu din v nhúm bi cu trỳc t tng ng lm c s cho vic trỡnh by chng sau Chng Tớnh tỏch c ca na nhúm Blaumslag-Solitar õy l ni dung chớnh ca lun Trong chng ny, trc ht chỳng tụi trỡnh by dng chun ca cỏc t trờn na nhúm Blaumslag-Solitar Trờn c s ú trỡnh by chi tit kt qu chớnh ca lun núi rng: Na nhúm Blaumslag-Solitar tỏch c hu hn Phn cui lun trỡnh by nhng bc u tỡm hiu v mt s lp na nhúm vi biu din tha iu kin ph nh C ( n ) hay T ( k ) Lun c hon thnh ti trng i Hc Vinh Nhõn d p ny tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc n PGS TS Lờ Quc Hỏn, ngi ó t v trc tip hng dn tỏc gi hon thnh lun Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim khoa Toỏn, khoa sau i hc, cỏc thy, cỏc cụ khoa v t i s ó to mi iu kin giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Mc dự ó rt c gng, song lun khụng th trỏnh nh ng thiu sút, chỳng tụi rt mong nhn nhng ý kin úng gúp quý bỏu t cỏc thy, cụ giỏo v cỏc bn ng nghip Chỳng tụi xin chõn thnh cm n Ngh An, thỏng nm 2013 CHNG KIN THC CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn ca Lý thuyt na nhúm v v nhúm cú s dng lun 1.1 Na nhúm t V nhúm t Tit ny trỡnh by na nhúm t v v nhúm t 1.1.1 nh ngha Gi s S l mt na nhúm Mt X ca S c gi l sinh S mt cỏch t nu S = X s v mi ỏnh x : X P (trong ú P l na nhúm bt k) cú th m rng thnh ng cu : S P cho | X = Khi ú ta núi rng l mt m rng ng cu ca ỏnh x Nu S c sinh t bi mt no ú thỡ S c gi l na nhúm t 1.1.2 Vớ d ( * , + ) l na nhúm t vi x = { 1} l sinh t ca nú Nu : X P l mt ỏnh x, thỡ ta nh ngha : * P bi ( n ) = ( 1) Khi ú | X = v l ng cu, vỡ: n ( m + n ) = ( 1) m+ n = ( 1) ( 1) = ( m ) ( n ) m n * ( ,.) khụng phi l na nhúm t * Tht vy: Gi s X * , chn P = ( , + ) v gi s ( n ) = n, n X * Nu : ( ,.) P l mt ng cu thỡ ( n ) = ( 1.n ) = ( 1) + ( n ) v ú ( 1) = ( P ) Nh vy khụng phi l m rng ca 1.1.3 nh lý Nu S c sinh t bi X v 0: : X P l mt ỏnh x, thỡ cú mt m rng ng cu nht : S P Chng minh Theo nh ngha, mi cú mt m rng Gi s ỏnh x : S P v : S P l cỏc m rng ng cu ca Khi ú vi mi x S , x = x1 x2 xn vi cỏc phn t xi X no ú, vỡ X sinh S Th thỡ ( x ) = ( x1 ) ( x2 ) ( xn ) = ( x1 ) ( x2 ) ( xn ) = ( x1 x2 xn ) = ( x ) v ú = W 1.1.4 nh lý Mt na nhúm t nu v ch nu nú ng cu vi na nhúm cỏc t A+ vi mt bng ch cỏi A+ no ú Chng minh Gi s S c sinh bi X S v A l mt bng ch cỏi vi A = X | Khi ú tn ti song ỏnh : A X Vỡ A sinh A+ mt cỏch t nờn tn ti mt m rng ton cu : A+ S Vỡ 01 : X A cng l song ỏnh v S c sinh t bi X nờn 01 cú mt m rng ton cu : S A+ Cỏi hp thnh : A+ A+ l mt ton cu tha iu kin: | A = = ( / X ) = 01 = i A Vỡ i A : A A c m rng mt cỏch nht ti ng cu ng nht i : A+ A+ nờn = i A Vỡ i + l song ỏnh nờn n ỏnh v ú A A l song ỏnh T ú l mt ng cu + Mt khỏc, gi s rng tn ti mt ng cu : A+ S Khi ú S = ( A) S v cú mt ỏnh x ngc : S A+ cng l ng cu Xỏc nh ỏnh x = | A v X = ( A) Gi s P l mt na nhúm tựy ý v : X P l mt ỏnh x bt k Th thỡ ỏnh x 0 : A P m rng mt cỏch nht thnh ng cu : A+ P Xột ỏnh x = : S P ú l mt ng cu vỡ v l nhng 1 