Nghiên cứu bài toán điện môi trong điện trường

Lí do chọn đề tài Ở chương trình sách giáo khoa phổ thông người ta định nghĩa về hằng số điện môi ε như sau: Giả sử trong không gian có một phân bố điện tích nào đó, nếu ta giữ nguyên p

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ở chương trình sách giáo khoa phổ thông người ta định nghĩa về hằng số điện môi ε như sau: Giả

sử trong không gian có một phân bố điện tích nào đó, nếu ta giữ nguyên phân bố này và lấp đầy toàn

bộ không gian bằng chất điện môi, thì cường độ điện trường ở khắp nơi trong không gian đó giảm đi ε lần Ở đây ε là đặc trưng vật lý của điện môi và được gọi là hằng số điện môi ε Định nghĩa này của hằng số điện môi không cho biết cơ chế tương tác của chất điện môi với điện trường ngoài

Một ví dụ điển hình của tình huống nói trên là một tụ điện (phẳng, cầu hoặc trụ) đã tích điện Nếu chúng ta giữ nguyên điện tích trên các bản tụ và lấp đầy trong tụ điện bởi một chất điện môi có hằng số điện môi ε thì cường độ điện trường tại bất cứ nơi nào trong tụ đều giảm đi ε lần Nhưng nếu điện trường trong tụ giảm mà các điện tích trên bản tụ được giữ nguyên, thì điều này có nghĩa là phải xuất hiện các điện tích phụ tạo nên điện trường phụ ngược hướng với điện trường ban đầu Và quả thật đã xảy ra như vậy: trên bề mặt các điện môi áp vào bản tụ đã xuất hiện các điện tích ngược dấu với điện tích áp trên bề mặt đó Và khi này điện này điện trường trong tụ là điện trường tạo bởi các điện tích, kể

cả điện tích trên bề mặt của điện môi

Còn nếu ta duy trì hiệu điện thế trên các bản tụ không đổi thì ngay cả khi lấp đầy tụ điện bằng chất điện môi, điện trường trong tụ vẫn không thay đổi Sở dĩ có sự không đổi này là do điện tích tự do trên bản tụ tăng và tăng ε lần Xảy ra điều này là do tụ được nối với nguồn điện

Còn một nhân tố nữa ảnh hưởng đến điện trường trong chất điện môi, đó là cấu hình của vùng không gian lấy đầy chất điện môi Trong đề tài này ta chỉ giới hạn nghiên cứu cấu hình đơn giản nhất

là các tấm phẳng

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, các bài toán về điện môi là những bài toán rất phức tạp, giải quyết được những bài toán đó sẽ rèn luyện cho học sinh kĩ năng tư duy trừu tượng Điều

đó đòi hỏi học sinh cần nắm rất vững các công thức, định luật và linh hoạt trong vận dụng các công thức và định luật đó

Các đề thi chọn học sinh giỏi ở một số năm đều xuất hiện các bài toán về điện môi, đặc biệt là một

số bài toán về chuyển động của lớp điện môi trong điện trường Học sinh chủ yếu quen với cách giải các bài toán điện môi trong tụ điện phẳng ở mức độ vận dụng các công thức ở sách giáo khoa để giải Nhưng khi gặp các dạng bài toán khó hơn, học sinh trở nên rất lúng túng

Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Nghiên cứu bài toán điện môi trong điện trường” làm đề tài nghiên

cứu của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu lí thuyết và cách giải quyết một số bài toán điện môi trong điện trường

3 Phương pháp và đối tượng nghiên cứu của đề tài

Phương pháp chủ yếu trong khi thực hiện đề tài này là tập hợp, chọn lọc, nghiên cứu các bài toán

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là phương pháp giải quyết các bài toán điện môi trong điện trường Thông qua đó, bạn đọc nhận ra được những kiến thức cơ bản, những kĩ thuật tính toán, cách lập luận thường gặp khi giải bài toán đó

