tính chât fredholm c a n a nhóm tiên hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ___________________________ Trần Thanh Hiệp TÍNH CHẤT FREDHOLM CỦA NỬA NHÓM TIẾN HÓA Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA TP.Hồ Chí Minh – Năm 2010 THƯ VIỆN LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi xin trân trọng kính gởi đến Thầy Lê Hoàn Hóa người đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc. Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – Tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tập và làm việc. Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 18 đã luôn động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Trần Thanh Hiệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung luận văn này không được sao chép bất kỳ luận văn nào khác trước đây. Học viên Trần Thanh Hiệp MỞ ĐẦU Lý thuyết Fredholm (ra đời vào 1903) là lý thuyết về phương trình vi phân. Theo nghĩa hẹp, nó liên quan đến nghiệm của phương trình tích phân Fredholm. Theo nghĩa rộng, cấu trúc trừu tượng của lý thuyết Fredholm được thể hiện dưới dạng lý thuyết phổ của toán tử Fredholm và nhân Fredholm trên không gian Hilbert. Và công cụ để nghiên cứu tính ổn định phổ của phương trình truyền sóng là lý thuyết lưỡng phân. Một họ tiến hoá ( ) { } , , , t U t t τ τ τ ≥ ∈ ¡ liên kết với phương trình vi phân tuyến tính chỉnh, không tự sinh trên không gian Banach X với các hệ số toán tử sinh ra ba toán tử quan trọng xác định trên không gian các hàm nhận giá trị trong X: (1) toán tử vi phân G, ( ) d G A t dt − = + ; (0.1) (2) toán tử hàm số E t , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 0 t E u U t u t t τ τ τ τ τ = − − ∈ ≥ ¡ ; (0.2) (3) toán tử sai phân D τ , ( ) ( ) ( ) [ ) 1 : , 1 , 0,1 n n n n n D x x U n n x τ τ τ τ − ∈ ∈ − + + − ∈ ¢ ¢ a . (0.3) Trong khuôn khổ luận văn này, đầu tiên tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng phân trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử ( ) A t . Tiếp theo, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị của ba toán tử nêu trên. Luận văn được trình bày theo bố cục như sau: Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các vấn đề chính được nghiên cứu trong luận văn, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị cơ bản về lý thuyết Fredholm, nửa nhóm tiến hóa, lưỡng phân lũy thừa. Chương 2 được xây dựng gồm hệ thống các Định lý và Bổ đề dùng để chứng minh Định lý lưỡng phân (Định lý 2.1, Định lý 2.2) trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc nào của toán tử A(t). Chương 3 là sự nối tiếp của chương 2, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị của các toán tử , , t E G D τ . Cuối cùng là phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Lý thuyết Fredholm Định nghĩa 1.1 Cho X và Y là các không gian Banach, gọi : T X Y → là toán tử tuyến tính bị chặn, T được gọi là Fredholm nếu: (i) dim Ker T < ∞ ; (ii) Im T đóng; (iii) dim CoKer T < ∞ .