ng cu Hn na, vi mi x X , ( x ) = ( ( x ) ) = 0 ( x ) = ( x ) v ú | X = , ngha l l mt m rng ng cu ca Theo nh ngha, S c sinh t bi X W 1.1.5 H qu i) Nu S c sinh t bi mt X thỡ S A+ vi A = X ; ii) Nu S v R l cỏc na nhúm c sinh t tng ng bi X v Y cho X = Y thỡ S R 1.1.6 nh lý Mi na nhúm t cú lut gin c Chng minh Suy t lut gin c cú A+ W Bõy gi ta chuyn sang chng minh tiờu chun Lộvi Dubreil Jacotin v na nhúm t trờn s nhõn t húa cỏc phn t ca nú Gi s X S Chỳng ta núi rng x = x1 x2 xn l mt s phõn tớch thnh nhõn t phn t x trờn X nu mi xi X , i = 1,2, , n Nu X sinh S thỡ mi phn t x S cú mt nhõn t húa trờn X Núi chung s phõn tớch ú khụng nht, ngha l cú th xy x1 x2 xn = y1 y2 yn vi xi X , yi X v xk yk no ú 1.1.7 nh lý Mt na nhúm S c sinh t bi X nu v ch nu mi phn t x thuc S cú s nhõn t húa nht trờn X Chng minh Trc ht ta nhn xột rng khng nh ca nh lý 1.1.7 c tha vi na nhúm A+ Gi s A l mt bng ch cỏi cho A = X v : X A l mt song ỏnh Gi thit rng X sinh S Gi s x = x1 x2 xn = y1 y2 yn l hai s nhõn t húa x trờn X v l m rng ng cu ca thỡ ( x ) = ( x1 ) ( x2 ) ( xn ) = ( y1 ) ( y2 ) ( ym ) l hai s nhõn t húa ca ( x ) trờn A Vỡ A+ tha khng nh ca nh lý, nờn phi cú = ( xi ) = ( yi ) vi i = 1,2, , n (v m = n ) Vỡ l song ỏnh nờn xi = yi , vi i = 1,2, , n V nh vy S tha khng nh ca nh lý 1.1.7 Gi s S tha iu kin nht Ký hiu = 01 v gi s : A+ S l m rng ng cu ca Khi ú l ton ỏnh (vỡ X sinh S ) v l n ỏnh (vỡ nu ( u ) = ( v ) vi u, v A+ , u v no ú thỡ ( u ) cú hai cỏch nhõn t húa khỏc trờn X : trỏi gi thit) Vy l mt song ỏnh v ú l mt ng cu W 1.1.8 nh ngha i vi na nhúm S , B ( S ) = S \ S = { x S | y, z S : x yz} c gi l mt c s ca S T nh ngha ta suy rng mt phn t x S nm B ( S ) nu v ch nu x khụng biu din c thnh tớch ca hai phn t tựy ý thuc S Kt qu sau õy thuc v Lộvi Dubreil Jacotin 1.1.9 nh lý Mt na nhúm S t nu v ch nu B ( S ) sinh S mt cỏch t Chng minh t X = B ( S ) Nu X sinh S mt cỏch t thỡ S l na nhúm t theo nh ngha 1.1.1 Gi s S l na nhúm t Ta chng minh X sinh S mt cỏch t Trc ht, ta chỳ ý rng X l ca S khụng cú c no thuc S , th thỡ X v X sinh S Tht vy, gi s a = bc ú b, c X hoc a = xyz hoc quỏ trỡnh ú s kt thỳc v ta thu c biu din ca a di dng tớch cỏc phn t thuc X hoc vi mi s n ln tựy ý tn ti cỏc phn t a1 , a2 , , an S cho a = a1a2 an Nu a = a1a2 an thỡ a1 , a1a2 , a1a2 a3 , , a1a2 an l cỏc c bờn trỏi ca a , chỳng u khỏc c vỡ na nhúm t cú lut gin c v khụng cú ly ng Vỡ n cú th ln tựy ý nờn mõu thun vi nh lý 1.1.4 v nh ngha na nhúm cỏc t Vy X sinh S 10 Gi s x1 x2 xn = y1 y2 ym ú xi , y j X t x2 xn = x v y2 ym = y thỡ x1 x = y1 y nờn hoc x1 , y1 cú c Kh nng th hai khụng xy nh ngha ca X Bõy gi tng t thu c x2 = y2 v tip tc quỏ trỡnh ú khụng quỏ max { n, m} bc, ta i ti n = m v xi = y j vi i = 1,2, , n Nh vy mi phn t thuc S biu din c mt cỏch nht di dng tớch cỏc phn t thuc X Do ú S c sinh t bi X W 1.1.10 Vớ d Gi s A = { a, b, c} l mt bng ch cỏi Cỏc t ab, bab, ba sinh mt na nhúm ca na nhúm cỏc t A+ Na nhúm S = ab, ba, bab