Nguyên lý i nhiệt động lực học

MỞ ĐẦU Nguyên lý I nhiệt động lực học là một phần của Nhiêt động lực học, tác giả viết chuyên đề này với hi vọng có thể giúp cho các em học sinh hệ thống lý thuyết cũng như bài tập của phần nguyên lý I Nhiệt động lực học. Đặc biệt hệ thống bài tập được liệt kê với mong muốn cung cấp cho các em sử dụng ôn tập trong các kì thi chọn học sinh giỏi. Trong quá trình biên soan có thể có nhiều thiếu xót, tác giả mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các em học sinh. A. Lý thuyết: 1. Công và nhiệt lượng: a. Công: - Công phân tử δ A do hệ sinh ra trong quá trình cân bằng khi thông số ngoài thay đổi một lượng vô cùng bé là dai δ A = Ai .dai ( Trong đó Ai là ngoại lực suy rộng ứng với thông số ngoài ai) - Các trường hợp riêng: ai ≡ V , Ai ≡ p; δ A = pdV ai ≡ l , Ai ≡ − F ; δ A = − Fdl ai ≡ S , Ai ≡ −σ ; δ A = −σ dS Trong đó: V là thể tích, p là áp suất, l là chiều dài, F là lực kéo, S là diện tích mặt ngoài, σ là sức căng mặt ngoài - Công được xác định bằng diện tích giới hạn bởi đường biểu diễn chu trình. Quy ước: A>0 nếu chiều chu trình cùng chiều kim đồng hồ; A0 hệ truyền nhiệt lượng Q 1 (i là số bậc tự do của phân i tử, i = 3 đối với khí đơn nguyên tử và i = 5 đối với khí lưỡng nguyên tử). - Nhiệt dung của hệ biến đổi đoạn nhiệt Cs = 0. 6. Quá trình polytropic (đa hình) - Quá trình polytropic là quá trình có nhiệt dung C không đổi. Các quá trình đẳng nhiệt có nhiệt dung CT = ∞ và quá trình đoạn nhiệt có nhiệt dung C S = 0 là các trường hợp riêng của quá trình polytropic. - Các phương trình mô tả quá trình polytropic thuận nghịch của một lượng khí lý tưởng bất kì pVn = const, TVn-1 = const, 1− n Tp n = const. CP − C Trong đó n = C − C là chỉ số polytropic V - Nhiết dung của hệ trao đổi polytropic C = n −γ CV n −1 Khi n = γ , C ≡ CS = 0 ứng với quá trình đoạn nhiệt. Khi n=1, C ≡ CT = ∞ ứng với quá trình đẳng nhiệt. khi 1 < n < γ , C < 0 ứng với hệ có nhiệt dung âm. B. Bài tập Ví dụ 1: Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử thực hiện một quá trình biến đổi từ trạng thái 1 có áp suất p 1 = 2atm, thể tích sang trạng thái 2 có áp suất p 2 = 1atm, thể tích V2 = 3 lít. Đường biểu diễn sự thay đổi của áp suất theo thể tích trong hệ tọa độ (p,V) là một đoạn thẳng. Tính công của khí trong quá trình 1 – 2 và chứng tỏ rằng trong quá trình này khí luôn nhận nhiệt. p p1 1 p2 2 Biết 1atm ~ 1,013.105 Pa. 0 V1 V2 V Đáp án: Công mà khí nhận được trong quá trình 1 – 2 : 1 2 A12= ( p1 + p2 )(V2 − V1 ) ≈ 303.9 (J) Phương trình của đoạn 1 – 2 có dạng p = aV+b Tọa độ 1 và 2 nghiệm đúng phương trình đó: 2 = a + b  a = −0,5 ⇒ ⇒ p = −0,5V + 2,5  1 = 3a + b b = 2,5 Gọi M là một trạng thái có thể tích Vx, áp suất px, trên 1 – 2: px = −0,5V + 0,5, Tx = px .Vx R 1 2 1 2 Công của khí: AIM = ( p1 + px )(Vx − V1 ) = (2 − 0,5Vx + 2,5(Vx − 1) = −0,5Vx2 + 2,5Vx − 2, 25(atm.l) Độ biến thiên nội năng: 3 ∆U IM = Cv (Tx − T1 ) = ( px .Vx − PV 1 1) 2 = 3 (−0,5Vx2 . + 2,5Vx − 2) 2 = −0, 75Vx2 + 3, 75Vx − 3(atm.l) Theo nguyên lý I nhiệt động lực học: Q = ∆U1M + A1M = −Vx2 + 6, 25Vx − 5, 25 Q đạt cực đại khi Vx = Vm = 3,125l > V2 Vậy trong quá trình từ 1 đến 2, Q luôn tăng hay khí luôn nhận nhiệt. V(l) Ví dụ 2: Một mol khí lý tưởng thực hiện một chu trình 1 – 2 – 3 – 1 như hình vẽ. Biết T1 = 300K; T3 = 675K; V3 = 5l; các điểm 1 và 3 cùng ở trên một parabol qua gốc tọa độ. Tính công sinh ra trong cả chu trình. 3 1 0 2 T(K) Giải: Ở trạng thái 3: p3 = RT3 8,31.675 = = 11.22.105 N / m 2 −3 V3 5.10 Vì T1 = αV12 và T3 = αV32 Nên: V1 T 300 2 = 1 = = V3 T3 675 3 Suy ra V3 = 10 l 3 Vẽ đồ thị chu trình trong hệ tọa độ (p,V) RT 5 2 1 Tính p1 = V = 7, 48.10 N / m 1 Từ pV = RT = RαV 2 Suy ra p = RαV nên giai đoạn 3 – 1 trong hệ (p,v) là đoạn thẳng. 1 2 Công sinh ra: A = ( p3 − p1 )(V3 − V1 ) = 1 10   (11, 22 − 7, 48).105  5.10 −3 − .10−3 ÷ ≈ 312 (J). 2 3   * Bài tập tương tự: Bài 1. Tính công sinh ra bởi 1 mol nước khi nó chuyển thành hơi ở 100 0C. Biết rằng độ tăng thể tích ∆V = Vh – Vn = 30,186cm3/mol, áp suất không đổi trong quá trình hóa hơi là p = 1atm = 1,013.105 Pa. Bài 2. Có các nhiệt lượng kế giống hệt nhau và mỗi nhiệt lượng kế chứa 200g nước ở nhiệt độ 200C. Cho vào mỗi nhiệt lượng kế một miếng kim loại có khối lượng 300g ở nhiệt độ 1000C. Nhiệt độ cân bằng t của nhiệt lượng kế có các giá trị sau đây tùy theo từng kim loại: t = 39,5 0C đối với nhôm ( µ Al = 27g) t = 31,90C đối với sắt ( µ Fe = 55,8g), t = 29,80C đối với kẽm ( µ Zn = 65,4g) và t = 26,20C đối với bạc ( µ Ag = 107,9g). Xác định nhiệt dung riêng c và nhiệt dung mol C của từng kim loại. Bài 3. Tính công sinh ra bởi một lượng khí khi nó dãn đẳng nhiệt từ thể tích V1 đến thể tích V2 trong các trường hợp sau a) Khí tuân theo định luật Boyle – Mariotte. b) Khí tuân theo phương trình Van der Waals. Bài 4. Một thanh đàn hồi có chiều dài l bị kéo bởi lực F. Chiều dài l phụ thuộc vào lực kéo F và nhiệt độ T. Chứng minh rằng các hệ số dãn đẳng nhiệt DT = n và hệ số dãn đoạn nhiệt D S = nn của thanh tuân theo hệ thức sau CFDS = ClDT. trong đó CF và Cl tương ứng là nhiệt dung mol của thanh khi lực F không đổi và nhiệt dung mol của thanh khi chiều dài l không đổi . Bài 5. Biểu diễn các quá trình đẳng tích, đẳng áp, đẳng nhiệt, đoạn nhiệt và ba quá trình polytropic sau pV0,8 = const, pV 1,3 = const, pV 1,5 = const trên cùng một giản đồ p – V. Xác định các đặc điểm của từng quá trình polytropic nói trên biết rằng hệ là khí lý tưởng đơn nguyên tử. Bài 6. Trong quá trình polytropic, một lượng không khí