Tính chất fredholm của nửa nhóm tiến hóa

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Trần Thanh Hiệp TÍNH CHẤT FREDHOLM CỦA NỬA NHĨM TIẾN HĨA Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HỒN HĨA TP.Hồ Chí Minh – Năm 2010 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tơi xin trân trọng kính gởi đến Thầy Lê Hồn Hóa người tận tâm hướng dẫn, bảo cho tơi suốt q trình hồn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Xin bày tỏ lòng biết ơn Quý Thầy, Cơ ngồi Khoa Tốn – Tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập làm việc Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn –Tin học, Q Thầy, Cơ thuộc Phịng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành cho tơi suốt trình học tập Xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp bạn lớp cao học giải tích khóa 18 ln động viên quan tâm thời gian học tâp làm luận văn Vì kiến thức thân cịn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo Quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Trần Thanh Hiệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận văn không chép luận văn khác trước Học viên Trần Thanh Hiệp MỞ ĐẦU Lý thuyết Fredholm (ra đời vào 1903) lý thuyết phương trình vi phân Theo nghĩa hẹp, liên quan đến nghiệm phương trình tích phân Fredholm Theo nghĩa rộng, cấu trúc trừu tượng lý thuyết Fredholm thể dạng lý thuyết phổ toán tử Fredholm nhân Fredholm không gian Hilbert Và công cụ để nghiên cứu tính ổn định phổ phương trình truyền sóng lý thuyết lưỡng phân Một họ tiến hoá {U ( t ,τ )}t ≥τ , t ,τ ∈¡ liên kết với phương trình vi phân tuyến tính chỉnh, khơng tự sinh không gian Banach X với hệ số toán tử sinh ba toán tử quan trọng xác định không gian hàm nhận giá trị X: (1) toán tử vi phân G, G = − d + A ( t ) ; (0.1) (2) toán tử hàm số Et, ( E t u ) (τ ) = U (τ ,τ − t ) u (τ − t ) , τ ∈ ¡, t ≥ ; (0.2) dt (3) toán tử sai phân Dτ , Dτ : ( xn )n∈¢ a ( xn − U ( n + τ , n + τ − 1) xn −1 )n∈¢ , τ ∈ [0,1) (0.3) Trong khn khổ luận văn này, tác giả trình bày chứng minh Định lý lưỡng phân trường hợp vơ hạn chiều mà khơng có ràng buộc đặc biệt toán tử A ( t ) Tiếp theo, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ tính đóng miền giá trị ba toán tử nêu Luận văn trình bày theo bố cục sau: Phần mở đầu giới thiệu tổng quan vấn đề nghiên cứu luận văn, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương kiến thức chuẩn bị lý thuyết Fredholm, nửa nhóm tiến hóa, lưỡng phân lũy thừa Chương xây dựng gồm hệ thống Định lý Bổ đề dùng để chứng minh Định lý lưỡng phân (Định lý 2.1, Định lý 2.2) trường hợp vô hạn chiều mà khơng có ràng buộc tốn tử A(t) Chương nối tiếp chương 2, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ tính t đóng miền giá trị toán tử E , G, Dτ Cuối phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Lý thuyết Fredholm Định nghĩa 1.1 Cho X Y không gian Banach, gọi T : X → Y toán tử tuyến tính bị chặn, T gọi Fredholm nếu: (i) dim Ker T < ∞ ; (ii) ImT đóng; (iii) dim CoK er T < ∞ ( dimCoKerT = dim(Y / ImT ) ) Khi T ánh xạ Fredholm, số T kí hiệu IndT số nguyên xác định bởi: IndT = dim KerT − co dim Im T Tính chất 1.2 Từ định nghĩa từ kết giải tích hàm tuyến tính, tồn phép chiếu liên tục P : X → X , Q : Y → Y thỏa: Im P = KerT ; KerQ = Im T Do đó, X = KerT ⊕ KerP Y = Im T ⊕ Im Q Bổ đề 1.3 Cho T : X → Y toán tử thỏa ImT chứa khơng gian đầy, đóng ImT đóng Bổ đề 1.4 Kí hiệu Fred ( X ,Y ) khơng gian