A khụng t do, vỡ phn t w = babab cú hai cỏch nhõn t + húa khỏc S : w = ba.bab = bab.ab Gi s A = { a, b, c} v T = ab, ba, bab A+ Khi ú T l na nhúm t ca A+ Tht vy, nu tn ti hai cỏch nhõn t húa w = u1u2 un = v1v2 vm ca mt t w thuc T , thỡ hoc u1 = v1 (v tớnh gin c s cú mt t ngn hn vi hai cỏch nhõn t húa khỏc : u2u3 un = v2v3 vm ) hoc u1 = aa v v = abb (hoc i xng, u1 = abb v v1 = aa ) Nhng trng hp ny khụng th tỡm c u2 , bi u2 nu cú phi bt u bng ch cỏi b 1.1.11 nh ngha V nhúm M gi l mt v nhúm t c sinh t bi mt X vi X nu X { 1} l mt sinh ca M v mi ỏnh x : X P (trong ú P l mt v nhúm) m rng c thnh mt ng cu v nhúm nht : M P , ngha l | X = v ( 1M ) = 1P 28 ỏp dng nh lý Golubov cho na nhúm S k ,l , ta cn hai b sau l > v u1 , u2 l cỏc t trờn bng ch cỏi 2.2.3 B Gi s A = { a, b} vi [ u1 ] = [ u2 ] S k l Nu u1 b n2 av2 vi Ê n1 < l v Ê n2 < l thỡ n1 = n2 v [ v1 ] = [ v2 ] S k l Chng minh Gi s w1 v w tng ng l cỏc dng chun bờn phi ca u1 v u2 Khi ú b n1 aw1 v b n2 aw2 l cỏc dng chun bờn trỏi ca u1 v u2 tng ng Vỡ [ u1 ] = [ u2 ] S k l v cỏc dng y cng biu din mt phn t, ta suy n1 = n2 v w1 w S k l T ú [ v1 ] = [ v2 ] S k l W 2.2.4 B Gi s u v v l cỏc t trờn bng ch cỏi A = { a, b} cho [ u ] = [ v ] S k l Th thỡ u a = v a Hn na: ( l) i) Nu < k Ê l thỡ u b k ua ( k) ii) Nu < l Ê k thỡ u b l ua ( k) Ê vb Ê bb l ua ( l) Ê vb Ê ub k ; ua Chng minh Nu w đ w ' l mt bc cu s cp tựy ý, bng cỏch thay th s cú mt ab k bng bl a v ngc li, th thỡ w a = w ' a iu ny kộo theo u a = v a Theo tớnh cht i xng, phn cũn li ch cn chng minh cho trng hp (i) Ta chng minh khng nh ny bng quy np theo u a Nu u a = thỡ v a = vỡ u a = v a theo chng minh trờn Do ú u v b n vi n l mt s nguyờn dng no ú v chng minh kt thỳc 29 Gi thit rng u a > , vỡ u a = v a ta hóy vit u v v di dng u b n1 au ', v b n2 av ' vi i = 1,2 hóy chia n1 cho l v tỡm c ni = lq + j ú Ê ji < l Th thỡ j kq S b ab u 'ự [ u] = ộ ỳ ỷtrong k ,l 1 j2 kq2 ự v [ v ] = ộ ờb ab v 'ỷ ỳtrong S k ,l kq1 ự ộ kq2 ự S Theo B 2.2.3, ta cú j1 = j2 v ộ ởb u 'ỳ ỷ= ởb v 'ỳ ỷtrong k ,l Mi cp cui cỏc t ú cú u a - ln xut hin ca a nờn ta cú ỏp dng gi thit quy np nhn c ( l) b kq1 u ' k b u a- ( l) hay ( kq1 + u ' b ) k ( l) T ú u b k ua Ê b kq2 v ' u a- ( l) = ( lq1 + j1 + u ' b ) k Ê kq2 + v ' b ua ổ k k k =ỗ kq1 + j1 + u ' b ữ ữ ỗ ữ l ỗ ố ứ l l ( ) ( l) Ê ( kq1 + j1 + u ' b ) k ( l) Ê j1 + ( kq1 + u ' b ) k b u a- u a- u a- Ê j1 + kq2 + v ' b Ê j1 + lq2 + v ' b = v b Thay i vai trũ ca u v v ( tng ng, a cho b ), ta c ( l) vb Ê ub k ua W 30 2.2.5 Chỳ ý Nu s ẻ Sk ,l v u l phn t bt k trờn bng ch cỏi A = { a, b} biu din s thỡ ta cú th nh ngha s a = u a Theo kt lun u trờn ca B 2.2.4, nh ngha nh vy hon ton chp nhn c Bõy gi chng minh nh lý chớnh ca tit ny 2.2.6 nh lý Na nhúm Blaumslag-Solitar S k ,l cú tỏch c hu hn Chng minh Theo nh lý Golubov ( xem chỳ ý 2.2.4), cn chng minh rng vi mi s ẻ Sk ,l , cú nhiu nht mt s hu hn [ s : x ] phõn bit x chy qua tt c cỏc phn t ca S Nu k = l = thỡ S0,0 l na nhúm t trờn A = { a, b} v [ s : x ] khỏc rng nu v ch nu x l mt t ca s Nu k > v l > thỡ theo B 2.2.4, ch cú mt s hu hn t trờn A biu din s Nu [ s : x ] khỏc rng, thỡ x phi biu din c bng mt t ca hp hu hn cỏc t ú Do ú ch cú mt s hu hn phn t x ẻ Sk ,l cho [ s : x ] khỏc rng Phn cũn li ca chng minh, ch cn gi thit rng = k < l (Do tớnh i xng, cỏc trng hp cũn li khỏc c lp lun tng t) nự Trc ht gi s s = ộ ởb ỳ ỷvi n no ú Th thỡ [ s : x ] khỏc rng nu n'ự v ch nu x = ộ ờb ỷ ỳvi Ê n ' Ê n Vi mt phn t z ẻ S0,k tựy ý vi z a > , ta cú th vit z di dng chun bờn phi: z = b j p a b j2 ab j1 ab n ú v Ê ji < l vi Ê i Ê p Trong S0,l , tớch cú dng =ộ b q ab q- a bi1 ab r ab i i i ' p- a bi '1 abi '0 ự ỳ ỷ ộbiq abiq- a bi1 abi0 ự ộbi p ' abi p '- a b i1 ab i0 ự ỳ ỳ ỷ ỷ 31 ú i0 v i '0 l nhng s nguyờn tựy ý, nhng ta cú th gi thit rng cỏc s m khỏc ti a l l - v s m r l phn d cũn li chia i0 + i ' p cho l Gi thit rng s cú dng bờn phi b jm a b j2 ab j1 ab n ú m v Ê ji < l vi Ê i Ê m Nu s = uxv thỡ phi cú m = u a + x a + v a Chỳng ta nhn thy rng [ s : x ] ch khỏc rng x a Ê s a = m Nu [ s : x ] khỏc rng v x a = m ' thỡ hóy vit x di dng chun bờn phi x = b j 'm ' ab j 'm '- a ab j '1 ab n ' nu m ' > v x = b n ' nu m ' = t Nu [ s : x ] cha mt phn t ( u,1) hay ( u, b ) thỡ phi cú n ' Ê n Vỡ m ' Ê m v Ê j 'i < vi Ê i Ê m ' , nờn ch cú mt s hu hn cỏc phn t t x khỏc cho [ s : x ] cha mt phn t ( u,1) hay ( u, b ) Nu mi phn t ( u, v) ẻ [ s : x ] cú vx a thỡ ta chia n ' cho l v vit n ' = ql + n " ú 0Ê q v xi = b j 'm ' ab j 'm- a ab j '1 ab n "+ il Ê n" < l (hay xi = b n "+ il vi nu i 0, xỏc m ' = ) Th nh thỡ [ s : x ] = [ s : xi ] = [ s : x0 ] vi i Vỡ ch cú mt s hu hn cỏch chn x0 , nờn cú nhiu nht mt s hu hn hp khỏc rng [ s : x0 ] cho mi phn t ( u, v) ẻ [ s : x0 ] cú v a nh lý 2.2.6 c chng minh W T nh lý 2.2.5 v nh ngha 2.2.1 trc tip suy 2.2.7 H qu Na nhúm Blaumslag-Solitar tỏch c hu hn 2.3 Mt s lp na nhúm tỏch c hu hn Nh s thy Mnh 2.3.6 sau ny, cỏc na nhúm cú t p tỏch c hu hn liờn quan n cỏc na nhúm ly linh hu hn 32 2.3.1 nh ngha a) Na nhúm S c gi l na nhúm nil nu S cú phn t zero v vi mi a ẻ S , tn ti s t nhiờn n (ph thuc vo a ) cho a n = b) Na nhúm S c gi l na nhúm ly linh nu S cú phn t zero v tn ti s nguyờn dng m cho S m+ = { 0} Khi ú s nguyờn dng n nh nht tha S n+ = { 0} c gi l bc ly linh ca S 2.3.2 Chỳ ý a) T nh ngha suy rng nu S l na nhúm ly linh vi bc ly linh n thỡ tn ti k phn t ( k < n) thuc S : a1 , a2 , , ak cho a1a2 ak v tn ti h phn t ( h > n) thuc S : b1 , b2 , , bh cho b1b2 bh = b) Cng t nh ngha trc tip suy nu S l na nhúm ly linh thỡ S l na nhúm nil B sau õy chng t rng i vi trng hp na nhúm hu hn vi phn t zero, khng nh ngc li cng ỳng 2.3.3 B Gi s S l na nhúm nil hu hn Khi ú S l na nhúm ly linh Bc ly linh ca S l di ln nht ca mt chui cht cỏc iờan chớnh khỏc zero ca S Chng minh Gi s n l di ln nht ca mt chui tng cht cỏc iờan chớnh khỏc zero ca S (nú tn ti vỡ S hu hn) Gi s