( ( ) dim dim / Im CoKerT Y T = ). Khi T là ánh xạ Fredholm, chỉ số của T kí hiệu IndT là số nguyên xác định bởi: Ind dim dimIm T KerT co T = − Tính chất 1.2 Từ định nghĩa trên và từ những kết quả cơ bản của giải tích hàm tuyến tính, tồn tại các phép chiếu liên tục : P X X → , : Q Y Y → thỏa: Im Ker P T = ; Ker Im Q T = . Do đó, er er Im Im X K T K P Y T Q = ⊕ = ⊕ Bổ đề 1.3 Cho : T X Y → là toán tử thỏa Im T chứa một không gian con đầy, đóng thì Im T đóng. Bổ đề 1.4 Kí hiệu ( ) Fred , X Y là không gian các toán tử Ferdholm từ X vào Y và ( ) Fred X là tập các toán tử Fredholm xác định trên X. Ta có ( ) Fred , X Y là tập mở của B(X,Y) và chỉ số Fredholm là hàm hằng trên Fred(X,Y). Bổ đề 1.5 Cho : T X X → là toán tử compact, khi đó I T + là Fredholm. Bổ đề 1.6 Cho : T X Y → và : S Y Z → là các toán tử Fredholm. Khi đó, : ST X Z → cũng là Fredholm. Hơn nữa, ( ) ( ) ( ) Ind Ind Ind ST T S = + . Định nghĩa 1.7 Cặp Fredholm: cặp không gian con ( ) W, V trong X được gọi là cặp Fredholm nếu: i) ( ) ( ) W, dim W VV α = < ∞ I ii) W V + : đóng iii) ( ) ( ) W, dim WV co V β = + <∞ Chỉ số Fredholm: Chỉ số Fredholm của cặp không gian con ( ) W, V là ( ) ( ) ( ) ind W, W, W, . V V V α β = − 1.2 Họ tiến hoá và nửa nhóm tiến hoá Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach, L(X) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Họ ( ) { } ( ) 0t T t L X ≥ = ⊂T được gọi là nửa nhóm trên X nếu ( ) 0 T I = và ( ) ( ) ( ) T t s T t T s + = với mọi , 0 t s ≥ . Nửa nhóm ( ) { } 0 t T t ≥ =T được gọi là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại 1 M ≥ và ω > 0 sao cho ( ) , 0 t T t Me t ω ≤ ∀ ≥ . Định nghĩa 1.2.2 Toán tử ( ) P L X ∈ được gọi là phép chiếu nếu 2 P P = . Nửa nhóm ( ) { } 0 t T t ≥ =T được gọi là lưỡng phân lũy thừa nếu tồn tại một phép chiếu ( ) P L X ∈ và hai hằng số 1 K ≥ và 0 ν > sao cho (i) ( ) ( ) , 0; T t P PT t t = ∀ ≥ (ii) ( ) , Im t T t x Ker x x P ν − ≤ ∀ ∈ và 0 t ∀ ≥ ; (iii) ( ) 1 , t T t x e x x KerP K ν ≥ ∈ và 0 t ∀ ≥ ; (iv) ( ) er : er er K P T t K P K P → là một đẳng cấu 0 t ∀ ≥ . Ví dụ: Trên 2 X R = được trang bị chuẩn ( ) 1 2 1 2 , x x x x = + , ta định nghĩa ( ) : T t X X → như sau ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , 0 t t T t x x e x e x x x x R t − = ∀ = ∈ ∀ ≥ . Khi đó, nửa nhóm ( ) { } 0 t T t ≥ =T là lưỡng phân lũy thừa. Định nghĩa 1.2.3 Nếu ( ) { } 0 t T t ≥ =T là nửa nhóm trên X và U X ⊂ là một không gian con tuyến tính, U được gọi là T – bất biến nếu ( ) , 0 T t U U t ⊂ ∀ ≥ . Một họ ( ) { } , , , t U t t J τ τ τ ≥ ∈ gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X được gọi là họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh trên J nếu: i) Với mỗi x X ∈ , ánh xạ ( ) ( ) , , t U t x τ τ a liên tục với mọi t τ ≥ thuộc J ii) ( ) ( ) { } sup , : , , t e U t t J t ω τ τ τ τ − − ∈ ≥ <∞ , với R ω ∈ tùy ý iii) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , U t t I U t U t s U s τ τ = = với mọi t s τ ≥ ≥ thuộc J. Nửa nhóm tiến hóa: { } 0 t t E ≥ là nửa nhóm tiến hóa xác định trên không gian ( ) , p L R