VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015 Mở Đầu Trong thời gian gần yêu cầu đòi hỏi từ mô hình ứng dụng, lý thuyết định tính phương trình vi phân không gian Banach phát triển mạnh mẽ Các kết nhận tính ổn định phương trình vi phân không gian Banach ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân hàm Đồng thời sử dụng việc nghiên cứu mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron thần kinh, vật lý học Một vấn đề nhiều người quan tâm, nghiên cứu áp dụng phương pháp nửa nhóm cho phương trình tiến hóa trừu tượng, từ ứng dụng vào mô hình dân số Mục đích luận văn cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhóm không gian hàm lý thuyết nhiễu nửa nhóm vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân có nhiễu không gian Banach, từ đưa ứng dụng vào mô hình dân số Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày định nghĩa, tính chất nửa nhóm liên tục mạnh số định lý quan trọng toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh, tán xạ số dạng khác nửa nhóm liên tục mạnh Trong phần này, nội dung trình bày dựa kiến thức học chuyên đề "Giải tích hàm nâng cao" TS Trần Đức Long Chương hai trình bày toán nhiễu nửa nhóm, tính chất họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh, tương đương tiệm cận định lý liên quan; từ đưa toán mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi Nội dung trình bày chủ yếu tham khảo từ tài liệu [8] Riêng mục 2.5 nội dung trình bày dựa kiến thức học chuyên đề " Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân" PGS.TS Đặng Đình Châu Mục 2.6 tham khảo từ báo [5] Bản luận văn thực hướng dẫn PGS.TS Đặng Đình Châu Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi quí báu thân thời gian qua Cuối muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian bị hạn chế nên luận văn để lại nhiều thiếu sót lỗi ấn loát lỗi bỏ qua số trình bày chi tiết việc chứng minh lại kết chương vài ví dụ ứng dụng Vì vậy, mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Phạm Như Thành Chương Nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach toán tử sinh chúng 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.1 Một họ (T (t))t≥0 toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) thỏa mãn điều kiện sau: T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ T (0) = I lim T (t)x = T (t0 )x với x ∈ X, t ≥ t→t0 Định lý 1.1 Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi có số w ∈ R M ≥ thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt 1.2 ∀t > (1.1) Khái niệm toán tử sinh số kết bổ trợ Định nghĩa 1.2 Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian Banach X toán tử Ax = ξ˙x (0) = lim (T (h)x − x) + h→0 h (1.2) xác định với x miền xác định D(A) = {x ∈ X : ξx khả vi R+ } 1.3 (1.3) Định lý toán tử sinh nửa nhóm Định lý 1.2 Định lý toán tử sinh ( Hille-Yosida) Cho (A, D(A)) toán tử tuyến tính không gian Banach X Khi tính chất sau tương đương (a) (A, D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh (b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) ||λR(λ, A)|| ≤ (1.4) (c) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) ||R(λ, A)|| ≤ Reλ (1.5) Hệ 1.1 Giả sử w ∈ R, (A, D(A)) toán tử tuyến tính không gian Banach X Khi tính chất sau tương đương (a) (A, D(A)) sinh nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn ||T (t)|| ≤ ewt t ≥ (1.6) (b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với λ > w ta có λ ∈ ρ(A) ||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ (1.7) (c) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với λ ∈ C mà Reλ > w, ta có λ ∈ ρ(A) ||R(λ, A)|| ≤ 1.4 Reλ − w (1.8) Khái niệm tán xạ định lý Lunner-Phillips Định nghĩa 1.3 Toán tử tuyến tính (A, D(A)) không gian Banach X gọi tán xạ ||(λI − A)x|| λ.