a1a2 an+ l tớch ca n+ phn t thuc S Khi ú chui a1S ấ a1a2 S ấ ấ a1a2 an+ 1S cú di n + v ú cú ớt nht hai phn k ca chui trựng Gi s 33 a1 ar S = a1 ar ar + 1S Khi ú tn ti x ẻ S cho a1a2 ar = a1a2 ar + x = a1a2 ar (ar + x ) = a1a2 ar ar + x (ar + x) = a1a2 ar (ar + x) = = a1a2 ar (ar + x) k vi mi s nguyờn dng k Vỡ S l na nhúm nil nờn tn ti s nguyờn dng k k cho ( ar + x) = v ú a1a2 an an+ = v vỡ vy S l na nhúm ly linh vi ch s ly linh ln nht n Mt khỏc, cú mt chui gim cht a1S ẫ a2 S ẫ ẫ an S cỏc iờan chớnh khỏc khụng ca S Do ú tn ti phn t xi ẻ S cho ai+ = xi vi Ê i Ê n Th thỡ an = a1 x1 xn l mt tớch khỏc zero ca cỏc thnh phn ca S cú di n W T B 2.3.3 v Chỳ ý 2.3.2 suy rng nu S l na nhúm hu hn vi phn t zero thỡ khỏi nim na nhúm nil v khỏi nim na nhúm ly linh khụng phõn bit 2.3.4 B Gi s S l na nhúm ly linh hu hn v A = S \ S Khi ú A l sinh ti tiu nht ca S Chng minh Gi thit rng A khụng phi l mt sinh ca S v B = A l na nhúm ca S sinh bi A Khi ú tn ti x ẻ S , x ẽ B v x Vỡ A è B nờn x ẽ A = S \ S Do ú tn ti x1 , x2 ẻ S cho x = x1 x2 Vỡ x ẽ B v B l na nhúm ca S nờn x1 ẽ B hoc x2 ẽ B Khụng mt tng quỏt, gi s x1 ẽ B thỡ lp li quỏ trỡnh trờn (bng cỏch thay x bi x1 ) s dn n mõu thun, vỡ tớch ca bt k m phn t thuc S (vi m ln hn bc ly linh ca S ) s bng zero 34 Gi s X l mt sinh tựy ý ca S Khi ú A X Tht vy, gi s tn ti a ẻ A nhng a ẽ X Vỡ q ẽ X v S = X , a ẻ S nờn tn ti cỏc phn t x1 , x2 , , xn ẻ X ( n 2) cho a = x1 x2 xn mõu thun vi a ẻ A nờn a ẽ S Vy A l sinh ti tiu nht ca S W 2.3.5 nh ngha a) Gi s S l na nhúm v I l mt iờan ca S Khi ú quan h r I trờn S cho bi ar b (a, b ẻ S ) nu v ch nu hoc a = b hoc a, b I l mt tng ng trờn S Tng ng r I c gi l tng ng Rees liờn kt vi iờan I V nhúm thng S r c gi I l thng Rees ca S theo mod r I v c ký hiu n gin l S I b) Gi s S l na nhúm ly linh hu hn vi bc ly linh n v A = S \ S Khi ú theo Mnh 2.3.4, A l sinh ti tiu nht ca + S Gi A+ l na nhúm t sinh bi A Khi ú I ( n) = { u ẻ A : u > n} l mt iờan ca A+ v thng Rees A+ I ( n) c ký hiu bi FN ( A; n) Nm 2001, D B MC Alister ó nhn c kt qu sau 2.3.6 Mnh Gi s S l mt na nhúm ly linh hu hn vi bc ly linh n v A = S \ S Th thỡ S l nh ng cu ca FN ( A; n) Hn na, FN ( A; n) l na nhúm ly linh t trờn A vi ch s ly linh n Ta chuyn sang kt qu chớnh ca tit ny 2.3.7 nh lý Gi s A | R l mt biu din ca na nhúm S , r l tng ng trờn A+ sinh bi R v [ w ] l r -lp tng ng cha t A+ Vi s ẻ S , gi s Cs := { w ẻ A : [ w ] = s} 35 Nu Cs l mt hp hu hn thỡ cú mt na nhúm ly linh hu hn T v mt ng cu na nhúm F : S đ T cho F ( s ') F ( s ) vi mi s ' ẻ S m s ' s Chng minh Mt phn t sd ẻ S c gi l c ca khụng bờn trỏi ca s nu sd s 'd = s vi s 'd S no ú Chỳng ta khụng bt buc c bờn trỏi l c thc s hay khụng thc s, vỡ vy v s l cỏc c bờn trỏi ca s Gi s As l hp tt c cỏc c bờn trỏi v Gs l gm tt c cỏc { s} , phn t thuc S khụng phi l c bờn trỏi ca s Gi s X s = As ẩG nh vy Gs l phn t ca X s Nu s = s1.s2 thỡ Cs1 v Cs2 phi hu hn Nu w1 ẻ Cs1 v w ẻ Cs2 thỡ w1.w ẻ Cs Nu