tốn tử Ferdholm từ X vào Y Fred ( X ) tập tốn tử Fredholm xác định X Ta có Fred ( X ,Y ) tập mở B(X,Y) số Fredholm hàm Fred(X,Y) Bổ đề 1.5 Cho T : X → X toán tử compact, I + T Fredholm Bổ đề 1.6 Cho T : X → Y S : Y → Z tốn tử Fredholm Khi đó, ST : X → Z Fredholm Hơn nữa, Ind ( ST ) = Ind (T ) + Ind ( S ) Định nghĩa 1.7 Cặp Fredholm: cặp không gian ( W,V ) X gọi cặp Fredholm nếu: i) α ( W,V ) = dim( W I V) < ∞ ii) W + V : đóng iii) β ( W,V ) = co dim( W + V ) < ∞ Chỉ số Fredholm: Chỉ số Fredholm cặp không gian ( W,V ) ind ( W,V ) = α ( W,V ) − β ( W,V ) 1.2 Họ tiến hoá nửa nhóm tiến hố Định nghĩa 1.2.1 Cho X khơng gian Banach, L(X) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn X Họ T = {T ( t )}t ≥0 ⊂ L ( X ) gọi nửa nhóm X T ( 0) = I T ( t + s ) = T ( t ) T ( s ) với t , s ≥ Nửa nhóm T = {T ( t )}t ≥0 gọi bị chặn lũy thừa tồn M ≥1 ω > cho T ( t ) ≤ Meωt , ∀t ≥ Định nghĩa 1.2.2 Toán tử P ∈ L ( X ) gọi phép chiếu P = P Nửa nhóm T = {T ( t )}t ≥0 gọi lưỡng phân lũy thừa tồn phép chiếu P ∈ L ( X ) hai số K ≥ ν > cho (i) T ( t ) P = PT ( t ) , ∀t ≥ 0; (ii) T ( t ) x ≤ Ker −ν t x , ∀ x ∈Im P ∀ t ≥ ; (iii) T ( t ) x ≥ eν t x , x ∈ KerP ∀ t ≥ ; K (iv) T ( t ) KerP : KerP → KerP đẳng cấu ∀ t ≥ Ví dụ: Trên X = R trang bị chuẩn ( x1 , x2 ) ( = x1 + x2 , ta định nghĩa T ( t ) : X → X sau ) T ( t )( x1 , x2 ) = e −t x1 , et x2 , ∀x = ( x1 , x2 ) ∈ R , ∀t ≥ Khi đó, nửa nhóm T = {T ( t )}t ≥0 lưỡng phân lũy thừa Định nghĩa 1.2.3 Nếu T = {T ( t )}t ≥0 nửa nhóm X U ⊂ X khơng gian tuyến tính, U gọi T – bất biến T ( t )U ⊂ U, ∀t ≥ Một họ {U ( t ,τ )t ≥τ } , t ,τ ∈ J gồm tốn tử tuyến tính bị chặn X gọi họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh J nếu: i) Với x ∈ X , ánh xạ ( t ,τ ) a U ( t ,τ ) x liên tục với t ≥τ thuộc J ii) sup e−ω(t −τ )U ( t ,τ ) : t ,τ ∈J , t ≥ τ < ∞ , với ω ∈ R tùy ý { } iii) U ( t, t ) = I ,U ( t ,τ ) = U ( t , s )U ( s,τ ) với t ≥ s ≥ τ thuộc J Nửa nhóm tiến hóa: {E } t t ≥0 Lp ( R, X ) , ≤ p < ∞ nửa nhóm tiến hóa xác định không gian C0 ( R, X ) _không gian hàm liên tục triệt tiêu ±∞ , theo qui tắc: ( E u ) (τ ) = U (τ ,τ − t ) u (τ − t ) , τ ∈ R, t ≥ t Ta định nghĩa toán tử G Lp liên kết với nửa nhóm tiến hóa sau: ( Gu)(t ) = −u '( t ) + A( t ) u ( t ) với miền xác định: domG = W1p ∩ {u ∈ Lp : u ( t ) ∈ domA ( t )} (1.1) Ta gọi G mở rộng đóng G Nửa nhóm liên hợp: Cho { E tA} nửa nhóm liên tục mạnh X, đó, nửa nhóm liên hợp t ≥0 {( e ) *} không gian tA t≥0 Banach X* nói chung khơng liên tục mạnh Khơng gian con: { } ( ) X e = x*∈X *: etA * x − x * → t → khơng gian tuyến tính đóng X* ( etA ) * ( X e ) ⊆ X e ∀ t ≥ Thu hẹp e tA e ( etA ) * xác định nửa nhóm liên tục mạnh X e Hơn nữa, X e = ρ ( A ) * ( X *) ∀ λ ∈ £ \ σ ( A ) Chú ý 1.2.4 ( ) ( tA tA Từ định nghĩa X e suy Ker ( I − etA ) * ⊂ X e Ker I − e * = Ker I − e e ) với t ≥ ; Ker ( A * −µ ) ⊂ X e Ker ( A * − µ ) = Ker ( Ae − µ ) với µ ∈ £ Lý thuyết lưỡng phân Định nghĩa 1.3.1 Cho X không gian Banach, J R− , R+ R, họ tiến hóa {U ( t ,τ )}t ≥τ gọi có lưỡng phân lũy thừa { Pt }t∈ J J với hệ số lưỡng phân M ≥1 α > Pt , t ∈ J , phép chiếu X t ≥ τ ∈ J , khẳng định sau thỏa: i) U ( t,τ ) Pτ = PU t ( t,τ ) ii) Thu hẹp: toán tử U ( t,τ ) K er Pτ , U ( t ,τ ) Ker Pτ , toán tử khả nghịch từ K er Pτ iii) Thỏa ước lượng lưỡng phân sau: U ( t ,τ ) Im Pτ ≤ Me − α ( t −τ ) (U ( t ,τ ) K erPτ ) −1 ≤ Me − α ( t −τ ) (1.2) đến K e r Pt Chương TOÁN TỬ VI PHÂN FREDHOLM