4 Bố cục của đề tài

Bố cục của đề tài bao gồm các phần:

A Mở đầu

B Nội dung

C Kết luận

D Tài liệu tham khảo

+ + + + + + + + + + + +

-d

+ + + + + + + + + + + +

-l

ε

+ + + + + + + + + + + +

-d

h ε

l

B NỘI DUNG

Bài 1: Một tụ phẳng bên trong là không khí có các bản hình vuông được lấp đầy một phần bởi chất

điện môi, như được chỉ ra ở hình 1 với ba trường hợp khác nhau Hãy xác định điện trường bên trong

chất điện môi, nếu điện tích trên các bản tụ Q và diện tích mỗi bản là S và chất điện môi có hằng sô

điện môi là ε Kích thước của khôi điện môi được cho trên hình vẽ

Giải

Hình vẽ 1a Hình vẽ 1b Hình vẽ

1c

a Khi chưa có điện môi, cường độ điện trường giữa hai bản tụ là

E

S

d

= = = ε =

ε (1) Khi chất điện môi lấp đầy một phần bên trong tụ điện, ta có thể coi như một bộ tụ gồm hai tụ mắc nối

tiếp: một tụ bên trong là không khí với điện dung là o

kk

S C

d h

ε

=

−

còn tụ kia lấp đầy bởi chất điện môi có điện dung là o

dm

S C

h

εε

=

Do trên mỗi bản có điện tích Q, nên hiệu điện thế giữa hai bản của tụ lấy đầy điện môi bằng

U

= =

εε

Nên cường độ điện trường trong chất điện môi là dm dm

o

E

= =

εε (2)

So sánh biểu thức (1) và (2) ta thấy cường độ điện trường trong chất điện môi giảm đi ε lần và sự làm

yếu điện trường này không phụ thuộc vào bề dày của lớp điện môi Với phương pháp làm đầy như thế,

sự yếu đi của điện trường trong chất điện môi là lớn nhất

b Ta có thể coi tụ điện ban đầu như một bộ tụ gồm hai tụ điện mắc song song với nhau, điện dung

trong đó S là kích thước của bản tụ điện Điện dung của cả bộ tụ là

o

ε  ε − 

Hiệu điện thế giữa hai bản tụ bây giờ là

o

U

S 1

S

= =

 ε − 

ε  + ÷

Cường độ điện trường trong chất điện môi là dm

o

E

S 1

S

= =

 ε − 

ε  + ÷

(3)

Khi cho l tiến điến S, điện trường trong chất điện môi giảm và tiến tới giá trị dm( )

o

Q

S

= εε

Khi cho l tiến đến 0, thì điện trường tăng và khi l=0 thì điện trường bằng dm( )

o

Q

S

= ε

Như vậy tùy vào giá trị l thì điện trường trong lớp điện môi nằm trong khoảng

( )

dm

c Ta có thể coi tụ điện ban đầu như một bộ tụ gồm: C (C ntC ) 1 P 2 3 , trong đó

điện dung của tụ C1 bên trong là không khí o

1

S( S l) C

d

=

điện dung của tụ C2 bên trong cũng là không khí o

2

Sl C

d h

ε

=

−

điện dung của tụ C3 bên trong lấp đầy bởi điện môi o

3

Sl C

h

εε

=

Điện dung của bộ tụ điện là 1 23 o

+ ε −

23

C

εε

+ + ε −

Hiệu điện thế giữa các bản tụ là U Q

C

=

Điện tích của hai tụ mắc nối tiếp là 23

QC

C

Hiệu điện thế trên tụ C3 là 3 23 23

U

= =

Cường độ điện trường trong chất điện môi

3 dm

o

E

= =

ε   − ÷ + ε − + ÷

Khi l= Sthì biểu thức vừa nhận được ở trên chuyển thành biểu thức (2) và khi h=d thì chuyển thành biểu thức (3)

Bài 2: Một tụ điện phẳng bên trong là không khí có diện tích mỗi bản tụ là S=150cm 2 và khoảng cách giữa các bản là d=6cm được mắc vào nguồn điện có suất điện động E=200V Xác định công tôi thiểu cần thực hiện để đưa vào khoảng không gian giữa hai bản tụ một lớp điện môi có bề dày h=4mm và hằng sô điện môi ε=7 Biết rằng kích thước ngang của các bản tụ và của lớp điện môi là như nhau.