||x||, ∀λ > 0, ∀x ∈ D(A) (1.9) Định lý 1.3 (Lunner-Phillips) Đối với tán xạ xác định trù mật (A, D(A)) không gian Banach X mệnh đề sau tương đương: (a) Bao đóng A A sinh nửa nhóm co (b) R(λI − A) trù mật X với λ > (và với λ > 0) Hệ 1.2 Giả sử (A, D(A)) toán tử xác định trù mật không gian Banach X Nếu A toán tử liên hợp A∗ tán xạ bao đóng A A sinh nửa nhóm co X Định lý 1.4 Giả sử (A, D(A)) tán xạ không gian Banach X cho (λI − A) toàn ánh với λ > Khi phần A| A không gian X0 = D(A) xác định trù mật sinh nửa nhóm co X0 Ví dụ 1.1 Sau ta nêu ví dụ tán xạ có miền xác định không trù mật Giả sử X = C[0,1] , xét toán tử Af = −f với miền xác định D(A) xác định sau: D(A) = {f ∈ C[0,1] : f (0) = 0} A toán tử đóng A tán xạ 1.5 1.5.1 Một số ví dụ khác nửa nhóm liên tục mạnh Nửa nhóm liên tục Định nghĩa 1.4 Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm liên tục L(X) ánh xạ R+ t → T (t) ∈ L(X) liên tục tô pô chuẩn (tô pô đều) L(X), tức là: lim ||T (t + h) − T (t)|| = 0, h→0+ ∀t ≥ (∗) Rõ ràng nửa nhóm liên tục liên tục mạnh Vì điều kiện (∗) tương đương với điều kiện sau lim ||T (h) − I|| = h→0+ 1.5.2 Nửa nhóm đồng dạng Giả sử V phép đẳng cự từ không gian Y lên không gian X (S(t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh Y cho S(t) = V −1 T (t)V, (T (t))t≤0 nửa nhóm liên tục mạnh X Khi toán tử sinh nửa nhóm (S(t))t≥0 B = V −1 AV với miền xác định D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)}, (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm (T (t))t≤0 Ta có σ(A) = σ(B) giải thức B là: R(λ, B) = V −1 R(λ, A)V với λ ∈ ρ(A) 1.5.3 Nửa nhóm điều chỉnh Nửa nhóm điều chỉnh (eµt T (αt))t≥0 , µ ∈ C, α > có toán tử sinh B = αA + µI với miền xác định D(B) = D(A) 1.5.4 Nửa nhóm nhân Ta bắt đầu với việc xét không gian Banach (với chuẩn sup) Kí hiệu: C0 (Ω) := {f ∈ C(ω) : ∀ ε > tồn tập compact Kε ⊂ Ω cho |f (s) < ε| ∀ s ∈ Ω\Kε } không gian hàm phức, liên tục không gian compact địa phương Ω, triệt tiêu vô Với hàm liên tục q : Ω → C ta liên kết toán tử tuyến tính Mq định nghĩa miền xác định tối đại D(Mq ) C0 (Ω) Định nghĩa 1.5 Toán tử nhân Mq ∈ C0 (Ω) với q : Ω → C liên tục định nghĩa bởi: Mq f = q.f ∀f ∈ C0 (Ω) với miền xác định D(Mq ) = {f ∈ C0 (Ω) : q.f ∈ C0 (Ω)} Định nghĩa 1.6 Giả sử q : Ω → C hàm liên tục thỏa mãn: supReq(s) < +∞ s∈Ω Khi nửa nhóm (Tq (t))t cho bởi: Tq (t)f = etq f, với t 0, f ∈ C0 (Ω) gọi nửa nhóm nhân sinh toán tử nhân Mq (hoặc hàm q) C0 (Ω) Định lý 1.5 Nửa nhóm nhân (Tq (t))t q bị chặn sinh q : Ω → C liên tục 1.6 Bài toán Cauchy đặt chỉnh Xét toán Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu: u(t) ˙ = Au(t) (ACP) ∀t ≥ 0, u(0) = x t biến độc lập biểu diễn thời gian, u(.) hàm nhận giá trị không gian Banach X , A : D(A) ⊂ X → X toán tử tuyến tính, x ∈ X giá trị ban đầu Định nghĩa 1.7 Hàm u : R+ → X gọi nghiệm (cổ điển) toán Cauchy trừu tượng (ACP) u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với t ≥ thỏa mãn (ACP ) Mệnh đề 1.1 Giả sử (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi đó, với x ∈ D(A), hàm u : t → u(t) = T (t)x nghiệm (cổ điển) toán Cauchy trừu tượng Định nghĩa 1.8 Hàm u : R+ → X gọi nghiệm suy rộng toán t Cauchy trừu tượng u(s)ds ∈ D(A) với t ≥ t u(t) = A u(s)ds + x Mệnh đề 1.2 Giả sử (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi đó, với x ∈ X , ánh xạ quỹ đạo u : t → T (t)x nghiệm suy rộng toán Cauchy trừu tượng Định nghĩa 1.9 (Bài toán Cauchy đặt chỉnh ) Bài toán Cauchy trừu tượng (ACP) u(t) ˙ = Au(t) ∀t ≥ 0, u(0) = x với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X gọi đặt chỉnh với x ∈ D(A) tồn nghiệm u(., x) toán Cauchy trừu tượng (ACP), A có miền xác định trù mật, đồng thời với dãy {xn }∞ n=0 ⊂ D(A) : lim xn = 0,ta n→∞ có: lim u(t, xn ) = [0, t0 ] n→∞ Chương Tính chất nghiệm phương trình tiến hóa trừu tượng ứng dụng 2.1 Nhiễu bị chặn nửa nhóm liên tục mạnh Việc kiểm tra điều kiện đặc trưng toán tử sinh nửa nhóm co nửa nhóm liên tục mạnh công việc khó khăn nhiều toán tử quan trọng thực cách trực tiếp Nhiễu phương pháp giúp ta tiếp cận việc giải vấn đề Trước xét toán nhiễu nửa nhóm ta xét toán sau Bài toán: Cho A : D(A) ⊆ X → X toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 xét toán tử thứ hai B : D(B) ⊆ X → X Tìm điều kiện để A + B sinh nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 Chúng xin nhắc lại, tổng A + B định nghĩa sau: (A + B)x = Ax + Bx, với x ∈ D(A + B) = D(A) ∩ D(B) Khi ta nói A toán tử sinh B B nhiễu A Nói chung, tập xác định D(A + B) có vai trò quan trọng cho tính chất tổng A + B Trong số trường hợp D(A + B) {0} Định lý 2.1 (Định lý nhiễu bị chặn) Cho (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh T(t) không gian Banach X thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M eωt với t với x ∈ X Bằng cách chứng minh phần đầu, tổng C := A + B toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh S(t) thỏa mãn công thức |||S(t)||| ≤ e|||B|||t ≤ eM ||B||t Do ||S(t)|| ≤ |||S(t)x||| ≤ eM ||B||t |||x||| ≤ M eM ||B||t ||x|| với t ≥ 0, điều khẳng định cho w = 2.2 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz Trong phần nghiên cứu toán với giá trị ban đầu sau   du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > t0 dt (2.4) u(t ) =u 0 −A toán tử sinh C0 − nửa nhóm T (t), t ≥ 0, không gian Banach X f : [t0 , T ] × X → X ánh xạ liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u ([?]) Nếu toán (2.4) có nghiệm cổ điển tương ứng với phương trình (2.4) ta xét phương trình tích phân t T (t − s)f (s, u(s))ds u(t) = T (t − t0 )u0 + (2.5) t0 Nói chung nghiệm (2.5) có không nghiệm (2.4) có định nghĩa sau Định nghĩa 2.1 Một nghiệm liên tục u phương trình tích phân (2.5) gọi nghiệm đủ tốt toán Cauchy (2.4) Chúng ta bắt đầu với việc nghiên cứu tồn nghiệm nghiệm đủ tốt phương trình (2.4) thông qua định lý sau Định lý 2.2 Cho hàm f : [t0 , T ] × X → X liên tục theo t [t0 , T ] liên tục Lipschitz (với số L) X Khi đó, −A toán tử sinh C0 − nửa nhóm (T (t))t≥0 không gian Banach X, với u0 ∈ X, toán với giá trị ban đầu (2.4) có nghiệm đủ tốt u ∈ C([t0 , T ] : X) Chứng minh Trước hết nhắc lại (T (t))t≥0 liên tục mạnh nên tồn M0 > cho ||T (t)|| ≤ M0 ewt , 10 w>0 với u0 ∈ X Đồng thời f : [t0 , T ] × X → X thỏa mãn điều kiện Lipschitz X nên tồn L > cho với u, v ∈ X ta có ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ L||u − v|| Với u0 ∈ X ta xét ánh xạ F : C([t0 , T ] : X) → C([t0 , T ] : X), xác định t (F u)(t) = T (t − t0 )u0 + T (t − s)f (s, u(s))ds, t0 ≤ t ≤ T (2.6) t0 Xét hiệu t (F u)(t) − (F v)(t) = T (t − t0 )(u0 − v0 ) + T (t − s)[f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds t0 Ta có t ||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ M0 e w(t−t0 ) M0 ew(t−s) L||u(s) − v(s)||ds ||u0 − v0 || + t0 t M L||u(s) − v(s)||ds ≤ t0 M = M0 ewT Do ||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ M L(t − t0 )||u − v||∞ , (2.7) Tiếp tục phương pháp truy hồi ta có (M L(t − t0 ))n ||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ ||u − v||∞ , n! n n nên ||F n u − F n v|| ≤ (M LT )n ||u − v||∞ n! (2.8) (M LT )n < Bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ co n! không gian Banach ta suy F có điểm bất động u không gian Với n đủ lớn ta có C([t0 , T ] : X) Điểm bất động nghiệm phương trình tích phân (2.5) Do toán với giá trị ban đầu (2.4) tồn nghiệm u không gian C([t0 , T ] : X) Định lý chứng minh Từ định lý chứng minh ta xác định ánh xạ u0 → u từ X vào C([t0 , T ] : X) Một tính chất ánh xạ tính liên tục Lipschitz Khái niệm tính liên tục Lipschitz cho định nghĩa sau 11 Định nghĩa 2.2 Ánh xạ f : X → C([t0 , T ], X) xác định f : x → f (t, x) gọi ánh xạ liên tục Lipschitz tồn số M1 dương cho với x, y ∈ X ta có ||f (t, x) − f (t, y)||∞ ≤ M1 ||x − y|| Từ định lý 2.2 ta có hệ sau Hệ 2.1 Ánh xạ u0 → u xác định theo định lý 2.2 liên tục Lipschitz từ X vào C([t0 , T ] : X) Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự định lý 2.2 nhận hệ sau Hệ 2.2 Nếu A f thỏa mãn điều kiện định lý 2.2 với g ∈ C([t0 , T ] : X) phương trình tích phân t T (t − s)f (s, w(s))ds w(t) = g(t) + (2.9) t0 có nghiệm w ∈ C([t0 , T ] : X) Chúng