giáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán họcgiáo trình mô hình toán học
Trang 3
ngày, con người luôn mong ước khám phá các hiện tượng inh, tim ra các quy luật của tự nhiên đề từ đó dự báo sự: 2 tương lai Toán học là một công cụ giúp ta biểu điễn các
hiện tượng tự nhiên một cách chính xác thông qua các mo hình Các mơ hình tốn hoc là các cấu trúc toán học dùng đê ễ nghiên cứu hệ tỈ \ông thé gidi thực được quan tâm Nó
giup ta hiểu 1 một cách sâu sắc c dáng ¢ liệu, cơ chề của hệ thông và đưa ra kết luận về mặt › tương lại
toán học về tiễn triển của hệ thống trong
Trong cuộc sống hàng
tự nhiên xảy ra chung quanh m phát triển của quy luật trong
Mơ hình tốn học có thể cho bởi một phương trình hay hệ phương trình mô tả
Trang 4sau: Bước 1 Nhan dang m6 hinh Xây dựng các giả thiết a Phân loại các biên định mối quan hệ giữa các biên và các mô hình con à giải thích mô hình
- Mô hình thường được cho bởi hệ các phương trình toán học mà nghiệm cua no tng voi c cac | trang thái của mô hình Ta gidi cac phuong t rình để khảo sát dáng
Trang 5
Thông thường các mô hình toán học thường được xây dựng dựa vào sự thay đôi
Trang 6
Xét tình huống trong đó một biên thay đôi theo các bước thời gian rời rạc Nêu
giá trị hiện thời của biên là z„ thì giá trị dự đoán của biên là a„ ; Một mô hình cho sự
tiến triển của đại lượng ø„ có thê lây dạng: |
A re
* Ví dụ 2 Một người gởi tiên tì t kiêm với lượng tiền ban đầu là 10008 với lãi suất
1% / tháng Nếu tới tháng người đó không lây lãi thì tI | | :
ên này được nhập vào vôn
hương trình vi phân thư
Các hiện tượng tự nhiên được mô tả bởi phương trình vi phân
„3 Cho mô hình lan truyền bệnh SIQR cho boi biêu đ 2 ể =
trong đó Š là sô lượng cá thê có khả nang nhiem bệnh (susceptible), 7 là sô lượng cá thê
bị nhiêm bệnh (infected), Q sô lượng cả thê bệnh được cách ly (quarantined) và # las 6 ee sề
thé binh phuc (removed)
6 thé biéu dién bởi hệ phương trình vi phan
Nhiều tình huống phát sinh trong thực tÊ khi các trạng thái của mô hình phụ
thuộc vào nhiều biến độc lập ngoài biên thời gian / K Khi đó ta xây dựng mô hình bởi các
Trang 7Chang han, m6 hình phụ thuộc không gian-thời gian như ar of, af a2 x2 dy” Mot quan hé ham xay ra khi mét đại lượng tỷ lệ với một đại lượng khác Khi đại 5 ^ lại lượng x, ta có thê biểu diễn yok, lượng tỷ lệ với ‹ với & là hăng sô Ta kí hiệu y œ x Chu vị ƒ của đường tròn tỷ lệ với đười l= td 1g kính đ của đường tròn Ta có z
8, Robert Hooke dé xuat lực hôi phục ` của một lò XO tý lệ với độ giãn:
đài e của nó, tức là F' x e Ta có quan hệ
= ke,
` 6 Khoảng cách dừng của I nột xe hơi khi tỉnh huống khan cấp xảy ra liên quan đến n thoi ¢ gian phản ứng của tài xê và thời gian thắng đê triệt tiêu năng lượng của động