Giải

- Trước khi đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ điện thì

+ điện dung của tụ: o

1

S C d

ε

=

SE

d

ε

= = =

+ năng lượng của tụ: 2

1

2

=

- Sau khi đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ (hình vẽ 1a ở bài 1)

C

εε

+ + ε −

S

εε

+ ε −

+ năng lượng của tụ: 2

1

2

=

1

2

∆ = − = −

d L

E

x d-L-x

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: ∆ = + W A A ng → = ∆ − A W A ng

trong đó A là công đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ

Ang là công của nguồn thực hiện làm dịch chuyển điện lượng Q2-Q1 bằng

A = E(Q − Q ) = C − C E

- Vậy

1

2

( 1) S 1

−

= ∆ − = − − −

ε − ε

+ ε −

Bài 3: Một tụ điện phẳng có diện tích mỗi bản bằng S, khoảng cách giữa

các bản bằng d, được nôi vào nguồn điện có suất điện động E Cần phải

thực hiện một công tôi thiểu bằng bao nhiêu để đưa vào khoảng không gian

giữa các bản tụ một tấm kim loại có độ dày L(L<d)? Bỏ qua điện trở trong

của nguồn điện

Giải

- Trước khi đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ điện thì

+ điện dung của tụ: o

1

S C d

ε

=

SE

d

ε

= = =

+ năng lượng của tụ: 2

1

2

=

- Sau khi đưa tấm kim loại vào giữa hai bản tụ (hình vẽ)

+ điện dung của tụ: 2 x d L x 0

C

− −

− −

ε

S

d L

ε

= =

−

+ năng lượng của tụ: 2

1

2

=

1

2

∆ = − = −

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: ∆ = + W A A ng → = ∆ − A W A ng

trong đó A là công đưa lớp điện môi vào giữa hai bản tụ

Ang là công của nguồn thực hiện làm dịch chuyển điện lượng Q2-Q1 bằng

A = E(Q − Q ) = C − C E

- Vậy

1

2

SL 1

= ∆ − = − − −

ε

= − − = −

−

Bài 4: Người ta đưa tấm thủy tinh có hằng sô điện môi ε=9 vào một tụ điện phẳng bên trong là không

khí sao cho khe không khí còn là có bề dày h=1mm Khoảng cách giữa các bản tụ là d=1cm Tụ được mắc vào nguồn có hiệu điện thế không đổi là U 0 =100V Xác định hiệu điện thế trên các bản tụ sau khi ngắt tụ khỏi nguồn và rút tấm thủy tinh ra.

Giải

- Ban đầu, tụ điện được xem như là một bộ tụ gồm hai tụ mắc nối tiếp

với nhau (hình vẽ )

C

εε

+ + ε −

+ + + + + + + + + + + +

-ε

S

d h( 1)

εε

+ ε −

- Ngắt tụ ra khỏi nguồn, điện tích của tụ được giữ không đổi, đồng thời rút tấm điện môi ra khỏi tụ điện

S

d h( 1)

εε

= =

+ ε −

+ điện dung của tụ: o

2

S C d

ε

=

+ hiệu điện thế mới giữa hai bản tụ là: 2 2 o

2

U Q

h

d

ε

+ ε −

Bài 5: Một tụ điện phẳng bên trong là không khí có các bản hình vuông diện tích S, khoảng cách giữa

hai bản là d, được nạp điện đến hiệu điện thế U, rồi ngắt khỏi nguồn Sau đó người ta đẩy một tấm điện môi rộng với hằng sô điện môi ε vào đến chính giữa của tụ điện Bề dày của tấm điện môi là d Hãy xác định lực mà tấm điện môi bị hút vào trong tụ ở vị trí này