ta biết giả thiết thỏa mãn điều kiện Lipschitz hàm f định lý 2.2 bảo đảm cho tồn nghiệm toàn cục (tức nghiệm xác định toàn đoạn [t0 , T ]) Nếu giả thiết f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo u, bị chặn theo t đoạn bị chặn, có nghĩa t số c > tồn số L(c, t ) cho ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ L(c, t )||u − v|| (2.10) thỏa mãn u, v ∈ X cho ||u|| < c, ||v|| < c t ∈ [0, t ], có phiên địa phương định lý 2.2 sau Định lý 2.3 Cho f liên tục Lipschitz địa phương theo u, theo t đoạn bị chặn bất kỳ, giả sử −A toán tử sinh C0 − nửa nhóm (T (t)) X Khi với u0 ∈ X tồn tmax cho toán với giá trị ban đầu   du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t ≥ dt (2.11) u(0) =u có nghiệm đủ tốt u [0, tmax ] Tuy nhiên, tmax < ∞ lim ||u(t)|| = ∞ t→t− max 12 Nói chung, hàm f thỏa mãn định lý 2.2 định lý 2.3 nghiệm đủ tốt (2.4) nghiệm cổ điển nghiệm mạnh (2.4) Định lý sau cho ta điều kiện đủ tốt (2.4) nghiệm cổ điển Định lý 2.4 Giả sử −A toán tử sinh C0 - nửa nhóm (T (t)) X Khi f : [t0 , T ] × X → X khả vi liên tục từ [t0 , T ] × X vào X nghiệm đủ tốt (2.5) với u0 ∈ D(A) nghiệm cổ điển toán với giá trị ban đầu Để làm rõ khả ứng dụng toán bị nhiễu phát biểu định lý tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa dạng t u(t) = T (t − t0 ) + T (t − t0 )f (τ, u(τ ))dτ với t ≥ t0 , u(.) ∈ X (2.12) t0 Ở (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh, f : R+ × X → X hàm liên tục thỏa mãn điều kiện: ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ α(t)||u − v|| với t ∈ R+ , u, v ∈ X Hàm α : R+ → R liên tục bị chặn Định lý 2.5 Giả sử α : R+ → R liên tục thỏa mãn điều kiện ∞ α(t) ≤ +∞ Khi ta có khẳng định sau đây: i) Nếu (T (t))t≥0 bị chặn R+ tất nghiệm (2.12) bị chặn ii) Nếu (T (t))t≥0 ổn định mũ R+ tất nghiệm u = u(t) (2.12) hội tụ đến không t → ∞, tức là: lim ||u(t)|| = t→+∞ Nhận xét 2.1 Nếu hàm f : R+ × X → X định lý 2.3 thỏa mãn thêm điều kiện f (t, 0) = thỏa mãn điều kiện định lý 2.5 ta rằng: - Nghiệm tầm thường u(t) = (2.11) ổn định (T (t))t≥0 bị chặn - Nghiệm tầm thường u(t) = (2.11) ổn định tiệm cận (T (t))t≥0 ổn định tiệm cận 13 2.3 Khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh vài tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính không gian Banach Giả sử X không gian Banach J ⊂ R khoảng hữu hạn hay vô hạn trục thực R Với t ∈ J ta xét toán tử tuyến tính A(t) : D(A(t)) ⊂ X → X hàm f (t) xác định J nhận giá trị không gian Banach X (f : J → X) Trong phần nghiên cứu toán với giá trị ban đầu   dx(t) = A(t)x(t) + f (t) với t ∈ J dt (2.13) x(s) = x Bài toán với giá trị ban đầu (2.13) gọi toán tiến hóa Nếu giả thiết thêm sau giả thiết hàm f (t) (f : J → X) A(t) (A : J → L(X)) đo mạnh khả tích Bochner đoạn hữu hạn tập J Trước tiên ta cố định s = t0 ∈ J Khi nghiệm x = x(t) (2.13) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với t0 ∈ J, x0 ∈ X nghiệm khả vi liên tục phương trình tích phân sau t x(t) = x0 + t A(τ )x(τ )dτ + t0 f (τ )dτ (2.14) t0 x0 = x(t0 ) Trong trường hợp đặc biệt f (t) liên tục A(t) liên tục mạnh (xem [?]) nghiệm phương trình (2.14) khả vi liên tục t ∈ J, đẳng thức phương trình (2.13) thỏa mãn toàn tập J Trong trường hợp tổng quát xét phương trình tích phân Volterra có dạng sau đây: t x(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ, (2.15) t0 đây, hàm g(t) (g : J → X) liên tục J A(t) đo mạnh khả tích Bochner J., (2.15) có bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử hàm g : J → X , A: J → L(X) đo mạnh khả tích theo Bochner J Khi phương trình (2.15) có nghiệm xác 14 định đoạn [a; b] ⊂ J (a, b bất kỳ) Nghiệm biểu diễn dạng: t x(t) = g(t) + A(t1 )g(t1 )dt1 t0 ∞ t tn + t2 n=2 t0 t0 A(tn )A(tn−1 ) A(t1 )g(t1 )dt1 dtn−1 dtn t0 (2.16) hay: ∞ gk (t) x(t) = g(t) + k=1 đó: t gk (t) = A(τ )gk−1 (τ )dτ, g0 (t) = g(t), (k = 1, 2, ) t0 Chú ý với giả thiết A: J → L(X) đo mạnh khả tích Bochner đồng thời tính chất bất biến tích phân hoán đổi vị trí biến số t1 , t2 , , tn nên ta có t t t2 ||A(tn )|| ||A(tn−1 )|| ||A(t1 )||dt1 dtn−1 dtn = t0 tn t0 n! t n ||A(τ )||dτ t0 (2.17) Sử dụng đẳng thức (2.17) ta suy hệ sau: Hệ 2.3 Nếu giả thiết bổ đề 2.1 thỏa mãn ta có đánh giá sau: b |||x||| ≤ |||g||| exp ||A(τ )||dτ (2.18) a Sử dụng kết bổ đề 2.1 ta có định lý sau: Định lý 2.6 Giả sử A : [t0 , T ] → L(X) đo mạnh khả tích Bochner [t0 , T ] f ∈ C([t0 , T ], X) Khi phương trình (2.14) có nghiệm liên tục Trong trường hợp đặc biệt f (t) = A(t) thỏa mãn điều kiện định lý 2.6 ta xét toán với giá trị ban đầu (Bài toán Cauchy):   dx = A(t)x(t), dt (2.19) x(t ) = x 0 15 Tương ứng với phương trình tích phân t x(t) = x0 + A(τ )x(τ )d(τ ) t0 Nghiệm phương trình nhận từ biểu thức (2.16) cách, đặt g(t) ≡ x0 Từ có biểu thức sau: t x(t) = x0 + A(t1 )x0 dt1 t0 t ∞ t2 tn A(tn )A(tn−1 ) A(t1 )x0 dt1 dtn−1 dtn + n=2 t0 t0 t0 Với t ∈ [t0 , T ], xét toán tử tuyến tính U (t, t0 ) : x → x(t) xác định phương trình tích phân: t A(τ )x(τ )d(τ ) x(t) = x0 + t0 Với giả thiết A : [t0 , T ] → L(X) đo mạnh khả tích Bochner, ta sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman để với t ∈ [t0 , T ] ta có: ||U (t, t0 )x|| = ||x(t)|| < M < +∞ với mọix ∈ X Như U (t, t0 ) ∈ L(X) Trong không gian Banach L(X) ta xét chuỗi toán tử t A(t1 )dt1 U (t, t0 ) = I + ∞ t0 t t2 tn + A(tn )A(tn−1 ) A(t1 )dt1 dtn−1 dtn n=2 t0 (2.20) t0 t0 Bằng lý luận tương tự bổ đề (2.1) chuỗi toán tử xét hội tụ Chú ý rằng, chuỗi vế phải biểu thức (2.20) làm chuỗi: ∞ 1+ n=1 n! T n ||A(τ )||dτ t0 ) Giả sử s, t giá trị tùy ý thỏa mãn điều kiện ≤ s ≤ t ≤ T Chúng ta xét toán giá trị ban đầu dạng:   du(t) dt u(s) = A(t)u(t) = x 16 với ≤ s < t ≤ T, (2.21) Để thuận tiện cho việc xác lập vài tính chất nghiệm toán (2.21), trước hết xét trường hơp toán tử A(t) thỏa mãn điều kiện sau đây: với t ∈ [0, T ], toán tử tuyến tính A(t) toán tử giới nội X, hàm A : t → A(t) liên tục theo tô pô L(X) tức A ∈ C([0, T ], L(X)) Từ kết định lý 2.6 ta có hệ sau Hệ 2.4 Cho X không gian Banach A ∈ C([0, T ], L(X)), với x ∈ X toán giá trị ban đầu (2.21) có nghiệm cổ điển u Bổ đề 2.2 ([?])(Bất đẳng thức Gronwall - Bellman) Giả sử: t ϕ(t) ≤ c + (t ≥ t0 ) h(τ )ϕ(τ )dτ (2.22) t0 với h(t) hàm liên tục không âm Khi đó: t t0 ϕ(t) ≤ ce h(τ )dτ (2.23) Để thuận tiện cho việc biểu diễn nghiệm nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình (2.13) xác định toán tử tuyến tính U (t, s) từ X vào X mà ta gọi "toán tử nghiệm" toán với giá trị ban đầu (2.21), toán tử xác định sau U (t, s) : x → u(t) U (t, s)x = u(t) với ≤ s ≤ t ≤ T, với ≤ s ≤ t ≤ T (2.24) u(t) nghiệm (2.21) U (t, s) họ toán tử tiến hóa phụ thuộc vào hai tham số Với T > ta ký hiệu ∆T = {(t, s)|0 ≤ s ≤ t ≤ T }, định lý sau cho ta số tính chất họ toán tử tuyến tính bị chặn U : ∆T → L(X) xác định phương trình (2.21) Định lý 2.7 Giả sử A(t) thỏa mãn điều kiện định lý (2.4) tức A ∈ C(J, L(X)) Khi với (t, s) ∈ ∆T toán tử U (t, s) toán tử tuyến tính bị chặn t (i) ||U (t, s)|| ≤ exp( ||A(τ )||dτ ) s với ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T (ii) U (t, t) = I, U (t, s) = U (t, r)U (r, s), (iii) (t, s) → U (t, s) liên tục theo tô pô với ≤ s ≤ t ≤ T 17 ∂U (t, s) = A(t)U (t, s), với ≤ s ≤ t ≤ T ∂t ∂U (t, s) (v) = −U (t, s)A(s), với ≤ s ≤ t ≤ T ∂s (iv) tính chất (i) định lý thỏa mãn, ta có: Định nghĩa 2.3 Một họ hai tham số toán tử tuyến tính bị chặn U (t, s), ≤ s ≤ t ≤ T, X gọi họ tiến hóa liên tục mạnh thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) U (s, s) = I, U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T (ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s) liên tục mạnh với ≤ s ≤ t ≤ T Một số tính chất liên quan tới họ xét phần 2.4 Nhiễu tuyến tính phương trình tiến hoá họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh sinh (A, D(A)) B(.) ∈ C(J, Ls (X)) với J = [0, T ], ta xét họ toán tử tiến hoá U (t, s) : X → X xác định : t u(t) = T (t − s)x + T (t − ξ)B(ξ)u(ξ)dξ (2.25) s x ∈ X, (t, s) ∈ ∆J bất kỳ, B(.) ∈ Cb ([0, t1 ], Ls (X)) Bổ đề 2.3 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh, B(.) ∈ Cb ([0, t1 ], Ls (X)) Khi phương trình tiến hóa (2.25) có nghiệm Tương ứng với phương trình (2.25) với (t, s) ∈ ∆J ta xác định toán tử U (t, s) : X → X xác định U (t, s) : x → u(t) Từ (2.25) ta có: ||U (t, s)x|| = ||u(t)|| t ||u(t)|| ≤ M1 + M1 M2 ||u(ξ)||dξ s Sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman ta có: ||u(t)|| ≤ M1 eM1 M2 T < +∞ 18 Như ứng với (t, s) ∈ ∆J U (t, s) bị chặn, tức U (t, s) ∈ L(X) Định lý sau chứng tỏ (U (t, s))t≥s≥0 họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh Định lý 2.8 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh X B(.) ∈ C(J, Ls (X)) Khi họ toán tử tiến hóa xác định (2.25) họ toán tử tiến hóa tuyến tính liên tục mạnh không gian Banach X Do J ⊂ R+ tập đóng nên ta suy hệ sau: Hệ 2.5 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh X B(.) ∈ C(R+ , Ls (X)) Khi họ toán tử tiến hóa xác định (2.25) họ toán tử tiến hóa tuyến tính liên tục mạnh không gian Banach X 2.5 Sự tương đương tiệm cận họ toán tử tiến hóa Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh sinh toán tử tuyến tính (A, D(A)) không gian Banach X Cùng với nửa nhóm (T (t))t≥0 ta xét họ toán tử tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 xác định bởi: t U (t, s)x = T (t − s)x + T (t − ζ)B(ζ)U (ζ, s)xdζ, x ∈ X (2.26) s x ∈ X, ≤ s ≤ t ≤ t1 B(.) ∈ Cb (R+ , Ls (X)) thỏa mãn điều kiện ∞ ||B(ζ)||dζ < +∞ (2.27) Định nghĩa 2.4 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh (U (t, s))t≥s≥0 gọi tương đương tiệm cận với x ∈ X,tồn y ∈ X cho: lim ||T (t − t0 )x − U (t, t0 )y|| = t→∞ với t0 > cố định Định nghĩa 2.5 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 gọi song ổn định không gian Banach X tồn t0 > cho T (t0 ) : X → X khả nghịch tồn chuẩn (||| |||) tương đương với chuẩn xuất phát cho |||T (t0 )||| = |||T −1 (t0 )||| = Định lý 2.9 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh sinh (A, D(A)) không gian Banach X Khi điều kiện sau tương đương: 19 a) (T (t))t≥0 song ổn định b) (T (t))t≥0 thác triển thành nhóm giới nội X c) (T (t))t≥0 thác triển thành nhóm đẳng cự (T (t))t∈R không gian Banach có chuẩn tương đương với chuẩn xuất phát d) Với λ ∈ R\{0}, ta có λ ∈ ρ(A) tồn M ≥ cho ||[λR(λ, A)]n || ≤ M, ∀n ∈ N Định lý 2.10 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm giới nội sinh A ∈ L(X) thỏa mãn điều kiện a) b) bổ đề (??) Khi (T (t))t≥0 (U (t, s))t≥s tương đương tiệm cận 2.6 Ứng dụng phương pháp nửa nhóm mô hình quần thể sinh học 2.6.1 Về tính chất nghiệm toán dân số phụ thuộc vào tuổi Xét mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi xác định toán Cauchy: (APE)  ∂f ∂f   (a, t) + (a, t) + µ(a)f (a, t) = 0, a, t ≥   ∂t ∂a ∞ (2.28) f (0, t) = β(a)f (a, t)da, t ≥     f (a, 0) = f0 (a), a ≥ Trong t a biến thực không âm tương ứng với đại lượng thời gian tuổi cá thể; f (., t) mô tả cấu trúc tuổi quần thể thời điểm t f0 giá trị ban đầu cấu trúc tuổi thời điểm t = Ngoài β µ hàm giới nội, đo được, nhận giá trị dương mô tả tỉ lệ sinh tỉ lệ chết Để đưa toán (APE) toán Cauchy trừu tượng xét không gian Banach X = L1 (R+ ) toán tử đóng trù mật A0 xác định bởi: A0 f = − ∂f − µf, f ∈ D(A0 ) := W 1,1 (R+ ) ∂a đó: µ:X→X xác định µ : f (a, t) → µ(a)f (a, t) 20 Chú ý rằng, µ = µ(a) giới nội, đo R+ nên µ : X → X toán tử liên tục, tức µ ∈ L(X) Để tiếp tục nghiên cứu toán (APE), ta xét toán tử hạn chế A0 sau: ∞ Af = A0 f, D(A) = {f : f ∈ D(A0 ), f (0) = β(a)f (a)da} Bằng phương pháp tương tự ví dụ 1.1 ta toán tử tuyến tính (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Đồng thời tương tự [8] (trang 16-17) toán (APE) tương đương với toán Cauchy trừu tượng (CE)  u(t) ˙ = Au(t), t ≥ (2.29) u(0) = f0 với u(t) := f (., t) Áp dụng định lý toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh ta (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 X (ta gọi nửa nhóm dân số) Trong trường hợp này, nghiệm (APE) cho f (a, t) := (T (t)f0 (a) Hoàn toàn tương tự, xét toán dân số có nhiễu tuyến tính sau đây: (APE(p))  ∂f ∂f   (a, t) + (a, t) + µ(a)f (a, t) = α(t)f (a, t), a, t ≥   ∂t ∂a ∞ (2.30) f (0, t) = β(a)f (a, t)da, t ≥     f (a, 0) a ≥ = f0 (a), Kí hiệu X = L1 (R+ ) Khi với t ∈ R+ thì: Af = − ∂f − µf, Bα = α(t)I ∂a toán tử tuyến tính từ X vào X Như xét Af = − ∂f − µf ∂a ∞ D(A) = {f | f ∈ W 1,1 (R+ ), f (0) = β(a)f (a)da} toán tử sinh nửa nhóm (T (t))t≥0 Bα : X → X toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãn điều kiện ∞ α(t)dt < +∞, 21 Khi từ toán (APE(p)) đưa xét phương trình: (CE(p))  u(t) ˙ = [A + α(t)]u(t), t ≥ (2.31) u(0) = f0 với u(t) = f (., t) Tương ứng với toán (CE(p)) xét phương trình tiến hóa t u(t) = T (t − s)f + T (t − τ )Bα (τ )u(τ )dτ (2.32) s ≤ s ≤ t, f ∈ L1 (R+ ) Họ toán tử tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 xác định U : (t, s) → u(t) ≤ s ≤ t u(t) xác định (2.32) họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh Định lý 2.11 Nếu (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh bị chặn R+ (U (t, s))t≥s≥0 xác định phương trình (2.32) bị chặn R+ Từ định lý áp dụng kết định lý 2.10 tương đương tiệm cận họ toán tử tiến hóa ta suy định lý sau: Định lý 2.12 a)Nếu (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh ổn định mũ họ toán tử tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 xác định phương trình (2.32) ổn định mũ b)Nếu (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh song ổn định nửa nhóm (T (t))t≥0 họ toán tử tiến hóa U (t, s)t≥0 tương đương tiệm cận, tức là: ||U (t, t0 )x − T (t, t0 )y|| = 0(1), t → ∞ Nhận xét 2.2 Kết định lý 2.12 cho ta tranh dáng điệu tiệm cận mô hình dân số bị nhiễu 2.6.2 Tính chất nghiệm toán dân số có phụ thuộc vào tuổi phân bố dân cư Giả sử Ω ⊂ Rn miền giới nội có biên trơn, ký hiệu p = p(r, t, x) mật độ dân số thời điểm t ≥ với độ tuổi r ≥ vùng địa phương x ∈ Ω Với 22 < r < rm , rm tuổi thọ cao loài, xét phương trình vi phân sau:  ∂p(r, t, x) ∂p(r, t, x)   + = −µ(r)p(r, t, x) + K∆p(r, t, x),   ∂t ∂r    p(r, 0, x) = p (r, x), rm   p(r, t, x) = β(r)p(r, t, x)dr,      (2.33) p(r, t, x)|∂Ω = Ở µ(r) hàm tỷ lệ chết thoả mãn r rm µ(ρ)dρ < ∞, µ(ρ)dρ = ∞; 0 β(r) hàm sinh sản (fertility), không âm, giới nội, đo [0, rm ]; p0 (r, x) phân bố mật độ ban đầu, p0 (r, x) ≥ 0; K số dương ∆ ký hiệu toán tử Lapplace Rn Bây đưa toán Cauchy xét phương trình vi phân trừu tượng không gian Banach X = L2 ((0, rm )) với chuẩn thông thường xác định toán tử A : X → X sau:   Aφ(r, x) = − ∂φ(r, x) − µ(r)φ(r, x) + K∆φ(r, x), ∀φ ∈ D(A), ∂r  D(A) = {φ(r, x)|φ, Aφ ∈ X, φ| = 0, φ(0, x) = rm β(r)φ(r, x)dr, } ∂Ω (2.34) Trong tài liệu ([5], trang 164-165) (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian X := L2 ((0, rm )) Để kết thúc toán xin nhắc lại điều kiện đủ để nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định theo nghĩa Lyapunov xét đến tài liệu [5] 23 Kết luận Luận văn dành cho việc tìm hiểu kiến thức họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh không gian Banach liên quan tới phương trình tiến hóa có nhiễu Trong luận văn trình bày nội dung sau đây: Tìm hiểu trình bày lại nội dung lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh không gian Banach Trình bày lại khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh số định lý nhiễu nửa nhóm liên tục mạnh Tìm hiểu trình bày ví dụ mô hình dân số có phụ thuộc vào tuổi phụ thuộc vào phân bố dân cư theo yếu tố địa lý Đóng góp luận văn trình bày lại cách hệ thống toán nhiễu nửa nhóm liên tục mạnh xây dựng ví dụ chương 24 [...]