nhận nhiệt lượng 10kJ và tăng thể tích lên 10 lần. Áp suất giảm 8 lần. Tính chỉ số polytropic n, nhiệt dung C (theo CV) và độ tăng nội năng ∆ U của khí. Bài 7. Trong quá trình polytropic nén khí phải dùng một công là 250kJ và khí tỏa ra một nhiệt lượng bằng 200kJ. Xác định chỉ số polytropic n biết γ = 1,4. Bài 8. Một lượng không khí có thể tích 5m3 ở áp suất p1 = 4atm. Khi dãn khí đến thể tích gấp 3 lần, áp suất khí p 2 = 1atm. Tính chỉ số polytropic, công sinh ra, nhiệt nhận được và độ tăng nội năng cảu khí. Bài 9. Một viên bi kim loại có nhiệt dung riêng c được nén lên cao với vận tốc v0 trong trọng trường đều với gia tốc rơi tự do g. Viên bi lên độ cao h rồi rơi xuống. a) Xác định độ cao tối đa h0 mà viên bi có thể đạt được nếu bỏ qua lực ma sát giữa không khí và viên bi. Biểu diễn h0 theo va và g. b) Do ma sát, độ cao h nhỏ hơn h 0. Tính biến thiên nhiệt độ ∆ T của viên bi giữa thời điểm nó được ném lên và thời điểm nó đạt độ cao nhất với giả thiết là: - bỏ qua tất cả thay đổi thể tích của viên bi; - không khí xung quanh đứng yên về mặt vĩ mô; - công của lực ma sát phân tán một nửa ra không khí xung quanh và một nửa vào viên bi. Biểu diễn ∆ T theo h0, h, g và c. c) Tính h0 và ∆ T biết g = 9,81 m/s2, c = 0,4kJ/kg, v0 = 10m/s và h = 5m. Bài 10. Khí lý tưởng biến đổi từ trạng thái (p 1, V1, T1) sang trạng thái (p2, V2, T2) (V2 > V1) theo một quá trình polytropic ứng với phương trình pV n = const (n = const > 0). Giả thiết chỉ số đoạn nhiệt γ của khí này không phụ thuộc nhiệt độ trong vùng nhiệt độ khảo sát. Với những giá trị nào của n thì sự giãn khí có kèm theo. a) Sự hấp thụ nhiệt và khí bị nóng lên? b) Sự hấp thụ nhiệt và khí bị lạnh đi? c) Sự tỏa nhiệt? Bài 11. Một bình có thể tích V0 ban đầu chứa không khí (coi là khí lý tưởng) ở áp suất p0. Có thể tăng áp suất đó bằng cách dùng bơm để đưa thêm không khí vào bình. Bơm gồm một xylanh trong đó có một pittông chạy qua lại không ma sát do một động cơ điều khiển. Thể tích cực đại của xylanh bằng V (ở đầu hành trình, pittông ở trên trái) và thể tích cực tiểu của xylanh bằng v (ở cuối hành trình, pittông ở bên phải). Khi pittông dịch chuyển về bên trái, các xupap S1 và S2 ban đầu đóng lại. Sau đó, S 1 mở ra khi áp suất khí còn lại trong xylanh bằng áp suất khí quyển p0. Khi đó, không khí bên ngoài bị hút vào bơm. Khi pittông dịch chuyển sang bên phải, S1 đóng lại và khí chứa trong xylanh bị nén. Sau đó S2 mở ra cho đến khi áp suất không khí trong xylanh bằng áp suất không khí chứa trong bình và khí trong xylanh bị đẩy lùi vào trong bình. Giả thiết rằng trong quá trình với nhiều biến đổi khác nhau, không khí chịu một chuỗi liên tục các trạng thái cân bằng nhiệt động nội tại ở nhiệt độ không đổi. 1/a/ Tính áp suất pk của không khí trong