tỷ lệ với vận tốc Khoảng cách địch chuyển khi thắng tỷ Khoảng g cách phan ¢ ứng lệ với bình phương khoảng cách Vì vậy khoảng cách dừn ø xe là d=kyv+k,v’ 2 \ø trái tim của don ơ vật tỷ lệ với khôi E23 # lượng thân thê của động vật của tin như là h
m của khối lượng thân thẻ
Một người với khôi i lượng cớ thê là 70 &ø có khôi iết công thức cho khôi lượng
Trang 8H = 0.006(650) = 3.9 kg % 3» a
Goi P la dan số và z là tốc độ tang dan số của một loài tại thời điểm ¡ CIả sử L lượng dân số tồn tại cao nhất do điều thuận lợi của môi ¡ trường Người ta nhận thay jc độ tang dan số tại thời điểm / tỷ lệ với sô lượng dân số PO va lượng dân số mất đi 7 P(t), tire la | rk « P(L—P) ø trưởng dân sô cho bởi: Tổ ông thể của một cụm khuẩn của vi sinh vật, như vi khuẩn, tăng trưởng theo -_ đạng mũ và được cho bởi công thức: PŒ)= ha", t30 2 ^^
xiệu cho thời gian, P0) là số lượng của tông thê sau / đơn vị thời gian, a là số và P, = P(O) là tông thể ban đầu trong dot kil u 9 G
St cum khuân đang tăng trướng theo dạng mũ ai thời điểm bắt
đầu của ngày thứ nhất có 1200 vi khuẩn trong cụm khuẩn và kết thức ngày thứ hai có x 1.800 vi khuẩn Tìm công thức diễn tả tông thể ‹ của VI khuân như là hàm theo thời gian = 1200 Suy ra P(t) =1200a' = 2 Thay vào công thức trên ta được 0=1200.2”
Giai ra ta duge a=./3/2
thức cho tông thê của vi kh Vậy công P@)=1200(./3/2} :
nhiều hiện tượng trong thực tế không thể biểu dién băng công thức toán học mà ta phải xí xây dựng các mô Ƒ
Phương pháp này được dùng trong nghiên cứu về động lực học chất lỏng, a hoat dong dién trong nao,
phỏng từ máy tính đê mô tả các phương trình tiến triển của -
Trang 9
9 việc xây dựng SS _ Thôn thường thì đữ liệu có sẵn từ một quá trình để hỗ trợ tron £ “^
Phương php ni nay xac dinh xdc định cdc ham dé phản ánh mối quan hệ các biến trong dữ liệu Ta xây dựng mô hình cho bởi hàm y= ƒ(x;W) theo biên x và dùng tập hợp các đữ liệu để tính tham sô w Trong một sô trường hợp, mô hình dang cua ham ƒ# có thê được đoán trước LAO
=P đữ liệu {(x1, Vy (Xa 12); (Xns Yn)
m ham hoi gui y = ax + b dé phan anh gần đúng quan hệ giữa các Dùng phương pháp bình e Biome “ey st ha ow ad #.la 2 4 § i Pact * Đô thị của đường thăng hoi qui y = 1.x - 0.25 va cac diém trong tap dé liéu £ FY
x nh 2 Ẳ ø dân sô biết lượng thay đội của dan | sé t 7i lượng dân sỐ tồn tại và tỷ lệ v 01 lượng | “dan số mất đi lệ a
ot qua gidi han cua si inh/tử xấp xỉ 1,7% của dân sô trong vòng 6x 10” Trong
Trang 10) Xác định hệ p ø trình vi phân mô tả sự lan truyền virus cúm A (HINI) được
Trang 11
Trong thưc tế cũng như trong toán học ta thấy có nhiêu sự tương quan mà trong đó đại lượng này phụ thuộc đại lượng kia Diện tích của hình tròn phụ thuộc vào bán
inh cia nó Khi cho bán kính khác nhau thì diện tích tròn sẽ khác nhau la nói diện
