Mô hình Garch và ứng dụng

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất, về chuỗi thời gian và một số dạng mô hình sẽ được sử dụng ở chương sa

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 30 tháng 4 năm 2015

Bùi Thanh Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài này là do em thực hiện, đó là kết quả quá trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên, đề tài này không trùng với các kết quả của tác giả khác

Hà Nội, ngày 30 tháng 4 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thanh Thảo

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 2

Chương 1:MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 3

1.1.1 Biến ngẫu nhiên một chiều 3

1.1.2 Biến ngẫu nhiên hai chiều 3

1.1.3 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 4

1.2 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 6

1.2.1 Kỳ vọng 6

1.2.2 Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn 6

1.2.3 Hiệp phương sai 7

1.2.4 Hệ số tương quan 7

1.3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP 7

1.3.1 Phân phối chuẩn 7

1.3.2 Phân phối Student 8

1.3.3 Phân phối mũ 8

1.4 MÔ HÌNH HỒI QUY 8

1.4.1 Mô hình hồi quy tuyến tính 8

1.4.2 Hàm hồi quy tổng thể 9

1.4.3 Hàm hồi quy mẫu 10

1.4.4 Phương pháp ước lượng OLS 11

1.5 CHUỖI THỜI GIAN 12

1.5.1 Định nghĩa chuỗi thời gian 12

1.5.2 Tính dừng của chuỗi thời gian 13

1.5.3 Nhiễu trắng 14

1.6 HÀM TỰ TƯƠNG QUAN 15

1.6.1 Tự tương quan 15

1.6.2 Hàm tự tương quan 16

1.6.3 Hàm tương quan riêng 16

1.7 MÔ HÌNH ARMA 16

1.7.1 Mô hình tự hồi quy AR 16

1.7.2 Quá trình trung bình trượt MA 16

1.7.3 Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy ARMA 17

1.8 MÔ HÌNH ARCH 17

1.8.1 Rủi ro 17

1.8.2 Mô hình ARCH 18

Chương 2:MÔ HÌNH GARCH VÀ ỨNG DỤNG 19

2.1 MÔ HÌNH GARCH 19

2.1.1 Mô hình 19

2.1.2 Dự báo phương sai 21

2.2 CÁC DẠNG MÔ HÌNH GARCH KHÁC 23

2.2.1 Mô hình GARCH tích hợp (IGARCH) 23

2.2.2 Mô hình GARCH-M 24

2.2.3 Mô hình TGARCH 25

2.2.4 Mô hình GARCH dạng mũ (EGARCH) 27

2.2.5 Mô hình hợp phần GARCH (COMPONENT ARCH MODEL) 32

2.3 ỨNG DỤNG MÔ HÌNH GARCH TRONG PHÂN TÍCH RỦI RO 34

2.3.1 Số liệu và nguồn gốc số liệu 34

2.3.2 Kiểm định tính dừng của chuỗi lợi suất 35

2.3.3 Lược đồ tự tương quan của chuỗi LSBBC 382.3.4 Kiểm định sự thay đổi trong lợi suất và trong sự dao động của cổ phiếu BBC 39KẾT LUẬN 41DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong thị trường tài chính vấn đề quản lí rủi ro luôn đóng vai trò quan trọng Để đo lường rủi ro của các tài sản và danh mục đầu tư, người ta thường sử dụng phương sai và hiệp phương sai của chúng Tuy nhiên, do phương sai của các tài sản và danh mục thường biến động theo thời gian, nên việc đo lường gặp rất nhiều khó khăn Trong thực tế người ta thường

sử dụng lớp mô hình GARCH là các mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi để phân tích về độ rủi ro của tài sản Mô hình này được sử dụng rộng rãi trong các phân tích kinh tế, đặc biệt là trong phân tích chuỗi thời gian tài chính, chẳng hạn như các nghiên cứu của Bolleslev, Chou, Kroner thực hiện vào năm 1992 và Bolleslev, Engle, Nelson năm 1994 Mô hình GARCH được áp dụng rộng rãi trong các bài toán dự báo kinh tế, tài chính Từ đó, giúp các nhà phân tích thị trường có thể xác định được mức

độ rủi ro của việc nắm giữ tài sản, thấy được sự biến động của giá cổ phiếu trên thị trường chứng khoán để đưa ra được những dự báo cũng như các kết luận nên đầu tư vào loại cổ phiếu nào thì đem lại lợi nhuận cao và ít rủi ro nhất Vì vậy, với lòng yêu thích và mong muốn tìm hiểu sâu về vấn đề này trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp, em đã lựa chọn nghiên cứu đề

tài: “Mô hình GARCH và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu mô hình GARCH, các lớp mô hình GARCH và một số ứng dụng của nó trong dự báo giá cổ phiếu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Mô hình GARCH