bình sau k lần pittông chạy qua chạy lại. b/ Giá trị giới hạn p của pk bằng bao nhiêu khi k rất lớn? Tìm giá trị đó không qua các phép tính áp suất trung gian? 2/ Giả thiết v = 0. a/ Biểu diễn pk theo p0, V, V0 và k b/ Tính công Ak mà động cơ cung cấp để thực hiện k lần đi và về của pittông. Bài 12. Giả thiết rằng sau nhiều biến đổi khác nhau, khí đi qua một chuỗi liên tục các trạng thái cân bằng nhiệt động nội tại. 1/ Một máy nén đưa 1 mol khí lý tưởng đi từ trạng thái đầu (p 1, T1) sang trạng thái (p2, T2) nhờ nén đoạn nhiệt. Sau đó, khí được làm lạnh đẳng áp từ nhiệt độ T2 đến nhiệt độ T1. a/ Tính T2. Đặt T2 = aT1 và xác định a b/ Tìm biểu thức của công toàn phần A T mà 1 mol khí nhận được theo R.γ = CP , T1 và a. CV 2/ Việc nén như trước được duy trì thực hiện theo 2 tầng. Ở tầng thứ nhất, chất khí được nén đoạn nhiệt từ áp suất p1 đến áp suất p1 = bp1, trong đó b là p2 hằng số có giá trị giữa 1 và p1 . Sau khi ra khỏi tầng thứ nhất, khí được làm lạnh đẳng áp đến nhiệt độ T1. Sau đó khí được đưa vào nén đoạn nhiệt từ áp suất p 1 đến áp suất p2. Cuối cùng, khí được đưa về nhiệt độ ban đầu T1 bằng cách làm lạnh đẳng áp. a/ Tìm biểu thức của công toàn phần A T mà 1 mol khí nhận được khí nén hai tầng. Biểu diễn AT theo R, γ γ −1 , T1, a và x = b^ γ . b/ So sánh công AT với công AT mà 1 mol khí nhận được khi nén một tầng. c/ Tìm giá trị của x để AT cực tiểu và tìm giá trị cực tiểu đó. d/ Giá trị cực tiểu của AT là Am. Tính tỉ số Am khi γ = 1,4, p1=103 Pa và AT p2 = 2.103 Pa. Bài 13. Một xylanh kín, nằm ngang bị chia thành hai phần A và B có cùng thể tích V0 bởi một pittông chạy không ma sát. Trong mỗi phần đều chứa 1 mol khí lý tưởng ở áp suất p 0 và nhiệt độ T0. Biết chỉ số đoạn nhiệt γ = CP của CV khí lý tưởng. Pittông, mặt nằm ngang của xylanh và mặt đáy S A của phần A là không thấu nhiệt. Mặt đáy SB của phần B là thấu nhiệt. Phần A được đưa lên nhiệt độ T1 rất chậm nhờ một điện trở đốt nóng. Phần B được giữ ở nhiệt độ T 0 nhờ tiếp xúc nhiệt với một máy điều nhiệt ở nhiệt độ này 1/a/ Viết biểu thức của VA, VB và áp suất cuối cùng Pf theo T1, T0 và V0 tương ứng với vị trí cân bằng của pittông. b/ Tìm biến thiên nội năng của chất khí trong A, B và hệ A+B nếu giả thiết điện trở đốt và pittông không ảnh hưởng đến hệ. c/ Bản chất của quá trình biến đổi chất khí trong B là gì? Công AB do B trao đổi với A bằng bao nhiêu? Tìm nhiệt lượng Q1 mà máy điều nhiệt nhận được từ B. Biểu diễn AB và Q1 theo T0, T1 và R. d/ Tìm nhiệt lượng Q2 mà điện trở nhận được từ A. Biểu diễn Q 2 theo T0, T1, R và γ 2/ Hệ đang ở trạng thái cuối. Giả thiết rằng mặt đáy S B cảu phần B là không thấu nhiệt và một điện trở đốt nóng đặt ở B đưa đến một nhiệt lượng truyền Q3 sao cho pittông lấy lại một cách chậm chạp