tích tròn là hàm của bán kính Đọan đường rơi Š của một vật rơi tự do không diện tích ban đầu phụ ụ thuộc vào thời gian / kế từ khi TƠI, S=— 8P ứng với mỗi giá trị của / ta có _một giá trị xác định của 5 Ta noi quang đường S la hàm của tÌ jet Ps Cho X, Y la hai tap s6 thuc, ham s6 f xac dinh trén X, nhan gia tri trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi sô x thuộc X với một sô y duy nhât thuộc Y Ký hiệu s | ý:X>BY hoặc f:xphs f(x) hoặc y= f(x)
- x gọi là biến ¢ độc lập hay còn gọi là là đối SỐ
y gọi là biến PHY puốc hay còn được sọi là hàm sô Kã 5 m co ban va ham sơ cấp y=log,x(a>0,a# 1)
1) y= sinx il) yY = COSX,
Trang 12
Hàm ì sơ cấp là hàm có thé biéu thi bang mot pen thức giải tích, gồm những hàm |
SỐ SƠ cấp cơ bản và hang số chép với nhau bằng một số hữu hạn các phép tính số học
(cộng, trừ, nhân, chia, lẫy căn) và các phép tính về hài àm của hàm
Khi bệnh nhân uông thuộc, thuôc sẽ đi vào máu, qua gan và thận Nó bị chuyên
hóa và hâp thu theo tỷ lệ phụ thuộc vào từng loại thuộc Đôi với thuộc Ampiciline -_2507mng, thì 40% thuôc sẽ bị đào thải môi giờ Tìm công thức cho lượng Ø= @ØŒ) của uông máu tại thời điêm / giờ sau khi Vì mỗi giờ lượng thuốc còn lại trong máu là 60% của lượng trước đó nên ta có O(0) = 250 @(1) = 250x(.6), {2) = (250x0.6)x0.6 = 2500.67, #4 Sau ¢ gid, ta duoc @ = Ø0) = 250.6
Vậy lượng thuốc Ampiciline (tinh theo mg) trong máu tại thời điểm / giờ sau khi g được cho bởi mê O(t) = 250(0.6Y
Loi nhuận ¢ của một công ty tăng từ 78 triệu USD trong năm 1991 lên 412 triệu
USD nam 1994 Giả sử lợi nhuận tăng theo dạng mũ Tìm phương trìui dạng Ð?= Đa
trong đó ? là lợi nhuận tính theo triệu US]D và / là sô năm từ 199] 2 a = 78 khi /= 0, nên ?,= 78 Đi trình P= Đa, ta được 412 = 78a’
-Ta thay P ata dung su kién P = 412 khi t=
Trang 13\ï toán bài toán tính tiên taxi)
“:
Trang 14Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm X và Y
của x sản phẩm loại X và y sản phẩm loại Y là một hàm tuyến tính Tìm hàm gia a C(x, Ty) Giá sử giá (ngàn đồng)
nếu biết các đữ kié éu sau:
C(10,20)=120; C(30,15)=210; C(40,50)=330
an được qui về phương trình của mặt phẳng qua 3 điểm (10.20,120)
) và (40,50, 330) Mặt phang qua điểm (10,20,120) nén ta có phương trình z—120=a(x~10)+b(~20) ` - (1.1) Trong đó z là hàm giá Thay tọa độ của điểm (30,15,210) vào (1.1) ta được 90 = 20a ~ 5b (1.2) Và liềm (40,50, 330) vào (1.1) thì Tương tự thay toa độ của đ 210 =30a+30b | | (13) Giá hệ (1.2) và(1.3) ta nhận được a=5 và b= 2 Thay vào (1.1) ta được iéu diễn ¡ diện tích
Một hình hộp chữ nhật hở phía trên có thể tích là 32 cơ”
Trang 15hay a S = xy+64} — Nee | N
Hàm sản lượng Cobb-Douglas là hàm được sử dụng một cách rộng rãi trong
nghiên cứu kinh tế Hàm được lấy tên bởi nhà toán học Charles Cobb và nhà kinh tế học Paul Douglas Năm 1927, D ouglas quan sat thay ave bố của thu nhập quốc gia dựa vào lượng vốn và số lao động k chông thay đôi trong khoảng thời gian dài Kết quả thu nhập QO được chia thành hai ¡ phân, n nột phần @O roi vao nguén vôn và phân còn lại Q rơi vào số lao động va ty sé hang a Khe ông đổi theo thời gian (khoảng 0.3) Douglas đã hỏi Cobb loại hàm nào sản sinh ra kết quả này và Cobb chỉ ra răng hàm sản ‘ph n ắt có dạng y rÌ-ø @ 7 " O = F(K,L)= AK & z ˆA “^ trong đó œ là hăng sô lầy giá trị giữa 0 và 1, con A la hang sô dương 2 % eat