- Phạm vi nghiên cứu: Các lớp mô hình GARCH: IGARCH, GARCH-M, TGARCH, EGARCH, mô hình hợp phần GARCH và ứng dụng cụ thể của nó trong bài toán phân tích rủi ro

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tổng hợp tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm với dữ liệu thực tế

- Sử dụng các phần mềm: Eviews 4.0, Excel

5 Cấu trúc khóa luận

Nội dung của khóa luận bao gồm 2 chương:

- Chương 1 “Một số kiến thức liên quan”

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong chương sau

- Chương 2 “Mô hình GARCH và ứng dụng”

Chương này trình bày về các lớp mô hình GARCH và thử nghiệm vận dụng các mô hình này trong phân tích rủi ro

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất, về chuỗi thời gian và một số dạng mô hình sẽ được sử dụng ở chương sau khi nghiên cứu về mô hình GARCH và ứng dụng của nó

1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1.1.1 Biến ngẫu nhiên một chiều

1.1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Cho (, F P, ) là một không gian xác suất Nếu X

là một ánh xạ đo được từ  vào thì X được gọi là một biến ngẫu nhiên

(hoặc một đại lượng ngẫu nhiên)

Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên  sao cho với mỗi x thì : X   x F

1.1.1.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa 1.3 Cho không gian xác suất (, F P, ) và hai biến

ngẫu nhiên X và Y xác định trên nó Khi đó hệ V (X,Y) được gọi là một

biến ngẫu nhiên 2-chiều, tức là V là một ánh xạ từ  vào 2 sao cho với mỗi  thì V( ) X( ), ( ) Y  

1.1.2.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.4 (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối xác suất

đồng thời của một biến ngẫu nhiên 2-chiều V ( , )X Y được định nghĩa như sau:

( , )

F x y P X x Y  y  , ( x y,  )

Định nghĩa 1.5 (Các hàm phân phối biên) Nếu F(x,y) là hàm phân

phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên 2-chiều V ( , )X Y thì các hàm:

1 2

là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tương ứng X và

Y Các hàm này gọi là các hàm phân phối biên của V

1.1.2.3 Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.6 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập với

nhiên này, với mỗi , ta có thể làm phép tương ứng với một điểm

( ) ( ), ( ), ,X ( )n

X   X  X   của không gian Ơ-cơ-lít n-chiều

Ánh xạ   n lập bởi các biến ngẫu nhiên X X1, 2, ,Xn được gọi

là một biến ngẫu nhiên n-chiều hoặc một véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều

1.1.3.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.8 (Hàm phân phối xác suất đồng thời) Hàm phân

phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên n-chiều được định nghĩa như

Định nghĩa 1.9 (Các hàm phân phối biên)

 Hàm phân phối biên của một biến

Hàm phân phối xác suất của biến X là i

F x i( )i PX1 X2    X i    X n   lim ( ,1 2, , )

 Hàm phân phối biên của một số biến

Hàm phân phối biên của các biến X và i X và j X là k

1.1.3.3 Tính độc lập của nhiều biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.10 Các biến ngẫu nhiên X X1, 2, ,X được gọi là độc n

lập nếu tại mọi điểm x x1, 2, ,x của n n ta đều có:

1 2 1 1 2 2

( , , , n) ( ) ( ) n( )n

1.2 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

1.2.1 Kỳ vọng

Định nghĩa 1.11 (Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên một chiều)

Trên không gian xác suất (, F P, ) cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F(x) Kỳ vọng toán của X là một số ký hiệu là E(X) và được

Định nghĩa 1.12 (Kỳ vọng toán của hàm hai biến ngẫu nhiên)

Nếu R( , Y)X trong đó X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì

1.2.2 Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn

Định nghĩa 1.13 Phương sai của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là

2 2

Do V(X) có đơn vị đo lường là bình phương của đơn vị đo lường của biến ngẫu nhiên X nên trong thực tế để biểu thị độ phân tán của các giá trị của X quanh E(X) một cách dễ hình dung hơn người ta còn dùng căn bậc hai của phương sai và gọi tham số này là độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X với ký hiệu và công thức định nghĩa như sau:

 X  V X 

1.2.3 Hiệp phương sai

Định nghĩa 1.14 Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y

được ký hiệu là cov(X,Y) và được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.15 Hệ số tương quan tuyến tính giữa hai biến ngẫu

nhiên X và Y được ký hiệu và định nghĩa như sau:

1.3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP

Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu một số quy luật phân phối được sử dụng trong chương sau

1.3.1 Phân phối chuẩn

Định nghĩa 1.16 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là tuân theo

quy luật phân phối chuẩn với hai tham số là  và 2 nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng như sau:

( ) 2

1( )

Quy luật này đƣợc ký hiệu là N( ; 2)

1.3.2 Phân phối Student

Định nghĩa 1.17 Biến ngẫu nhiên liên tục X đƣợc gọi là tuân theo

quy luật phân phối Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó

Định nghĩa 1.18 Biến ngẫu nhiên liên tục X đƣợc gọi là có phân

phối mũ tham số  0 nếu hàm mật độ xác suất xác định nhƣ sau:

( )

0

x X

1.4 MÔ HÌNH HỒI QUY

1.4.1 Mô hình hồi quy tuyến tính

Giả sử Y và X là hai biến số thể hiện một tổng thể nào đó, mô hình hồi quy tuyến tính hai biến thể hiện mối quan hệ phụ thuộc giữa biến Y và biến X có dạng nhƣ sau:

1 2

Y   X u (1.1)

nếu x > 0 nếu x  0

nếu x > 0 nếu x  0

Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến bao gồm các thành phần sau:

 Các biến số: mô hình hồi quy gồm hai loại biến số:

- Biến phụ thuộc: là biến số mà ta đang quan tâm đến giá trị của nó, thường ký hiệu là Y và nằm ở vế trái của phương trình Biến phụ thuộc còn được gọi là biến được giải thích (explained variable) hay biến phản ứng

- Biến độc lập: là biến số được cho là có tác động đến biến phụ thuộc, thường ký hiệu là X và nằm ở vế phải của phương trình Biến độc lập còn được gọi là biến giải thích (explanatory variable) hay biến điều khiển (control variable)

 Sai số ngẫu nhiên

Sai số ngẫu nhiên, thường được ký hiệu là u, là yếu tố đại diện cho

các yếu tố có tác động đến biến Y, ngoài X Trong mô hình (1.1) chúng ta

không có các quan sát về nó, vì thế đôi khi u còn được gọi là sai số ngẫu nhiên không quan sát được Do đó, để hàm hồi quy có ý nghĩa, cần đưa ra

giả thiết cho thành phần này Giả thiết được đưa ra là: tại mỗi giá trị của X

thì kỳ vọng của u bằng 0: E u x 0

 Các hệ số hồi quy, bao gồm 1 và 2, thể hiện mối quan hệ giữa

biến X và Y khi các yếu tố bao hàm trong u là không đổi

còn được gọi là hàm hồi quy tổng thể (PRF – population regression function) Khi đó các hệ số hồi quy 1 và 2 còn được gọi là các tham số của tổng thể, có ý nghĩa như sau:

 Các hệ số hồi quy:

- 1 được gọi là hệ số chặn, nó chính bằng giá trị trung bình của biến

phụ thuộc Y khi biến độc lập X nhận giá trị bằng 0

- 2 được gọi là hệ số góc, thể hiện quan hệ giữa biến độc lập và giá

trị trung bình của biến phụ thuộc: khi biến độc lập X tăng (giảm) một đơn

vị thì giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y tăng (giảm) 2 đơn vị Hệ số

2

 có thể nhận giá trị dương, âm hoặc bằng 0

1.4.3 Hàm hồi quy mẫu

Giả sử có mẫu ngẫu nhiên kích thước n bao gồm các quan sát của

biến Y và biến X: (Y i , X i), i=1, 2, …, n Từ mẫu ngẫu nhiên này chúng ta sẽ xây dựng các ước lượng cho các hệ số hồi quy tổng thể 1 và 2, ký hiệu

là ˆ1 và ˆ2 tương ứng Khi đó gọi biểu thức (1.3) dưới đây là hàm hồi quy mẫu (SRF: sample regression function) cho hàm hồi quy tổng thể (1.2):

1 2

ˆ ˆˆ

Y   X (1.3) hay có thể viết chi tiết cho từng quan sát như sau:

1.4.4 Phương pháp ước lượng OLS

Phương pháp ước lượng OLS lần đầu tiên được giới thiệu bởi Gauss vào những năm cuối thế kỷ 18 (Haper (1974-1976)) và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Tuy trong phân tích kinh tế lượng nói chung và phân tích hồi quy nói riêng, người ta đã phát triển thêm các phương pháp ước lượng mới, nhưng OLS vẫn là một phương pháp thông dụng do các ưu việt của nó Ngoài ra, ước lượng thu được từ OLS thường được chọn làm

cơ sở khi đánh giá chất lượng của ước lượng thu được từ các phương pháp khác

Để tìm hiểu OLS, xét mô hình hồi quy tổng thể:

giữa các giá trị thực tế Y i và giá trị ước lượng tương ứng từ hàm hồi quy

mẫu (1.5) là nhỏ nhất có thể được Sai lệch này có thể được định nghĩa bởi:

(1) Tổng các phần dư

n

e



(2) Tổng các giá trị tuyệt đối của phần dư

1

| |

n i i

e



Trong phạm vi khóa luận này chúng ta sẽ sử dụng phần mềm Eviews

để hỗ trợ cho việc xác định các ước lượng OLS

1.5 CHUỖI THỜI GIAN

1.5.1 Định nghĩa chuỗi thời gian

Chuỗi thời gian là một tập hợp các quan sát của một hay nhiều biến được sắp xếp theo thứ tự thời gian Chuỗi thời gian có thể có các tần suất khác nhau, ví dụ như theo năm, quý, tháng, tuần, ngày, giờ, … Các ví dụ

về chuỗi thời gian phổ biến trong kinh tế - tài chính bao gồm: tổng sản phẩm quốc nội (GDP), chỉ số tiêu dùng (CPI), cung tiền (M2), chỉ số chứng khoán (VN-index), doanh số bán lẻ,…

Chuỗi thời gian thường được kí hiệu với chỉ số dưới t Ví dụ, nếu gọi

Y là GDP của Việt Nam trong giai đoạn 2001-2012 thì chuỗi số này được

hướng dài hạn nhất định nên việc xử lý số liệu là điều cần thiết trước khi đưa vào các mô hình ước lượng

Mục tiêu của việc phân tích chuỗi thời gian là phải chỉ ra được các đặc tính của chuỗi số liệu, xác định được những xu hướng nhất định theo thời gian và những thành phần có thể dự báo Tiếp theo, chúng ta có thể mong muốn thực hiện kiểm định các giả thuyết kinh tế-tài chính, ví dụ như liệu hai chuỗi cung tiền và lạm phát có quan hệ với nhau hay không, và nếu

có thì quan hệ như thế nào Mục tiêu cuối cùng, và có lẽ là quan trọng nhất, của phân tích chuỗi thời gian đó là dự báo Tuy nhiên, thật không may, ngay cả các mô hình chuỗi thời gian hiện đại và phức tạp nhất cũng thường xuyên đưa ra các dự báo sai

Một chuỗi thời gian có xu hướng dài hạn không tăng cũng không

giảm thì chuỗi đó được gọi là chuỗi dừng theo giá trị trung bình

1.5.2 Tính dừng của chuỗi thời gian

Lưu ý rằng một trong những giả thuyết quan trọng của hồi quy cổ điển là các biến trong mô hình hồi quy phải tuân theo quy luật phân phối chuẩn Tuy nhiên, các số liệu trong thực tế, đặc biệt là chuỗi thời gian, lại hầu như không có được đặc tính này do chúng thường có xu hướng hoặc biến thiên không có giới hạn quanh giá trị trung bình Bản chất của sự biến thiên không có giới hạn này được gọi là tính không dừng (non-stationarity) của chuỗi số Do vậy, để áp dụng được kỹ thuật phân tích hồi quy truyền thống với chuỗi thời gian, chúng ta phải biến đổi các chuỗi thời gian sao cho chúng có tính dừng

Tính dừng (stationarity) là một giả định quan trọng trong kỹ thuật phân tích chuỗi thời gian Ý tưởng cơ bản của nó là chúng ta chỉ có thể mô hình hóa chuỗi số nếu nó độc lập với thời gian (có tính dừng), hay các thuộc tính thống kê của nó là không thay đổi theo thời gian Do vậy, nói

một cách tổng quát, một chuỗi thời gian được gọi là có tính dừng nếu trung bình, phương sai và hiệp phương sai của chuỗi không thay đổi theo thời gian Khái niệm này là tương đồng với khái niệm phương sai sai số không đổi (homoscedasticity) trong phân tích số liệu chéo Giá trị dự báo và các suy diễn thống kê của phương trình hồi quy chỉ có ý nghĩa khi số liệu có phương sai sai số không đổi, và khái niệm tính dừng đáp ứng được yêu cầu này