VỚI HỆ SỐ KHƠNG BỊ CHẶN Trong chương này, tác giả trình bày chứng minh Định lý lưỡng phân trường hợp vơ hạn chiều mà khơng có ràng buộc đặc biệt toán tử A ( t ) : Định lý 2.1 Định lý 2.2 Định lý 2.1 Giả sử {U ( t,τ )}t ≥τ , t ,τ ∈R họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh không gian Banach phản xạ X, G toán tử sinh nửa nhóm tiến hóa tương ứng xác định Lp ( R, X ) , p ∈[1, ∞) C0 ( R, X ) Khi đó: tốn tử G Fredholm tồn a , b ∈ R , a ≤ b cho hai điều kiện sau thỏa: (i) Họ tiến hóa {U ( t ,τ )}t ≥τ có lưỡng phân lũy thừa {Pt − } ( −∞,a] {Pt + } [b, ∞) t≤a t ≥b − + ii) Toán tử nút N ( b, a) : KerPa → KerPb , định bởi: N ( b, a) = ( I − Pb+ )U ( b, a) KerPa− , toán tử Fredholm Hơn nữa, toán tử G Fredholm thỏa a) dim Ker G = dim Ker N(b,a); b) codim ImG = codim Im N(b,a); ind G = ind N(b,a) Định lý 2.2 Với giả thiết Định lý 2.1, toán tử G Fredholm hai điều kiện sau thỏa: i') Họ tiến hóa {U ( t ,τ )}t ≥τ có lưỡng phân lũy thừa {Pt − } t≤a R − {P } + t t ≥b R+ ii') Cặp không gian ( KerP0− , Im P0+ ) X Fredholm Hơn nữa, toán tử G Fredholm thì: a') dim Ker G = α ( KerP0− , Im P0+ ) b’) codim Im G = β ( KerP0− , Im P0+ ) c’) ind G = ind ( KerP0− ,Im P0+ ) Ta ký hiệu: ¡+ = {t ∈ ¡ : t ≥ 0} , ¡− = {t ∈ ¡ : t ≤ 0} , ¢+ = {n ∈ ¢ : n ≥ 0} , ¢− = {n ∈ ¢ : n ≤ 0} , T = {λ ∈ £ : λ = 1} ; X không gian Banach; X không gian liên hợp; A , domA, Ker A, Im * A, * ρ ( A ) = {λ :λ ∈ £, A − λ I ∈ L ( X ) , A − λ I : song ánh} , σ ( A) , σfred ( A) = {λ ∈£ : λ − A không Fredholm } , sprad(A) = sup{ λ : λ ∈σ ( A)} liên hợp, miền xác định, nhân, ảnh, tập giá trị quy (tập giải), phổ, phổ Fredholm, bán kính phổ A; A |Y thu hẹp A Y ⊂ X ; L( X , Y ) khơng gian Banach tốn tử tuyến tính bị chặn từ X đến Y; L( X ) tập toán tử bị chặn X; Lp = Lp ( ¡, X ) , p ∈[1, +∞) không gian Banach gồm hàm từ X vào ¡ cho f p khả tích Lebesgue; C0 ( ¡, X ) không gian hàm liên tục triệt tiêu ±∞ ; lp ( ¢, X ) khơng gian Banach gồm tất dãy x = ( xn ) phần tử ¢ cho ∞ ∑x n=1 p n < ∞ ; c0 ( ¢, X ) không gian dãy triệt tiêu ±∞ Không gian hàm ε ( ¡) không gian Lp ( ¡, X ) C0 ( ¡, X ) , không gian dãy ε ( ¢) không gian l p ( ¢, X ) c0 ( ¢, X ) , ε ( ¡+ ) không Lp ( ¡ + , X ) gian ε ( ¡+ ) = C00 ( ¡+ , X ) không gian hàm liên tục ¡+ triệt tiêu ∞ C0 ( ¡+ , X ) , , khơng gian dãy ε ( ¢ + ) không gian l p ( ¢+ , X ) c0 ( ¢+ , X ) , ε ([0, 2π ]) không gian Lp ([ 0,2π ] , X ) Cper ([ 0,2π ] , X ) - không gian hàm tuần hoàn chu kỳ [0,2π ] 2π đoạn Ta dùng hình thức in đậm để ký hiệu cho dãy, chẳng hạn, x = ( xn )n∈¢ , xn ∈ X Với n ∈¢ , trực chuẩn thứ n lp ( ¢, X ) c0 ( ¢, X ) en = (δ nk )k∈¢ , với δ nk hệ số Kronecker Nếu x ∈ X ta ký hiệu dãy x ⊗ en = ( xk )k∈¢ x ⊗en = ( xδnk )k∈¢ cho xn = x Với xk = Y⊂X với k ≠ n Y* ⊂ X * , Y*⊥ = { x ∈ X : x, ξ = 0, ∀ ξ ∈ Y* } Nếu ta ký X = X1 ⊕ X { Y ⊥ = ξ ∈ X * : x, ξ = 0, ∀ x ∈Y hiệu ( X ) = X 2⊥ ( X ) = X1⊥ * } * Nếu P phép chiếu X P* phép chiếu X* với Im P* = ( KerP ) = ( Im P ) KerP* = ( Im P ) = ( KerP ) * ⊥ ⊥ * Nếu ( P, Q ) cặp phép chiếu X X = Im P ⊕ KerP X = Im Q ⊕ K erQ Bất kỳ toán tử A bị chặn X viết dạng tốn tử ma trận sau:  P  A=  A[Q I − P  PAQ I − Q] =  ( I − P ) AQ PA ( I − Q )   ( I − P ) A ( I − Q ) (2.1) Nếu A Q = P A ma trận ma trận chéo với phần tử đường chéo A|ImQ A|KerQ Nếu A( ImQ) ⊆ Im P AQ = PAQ ta đồng A|ImQ = AQ : Im Q → Im P , ta viết:  A |ImQ A=  PA ( I − Q )   ( I − P ) A |KerQ  (2.2) Cho tốn tử sai phân D xác định