X , 1 p ≤ < ∞ hoặc ( ) 0 , C R X _không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại ±∞ , theo qui tắc: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 0 t E u U t u t R t τ τ τ τ τ = − − ∈ ≥ . Ta định nghĩa toán tử G trên L p liên kết với nửa nhóm tiến hóa trên như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' Gu t u t A t u t =− + với miền xác định: ( ) ( ) { } 1 dom W : p p G u L u t domA t = ∩ ∈ ∈ . (1.1) Ta gọi G là mở rộng đóng của G. Nửa nhóm liên hợp: Cho { } 0 tA t E ≥ là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, khi đó, nửa nhóm liên hợp ( ) { } 0 * tA t e ≥ trên không gian Banach X* nói chung là không liên tục mạnh. Không gian con: ( ) { } * *: * * 0 khi 0 tA X x X e x x t= ∈ − → → e là không gian con tuyến tính đóng của X* và ( ) ( ) * 0 tA e X X t ⊆ ∀ ≥ e e . Thu hẹp tA e e của ( ) * tA e xác định một nửa nhóm liên tục mạnh trên X e . Hơn nữa, ( ) ( ) ( ) * * \ X A X A ρ λ σ = ∀ ∈ e £ . Chú ý 1.2.4 Từ định nghĩa của X e suy ra ( ) er * tA K I e X − ⊂ e và ( ) ( ) er * er tA tA K I e K I e − = − e với mỗi 0 t ≥ ; ( ) * Ker A X µ − ⊂ e và ( ) ( ) er * erK A K A µ µ − = − e với µ ∈ £ bất kỳ. Lý thuyết lưỡng phân Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach, J là , R R − + hoặc R, họ tiến hóa ( ) { } , t U t τ τ ≥ được gọi là có lưỡng phân lũy thừa { } t t J P ∈ trên J với hệ số lưỡng phân 1 M ≥ và 0 α > nếu , t P t J ∈ , là các phép chiếu trên X và mọi t J τ ≥ ∈ , các khẳng định sau thỏa: i) ( ) ( ) , , t U t P PU t τ τ τ = ii) Thu hẹp: của toán tử ( ) , U t τ trên er K P τ , ( ) er , K P U t τ τ , là toán tử khả nghịch từ er K P τ đến er t K P . iii) Thỏa các ước lượng lưỡng phân sau: ( ) ( ) Im , t P U t Me τ α τ τ − − ≤ và ( ) ( ) ( ) 1 er , t K P U t Me τ α τ τ − − − ≤ . (1.2) Chương 2 TOÁN TỬ VI PHÂN FREDHOLM VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN Trong chương này, tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng phân trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử ( ) A t : Định lý 2.1 và Định lý 2.2 Định lý 2.1 Giả sử ( ) { } , , , t U t t R τ τ τ ≥ ∈ là một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh trên không gian Banach phản xạ X, G là toán tử sinh của nửa nhóm tiến hóa tương ứng xác định trên ( ) [ ) , , 1, p L R X p ∈ ∞ hoặc trên ( ) 0 , C R X . Khi đó: toán tử G là Fredholm nếu và chỉ nếu tồn tại , a b R ∈ , a b ≤ sao cho hai điều kiện sau thỏa: (i) Họ tiến hóa ( ) { } , t U t τ τ ≥ có lưỡng phân lũy thừa { } t t a P − ≤ trên ( ] , a −∞ và { } t t b P + ≥ trên [ ) , b ∞ . ii) Toán tử nút ( ) , :Ker Ker a b N b a P P − + → , định bởi: ( ) ( ) ( ) Ker , , a b P N b a I P U b a − + = − , là toán tử Fredholm. Hơn nữa, nếu toán tử G là Fredholm thỏa thì a) dim Ker G = dim Ker N(b,a); b) codim ImG = codim Im N(b,a); ind G = ind N(b,a). Định lý 2.2 Với các giả thiết như Định lý 2.1, toán tử G là Fredholm khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa: i') Họ tiến hóa ( ) { } , t U t τ τ ≥ có lưỡng phân lũy