sd sd ' = s thỡ sd biu din S mt hay nhiu nht hu hn cỏc on ban u ca cỏc t thuc Cs Nh vy X s hu hn, v ú na nhúm cỏc phộp bin i y FX S cng hu hn Ta chỳ ý rng G khỏc rng Vi mi ch cỏi ẻ A , xỏc nh mt phộp bin i ẻ FX s bi Gsai = Gs v vi mi s ẻ As , sd = sd [ ] nu sd [ ] cng l c bờn trỏi ca s v sd = Gs trng hp ngc li Gi s T l na nhúm ca FX s c sinh bi { : ẻ A} Xỏc nh ng cu na nhúm F : A+ đ T bi F [ ] = Nu v1 = v2 l mt quan h bt k t R cỏc quan h xỏc nh S thỡ chỳng ta s vit v1 thay cho F ( s1 ) v v2 thay cho F ( s2 ) tng ng Chỳng ta mun chng t rng s1 = s2 thỡ F quy v mt ng cu hon ton xỏc 36 nh F : S đ T Chỳ ý rng Gs v1 = G= Gv2 Nu s p l mt c bờn trỏi ca s , thỡ theo cỏch xõy dng, s p vi hoc bng s p [ vi ] hoc l G ph thuc vo s p [ vi ] cú phi l c bờn trỏi ca s hay khụng Vỡ [ v1 ] = [ v2 ] nờn c hai phn t s p v1 v s p v2 cú cựng giỏ tr s p [ v1 ] = s p [ v2 ] chỳng l c bờn trỏi ca s v cú giỏ tr Gs trng hp ngc li Nu w l mt t bt k trờn A m di w ca nú ln hn mi t thuc Cs thỡ F ( [ u ]) l phn t zero ca T Nu P j l mt phn t bt ( ) n0 ( ) n0 k ca T thỡ vi mt n0 ẻ Ơ ln no ú, P j mt cỏc t hu hn ca Cs , thỡ ú P j cú th khụng phi l phi l phn t zero ca T Cui cựng, ta thy rng 1F ( s ) = s v nu s ' l mt phn t no ú ca S cho s ' s , th thỡ hoc 1F ( s ') = Gs trng hp s ' khụng phi l c bờn trỏi ca s hoc 1F ( s ') = s ' nu s l mt c bờn trỏi ca s nh lý 2.3.7 c chng minh W 2.3.8 H qu Gi s hoc k = hoc l = Nu s ẻ Sk ,l thỡ cú mt ng cu F t S vo na nhúm ly linh hu hn T cho F ( s ) F ( s ') vi mi s ' ẻ Sk ,l m s ' s Chng minh Nu s l mt phn t ca Sk ,l , gi s u l mt t trờn bng ch cỏi A = { a, b} biu din s Theo B 2.2.4 ta cú mt gii ni v di u ' b + u b cho mi t u ' trờn A biu din s Do ú Cs Mnh 37 2.3.7 hu hn nờn tn ti mt na nhúm ly linh hu hn T v mt ng cu na nhúm F : S đ T cho F ( s ) F ( s ') vi mi s ' ẻ Sk ,l m s ' s W 2.3.9 Chỳ ý Vi hp X tựy ý, na nhúm FX cỏc phộp bin i y ca X l hp cỏc ỏnh x X đ X vi phộp toỏn l phộp hp thnh ỏnh x FX l mt v nhúm vi n v l ỏnh x ng nht ca X Khi hp X hu hn vi n phn t thỡ FX cng hu hn v cú n n phn t Nu ( P ,Ê ) l mt sp th t b phn, thỡ ta núi rng m t phộp bin i f ẻ FP l mt phộp nõng th t nu x Ê xf vi mi x ẻ P Mt na nhúm hu hn S cú mt biu din trung thnh bi nhng phộp nõng th t nu v ch nu quan h Green R trờn S l quan h bng 2.3.10 Nhn xột Gi s S l mt na nhúm v s ẻ S Khi ú ta cú th xỏc nh mt quan h th t b phn Ê trờn As cỏc c bờn trỏi ca s nh sau s1 Ê s2 nu v ch nu s1 l c bờn trỏi ca s2 Gi s Cs hu hn Khi ú quan h Ê cú tớnh phn xng (Tớnh phn x v bc cu l hin nhiờn) Chỳng ta m rng quan h th t ú lờn X S bng cỏch ly GS l phn t ln nht v nhn xột rng tt c cỏc phộp bin i u l phộp nõng th t Nu R cỏc quan h nh lý 2.3.7 l hu hn v chỳng ta bi n mt t w no ú Cs hu hn, thỡ cú th tớnh toỏn c ton b hp Cs v vỡ vy cú th dung nú xõy dng X s v T Vỡ chỳng ta 38 ó c nh s v gi thit rng ch cú mt Cs hu hn, nờn cú th xõy dng nh ng cu tỏch c hu hn cho T v s Khi R cỏc quan h nh lý 2.3.7 l rng v S l na