được xếp thứ tự giữa ø và 5 trên đường thăng thực
Goi P là tập hữu hạn điềm
P={X\.X;,X;, a}
VOl A=X, <X, < < xX, <x, =b 0 1 7] I H
Một tập P như vậy gọi là một sự phân hoạch (hay phân chia) đoạn [ø, ?] thành n mem »k =1,2,3, ,.n Ky | lệ độ dài của đoạn thứ & trong phần hoạch P ia
Trang 16
, khôn ø phụ thuộ vao phép 2 ghên h hoạch P va cach | lay dié né thì 7
gọi là tích phân xác định của hàm số y= A x) trên |z, 6] Ký hiệu a trong đó dau tích phân a? Ax)dx la biéu thite dưới dau tich phan Xét đại ượng thay đôi theo thời gian heo công thức Newton-Leibnitz ta #Œ) từ thời điểm / = ø đến £= ð là a = có tôn ng thay đôi của đại lượn ức f(b)- f(a)= [ swat Luu u lượng nước chảy ở một con sông sau khi một cơn mưa đi qua được mô tả như sau: lúc bình thường chưa có mưa lưu lượng là 10zz⁄s, đạt cực đại sau 5 giờ Ở _ mức 66,25 7/s và sau đó thì giảm ổi và đên 12,5 giờ sau thì trở lại mức bình thường Đánh giá lượng nước do cơn mưa đem lại và nếu giả thiết răng cơn mưa có mặt tại một ` cas - 2 3.7 2z % vung rong 10 km” danh giá lượng mưa trung bình Vì sô đữ liệu ban đâu được cho là 4 nên mô hình đơn giản nhât có dạng bậc 3 Gia su luo n ø nước trên sông do mưa ổi qua theo thời gian / có dạng Œ) = at + bí + ct + đ
Lưu lượng ban đầu là 10 cho ta đ= 10 |
f cực đại tại /= 5 cho ta ƒ(5) =0 hay 75a+10b+c=0
va (5) = 66,25 hay 125a+25b+5c +10 = 66,25
Trang 17
1953,125a + 156,25b +12,5¢+10=10 | (1.6) Giải hệ (1.4), (1.5) và (1.6) ta tìm được a=0,1; 6 =-3,25; c= 25 —10]dt =~ 1,6x10°m?> Ậ mưa trung bình là: 1,6~x 10° / (12,5x 10’) = 12,8 mm/gio
Gia su tién gởi Vào ngân hàng %) đồng tại năm /, gởi trong T năm, lãi suất it hang am sé ĐỘP vào vôn Giá trị tiên vôn trong ngân hàng ở năm thứ
goi liên tục vào một tài khoản với lượng ôn định
10.000USD/nam cho 30 năm với lãi suât 7%/ năm Tiên lãi mỗi năm được gộp vào
vôn Tìm sô tiên ở tài khoản năm thứ 30 ^ Ta có 9(/) = 10.000 + T= ?Ủ, Ä= 0 0Ÿ 30 " : | _ 10.000 6" = 125.263 USD | 11 z ^ O # nghia vu so với vài năm trở lạ 1 day va 2500
) đên tuôi đên trường (/heo số liệu của phòng giáo đục) là 3000
đăng ký khai sinh (#ẻ em được đăng ký khai sinh trong khoảng thời gian dưới | mỗi là 800
Xá ^
Giả sử dan sé phát triên bình thường và không có đột biến Tìm hàm dân s
Trang 18tuôi có dạng đa thức bậc bốn: ⁄#Œ)=a+bt+cfˆ +đf + ef Ta có 5 điều kiện sau: i) (90) =0, ii) (20) = 2500 iii) (6) = 3000, iv) f'(20)=0, vy) S-£)= [ fat =800 _Tacó #Œ)=b+2ct+3đf? +4efÌ (v a) | | i) > a+90¿+8100e+729000đ+65610000e=0 (1) ii) => a+ 20b + 400c + 8000d+ 160000e =2500 (2) iii) => a+ 6b + 36c + 216d + 1296e = 3000 (3) iva)=> b+40c+1200đ2+32000e=0 (4) vV= a+ b+e+d+e=800 (5) Giải hệ (1), (2), (3), (4) và (5) ta nhận được: a= 13.3731, b = 873.1073, e=- 75.3175, d>2.2267, e= -0.0166 3