thừa { } t t a P − ≤ trên R − và { } t t b P + ≥ trên R + . ii') Cặp không gian con ( ) 0 0 Ker ,Im P P − + trong X là Fredholm. Hơn nữa, nếu toán tử G là Fredholm thì: a') dim Ker G ( ) 0 0 er ,Im K P P α − + = b’) codim Im G ( ) 0 0 erP ,Im K P β − + = c’) ind G ( ) 0 0 ind er ,Im K P P − + = Ta ký hiệu: { } { } { } { } : 0 , : 0 , : 0 , : 0 , t t t t n n n n + − + − = ∈ ≥ = ∈ ≤ = ∈ ≥ = ∈ ≤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ { } : 1 ; λ λ = ∈ =T £ X là không gian Banach; X * là không gian liên hợp; A * , domA, Ker A, Im A, ( ) ( ) { } : , , :songánh , A A I L X A I ρ λ λ λ λ = ∈ − ∈ −£ ( ) A σ , ( ) fred A σ = { } : không Fredholm A λ λ ∈ − £ , và sprad(A) ( ) { } sup : A λ λ σ = ∈ lần lượt là liên hợp, miền xác định, nhân, ảnh, tập giá trị chính quy (tập giải), phổ, phổ Fredholm, và bán kính phổ của A; | Y A là thu hẹp của A trên Y X ⊂ ; ( ) , L X Y là không gian Banach các toán tử tuyến tính bị chặn từ X đến Y; ( ) L X là tập các toán tử bị chặn trên X; ( ) [ ) , , 1, p p L L X p = ∈ +∞ ¡ là không gian Banach gồm các hàm từ X vào ¡ sao cho p f khả tích Lebesgue; ( ) 0 , C X ¡ là không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại ±∞ ; ( ) , p l X ¢ là không gian Banach gồm tất cả các dãy ( ) n x =x các phần tử trong ¢ sao cho 1 p n n x ∞ = <∞ ∑ ; ( ) 0 , c X ¢ là không gian các dãy triệt tiêu tại ±∞ . Không gian hàm ( ) ε ¡ là một trong các không gian ( ) , p L X ¡ hoặc ( ) 0 , C X ¡ , không gian dãy ( ) ε ¢ là một trong các không gian ( ) , p l X ¢ hoặc ( ) 0 , c X ¢ , ( ) ε + ¡ là một trong các không gian ( ) , p L X + ¡ hoặc ( ) 0 , C X + ¡ , ( ) ( ) 0 00 , C X ε + + = ¡ ¡ là không gian các hàm liên tục trên + ¡ triệt tiêu tại 0 và ∞ , không gian dãy ( ) ε + ¢ là một trong các không gian ( ) , p l X + ¢ hoặc ( ) 0 , c X + ¢ , [ ] ( ) 0,2 ε π là một trong các không gian [ ] ( ) 0,2 , p L X π hoặc [ ] ( ) per 0,2 , C X π - là không gian các hàm tuần hoàn chu kỳ 2 π trên đoạn [ ] 0,2 π . Ta dùng hình thức in đậm để ký hiệu cho dãy, chẳng hạn, ( ) , n n n x x X ∈ = ∈ x ¢ . Với n ∈ ¢ , trực chuẩn thứ n trong ( ) , p l X ¢ hoặc ( ) 0 , c X ¢ là ( ) n nk k δ ∈ =e ¢ , với nk δ là hệ số Kronecker. Nếu x X ∈ thì ta ký hiệu dãy ( ) n k k x x ∈ ⊗ =e ¢ bởi ( ) n nk k x x δ ∈ ⊗ =e ¢ sao cho n x x = và 0 k x = với k n ≠ . Với Y X ⊂ và * * Y X ⊂ , ta ký hiệu { } * : , 0, Y X x x Y ξ ξ ⊥ = ∈ = ∀ ∈ và { } * * : , 0, Y x X x Y ξ ξ ⊥ = ∈ = ∀ ∈ . Nếu 1 2 X X X = ⊕ thì ( ) * 1 2 X X ⊥ = và ( ) * 2 1 X X ⊥ = . Nếu P là một phép chiếu trên X thì P* cũng là một phép chiếu trên X* với ( ) ( ) * Im * er Im P K P P ⊥ = = và ( ) ( ) * Im er * KerP P K P ⊥ = = . Nếu ( ) , P Q là một cặp phép chiếu trên X thì Im er X P K P = ⊕ và Im er X Q K Q = ⊕ . Bất kỳ một toán tử A bị chặn trên X có thể được viết dưới dạng toán tử ma trận như sau: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) PAQ PA I Q P A A Q I Q I P I P AQ I P A I Q   −   = − =     − − − −       (2.1) Nếu AQ PA = ma trận này