nhúm t trờn A , thỡ mi hp Cs cú ỳng mt phn t v quan h Ê trờn X l mt quan h ton phn 2.3.11 nh ngha a) Mt t trờn bng ch cỏi A gi l mt R - t liờn quan n biu din na nhúm A | R nu nú l mt t mt cp no ú ca R b) Mt mnh liờn quan n biu din A | R l mt t c xut hin di dng mt t ca cỏc R - t ớt nht l hai cỏch khỏc c) Gi s n Ta núi rng biu din A | R tha gi thit ph nh C ( n) nu khụng cú mt R -t no cú th vit di dng mt tớch khụng quỏ n mnh 2.3.12 nh ngha Gi s rng biu din na nhúm P = A | R , hp R l bao úng bc cu theo nh ngha: Nu w1 = w v w = w l cỏc quan h R thỡ w1 = w cng l mt quan h R l mt khụng giao hoỏn vi A nhng tng ng mt-mt Gi s A % l vi A th hỡnh P st ca biu din P l mt th cú A ẩ A hp cỏc nh ca nú Tp hp cnh ca P st l hp ca ba hp sau õy ( 1) m - cnh Nu cung a j cú mt R - t tựy ý thỡ ta cụng b rng cnh ni cỏc nh v a j thuc P st 39 ( 2) i - cnh Nu w1 = w l mt quan h R , l ch cỏi u tiờn ca w1 v a j l ch cỏi u tiờn ca w , thỡ ta cụng b rng cnh ni cỏc nh a%i v a% j thuc P st ( 3) t - cnh Nu w1 = w l mt quan h R , l ch cỏi cui cựng ca w1 v a j l ch cỏi cui cựng ca w thỡ ta cụng b rng cnh ni cỏc nh v a j thuc P st Hn na, cnh ny s l mt nỳt nu hai t kt thỳc cựng mt ch Biu din P = A | R cú tớnh cht T ( 4) nu tha iu kin sau: mi ng úng vi di bng P st hoc tt c cỏc nh ca nú % thuc A hoc tt c cỏc nh ca nú thuc A Xin nhc li hai kt qu ó bit 2.3.13 Mnh (J H Remus, 1971) Gi s na nhúm S cú biu din A | R tha gi thit ph nh C ( 3) v S l mt cn trờn di ca cỏc R - t Nu w1 , w ẻ A+ cựng biu din mt phn t ca S thỡ w Ê d w1 2.3.14 Mnh (P A Cummings & R Z Goldstein, 1995) Gi s S l na nhúm cú biu din hu hn A | R tha gi thit ph nh C ( 3) v T ( 4) , d l cn trờn cỏc di ca cỏc R - t Nu w1 v w l cỏc t cựng biu din mt phn t ca S thỡ w Ê 2d w1 2.3.15 nh lý Gi s na nhúm S cú biu din hu hn A | R tha hoc gi thit ph nh C ( 3) hoc gi thit C ( 2) v T ( 4) v s l 40 mt phn t tựy ý thuc S Khi ú cú mt ng cu na nhúm F t S vo na nhúm ly linh hu hn T cho F ( s ) F ( s ') vi mi s ' ẻ S m s'ạ s Chng minh Nu s ẻ S , gi s w l mt t trờn A biu din s Khi biu din tha C ( 3) , theo Mnh 2.3.13, mi t thuc hp Cs Mnh 2.3.7 cú di ti a d w Khi biu din thừa C ( 2) v T ( 4) thỡ theo Mnh 2.3.14, mi t thuc hp Cs cú di ti a 2d w Vỡ bng ch cỏi A hu hn nờn Cs hu hn, v kt lun ca nh lý 2.3.15 c suy t nh lý 2.2.7 W KT LUN 41 Da trờn cụng trỡnh Decision and separability problems for BlaumslagSolitar semigroups ca David A Jackson bn lun ca chỳng tụi trỡnh by cỏc sau: Dng chun i vi na nhúm Blaumslag-Solitar (Mnh 2.1.3, M nh 2.1.4) Tớnh tỏch c hu hn ca na nhúm Blaumslag-Solitar (nh lý 2.2.6, H qu 2.2.7) Tỡm hiu mt s lp na nhúm tha cỏc tớnh ch t hỡnh hc t h p nh na nhúm vi biu din tha ph nh C ( n ) hay T ( k ) (nh lý 2.3.7, nh lý 2.3.15) TI LIU THAM KHO 42 Ting Vit [1] A H Clipht & G B Prestn (1970), Lý thuyt na nhúm (Tp 1), Bn dch ca Trn Vn Ho v Hong K, Nh xut bn i hc v Trung hc chuyờn nghip, H Ni [2] Lờ Quc Hỏn (2007), Lý thuyt ngụn ng