Phuong trình v1 phân là một phương trình chứa biến độc lập, hàm phải tìm (ân hàm) và đạo hàm hay vi phân của hàm phải tìn
lrong n nột phương trình vi phân có thế khuyết các biên, độc lập, hàm phải tìm nhưng nhất thiết có các đạo hàm hay vì phân (của hàm phải tìm
ơ trình vị phân câp một là phương trình có dạng
F(x x J2 1 y3 = 0
hay
y = Kxy)s
, p y là hàm phải tìm, #' là hàm ba biên liên tục {rong miên
biến liên én tuc trong mién Dc R? |
biến (phương trình có biến phân ly) là phương
trình có dạng
Trang 19M(x)dx + N(y)dy =
Gidi: Tw phương trình trén ta c6 M(x)dx = -N(y)dy
_ Tích phân bai về ta được [M(x)de =— [N(y)dy+C, trong d6 C 1a hang so tly y
Vay ta được tích phân tổng quát là seo [M(x)dx+ [N@)dy =C Bài toán đã ` Giả sử yŒ) là sô lượng dân sơ tai thoi ¢ liểm ¢ (0 < y(t) <L, Vt), & la hang so sinh - € # rong dan s6 cao nhat có thê tôn tai Phương trình có thể viết lại đạng _— 1 yŒ~y) Tí ch phân hai về, ta được
Trang 21y+P(x)y=0 được gọi là phương trình vi phân tuyên tinh thuan nhat * Nêu @ (x)z0 thì (1.7) được gọi là vi phân tuyên tính không thuân nhất ¡ dụ 11 (Bài toán h
Một bôn chứa đang có 100 ii nƯớc trong đó có hòa tan 50 ørzm muôi Người ta m vào thùng một dung dịch muối có nông độ 2 grzmw1ít với tôc độ 3 lit/phut Giả sử dung dịch muối trong bồn ‹ lược trộn đều tức thì và chảy ra ngoài với tốc d6 2 lit/phut
hông tràn ra ngoài, hãy tính lượng
Nếu thể tích của bồn đủ lớn để nước trong bổn kh
muỗi 7 (¡ ) trong bổn tại thời điểm t bat ky?
dat tới nồng độ 1,5 gram/Ii ƒ? % LAO
ø muôi trong hô là bao nhiêu?
Trang 22Ta có nồng độ muỗi trong thùng tại thời điểm / bất kỳ là _m() „ _ 15x10” +í 00+ ty G| Do đó để nồng độ muối trong thùng đạt 1,5 gram/lit thi ta can CŒ) = 1,5 (gram/lit) hay Giải phương trình trên ta duoc ¢ = 100( V3 -1) (phut) £ r—
Vậy muôi trong bon đạt tới nông độ 1,5 gram/| Mit khi t = 100{ V3 — 1] (phut) Lượng nuôi trong bon sau 30 pAut la m(30) © 171,243 (gram)
Xét mô hình sô lượng cá trong một hô trong đó cá không bị loài khác ăn thịt và được cung câp thức ăn đây đủ Cá được thu hoạch theo chu kỳ bởi hàm A(t)=a+bsin2zt, trong do a, b la cac hang s6 (a> b) vat 1a thoi gian Chu y rang A(t) luôn duong va dao động giữa a + b và a- ð, và hŒ)dt=a_-
là sô cá thu hoạch môi năm
Gia str san lượng cá thu hoạch tỷ lệ với số lượng c của chúng thì phương trình vi
Trang 24hay đu u(1+u"*) ax 1—u’ * Khi u#0 phwong trinh tro thanh phuong trinh tach bién Vậy tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là 2 2 ; x+y =Cy,C =—-# wu ý A Khi u= 0 thi y = 0 Thử trực tiếp ta thấy y = 0 là nghiệm phương trình Phương trình B ` + "0 ron, os ‘wa a eseenk OO g2” @(z) là các hàm liên tục trong kh