là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là Im | Q A và er | K Q A . Nếu ( ) Im Im A Q P ⊆ hoặc AQ PAQ = thì ta đồng nhất Im | Q A AQ = : Im Im Q P → , ta viết: ( ) ( ) Im er | 0 | Q K Q A PA I Q A I P A   − =   −     . (2.2) Cho toán tử sai phân D xác định trên không gian ( ) [ ) , , 1, p l Z X p ∈ ∞ như sau: ( ) ( ) ( ) 1 : , 1 n n n n Z n Z D x x U n n x − ∈ ∈ − − a Toán tử liên hợp của D là: ( ) ( ) ( ) 1 *: 1, * n n n n Z n Z D U n n ξ ξ ξ + ∈ ∈ − + a . (2.3) Ta có: ( ) ( ) { } er : , ; , , , n n m n Z K D x x U n m x m n Z n m ∈ = = ∀ ∈ ≥ (2.4) ( ) ( ) { } er * : , * ; , , . n m n n Z K D U n m m n Z n m ξ ξ ξ ∈ = = ∀ ∈ ≥ (2.5) Với mỗi n Z ∈ , ta định nghĩa các không gian con sau: ( ) { } : , , n k n k Z X x X x KerD x x ∈ = ∈ ∃ ∈ = (2.6) ( ) { } , *: *, . n k n k Z X X KerD ξ ξ ξ ξ ∗ ∈ = ∈ ∃ ∈ = (2.7) X* là không gian liên hợp của X, cho các không gian con: * * Y X Y X ⊂ ⊂ , Ta kí hiệu: { } { } * * *: , 0 : , 0 Y X x x Y Y x X x Y ξ ξ ξ ξ ⊥ ⊥ = ∈ = ∀ ∈ = ∈ = ∀ ∈ Bổ đề 2.3 Với mọi n ∈ ¢ và m ∈ ¢ , m n ≤ , các khẳng định sau thỏa: (i) dim dim n X KerD ≤ < ∞ và ,* dim dim * n X D ≤ <∞ ; (ii) ( ) , m n U n m X X ⊂ , hơn nữa, toán tử ( ) , | : m X m n U n m X X → khả nghịch; (iii) ( ) ,* ,* , * n m U n m X X ⊂ , hơn nữa, toán tử ( ) ,* ,* ,* , *| : n X n m U n m X X → khả nghịch; (iv) ( ) ,* ,* , m n U n m X X ⊥ ⊥ ⊂ và ,* ,* dim dim n n co X X ⊥ = <∞ ; ( ) , * n m U n m X X ⊥ ⊥ ⊂ và dim dim n n co X X ⊥ = <∞ ; (v) ,* n n X X ⊥ ⊂ và ,* n n X X ⊥ ⊂ . Chứng minh (i) Theo định nghĩa của n X và ,* n X thì D là toán tử Fredholm. (ii) Cố định m x X ∈ và lấy một dãy ( ) k k Z x KerD ∈ ∈ sao cho m x x = . [...]... |X n ,* : X n, * → X m,* là to n t li n h p c a to n t U ( n, m) |Wm : Wm → Wn Theo (2.29) suy ra (2.32) vì c c to n t kh ngh ch thì chu n c a c c ngh ch đ o là b ng nhau □ ⊥ Ta xét t ng tr c ti p X * = X n ⊕ Yn,* , n ≤ 0 , v i Y,* là m t ph n bù tr c ti p b t kỳ U ( n, m) * − b t n ⊥ ⊥ bi n c a X n (c đ i chi u h u h n) trong X * Ta c th đ ng nh t (Yn ,* ) * = ( X n ) = X n và đ nh ngh a Wn,*... ta ch ng minh t n t i m t h c c phép chi u {P} x c đ nh tr n X n, * th a sup Pn < ∞ và n Z P = diag [ Pn ] , n Z ngh a là v i m i ( xn )n Z ∈F , ta c : P ( xn )n Z = ( Pn xn ) n Z Th t v y, t (2.12) và bi u th c tích ph n P ta suy ra V ( λ −1 ) PV ( λ ) = P v i m i λ ∈T Vì P giao ho n v i m i h {V ( λ ) : λ = 1} n n P là to n t chéo, ngh a là P = diag [ Pn ] n Z C c to n t Pn đư c x c đ nh như sau:... a n b a ( xa , xa+1 −U ( a +1, a ) xa , , xb −U ( b, b −1) xb−1 ) Trong s bi u di n: l p ( Z I [ a, b ] ; X ) = X ⊕ ⊕ X , ( b − a ) l n, to n t Da,b là tam gi c dư i v i c c đ ng nh t tr n đư ng chéo, do đó n kh ngh ch − S d ng lư ng ph n {Pn− }n a −1 , ch ng minh tương t như B đ 2.29, ta c Da−1 kh ngh ch ph i − − − Vì D là tam gi c dư i v i đư ng chéo ch n Da−1 và Da,b , n n đi u n y suy ra r ng... N u (2.46) th a thì G u = f M nh đ 2.15 N u D Fredholm tr n l p ( ¢, X ) , p∈[1, ∞) ho c tr n c0 ( ¢, X ) thì to n t n t r i r c N ( n, m) , n ≥ 0 ≥ m , là Fredholm H n dim KerD = dim KerN ( n, m) , n a, co dimIm D = co dimIm N ( n, m) và ind D = ind N ( n, m) Ch ng minh Ta xét c c lư ng ph n { Pn+ } và { Pn− } v i {U ( n, m) }n m nh n đư c t Đ nh lý 2.12 n ≥0 n ≤0 Đ ý r ng: N ( n, m) = N ( n, 0) N. .. gian con h u h n chi u X n, * trong X Khi đó, ta c : ⊥ ' X = X n, * ⊕ Yn = X n ⊕ X n ⊕ Yn , n ∈¢ (2.8) Ta đ nh ngh a không gian con đóng c a l p ( ¢, X ) , p∈[1, ∞) ho c c0 ( ¢, X ) : F= k∈Z {( y ) n n∈¢ } : y n ∈ X n ,* , n ∈ ¢ B đ 2.4 F là D – b t bi n và D |F là to n ánh tr n F (2.9) Yn là ph n bù ⊥ ⊥ ⊥ N u yn ∈X n, * và yn−1 ∈ X n 1,* thì yn −U ( n, n −1) ∈X n, * theo (iv) c a B đ 2.3 và DF ⊂ F Đ ch... , X ) th a xn = U ( n, m) xm v i m i n ≥ m ∈ Z Ta th y: P ( xn ) n Z ∈ Im P ⊂ F0 n ∈ N k N u ( yn )n Z = T ( Pn xn )n Z , v i yn = yn ( k ) thì yn = U ( n, n − k ) P −k xn−k n T (2.10), ta c : n u n − k > 0 ho c 0 ≥ n thì yn = U ( n, n − k ) P −k xn−k = PU ( n, n − k ) xn−k n n Nhưng ( xn )n Z ∈ KerD và do đó U ( n, n − k ) xn−k = xn Vì v y, x = xn và y n = Pn x n v i n > k ho c 0 ≥ n (2.17)... h ti n h a b ch n lũy th a li n t c m nh tr n không sinh c a n a nhóm ti n h a tương Lp ( R, X ) , p ∈[1, ∞) ho c tr n C0 ( R, X ) , D là to n t ng x c đ nh tr n sai ph n tr n l p ( Z, X ) , p∈[1, ∞) ho c tr n c0 ( Z, X ) Khi đó: Im G đóng n u và ch n u (i) Im D: đóng (ii) Dim Ker G = dim Ker D (iii) Codim Im G = codim Im D Đ c bi t, to n t G là Fredholm n u và ch n u D Fredholm và ind G = ind D B... ) n n∈¢ F0 c a F như sau: } ∈ F : x 0 ∈ X 0' d o m D 0 = F0 ngh ch tr n F, ngh a là v i m i ( zn )n ¢ ∈F , t n t i duy nh t dãy ( xn )n ¢ ∈F0 sao cho D ( xn )n ¢ = ( zn )n ¢ Ch ng minh Theo B đ 2.4, v i m i z = ( zn )n Z ∈F thì t n t i m t dãy y = ( y n )n Z ∈ F sao cho Dy = z ⊥ Theo đ nh ngh a c a F, ta c yn ∈X n, * ⊥ S d ng s ph n tích X0,* = X0 ⊕ X ' , bi u di n Theo đ nh ngh a c a Đ t: x n. ..T (2.4), ta c : xn = U ( n, m) xm Vì ( xk )k∈Z ∈ KerD n n theo đ nh ngh a c a Vì d im X n < ∞ X n thì U ( n, m) xm ∈ X n n n đ ch ng minh to n t U ( n, m) |X m : X m → X n kh ngh ch, ta ch c n ch ng minh U ( n, m) |X m : X m → X n là to n ánh là đ Th t v y, C đ nh x∈X m và l y m t dãy ( xk )k∈Z ∈ KerD sao cho x = xm T (2.4), ta c : xn = U ( n, m) xm Theo đ nh ngh a c a X m , ta c xm ∈ X Do... (2.15), ta th y: lim ( yn )n Z k→∞ lp = lim T k ( Pn xn ) n Z k→∞ lp =0 T (2.17), ta c : ( yn )n Z Vì th , Pn x n = 0 , ngh a là X n ⊂ K e rPn p lp = ∑ yn ≥ ∑ yn p n Z n 0 T | K er P = ∑ Pn xn p n 0 v i n 0 (( I − P ) x ) Đ ch ng minh ý th hai c a (2.16), ta chú ý r ng Vì p n n n Z ∈ KerP kh ngh ch tr n KerP và b t đ ng th c th hai c a (2.15) th a n n v i m i k ∈ N , t n t i m t dãy ( yn )n Z ∈F0 . một họ ti n h a bị ch n lũy th a li n t c mạnh tr n không gian Banach ph n xạ X, G là to n tử sinh c a n a nhóm ti n h a tương ứng x c định tr n ( ) [ ) ,. Ph n mở đầu giới thiệu tổng quan về c c v n đề chính đư c nghi n c u trong lu n v n, đồng thời n u bố c c c a lu n v n. Chương 1 là c c ki n th c chuẩn