Giải

Điện dung của tụ chứa không khí là o

0

S C d

ε

=

Sau khi ngắt tụ ra khỏi nguồn điện, điện tích của tụ không đổi và bằng

o

SU

d

ε

= =

Khi đưa tấm điện môi vào, một nửa tụ được lấp đầy bởi chất điện môi, một

nửa kia là không khí Điện dung của tụ lúc này là o

1

S( 1) C

2d

ε ε +

Năng lượng của tụ lúc này là

1

W

= =

ε ε +

Giả sử ở vị trí đó, tấm điện môi bị điện trường chịu tác dụng một lực F đặt

vào chỗ điện trường không đều nhất và hướng về phần không khí Đặt lên

tấm điện môi một ngoại lực cũng bằng F nhưng có hướng ngược lại Dịch

tấm điện môi một đoạn rất nhỏ dx, lực F thực hiện một công dA=F.dx Ro

ràng công này dùng để làm thay đổi năng lượng của tụ điện Ta tính được

điện dung mới và năng lượng mới của tụ sau khi tấm điện môi dịch đi một

đoạn dx

2 0

2

Q 2(1 )dx

2C (1 ) S

 − ε 

+ ε

Độ biến thiên năng lượng của tụ lúc này là

= − =  − ÷=

Vì điện dung C1 và C2 khác nhau không nhiều lắm nên có thể xem 2

C C = C

Lúc đó

2 0

2 3/ 2 o

2(1 )dQ dx dW

(1 ) S

− ε

=

ε + ε

Theo định luật bảo toàn năng lượng dW=dA

Suy ra

2 0

2 3/ 2 o

2(1 )dQ

F

(1 ) S

− ε

=

ε + ε

Thay biểu thức Qo ở trên ta được

2 o

2

F (1 ) d

ε − ε

=

+ ε

Bài 6: Một tụ điện phẳng bên trong là không khí, khoảng cách giữa các bản là d,

được nhúng một phần trong chất lỏng với hằng sô điện môi ε và khôi lượng riêng

ρ (như hình vẽ) Tụ được mắc vào nguồn có suất điện động E qua một khóa K mở Bỏ qua điện trở trong của nguồn, độ nhớt của chất lỏng và hiện tượng mao dẫn Hãy xác định độ cao cực đại của cột chất lỏng dâng lên trong tụ khi đóng khóa K Hỏi chất lỏng được xác lập ở độ cao nào nếu tính đến tổn hao vì nhiệt?

Giải

Vì bỏ qua điện trở trong của nguồn, nên sau khi đóng khóa K và thời gian sau đó hiệu điện thế trên hai bản tụ luôn bằng E Giả sử sau khi đóng khóa K, điện môi trong chất lỏng dâng lên trong tụ ở độ cao cực đại là h Công do nguồn thực hiện khi đó có tác dụng làm biến thiên năng lượng của tụ và biến thiên thế năng trọng trường của cột chất lỏng

Điện dung của tụ ban đầu chứa không khí là o

0

S C d

ε

=

Điện dung của tụ khi cột chất lỏng dâng lên độ cao h là o

( 1)ah

d

ε ε −

= +

trong đó a là bề rộng của bản tụ Độ biến thiên năng lượng của tụ sau khi chất lỏng dâng lên là

( 1)ahE 1

ε ε −

Độ biến thiên thế năng của cột chất lỏng dâng lên là Wt gah d2

2

ρ

∆ =

( 1)ahE

d

ε ε −

Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có o ( 1)ahE2 o ( 1)ahE2 gah d2