Nói tóm lại ta có thể định nghĩa tính dừng như sau:

Định nghĩa 1.19 Một chuỗi thời gian Y được gọi là dừng với mọi t t

nếu nó đồng thời thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1.5.3 Nhiễu trắng

Tính dừng là một giả định yếu hơn so với giả định về phân phối chuẩn Tuy nhiên, hồi quy với các chuỗi dừng thường cho ta các thống kê đáng tin cậy Khi số quan sát tăng lên thì độ tin cậy càng lớn Do vậy, sai

số ut trong phương trình hồi quy chuỗi thời gian không nhất thiết phải tuân

theo phân phối chuẩn miễn là mẫu quan sát đủ lớn Thay vào đó, u t được

giả định là nhiễu trắng (white noise) Nói một cách chính xác, u t là nhiễu trắng khi nó đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

i) Trung bình bằng không, E u t 0

ii) Phương sai không đổi,    2 2

Var u E u  iii) Hiệp phương sai bằng không, E u u t s 0 với ts

Có thể thấy nhiễu trắng là một trường hợp đặc biệt của chuỗi dừng Các

điều kiện này hàm ý rằng, chúng ta không thể dự báo được nhiễu trắng từ

những giá trị trong quá khứ của chính nó Nếu u t có tự tương quan thì điều

đó có nghĩa là còn có những thông tin ẩn chứa trong u t mà chúng ta có thể khai thác để cải thiện các mô hình hồi quy

Ngoài tồn tại dưới dạng sai số ở các phương trình hồi quy, nhiễu trắng còn tồn tại trong thực tế Khi ta quan sát sự thay đổi của một số biến, đặc biệt là trên thị trường tài chính – tiền tệ như sự thay đổi thị giá cổ phiếu

và tỉ giá hối đoái, thì thấy rằng chúng ít nhất là rất giống với nhiễu trắng

Do vậy, việc dự đoán sự thay đổi của các biến số này tại thời điểm t bất kỳ

dựa trên các thông tin trong quá khứ là gần như không thể

Tuy nhiên trong thực tế có thể xảy ra hiện tượng mà sai số của các quan sát lại phụ thuộc nhau, nghĩa là:

( ,i j) 0

Cov u u  (i j)khi đó xảy ra hiện tượng tự tương quan

1.6.2 Hàm tự tương quan

Một trong những cách đơn giản để kiểm định tính dừng là dùng hàm

tự tương quan (ACF) ACF với độ trễ k, kí hiệu bằng k, được xác định như sau:

Đối với quá trình dừng thì k k ; k k

1.6.3 Hàm tương quan riêng

Hàm tương quan riêng (PACF) là hệ số tương quan không điều kiện

giữa Y t và Y t-k, nó không tính đến ảnh hưởng của các quan hệ trung gian,

1.7.1 Mô hình tự hồi quy AR

Quá trình tự hồi quy bậc p có dạng như sau:

Điều kiện để chuỗi có khả nghịch là: 1  i 1, i = 1, 2, …, q, hay nghiệm của phương trình đặc trưng nằm trong vòng tròn đơn vị

1.7.3 Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy ARMA

Cơ chế để sản sinh ra Y không chỉ là AR hoặc MA mà có thể kết hợp

cả hai yếu tố này Khi kết hợp cả hai yếu tố, mô hình được gọi là mô hình

trung bình trượt tự hồi quy ARMA Y t là quá trình ARMA(1,1) nếu Y có thể

biểu diễn dưới dạng:

ý Đôi khi người ta gặp phải biến cố ngoài ý muốn gây tổn thất ngoài dự kiến – điều này cũng có nghĩa là họ đã gặp rủi ro Vậy rủi ro là gì?

“Rủi ro là những khả năng xảy ra tổn thất ngoài dự kiến”

Rủi ro là một nhân tố quan trọng trong phân tích kinh tế, trong lựa chọn các chiến lược phát triển Trong quản lí các quỹ đầu tư, định giá tài sản, đầu tư chứng khoán, giao dịch quyền chọn,… vấn đề rủi ro được xem xét một cách nghiêm ngặt, nếu thiếu thông tin về rủi ro thì không thể đề xuất được chiến lược đầu tư Rủi ro được đo bằng phương sai có điều kiện