oang (a,b) nao do
Khi a =0 hoac a =1 thi (1.8 8) có dạng phương trình tuyến tính hì z0 và œz1:
" Ta thay y = 0 là nghiệm của (1.8) khi a > 0
Trang 25ben \O Scans y“y+PŒ)y ” =0) z'+ q ~a@)P(x)z =(1-a@)O(x)
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một với x là biến độc lập, z là mame phai tim ¬ = Lp DO, C ) m của phương trình B ‘Go ta 2 =U Ỏ Giải ra ta được z, trả về theo y ta được nghiệ Giải phương trình yˆ—y=xy' = Ta thay y= 0 là nghiệm của phương trình £ ° TY A + 2 A ` ~5 | a V6i y «0 Nhan hai về phương trình cho y”, ta được yoy re y" =x Khi d6 phuong tr inh trở thành hay of Ệ z!+4z =—Â4x
Phương trình trên là phương trình tuyến † inh, giai phuong trinh nay ta co nghiém tong quát là - £ 4x \ | ty Vi yo z=—€e "| xe ”———+C I|=—~x+Ce i 4) 4 Vậy tích phân tổng quát của phương trình là bot gy =o xtCe™ 4 ý £
m mới được đưa ra thị trường Gọi -
Trang 26Phương trình có thé viét lai dang Bernoulli: y'—100ky =—ky”, s yo &k 8G 2, ‘ Khi y # 0, chia hai vé phuong trinh cho 1⁄“ ta được + ể Dat z= y" thì phươi \g trình có dạng tuyển tính theo z: z'+100kz=k Phương trình trên có nghiệm tông quát ~x_—100#/ CC ”, P(x, y)dx + O(x, y)dy = 0 - | (1.10) được gọi là phương trình vi phân toàn phan néu biéu thire P(x, y)đ4x+O(x, y)dy là vì phân toàn phần của mệ m số (x, y) nào đó
Do dU(x, y) = P(x, y)dx + O(x, y)dy nén tu (1.10) ta duoc dU(x,y) = 0
Lay tich phan hai vé phuong trinh, ta duge tich phan tong quát của phương trình
(1.10) la | | |
24
Trang 27Ứ(x,y) =C [ P(œ.y,)dx+ Ï 0œy)#=C ; 0 S » Một phương trình vi phân câp một có thê biêu diễn dang vi phân P(x, y)dx + Q(x
phương frình này thông thườngng thì không vi phân toàn phân Tuy nhiên có thê nhân
một hàm /(z,y) vào hai vê phương trình đê phương trình vi phan | Ux, P(x, v)de + u(x, YO(x, y)dy = 0 (1.11)
là phương trình vi phân toàn phân
Khi đó hàm z⁄(x,y) được gọi là thừa số tích phân của phương trình vi phân (1.10) trình vi phân toàn phân Khi đó ta có Gia su (1.11) là phương om O, | Ô —- (x,y)Q(s, y)) =——((+x, y)PŒ y)) Ox Oy hay ô | OO Ou ¿ oP = O(x, y) + u(x, y)S =F PCr, y) + wx, YS Ox Ox Oy Oy SUY ra 6 ¬„ Qự (dO ơPÌ
PG,y)SE=0Œ,y)S ởy Ox = uœ,y)| 2 — SP \ Ox oy ) (1.12)
Moi ham w(x, y) thoa (1.12) déu là thừa số tích phân của phương trình (1.10) Nhưng phương trình (1.12) là phương trình đạo hàm riêng của hàm hai bién u(x, y)
Trang 28
=y(y) (chỉ phụ thuộc vào y) P(x,y) /(y)äy u(y) =e! é ạ„ 16 Giải phương trình (x+ yˆ)dx + xyẩy=0 băng cách tìm một thừa số tích hay
F(x.y.y', y", y)=0 (1.13)
là ø + 2 biên liên tục trên tập mở nào đó của IR“”*? và nhất thiết có sự tham trong đó #" gia của đạo hàm câp ø của ân hàm ÿ x
rinh vi phan (1.13) la moi ham y = y(x) kha vi 7 lan và ~c
e Nghiệm của phương
Trang 29
= y(x,C¡,C;, C„) thay vào thỏa (1.13) được gọi là nghiệm tổng quát của
" với mọi hang số €1,C,, , C ne