ε ε − =ε ε − +ρ

Theo phương trình bậc hai trên có hai nghiệm h1=0 và

2 o

( 1)ahE h

gd

ε ε −

= ρ

Nghiệm thứ nhất (h1=0) tương ứng với vị trí ban đầu của mức chất lỏng trong tụ, còn nghiệm thứ hai (h2) tương ứng với mức dâng lên cực đại của chất lỏng trong tụ sau khi khóa K đóng một thời gian Vị trí ổn định của mức chất lỏng trong tụ sau khi khóa K có tính đến sự mất mát vì nhiệt cần phải tương ứng với cực tiểu năng lượng của hệ

Ký hiệu độ cao khi ổn định của cột chất lỏng là z Điện dung của tụ trong trường hợp này bằng

o

( 1)az

d

ε ε −

= +

( 1)az

d

ε ε −

( 1)az

d

ε ε −

= − = − + 

trong đó W0 là năng lượng ban đầu (khi khóa K mở) của nguồn Năng lượng của tụ điện là

2 o

( 1)az 1

ε ε −

Độ biến thiên thế năng của cột chất lỏng Wt gaz d2

2

ρ

∆ =

Năng lượng toàn phần của hệ là

2 2

o

( 1)az

ε ε − ρ

= + + ∆ = −  +  +

Điều kiện để năng lượng cực tiểu

2

ε ε − ε ε −

ρ

Từ biểu thức trên, độ cao ứng với vị trí ổn định của mức chất lỏng nhỏ hơn độ cao cực đại hai lần Khi không có tắt dần, chất lỏng sẽ dao động quanh vị trí h=z với biên độ z Với độ tổn hao năng lượng nhỏ, dao động sẽ tắt dần và mức ổn định của chất lỏng là ở độ cao z

C KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài, tôi rút ra một số kết luận sau:

- Các bài toán về điện môi trong điện trường rất phức tạp, đa dạng Muốn tìm ra lời giải đòi hỏi người học cần vận dụng hết sức linh hoạt các kiến thức đa học Người học cần nắm vững các quy tắc, các biểu thức toán học, kĩ thuật tính toán

- Các kĩ thuật tính toán và phương pháp giải toán cần được rèn luyện thông qua các bài tập cụ thể Qua quá trình rèn luyện mới hình thành nên kĩ năng giải quyết các bài toán ở học sinh Vì các bài toán hết sức đa dạng và tính toán chi tiết phức tạp đòi hỏi học sinh phải chăm chỉ luyện tập từ các bài toán cơ bản rồi mở rộng sang các bài toán nâng cao

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, bản thân đã tiếp cận và vận dụng được các dạng bài tập về điện môi trong điện trường Điều này rất hữu ích trong công tác tự nghiên cứu, trau dồi kiến thức và kĩ năng của bản thân

Trong quá trình thực hiện đề tài bản thân đã rất nỗ lực, cố gắng tuy nhiên sẽ không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, nên tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp và các em học sinh Tôi hi vọng đề tài này là một tư liệu tham khảo có ích cho các em học sinh và các bạn đồng nghiệp

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bùi Quang Hân, Đào Văn Cư, Phạm Ngọc Tiến, Nguyễn Thành Tương-Giải toán Vật lý 11- Nhà xuất bản giáo dục 2000

2 Vũ Thanh Khiết, Vũ Đình Túy-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT-Tập 2: Điện học 1-Nhà xuất bản giáo dục 2005

3 Vũ Thanh Khiết, Tô Giang- Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT- Điện học 1- Nhà xuất bản giáo dục 2009

3 Vũ Thanh Khiết, Tô Giang- Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT- Điện học 1- Nhà xuất bản giáo dục 2009

4 Tạp chí Vật lý và tuổi trẻ

E MỤC LỤC

Trang

A Mở đầu 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Bố cục của đề tài 2

B Nội dung đề tài 3

C Kết luận 8

D Tài liệu tham khảo 9

E Mục lục 10

Quảng Bình, ngày 20 tháng 4 năm 2014

Nhận xét và xếp loại của Tổ trưởng chuyên môn