khơng gian l p ( Z , X ) , p∈[1, ∞) sau: D : ( xn ) n∈Z a ( xn − U ( n, n − 1) xn−1 )n∈Z Toán tử liên hợp D là: D*: ( ξn ) n∈Z a (ξn − U ( n + 1, n ) *ξn+1 ) n∈Z (2.3) Ta có: KerD = {( xn )n∈Z : xn = U ( n, m ) xm ; ∀m, n ∈ Z , n ≥ m} , (2.4) KerD* = {(ξ n )n∈Z : ξ m = U ( n, m ) * ξ n ; ∀m, n ∈ Z , n ≥ m} (2.5) Với n ∈ Z , ta định nghĩa không gian sau: X n = { x ∈ X : ∃( xk )k∈Z ∈ KerD, x = xn } , (2.6) X n ,∗ = {ξ ∈ X * : ∃ (ξ k )k∈Z ∈ KerD*, ξ = ξ n } (2.7) X* không gian liên hợp X, cho không gian con: Y⊂X Y* ⊂ X * , Ta kí hiệu: Y ⊥ = {ξ ∈ X * : x, ξ = ∀x ∈ Y } Y*⊥ = { x ∈ X : x, ξ = 0∀ξ ∈ Y* } Bổ đề 2.3 Với n ∈¢ m∈¢ , m ≤ n , khẳng định sau thỏa: (i) d im X n ≤ d im K e rD < ∞ dim Xn,* ≤ dim D* < ∞ ; (ii) U ( n, m) X m ⊂ X n , nữa, toán tử U ( n, m) |Xm : X m → X n khả nghịch; (iii) U ( n, m) * X n,* ⊂ Xm,* , nữa, toán tử U ( n, m ) *| X n ,* : X n,* → X m ,* khả nghịch; (iv) U ( n, m) X m⊥,* ⊂ X n⊥,* co dim X n⊥,* = dim X n,* < ∞ ; U ( n, m) * X n⊥ ⊂ X m⊥ co dim X n⊥ = dim Xn < ∞ ; ⊥ ⊥ (v) X n ⊂ X n,* X n,* ⊂ X n Chứng minh (i) Theo định nghĩa (ii) Cố định x∈X m Xn Xn,* D tốn tử Fredholm lấy dãy ( xk )k∈Z ∈ KerD cho x = xm Nếu (i) – (iv) thỏa d im K erA = d im K e rA 2 + d im L1 c o d im Im A = c o d im Im A1 + c o d im L Theo Định lý 2.18, cần chứng minh D Fredholm (i) (ii) Định lý 2.1 thỏa Ta chứng minh khơng gian lp Ta giả thiết rằng: (1) a , b ∈ ¢ Định lý 2.1; (2)Họ tiến hó rời rạc {U ( n, m )}n≥m , n, m ∈ ¢ , có lưỡng phân { Pn− } { Pn+ } ; n ≤a n ≥b − (3)Toán tử nút rời rạc N ( b , a ) = ( I − Pb+ )U ( b , a ) | KerP toán tử Fredholm từ KerPa đến − a KerPb+ Với A = D, xét biểu diễn (2.48) với l p ( ¢, X ) = χ1 ⊕ χ2 , χ1 = l p ( ¢ I ( −∞, b] ; X ) χ = l p ( ¢ I [b + 1, ∞ ) ; X ) Khi đó, A11 = Db− , Db− = D |l ( ¢I ( −∞ ,b ]; X ) ; A22 = Db+ , Db+ : ( x n )n ≥ b +1 a ( xb +1 , xb + − U ( b + 2, b + 1) xb +1 , ) p A21 = Db± , Db± : ( xn )n≤b a ( −U ( b + 1, b ) xb , 0, ) Do đó: L1 = {( x L2 = {( x n n )n≤b : ( x n )n≤b ∈ K erDb− , ( −U ( b + 1, b ) xb , 0, ) ∈ Im Db+ } , (2.49) )n≥b +1 + ( −U ( b + 1, b ) xb , 0, ) : ( x n )n≥b+1 ∈ Im Db+ , ( xn )n ≤b ∈ KerDb− } (2.50) Ta ký hiệu: ( xb' +1 = −∑ U ( b + + k , b + 1) |KerP+ b+1 ) (I − P ) x −1 + b+1+ k b+1+k (2.51) + Bổ đề 2.21 Toán tử Db khả nghịch trái l p ( ¢ I [b + 1, ∞ ) ; X ) Im Db+ = {( x ) n n≥ b +1 ( ) } : I − Pb++1 xb +1 = xb' +1 (2.52) Chứng minh −1 + Để xây dựng ( Db+ ) , khả nghịch trái Db , ý rằng: Db+ = I −Tb+ , với Tb+ : ( xn )n≥b+1 a ( 0,U ( b + 2) xb+1, ) Phân tích: Tb+ = Tb+,s ⊕ Tb+,u , với: Tb+,s thu hẹp Tb+ không gian gồm dãy ( xn )n≥b+1 ∈ l p ( Z I [b + 1, ∞ ) ; X ) thỏa xn ∈ImPn+ Tb+,u thu hẹp Tb+ không gian gồm dãy ( xn )n≥b +1 ∈ l p ( Z I [b + 1, ∞ ) ; X ) thỏa xn ∈ KerPn+ , n ≥ b +1 + Khi đó, Tb,u khả nghịch trái nghịch đảo trái là: (T ) : ( x ) + −1 b,u n ( ) a  U ( n +1, n) |KerP+ n≥b+1 n  ( Theo giả thiết lưỡng phân, sprad (Tb+,s ) < sprad (Tb+,u ) ∞ (D ) = ∑(T + −1 b Kết tính tốn cho thấy Db+ ( Db+ ) k =0 −1 −1 −1 ) < 1, đó: ∞ ) − ∑ (T ) + k b, s xn+1  n≥b+1 k =1 + −k b,u ánh xạ dãy ( xn ) n≥b+1 với dãy ( Pb++1 xb+1 + xb' +1 , xb+2 , ) , xem (2.51) ( Vì Im Db+ = Im Db+ ( Db+ ) −1 ) , ta nhận (2.52) Sử dụng phân tích: l p ( Z I ( −∞, b ]; X ) = χ1 ⊕ χ , với: − χ1 = l p ( Z I ( −∞, a − 1] ; X ) χ = l p ( Z I [ a, b ] ; X ) , xét biểu diễn (2.48) với A = Db Ta biết: A11 = Da−−1 = D |l ( Z I ( −∞ ,a −1]; X ) p A22 = Da,b , với Da,b : ( xn ) a≤n≤b a ( xa , xa+1 −U ( a +1, a ) xa , , xb −U ( b, b −1) xb−1 ) Trong biểu diễn: l p ( Z I [ a, b ] ; X ) = X ⊕ ⊕ X , ( b − a ) lần, toán tử Da,b tam giác với đồng đường chéo, khả nghịch − Sử dụng lưỡng phân {Pn− }n≤a −1 , chứng minh tương tự Bổ đề 2.29, ta có Da−1 khả nghịch phải − − − Vì Db tam giác với đường chéo chặn Da−1 Da,b , nên điều suy Db khả nghịch phải Điều Bổ đề 2.29 suy ra: với biểu diễn tam giác (2.48) D khẳng định (i) (ii) thỏa Do đó, D Fredholm Phần lại, ta chứng minh d i m L1 < ∞ Khi điều chứng minh Với L1 , ta thấy: co d im L < ∞ d im K e r D = d im L1 ( −U ( b +1, b) x ,0, ) ∈ Im D b + b , với L1 L2 (2.49) – (2.50) co d im D = c o d im L ( yn )n≥b+1 ∈ l p ( Z I [b + 1, ∞ ) ; X ) cho yn = −U ( n, b) xb , n ≥ b +1 + Sử dụng lưỡng phân { Pn+ } , điều tương đương với xb ∈ImPb n ≥b − Mặt khác, ( xn ) n≤b ∈ KerDb , nghĩa xn = U ( n, m) xm với m ≤ n ≤ b tồn dãy Đặc biệt, xb = U ( b, a ) xa xa = U ( a, n) xn với n ≤ a − Sử dụng lưỡng phân { Pn− } , ta suy xa ∈ KerPa Do đó: n ≤a dim L1 = dim { x ∈ KerPa− : U ( b, a ) x ∈ Im Pb+ } = dim KerN ( b, a ) < ∞ Với L2 , gọi Z phần bù trực tiếp Im N ( b, a ) , cho: KerPb+ = Im N ( b, a) ⊕ Z gọi ( xn )n ≥b +1  , với ( xn )n≥b +1 ∈ l p ( Z I [b + 1, ∞ ) ; X ) , lớp tương đương L không gian thương l p ( Z I [b + 1, ∞ ) ; X ) / L2 Theo Bổ đề 2.29, ta có: (P + n Do đó,  ( xn )n≥b +1  =  ( ( I − Pn+ ) xn ) L  n ≥ b +1 xn ) ∈ Im Db+ ⊂ L2 n ≥ b +1   L2 Sử dụng (2.49), theo Bổ đề 2.29, ta suy ra: ( x , ( I − P ) x , ) ∈ Im D , với y = ( I − P ) x − x + b+ ' b +1 Vì vậy, ( xn )n≥b +1  = ( yb +1 , 0, ) L L 2 + b b+ + b+1 b+1 ⊂ L2 ' b+1 b +1 + + Chú ý yb+1 ∈KerPb+1 , tìm yb ∈ KerPb thỏa yb+1 = U ( b +1, b) |KerPb + yb Sử dụng biểu diễn: KerPb+ = Im N ( b, a) ⊕ Z , tìm biểu diễn nhất: yb = y + z , với y ∈ Im N ( b, a) z ∈ Z − Vì y ∈ Im N ( b, a) nên tồn xα ∈ KerPa cho y = U ( b, a ) xα ( Sử dụng lưỡng phân { Pn− } , đặt xn = U ( a, n ) |KerP n ≤a − n ) −1 xα với n ≤ a Định nghĩa xn = U ( n, a) xα với n ∈[ a,b] Khi đó, ( xn ) n≤b ∈ l p ( Z I ( −∞, b ] ; X ) xn = U ( n, m) xm với m ≤ n ≤ b − Do đó, ( xn ) n≤b ∈ KerDb y = xb Theo (2.50),  ( −U ( b + 1, b ) y , 0, ) =  (U ( b + 1, b ) z , 0, )  L L 2 Ta có ánh xạ định nghĩa tốt: j : x =  ( xn ) n ≥b +1  a z từ l p Z I [b + 1, ∞ ) / L2 đến Z ≅ KerPb / Im N ( b, a ) thỏa: L2 (  ( x n ) n ≥ b +1  L2 =  (U ( b + 1, b ) z , 0, )  L2 ) + , với j x = z Điều suy j phép chiếu j tồn ánh z ∈ Z x =  (U ( b + 1, b ) z , 0, )  thỏa j x = z L2 Chương TÍNH CHẤT FREDHOLM CỦA NỬA NHÓM TIẾN HÓA Trong chương này, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ tính đóng miền giá trị t tốn tử E , G, Dτ Cụ thể hai định lý 3.1 3.2 sau: Định lý 3.1 Cho { E t } nửa nhóm tiến hóa (0.2) ε ( ¡) , ta có: t ≥0 σ fred ( E t ) \ {0} = σ ( E t ) \ {0} , t ≥ Định lý 3.2 Với toán tử E1 G Lp ( ¡, X ) Dτ lp ( ¢, X ) , khẳng định sau tương đương: i) γ ( E1 − I ) > 0; ii) γ ( G ) > 0; iii) inf γ ( Dτ ) > τ ∈ 0,1 ) [ với γ (T ) biên Kato toán tử đóng T định bởi: γ (T ) = inf x∈domT Tx ≠ T ( x) dist ( x, KerT ) Đầu tiên, ta xét nửa nhóm tiến hóa { E t } xác định ε ( ¡) (0.2) Toán tử sinh G nửa t ≥0 nhóm tiến hóa mơ tả sau: Mệnh đề 3.3 Gọi u, f ∈ε ( ¡) , u ∈ domG G u = f u ∈ ε ( ¡) I C0 ( ¡, X ) với t ≥ τ ∈¡ , t u ( t ) = U ( t ,τ ) u (τ ) − ∫ U ( t , s ) f ( s ) ds (3.1) τ Tiếp theo, ta xét nửa nhóm tiến hóa {E +t } ε0 ( ¡+ ) định bởi: t≥0 U (τ ,τ − t ) u (τ − t ) , τ ≥ t, ( E u ) (τ ) = 0, t + ≤ τ ≤ t,  (3.2) + + gọi G0 toán tử sinh Tương tự Mệnh đề 3.3, G0 mô tả sau Mệnh đề 3.4 Gọi u, f ∈ε ( ¡ + ) , u ∈ domG0+ G0+u = f u ∈ε0 ( ¡+ ) I C00 ( ¡+ , X ) với t ≥ τ ∈¡ , t u ( t ) = − ∫ U ( t , s ) f ( s ) ds (3.3) Chú ý: (3.3) suy (3.1) Ta xét toán tử G+ xác định ε ( ¡+ ) sau Định nghĩa 3.5 Gọi u, f ∈ε ( ¡+ ) , u ∈ε ( ¡+ ) I C0 ( ¡+ , X ) (3.8) thỏa với u ∈ dom G + t ≥τ ∈¡+ G +u = f + + Toán tử G+ xác định tốt đóng ε ( ¡+ ) , domG 0+ = {u ∈ domG + : u ( ) = 0} G0u = G u + với u ∈ domG0 Hơn nữa, G+ ε ( ¡+ ) = C0 ( ¡+ , X ) liên hệ với tốn tử sinh nửa nhóm tiến hóa sau: U (τ ,τ − t ) u (τ − t ) , τ ≥ t , E% +t u (τ ) =  ≤ τ ≤ t U (τ ,0) u ( 0) , ( ) Cuối cùng, ta ý rằng: KerG + = {u ∈ ε ( ¡ + ) : u ( t ) = U ( t ,τ ) u (τ ) ∀ t ≥ τ ≥ 0} , (3.4) KerG0+ = {0} , (3.5) xác định không gian X { ⊆ X sau } X = x = u ( ) : u ∈ KerG + (3.6) Đặt Wτ ( t, s ) = U ( t +τ , s +τ ) , t ≥ s,τ ∈[0,1) định nghĩa nhóm dời {S ( t )}t∈¡ ε ( ¡) sau: ( S ( t ) u ) ( s ) = u ( s − t ) , s, t ∈ ¡ (3.7) t t Nếu EWτ EU nửa nhóm tiến hóa ε ( ¡) từ họ tiến hóa {Wτ ( t , s )} {U ( t, s )} S (τ ) EWt τ S ( −τ ) = EUt S (τ ) GWτ S ( −τ ) = GU Do đó, Định lý 2.18 thỏa toán tử D thay toán tử Dτ bất kỳ, τ ∈( 0,1) Định lý 3.6 Họ tiến hóa {U ( t , s )}t ≥ s ≥0 có lưỡng phân lũy thừa { Pt }t ≥0 G+ toàn ánh ε ( ¡+ ) không gian X0 ¡ + toán tử đầy X Sau đây, ta chứng minh Định lý 3.1 Chỉ cần chứng minh toán tử E1 − I khả nghịch Trước tiên ta chứng minh KerG ≠ {0} ⇒ dim Ker ( E1 − I ) = ∞ Thật vây, với k ∈ Z , ta định nghĩa toán tử bị chặn ( Mu )(τ ) = e2πikτ u (τ ) ,τ ∈R Khi đó, Do đó, M E t = e π i kt E t M ∀ t ≥ M ( G − 2πik ) = GM M = M k ε ( R) theo qui tắc: Ker ( G − 2π ik ) = M −1KerG (3.8) −1 Cố định ≠ u ∈ KerG đặt uk = Mk u, k ∈ Z Khi đó, uk ∈ Ker ( G − 2π ik ) hàm riêng khác không G ứng với trị riêng 2π ik Họ hàm số {uk : k ∈ Z } độc lập tuyến tính hàm riêng khác khơng ứng với trị riêng khác tốn tử tuyến tính độc lập tuyến tính Vì ( ) Ker E1 − I = lin { Ker ( G − 2π ik ) : k ∈ Z } (3.9) nên ta có: uk ∈ Ker ( E − I ) đó, dim Ker ( E1 − I ) = ∞ Tiếp theo, theo (3.8) (3.9), ta thấy, Ker ( E1 − I ) ≠ {0} KerG ≠ Do đó, theo chứng minh trên, K er ( E − I ) ≠ {0} ⇒ dim Ker ( E − I ) = ∞ Cuối cùng, ta đặt {( E ) } t e t ≥0 nửa nhóm đối ngẫu {E t } t ≥0 ( Vì ( M −1 ) * ( E1 ) * M * = e−2π ik ( E1 ) * nên M * (ε ( R ) ) e ) ⊂ (ε ( R ) ) ( )( e ) M * G e − 2π ik M −1 * = G e Áp dụng Chú ý 1.2.4 với A = G lập luận ta suy ra: ( ) ( ) Ker E − I ≠ {0} ⇒ dim Ker E − I * = ∞ □ Gọi A tốn tử tuyến tính đóng X có miền xác định trù mật, ta xét tốn tử Du = −u ' ε ( ¡) với miền xác định cực đại Gọi xét toán tử ς A D = dom D I dom M mở rộng đóng D + M A A , ta xét tổng D + M cho D nhân A với dom( D + M A ) = D ςA Bổ đề 3.7 Toán tử ςA Fredholm ε ( ¡) ς A khả nghịch ε ( ¡) Chứng minh Trước hết ta chứng minh miền xác định miền giá trị Thật vậy, giả sử u ∈ dom ς A , D nhân ςA ςA bất biến nên tồn {un : n ≥ 0} ⊂ D thỏa un − u ε → ς Aun − ς Au ε → n → ∞ Vì nhân D bất biến nên với t ∈ R , ta có: S ( t ) un − S ( t ) u ε → ς A S ( t ) un − ς A S ( t ) u ε → Vì ςA tốn tử đóng nên S ( t ) un ∈domς A S ( t ) ς Au = ς AS ( t ) u Vậy, miền xác định miền giá trị ςA bất biến n → ∞ Hơn nữa, ta có: S ( t )( Imς A ) = Imς A , t ∈R Tiếp theo, ta giả sử Với u tùy ý, u ∈ K e rς A ςA (3.10) d im K er ς A > toán tử Fredholm , ta có: S ( t ) u ∈Kerς A, t ∈R Do đó, nhóm tốn tử {S ( t )}t∈R cho (3.7) xác định tốt không gian Banach χ = ( Kerς A , ε ) đẳng cự Vì K erς A tB hữu hạn chiều nên S ( t ) = e , t ∈ R với B ∈ L ( X ) Vì {S ( t )}t∈R đẳng cự nên σ ( B) ∈iR chứa giá trị riêng B Do đó, tồn ξ ∈ R ≠ u ∈ K er ς A thỏa S ( t ) u0 = eitξ u0 Vì vậy, với t ∈ R , ta có: u0 ( s + t ) = eitξ u0 ( s ) , s ∈R  Đặc biệt, u0  s +  2π  = u0 ( s ) , s ∈ R ξ  Nhưng u0 ∉ε ( R) , điều mâu thuẩn Do đó, Kerς A = {0} Cuối cùng, xét khơng gian thương Y = ε ( R ) Im ς Vì Im ς A giả sử dim Y > A { } S ( t ) − bất biến nên nhóm thương Sˆ ( t ) t∈R xác định tốt Y f ∈ fˆ (lớp tương đương Y, Sˆ ( t ) fˆ = inf S ( t ) f + g ε = inf Y { } Kết Sˆ ( t ) t∈R g∈Imς A g∈Imς A f + g ε = fˆ , Y đẳng cự khơng gian hữu hạn chiều Y Vì dimY < ∞ nên tồn không gian hữu hạn chiều N ε ( R) đẳng cấu với Y thỏa: Im ς A ⊕ N = ε ( R ) Sử dụng ảnh đẳng cấu  2π f s+ ξ  {Sˆ (t )} t∈R N, ta suy tồn ≠ f ∈ N   = f ( s ) , ξ ∈ R Điều mâu thuẩn  Do đó, Y = {0} ςA khả nghịch □ cho Bổ đề 3.8 Với toán tử Dτ ,τ ∈[ 0,1) định nghĩa (0.3), (i) Nếu ( zn )n∈¢ ∈ KerDτ (U ( n, n + τ − 1) z n−1 )n∈¢ ∈ KerD0 (ii) Nếu ( zn )n∈¢ ∈ KerD0 (U (τ + n, n ) zn )n∈¢ ∈ KerDτ Chứng minh (i) Với τ ∈[ 0,1) , ta có: K erDτ = {( x ) n n∈Z : xn = U ( n + τ , m + τ ) xm ∀ n ≥ m ∈ Z } (3.11) Nếu ( zn )n∈Z ∈ KerDτ zn = U ( n +τ , n + τ −1) zn−1 = U ( n + τ , n ) U ( n, n +τ −1) zn−1 Nếu xn = U ( n, n +τ −1) zn−1 U ( n, n − 1) xn −1 = U ( n, n − 1) U ( n − 1, n + τ − 1) zn − = U ( n, n + τ − ) zn − = U ( n, n + τ − 1) U ( n + τ − 1, n + τ − ) z n − = U ( n, n + τ − 1) zn −1 = xn , n ∈ Z (ii) Nếu ( zn )n∈Z ∈ KerD0 zn = U ( n, n −1) zn−1 Dτ (U (τ + n, n ) zn ) n∈Z = (U (τ + n, n ) zn − U (τ + n, n − 1) zn −1 )n∈Z = (U (τ + n, n ) zn − U (τ + n, n ) U ( n, n − 1) zn −1 )n∈Z = □  1 2  Lấy hàm trơn α : [0,1] → [ 0,1] thỏa α (τ ) = với τ ∈ 0,  α (τ ) = với τ ∈  ,1 Với dãy  3 3  x = ( xn )n∈¢ xác định hàm Bx thỏa t ∈[ n, n +1] , n ∈¢ ( B x )( t ) = U ( t , n ) α ( t − n ) xn + (1 − α ( t − n ) )U ( n, n − 1) xn−1  (3.12) Vì họ tiến hóa {U ( t ,τ )}t ≥τ bị chặn lũy thừa nên C = sup { U ( t , τ ) : ≤ t − τ ≤ 1} < ∞ Với t ∈[ n, n +1] , n ∈¢ x ∈ X , ta có: U ( n + 1, n ) x = U ( n + 1, t )U ( t , n ) x ≤ C U ( t , n ) x , U ( t , n ) x ≤ C x Bổ đề 3.9 ( i) B : ε ( ¢) → ε ( ¡) tốn tử tuyến tính bị chặn; (ii) B : K e r D → K e rG đẳng cấu; (iii) ( E1 − I ) B = − BD0 Chứng minh Vì ( Bx)( n) = U ( n, n −1) xn−1, n ∈ Z nên Bx hàm liên tục (i) suy từ (3.13) (3.13) (iii) suy từ tính tốn trực tiếp (ii) Ta nhớ lại Mệnh đề 3.3 rằng: u ∈ KerG u ∈ Lp ( R, X ) I C0 ( R, X ) u ( t ) = U ( t,τ ) u (τ ) ∀t ≥ τ ∈R x ∈ K e rD Nếu xn = U ( n, n −1) xn−1, n ∈ Z ( Bx)( t ) = U ( t, n) xn , t ∈[ n, n +1] , n ∈ Z x ∈ K e rD Và đó, B x ∈ K er G Nếu Bx = x = x ∈ K e rD Do đó, phép đơn ánh B : K e rD → K e rG Để chứng tỏ B toàn ánh, ta lấy u ∈ K er G đặt x = ( u ( n ) )n∈Z Khi đó, ( Bx)( t ) = U ( t , n ) u ( n) = u ( t ) Ta kiểm tra x ∈l p ( Z , X ) Điều suy từ (3.13): x l = ( u ( n ) )n∈Z p p ≤C =∑ p lp n +1 ∫ U ( n + 1, t )U ( t, n ) u ( n ) dt n∈Z n n +1 p p ∑ ∫ U (t, n) u ( n) p dt = C n +1 p n∈Z n ∑ ∫ u (t ) p dt = C p u n∈Z n p Lp Chứng minh Định lý 3.2 (i) ⇒(ii): Dùng Bổ đề 3.9 (iii) đặt γ = γ ( E1 − I ) , ta có: D0x l ≥ B −1 p ≥γ B BD0 x −1 Lp −1 = B ( ( (E dist Bx, Ker E1 − I ) − I Bx )) Theo (3.9), ta giả sử u = ≥ Lp γ Bx − u B ∑u k ≤K k Lp ( ) , u ∈ Ker E1 − I , uk ∈ Ker ( G − 2π ik ) ( ) Sử dụng (3.8) Bổ đề 