vị trí cân bằng ban đầu của nó a/ Bản chất của quá trình biến đổi chất khí trong A là gì? Áp suất cân bằng cuối cùng p’f bằng bao nhiêu? Biểu diễn p’f theo T0,T1,V0,R và γ b/ Xác định các nhiệt độ TA và TB ở mỗi phần theo T0, T1 và γ c/ Xác định biến thiên nội năng của chất khí trong A, B và hệ A + B theo R, γ , TA, T0 và T1. d/ Xác định nhiệt lượng truyền Q3 do điện trở đốt nóng thứ hai cung cấp theo R, γ , T0 và T1. Bài 14. Một pittông có khối lượng M0 có thể chạy không ma sát trong một xylanh có tiết diện S đặt trong không khí ở áp suất p 0. Thành bình và pittông là không thấu nhiệt. Xylanh chứa không khí được coi là khí lý tưởng ở nhiệt độ T 0. Khi cân bằng pittông cách đáy một khoảng là h a/ Tính áp suất p1 của không khí bên trong bình lúc cân bằng. b/ Đặt lên pittông một vật có khối lượng m[...]... dãn nở d i là 15.10-6 0C-1 và ở nhiệt độ T 2 = 470C Nhiệt dung riêng của kh i thứ nhất lớn gấp 4 lần nhiệt dung riêng của kh i thứ hai Khí ghép hai kh i l i v i nhau và thiết lập sự cân bằng nhiệt Diện tích một mặt của kh i thứ hai giảm i 0,03% Tìm kh i lượng của kh i thứ hai B i 21 Một lượng khí lý tưởng đơn nguyên gồm v mol ban đầu ở nhiệt độ T1 Áp suất và thể tích khí sau đó tăng gấp đ i theo cách... mặt tiếp giáp giữa hai thanh di chuyển một đoạn bằng  α E − α 2 E2  ∆L =  1 1 ÷L∆T  E1 + E2  Trong đó α1, α 2 là các hệ số dãn nở d i của hai thanh và E 1, E2 là các suất Young của chúng Bỏ qua biến thiên của tiết diện ngang Tính lực căng t i mặt tiếp giáp B i 20 Hai kh i kim lo i cách nhiệt v i m i trường xung quanh Kh i thứ nhất có kh i lượng m1 = 3,16kg và ở nhiệt độ T 1 = 170C Kh i thứ hai có...B i 18 Một xylanh có pittông khít bằng kim lo i Pittông có kh i lượng 2kg và tiết diện ngang 2cm2 Xylanh chứa nước và h i ở nhiệt độ không đ i Pittông di chuyển chậm xuống dư i v i vận tốc 0,3cm/s và nhiệt truyền qua thành ra kh i xylanh Khi đó, có một chút h i ngưng tụ l i trong xylanh Kh i lượng riêng của h i nước là 6.10-4 g/cm3 và áp suất khí quyển là 1atm a/ Tính vận tốc ngưng tụ của h i nước... b/ Nhiệt thoát kh i xylanh v i vận tốc bằng bao nhiêu? c/ Tốc độ biến thiên n i năng của h i nước và nước bên trong xylanh bằng bao nhiêu? B i 19 Hai thanh vật liệu khác nhau nhưng có cùng độ d i L và tiết diện ngang S được ghép hai đầu v i nhau, còn hai đầu kia cố định bằng các giá đỡ như hình Nhiệt độ của chúng là T và không có sức căng ban đầu Nung nóng chúng lên để nhiệt độ tăng là ∆ T Chứng minh... để đo nhiệt dung của chất khí, khí được khảo sát dư i áp suất dư nhỏ và được dẫn qua một ống mà trong đó có chứa dây nung v i công suất cho trước Tiến hành đo hiệu nhiệt độ của chất khí trên l i ra và l i vào của ống và lượng khí i qua ống trong một đơn vị th i gian Nếu giả thiết toàn bộ nhiệt