y= y(x, C7, Cy , 5C°) thu duoc tu ng
C,=C), C,=C), ,C,=C°? duoc gọi là nghiệm riêng fl Ps hiệm tổng quát bằng cách cho z2 z Nêu nghiệm tông quát tìm được dưới dạng An B,C, CyyenC,) = 0 (*) thi (*) a me a được gọi là tích phân tông quát Từ tích phân tổng quát (*) cho C= Ch, C; =Cÿ, ,.C„ = Cj thì ta được tích phân riêng «
át được gọi nghiệm kỳ dị
h vi phan tuyên tính câp hai là phương trình có đạng
"
y"+ p(x)y'+ g(x)y = f(x) (1.14)
trong d6 p(x), g() là các hàm của biến độc lập x, liên tục trên khoảng (2, 6) nao do se Nêu f(x)=0 thi (1.14) tré thanh " Ệ y + p(x)y +4q(x)y = được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất a Lào se Néu f(x) #0 thi (1.14) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khong thuan nhat z trình vi phần tuyên tính câp hai thuân nhât Xét phương
y"+ p(x)y't+ q(x)y =0 (1.15)
trong do p(x), g(x) | à các hàm của biến độc lập x, liên tục trên khoảng (a,b) nao do ) lý 1 Nếu vị, v2 la hai nghiệm ri iéng cua phuong trinh ue thi
y=Cy,+C,y,, trong dé Cy, Cy la hăng số 5 tiny ) ý, cñng là nghiệm của (1.15
ninh
Trang 30
(Cy, + Cyy,)"+ p(x)(Cy, + Coy =C ly, + p(x)y,4(*)y,]+ C;[y, + p(Œ%
Vay C,y,+C,y, langhiém của phương trình (1.15)
hiệm riêng »,(x) 0 của phương trình (1.15) thì ta có thể tìm
Nếu biết một nghiệt
) của phương trình (1.15) độc lập tuy ễn tính với 1ị(x) bởi os một nghiệm riêng yo(x Chitng minh Cs y+ ?(%)y, +q(x)y, =0 riêng y; độc lập tuyến tính với y¡ Ta „ —l/Ø(x)äv 13; — Ö\ › = Ce J mb vi phân cấp một đôi với yạ C
Trang 31phân, ta tìm được Tính tích phân trên băng phương pháp tích phân từng Vy =X oes Vậy nghiệm tông quát của phương trình đã cho là
ø trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất -
y"+ p(x)y'+ g(x)y = f(x) (1.14)
trong d6 p(x), g(x) 1a cdc ham 5 (x) #0 va phương trình thuần nhất tương ứng của nó là y"+ p(x)y'+q(x)y =0 & 3 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.14) bằng tổng của nghiệm tông quát y của phương trình thuân nhát tương ứng (1.15) và một riêng Y nào đó của (1.14) if y +Y', y=y +y" i Xét y= y+Y Ta có y'=
Thay y, y’, y’’ vao vé trai (1 14) ta duge
Trang 33Tính tích phân trên băng phương pháp tích phân từng phân, ta tìm được V> —=—XY, Vậy nghiệm tông quát của phương trình đã cho là
Xét phương trình vi phân tuyên tính câp hai không thuân nhất -
Trang 35hiệm riêng của (1.16) đưới dạng
trong đó # là hăng sô cân xác định
“Taco cy! = ke”, vy no ke 16) thi ta dugc et jrewThay y’’,y’,y vao e(k? + pk +q)=0 Vi e” #0 nên k’ + pk+q=0 (1.17) Nếu k thỏa mãn phương trình (1.17 ) thì y=e“ là nghiệm của phương trình (1.16)
à phương trình đặc trưng của phương trình (1.16), a khả năng xảy ra đôi với 71 ấn, ky,
5%
° Truong hop 1 I: ky, ko là h
—- Ta có hai nghiệm riêng của (1.16) là p =e”*,y, =e"
Hai nghiệm này độc lập tuyên tính vì a» const Do do nghiém t trong do Ci, C, la hang s6 tuy y thực trùng nhau (ky =K> =k) c3»