3.9 (ii), ta tìm z ∈KerD0 thỏa k ( u k ( t ) = e − π ikt B z ( Chú ý rằng: z ( k ) = ( z n( k ) ) ) (t ) , t ∈ R, k ∈ K er D ⇒ z n( +)1 = U ( n + 1, n ) z n( k n∈ Z k) ≤ K k) ( Bz ( k ) ) ( t ) = U ( t , n ) z n(k ) , t ∈ [ n , n + 1] , n ∈ Z Do đó, với C từ (3.13) dùng (2.35), ta ước lượng (3.14) sau: p p C D0x l p  γC ≥  2 B p   Bx − u  p Lp (3.14)  γC =  2 B    p  γC ≥  2 B    p n +1 ∑∫ n∈Z n n +1 ∑∫ n∈Z n p   U ( t , n ) α ( t − n ) xn + (1 − α ( t − n ) )U ( n, n − 1) xn −1 − ∑ e −2π ikt zn( k )  dt k ≤K    U ( n + 1, n ) α ( t − n ) xn + (1 − α ( t − n ) )U ( n, n − 1) xn −1 −  ∑e −2 π kit k ≤K  k z n( )  dt  2  Vì α ( t ) = với t ∈ ,1 U ( n +1, n ) zn( k ) = zn( k+1) , ta suy ra: 3  C D0 x l ≥ p = γ  1/ p  ∫ ∑ U ( n + 1, n ) xn − ∑ e −2π ikt z n( +)1 B  2/3 n∈Z k ≤K γ  k  dt    1/ p  ∫ ∑ xn+1 − ( xn +1 − U ( n + 1, n ) xn ) − ∑ e B  2/3 n∈Z k ≤K −2π ikt (k ) zn +1 1/ p p   γ 1 k −2π ikt ( ) = ∫ x − D0 x − k∑≤ K e z dt  B  2/3 lp   Vì ∑e −2π ikt k 2  z( k ) ∈ KerD0 với t ∈ ,1 nên: 3  C D0 x lp ≥ = ≥ γ  1/ p  ∫ dist ( x − D0 x, KerD0 ) B  2/3 γ ( 3) 1/ p inf y∈ KerD0 B γ ( 3) 1/ p x − D0 x − y dist ( x, KerD0 ) − B p  dt   lp γ ( 3) 1/ p B D0 x lp Do đó, γ ( D0 ) > Theo Định lý 2.18, khẳng định (ii) Định lý 3.2 chứng minh xong ( ii) ⇒ ( iii) : Theo Định lý 2.18, γ ( G ) > suy γ ( D0 ) > Với τ ∈[ 0,1) , từ (3.13), ta có: 1/ p C Dτ x l p p  = C  ∑ xn − U ( n + τ , n + τ − 1) xn−1   n∈Z  1/ p p  ≥  ∑ U ( n + 1, n + τ ) xn − U ( n + 1, n + τ ) U ( n + τ , n + τ − 1) xn−1   n∈Z  = D0 (U ( n, n + τ − 1) xn−1 )n∈Z lp  dt    ( ≥ γ ( D0 ) dist (U ( n, n + τ −1) xn−1 ) n∈Z , KerD0 ≥ ( γ ( D0 ) / 2) (U ( n, n + τ −1) xn−1 )n∈Z − z ) lp với z = ( zn )n∈Z ∈KerD0 Sử dụng (3.13) lần nữa, ta được: U ( n + τ , n + τ − 1) xn −1 − U ( n + τ , n ) z n = U ( n + τ , n ) U ( n, n + τ − 1) xn −1 − z n  ≤ C U ( n, n + τ − 1) xn −1 − z n Vì (U ( n + τ , n ) z n )n∈Z ∈ KerDτ , z ∈ KerD0 nên theo Bổ đề 3.8 (ii), ta có: γ ( D0 )  p 1/ p  U ( n + τ , n + τ − 1) xn−1 − U ( n + τ , n ) zn   ∑  p 2C   γ ( D0 ) = x − Dτ x − (U ( n + τ , n ) zn )n∈Z lp 2C γ ( D0 ) γ ( D0 ) ≥ dist ( x, KerDτ ) − Dτ x l p 2C 2C C Dτ x l ≥ Khẳng định (iii) Định lý 3.2 chứng minh ( iii ) ⇒ ( i ) : Đặt γ = inf γ ( Dτ ) > , ta xét hàm tựa compact liên tục u : R → X ý tập τ ∈[ ,1 ) hàm số trù mật Lp ( R, X ) Ta có: (E ) −I u p Lp =∑ n +1 ∫ u ( t ) − U ( t , t − 1) u ( t − 1) p dt n∈Z n = ∫ Dτ ((u (τ + n) ) ) n∈Z p lp (3.15) dτ Từ Bổ đề 3.8 (i) (3.13), với y ∈lp τ ∈[ 0,1) , ta có: dist ( y, KerDτ ) = inf y − x l x∈ KerDτ ≥ C −1 inf x∈KerDτ p (U ( n, n + τ −1) y ) n−1 n∈Z − (U ( n, n + τ − 1) xn−1 ) n∈Z ( ) lp (3.16) ≥ C −1dist (U ( n, n + τ − 1) yn−1 ) n∈Z , KerD0 Sử dụng (3.16) với y = ( u (τ + n ) )n∈Z , ta có: Dτ ((u (τ + n )) ) n∈Z lp ( ≥ γ dist ( u (τ + n ) ) n∈Z , KerDτ ( ) ) ≥ γ C dist (U ( n, n + τ − 1) u (τ + n − 1) )n∈Z , KerD0 −1 (3.17) Tiếp theo, ta chứng tỏ với τ ∈[ 0,1) , ta chọn x = ( xn )n∈Z ∈KerD0 , x = x (τ ) cho hàm x : [ 0,1) → l p liên tục thỏa bất đẳng thức sau: ( ) dist (U ( n, n + τ − 1) u (τ + n − 1) ) n∈Z , KerD0 ≥ (U ( n, n + τ − 1) u (τ + n − 1) )n∈Z − x (3.18) lp Để chứng minh điều này, ta xét hàm liên tục u : [ 0,1] → l p định bởi: u (τ ) = (U ( n, n + τ − 1) u (τ + n − 1) )n∈Z Theo cách chọn u , giá trị u (τ ) , τ ∈[ 0,1] dãy tựa hữu hạn khơng thuộc Đặt: ε = inf dist ( u (τ ) , KerD0 ) > lấy η > thỏa: τ ∈[ 0,1] u (t ) − u (t ') < lp ε 10 ⇒ t −t '