từ dây nung thoát ra được truyền cho chất khí, hãy tìm nhiệt dung mol đo được trong thí nghiệm này Nhiệt dung... mol đo được khác v i nhiệt dung mol đẳng tích như thế nào? B i 31 1 mol khí heli bị nén trong quá trình 1 – 2 v i áp suất không đ i sao cho T1 = 8T2 Sau đó, khi dãn nở trong quá trình 2 – 3 v i nhiệt dung không đ i cho đến thể tích ban đầu Hãy tìm nhiệt dung này nếu nhiệt độ cu i T2 nhỏ hơn 16 lần so v i nhiệt độ ban đầu T1, còn công sinh ra trong quá trình nén bằng p 2 14 công sinh ra trong 3 1 3... bình Lò xo không bị dãn tương ứng v i vị trí của pittông ở đáy bình B i 35 1 mol khí heli dãn nở trong quá trình biểu diễn b i phương trình pV = const Tính công do chất khí thực hiện nếu nhiệt độ đầu của khí là T 1 và nhiệt độ cu i là T2 2 B i 36 1 mol khí heli bị giữ trong bình b i pittông không trọng lượng và lò xo Lực đàn h i F của lò xo phụ thuộc vào chiều d i x của nó theo quy luật F = kx α ,... nóng và nhiệt lượng Q2 mà chất khí nhận được khi làm lạnh B i 26 Đầu dư i của một ống hẹp thẳng đứng có chiều d i 2L hàn kín, còn đầu trên của ống hở thông v i khí quyển Nửa ống phía dư i chứa khí ở nhiệt độ T0 còn nửa ống phía trên chứa đầy thủy ngân Cần nung nóng khí trong ống đến nhiệt độ t i thiểu bằng bao nhiêu để khí đẩy hết toàn bộ thủy ngân ra kh i ống Áp suất bên ngo i biểu thị qua số milimet... trên giản đồ p-V Xác định các đ i lượng sau theo số mol ν , R và T1 a/ Công A b/ Độ tăng n i năng ∆ U c/ Nhiệt lượng Q d/ Nhiệt dung mol C cho quá trình này B i 22 Có ν mol khí lý tưởng đơn nguyên tử trạng th i 1 sang trạng th i 2 như trên hình p a/ Xác định nhiệt độ cực đ i đạt được trong quá trình 1 – 2 p1 1 b/ Trong quá trình 1 – 2, khí tỏa nhiệt hay thu nhiệt? c/ Trong quá trình 1 – 2 có tồn t i quá... ngân băng L B i 27 1 mol khí lý tưởng đơn nguyên tử dãn theo quy luật như biểu diễn trên đồ thị sự phụ thuộc của áp suất vào thể tích bằng một đường thẳng Tìm nhiệt độ cực đ i của chất khí Trên đoạn nào chất khí thu nhiệt và trên đoạn nào chất khí tỏa nhiệt? p p0 V0 V B i 28 Nhiệt lượng do máy nhiệt nhận được từ nguồn nóng bằng 1kJ Khi đó, thể tích khí tăng từ 1l đến 2l, còn áp suất giảm tuyến tính ... riêng kh i thứ lớn gấp lần nhiệt dung riêng kh i thứ hai Khí ghép hai kh i l i v i thiết lập cân nhiệt Diện tích mặt kh i thứ hai giảm 0,03% Tìm kh i lượng kh i thứ hai B i 21 Một lượng khí lý. .. tiếp giáp B i 20 Hai kh i kim lo i cách nhiệt v i m i trường xung quanh Kh i thứ có kh i lượng m1 = 3,16kg nhiệt độ T = 170C Kh i thứ hai có hệ số dãn nở d i 15.10-6 0C-1 nhiệt độ T = 470C Nhiệt. .. phần B thấu nhiệt Phần A đưa lên nhiệt độ T1 chậm nhờ i n trở đốt nóng Phần B giữ nhiệt độ T nhờ tiếp xúc nhiệt v i máy i u nhiệt nhiệt độ 1/a/ Viết biểu thức VA, VB áp suất cu i Pf theo T1,