® Trưởng hợp 2: ky, k› là hai s
hợp này ta có một nghiệm riêng của (1.16) la y,=e"" Ta tim Trong truong nghiệm riêng độc lap tuyén tinh voi y, “dang k y; = yu(x) = u(x)e*" Ta có | i kx Ky) " if \ AX kx 2.0 kN
y, =ul(xje™ +kucxye™, y, =u"(xje™ + 2ku'(xje™ + kpue™
Thay y,,y,,y, vào (1.16) ta được
eM Lu "+(2k, + p)u'+ (ke + pk, + qu] =0
Vik, la nghiệm kép của (1.17) nên k, = -£ hay 2k,+p=0
Trang 36e“u"=0 hay „"= dan dén u=Ax+B A 4 A Vin là à nghiệm riêng nên ta có thê chon A = Vậy nghiệm tong quit c cua (1.16) la hay ~~ 74 | kx y=(C,+C,x)e™
® Trưởng hợp 3: Là hai nghiệm phức liên hợp (k, =a+ bi,k, =a- p nay ta co hai nghiém riêng của (1.16) là
rong trường hợ
y, —= e\t4†0i)* e% el
1 _ 2ta-bi)x ax _~ibx
Theo công thức Euler đối với sô phức †a có _
Trang 37k, =-1+2i,k, =-1-2i, Nên nghiệm tông quát của phương trình đã cho là omens y =e *(C,cos2x+C, sin 2x)
Trang 38£ ó ft là biên độc lập XỊ hĩa 15 Nghiệm của hệ phương trình vi phân dạng gC 18) la tap hop m ham e@e¢ee8e¢8 82 ¢ Be e888 xác định trên khoảng (a,ð) thỏa tât cả các phương trình của hệ 2 A Nghiệm tông quát của hệ phương trình vị phân dạng hợp z hàm ch Xx, =~ (t,C,,C,, 5€,) xị =Ø,Ú,C,,CC¿, ,C„ ) 9Ð Ø8 @ 2 #@ #9 °$°ð 6 6 tớ G6 6 60 0 2 6 8 @ eee see ese ace xác định trên khoảng (2, ») thỏa tất cả các phương trình của hệ, trong đó C,,C,, ,C, la các hăng số tùy ý, Nghiệm riên từ nghiệm tông 0 0 (8 C, ? C,, 5 C, :
Trang 39
Trong phân này ta xét mô hình đã thú và con môi (Predator-Prey Model) được
biêu thị bởi các phương trình gọi là các phương trìni ih Lotka-Voltera 5 ¡ Nếu không có dã thú thì con môi sẽ phát triển Gia su c6 r dã thú và w con m > đạng mũ theo phương trình dw _ là kề» cÁ — = aw t (2 là hăng sô dương) | ,
Trang 40dt ar / dt dw dw/dt Thay dr / dt va dw / dt tu hé vao phuong trinh trén, ta duoc ar —Ƒ' + wr dw W—WF nà " dw dr Bang cach giai hé =0 và - | dt — at (w, r)= (0, 0) va (w, r) = (1, 1) A =0 ta suy ra hệ có hai điểm cân băng # # # # a —~ “—“.ĂẮẳẮ
ma PS TM ME SON MS RUN UỐNG
a wa tee Ce, Pte Po LP, _— Tà ms MS ia oN _ ae “ee x wee ween Te, We MH MA NhU SỐ me ae _ _ MU _— ` a s
a a Mu NHUC MS TS me me me one _ me TS me
a wat pe a, Mo RF, Ba PBA OTA Pa OPA Ge ee ~.ằhx.-_h —~-. SAL we Be FRA
_ foo ee "` RR AL mR AORTA,
(Lene ER x7 a pene a, A BALK, we BN XS oN ĐC AC MS mL _ me
w Leg BOT x i ee RRR TORK RT a a a hr a _ N hề Wb A ERR RRR —-—¬¬—`^ pod fete EN OKO NÀNG NUNG RUN x ¿ ag a me ON _ MỤ N ms ~, N ¬ ms N N  N SỐ đo 272 PNGNM NMM NUNG NNN NA NA NÓ ay ot Hư Nà 9È 1 1 11 \ 1111119 ee & ~ aT ae fp _ #z Z # a # £ Z od _ fo fr ¢ fo _ ag, Te oe ee eo ee 27 Ö ~” ee x7 7 x7” Ý Z 4 oi Hinh 2 Trwong vecto ciia hé và các đường cong nghiệm f%
m trên đường cong nghiệm biểu diễn một cặp số lượng (w, r) của hệ t ừ đô thị ta thấy các đường cong kín là các nghiệm tuân hoàn của hệ Do