nhúm, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [3] Lờ Quc Hỏn (2008), Lý thuyt na nhúm v Lý thuyt nhúm, Trng i hc Vinh Ting Anh [4] P A Cummings and R Z Goldstein (1995), Solvable word problem in semigroups, Semigroup Forum, 50, no.2,243-246 [5] E A Golubov (1970), Finite separability in semigroups (in Russian), Ural GOR Univ Mat Zap, 7, 35-51 [6] David A Jackson ( 2005 ), Decison and separability problems for BlaumslagSolitar semigroups, Saint Louis University, St Louis, MO 63103 [7] J H Remmers (1971), A geometric approach to some algorithmic problems for semigroups, Ph D Thesis, University of Michigan [8] B I Van der Waerden (1948), Free products of groups, Amer J Math 70, 527-528 [...]... Z Th thỡ : M ( Z , + ) xỏc nh bi ( a ) = 1 v ( b ) = 2 l mt ng cu CHNG 2 TNH TCH C CA NA NHểM BLAUMSLAG -SOLITAR 2.1 Dng chun i vi na nhúm Blaumslag -Solitar 2.1.1 nh ngha Na nhúm cú biu din na nhúm a, b | abk = bl a trong ú k v l l cỏc s nguyờn khụng õm cho trc c gi l na nhúm Blaumslag -Solitar 22 Ký hiu Sk ,l 2.1.2 Nhn xột Gi s u l phn t ca na nhúm S2,3 c cho bi biu din A | R , trong ú A = {... Nu hai t u1 , u2 cựng biu din mt phn t ca s , thỡ bng cỏch quy chỳng v mt dng chun phi chung, chỳng ta tỡm c t gc bng nhau ca chỳng vi di ti a u1 + u2 27 2.2 Tớnh tỏch c hu hn i vi na nhúm Blaumslag -Solitar 2.2.1 nh ngha a) Na nhúm S c gi l tỏch c hu hn nu vi mi na nhúm con M ca S v mi phn t s ẻ S - M , tn ti mt na nhúm hu hn T v mt ng cu na nhúm F : S đ T sao cho F ( s) ẽ F ( M ) b) Na nhúm S c... trờn bng ch cỏi A = { a, b} biu din s thỡ ta cú th nh ngha s a = u a Theo kt lun u trờn ca B 2.2.4, nh ngha nh vy hon ton chp nhn c Bõy gi chng minh nh lý chớnh ca tit ny 2.2.6 nh lý Na nhúm Blaumslag -Solitar S k ,l cú tp con tỏch c hu hn Chng minh Theo nh lý Golubov ( xem chỳ ý 2.2.4), cn chng minh rng vi mi s ẻ Sk ,l , cú nhiu nht mt s hu hn tp [ s : x ] phõn bit khi x chy qua tt c cỏc phn t ca S... , nờn cú nhiu nht mt s hu hn tp hp khỏc rng [ s : x0 ] cho mi phn t ( u, v) ẻ [ s : x0 ] cú v a 1 nh lý 2.2.6 c chng minh W T nh lý 2.2.5 v nh ngha 2.2.1 trc tip suy ra 2.2.7 H qu Na nhúm Blaumslag -Solitar tỏch c hu hn 2.3 Mt s lp na nhúm tỏch c hu hn Nh s thy trong Mnh 2.3.6 sau ny, cỏc na nhúm cú t p con tỏch c hu hn liờn quan n cỏc na nhúm ly linh hu hn 32 2.3.1 nh ngha a) Na nhúm S c gi l na ... nhúm 14 Chng Tớnh tỏch c ca na nhúm Blaumslag -Solitar 19 2.1 Dng chun i vi na nhúm Blaumslag -Solitar 19 2.2 Tớnh tỏch c hu hn i vi na nhúm Blaumslag -Solitar 24 2.3 Mt s lp na nhúm tỏch c hu hn... BLAUMSLAG -SOLITAR 2.1 Dng chun i vi na nhúm Blaumslag -Solitar 2.1.1 nh ngha Na nhúm cú biu din na nhúm a, b | abk = bl a ú k v l l cỏc s nguyờn khụng õm cho trc c gi l na nhúm Blaumslag -Solitar. .. BlaumslagSolitar semigroups ca David A Jackson bn lun ca chỳng tụi trỡnh by cỏc sau: Dng chun i vi na nhúm Blaumslag -Solitar (Mnh 2.1.3, M nh 2.1.4) Tớnh tỏch c hu hn ca na nhúm Blaumslag-Solitar