... nhiễu Trong luận văn đã trình bày các nội dung sau đây: 1 Tìm hiểu và trình bày lại nội dung của lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nó trong không gian Banach 2 Trình bày lại khái niệm về họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh và một số định lý về nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh 3 Tìm hiểu và trình bày các ví dụ về mô hình dân số có phụ thuộc vào tuổi hoặc phụ thuộc vào sự phân bố dân cư... biểu diễn nghiệm và nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình (2.13) chúng ta sẽ xác định một toán tử tuyến tính U (t, s) từ X vào X mà ta gọi là "toán tử nghiệm" của bài toán với giá trị ban đầu (2.21), toán tử này được xác định như sau U (t, s) : x → u(t) U (t, s)x = u(t) với 0 ≤ s ≤ t ≤ T, với 0 ≤ s ≤ t ≤ T (2.24) ở đây u(t) là nghiệm của (2.21) U (t, s) là họ toán tử tiến hóa phụ thuộc vào hai... đều - Nghiệm tầm thường u(t) = 0 của (2.11) là ổn định tiệm cận nếu (T (t))t≥0 là ổn định tiệm cận 13 2.3 Khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh và một vài tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach Giả sử X là không gian Banach và J ⊂ R là một khoảng hữu hạn hay vô hạn trên trục thực R Với mỗi t ∈ J ta xét toán tử tuyến tính A(t) : D(A(t)) ⊂ X → X và. .. toán tử sinh của C0 − nửa nhóm T (t), t ≥ 0, trong không gian Banach X và f : [t0 , T ] × X → X là ánh xạ liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u ([?]) Nếu bài toán (2.4) có nghiệm cổ điển thì tương ứng với phương trình (2.4) ta sẽ xét phương trình tích phân t T (t − s)f (s, u(s))ds u(t) = T (t − t0 )u0 + (2.5) t0 Nói chung nghiệm của (2.5) có khi không là nghiệm của (2.4) và chúng ta... 2.1 Một nghiệm liên tục u của phương trình tích phân (2.5) được gọi là nghiệm đủ tốt của bài toán Cauchy (2.4) Chúng ta sẽ bắt đầu với việc nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của nghiệm đủ tốt của phương trình (2.4) thông qua định lý sau đây Định lý 2.2 Cho hàm f : [t0 , T ] × X → X liên tục theo t trên [t0 , T ] và liên tục Lipschitz đều (với hằng số L) trên X Khi đó, nếu −A là toán tử sinh của C0... R\{0}, ta có λ ∈ ρ(A) và tồn tại M ≥ 1 sao cho ||[λR(λ, A)]n || ≤ M, ∀n ∈ N Định lý 2.10 Giả sử (T (t))t≥0 là một nửa nhóm giới nội đều sinh bởi A ∈ L(X) thỏa mãn các điều kiện a) và b) của bổ đề (??) Khi đó (T (t))t≥0 và (U (t, s))t≥s là tương đương tiệm cận 2.6 Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm trong mô hình quần thể sinh học 2.6.1 Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc vào tuổi Xét mô hình... định lý 2.2 và định lý 2.3 thì nghiệm đủ tốt của (2.4) không phải là nghiệm cổ điển hoặc nghiệm mạnh của (2.4) Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ tốt của (2.4) cũng là nghiệm cổ điển Định lý 2.4 Giả sử −A là toán tử sinh của C0 - nửa nhóm (T (t)) trên X Khi đó nếu f : [t0 , T ] × X → X là khả vi liên tục từ [t0 , T ] × X vào X thì nghiệm đủ tốt của (2.5) với u0 ∈ D(A) là nghiệm cổ điển của bài toán... trên R+ Từ định lý trên và áp dụng kết quả định lý 2.10 về sự tương đương tiệm cận của họ toán tử tiến hóa ta suy ra định lý sau: Định lý 2.12 a)Nếu (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh ổn định mũ thì họ toán tử tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 xác định bởi phương trình (2.32) là ổn định mũ b)Nếu (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh song ổn định thì nửa nhóm (T (t))t≥0 và họ toán tử tiến hóa U (t, s)t≥0 là tương... 2.2 Kết quả của định lý 2.12 cho ta một bức tranh về dáng điệu tiệm cận của mô hình dân số bị nhiễu 2.6.2 Tính chất nghiệm của bài toán dân số có phụ thuộc vào tuổi và sự phân bố dân cư Giả sử Ω ⊂ Rn là một miền giới nội có biên trơn, ký hiệu p = p(r, t, x) là mật độ dân số tại thời điểm t ≥ 0 với độ tuổi r ≥ 0 và ở vùng địa phương x ∈ Ω Với 22 0 < r < rm , ở đây rm là tuổi thọ cao nhất của loài, chúng... liên tục và A(t) là liên tục mạnh (xem [?]) thì nghiệm của phương trình (2.14) là khả vi liên tục tại mỗi t ∈ J, do đó đẳng thức của phương trình (2.13) thỏa mãn trên toàn bộ tập J Trong trường hợp tổng quát hơn chúng ta có thể xét phương trình tích phân Volterra có dạng sau đây: t x(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ, (2.15) t0 ở đây, hàm g(t) (g : J → X) là liên tục trên J và A(t) là đo được mạnh và khả tích