hàm đặc trưng trong lý thuyết xác suất

Dưới sự hướng dẫn của thầy Hồ Hữu Hòa, em đã quyết định chọn đề tài Hàm đặc trưng trong Lý thuyết Xác suất để tìm hiểu và nghiên cứu trong luận văn tốt nghiệp của mình.. Hàm đặc trưng ph

TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

MSSV: 1100116 Lớp: SP Toán – Tin K36

Cần Thơ, 2014

LỜI CẢM ƠN

Sau khoảng thời gian bốn năm học tập, được sự chỉ dẫn nhiệt tình, cũng như sự giúp đỡ của thầy cô Trường Đại học Cần Thơ nói chung, các thầy cô Khoa Sư phạm nói riêng và đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Toán đã trang bị cho em những kiến thức quý báu để nay em có thể hoàn thành đề tài luận văn tốt nghiệp của mình

Em xin chân thành biết ơn sự nhiệt tình giúp đỡ của các thầy cô Khoa Sư phạm – Trường Đại Học Cần Thơ, đặc biệt em xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến thầy Hồ Hữu Hòa đã trực tiếp hướng dẫn em trong suốt thời gian làm đề tài luận văn này Cám ơn sự ủng hộ, động viên từ gia đình, bạn bè, tập thể Sư phạm Toán Tin K36, tập thể phòng 17C12 đã tạo điều kiện, giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành đề tài

Tuy nhiên, do còn hạn hẹp về kiến thức và kinh nghiệm nên luận văn khó tránh được những thiếu sót Em rất mong nhận được sự thông cảm, những đóng góp chân tình của các thầy cô và các bạn để có thể rút kinh nghiệm hoàn thiện hơn

Cuối cùng em xin kính chúc quý thầy cô Khoa Sư Phạm, các thầy cô Bộ môn Toán và đặc biệt là thầy Hồ Hữu Hòa cùng các thầy cô trong Hội đồng phản biện dồi dào sức khoẻ và thành công trong công việc

Chân thành cảm ơn!

Cần Thơ, ngày 24 tháng 4 năm 2014

Sinh viên thực hiện Phan Tuyết Mai

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU

inflim

}{)(x n  x n Dãy số hoặc dãy các phần tử

x

x n w Dãy x hội tụ yếu đến x n

MỤC LỤC

Lời cám ơn i

Danh mục các từ viết tắt, ký hiệu ii

PHẦN MỞ ĐẦU 1

PHẦN NỘI DUNG 2

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Phép thử, biến cố ngẫu nhiên và xác suất 2

1.2 Không gian xác suất 6

1.3 Biến ngẫu nhiên 6

1.4 Hàm phân phối 8

1.5 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên 12

1.6 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 12

1.7 Một số phân phối thông dụng 18

1.8 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên 22

Chương 2 HÀM ĐẶC TRƯNG 23

2.1 Định nghĩa 23

2.2 Các tính chất của hàm đặc trưng 26

2.3 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối 32

2.4 Hàm đặc trưng của phân phối nhiều chiều 39

2.5 Ứng dụng của hàm đặc trưng trong nghiên cứu các định lý giới hạn 40

PHẦN KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

Xác suất thống kê nói chung và Lý thuyết Xác suất nói riêng đã gây ấn tượng mạnh và tạo cho em niềm yêu thích đối với lĩnh vực toán học này Dưới sự hướng

dẫn của thầy Hồ Hữu Hòa, em đã quyết định chọn đề tài Hàm đặc trưng trong Lý thuyết Xác suất để tìm hiểu và nghiên cứu trong luận văn tốt nghiệp của mình

Hàm đặc trưng (phép biến đổi Fourier của Hàm phân phối) là công cụ quan trọng để nghiên cứu các định lý giới hạn trong Lý thuyết Xác suất Tìm hiểu về đề tài này, em mong muốn có cơ hội áp dụng những kiến thức nhận được trong quá trình học đại học như Xác suất thống kê, Tô-pô, Độ đo & Tích phân Lebegues, Giải tích hàm để tiếp tục đi sâu hơn vào Lý thuyết Xác suất

II Mục đích và phạm vi nghiên cứu

Luận văn tập trung tìm hiểu về Hàm đặc trưng trong Lý thuyết Xác suất:

 Định nghĩa

 Các tính chất của Hàm đặc trưng

 Mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối

 Ứng dụng của Hàm đặc trưng trong nghiên cứu các định lý giới hạn

III Phương pháp nghiên cứu

 Tìm các tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài

 Phân tích, tổng hợp theo mục đích nghiên cứu

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 PHÉP THỬ, BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là khái niệm cơ bản không định nghĩa Ta có thể mô tả như sau: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định và có thể được lặp lại nhiều lần Kết quả xảy ra không đoán định được trước

1.1.2 Biến cố ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của phép thử, là đặc trưng định tính của kết quả

Kí hiệu: Các biến cố ngẫu nhiên được kí hiệu bằng chữ in hoa: A, B, C,…

Người ta phân biến cố ngẫu nhiên ra làm: biến cố sơ cấp, biến cố chắc chắn (không gian biến cố sơ cấp), biến cố không

- Biến cố sơ cấp là khái niệm cơ bản nhất, có thể hiểu là biến cố nhỏ nhất không thể

chia nhỏ hơn nữa Kí hiệu: 

- Không gian biến cố sơ cấp (không gian mẫu) là tập tất cả các biến cố sơ cấp

Kí hiệu: 

- Biến cố không là sự kiện không xảy ra trong một phép thử Kí hiệu: 0

Ví dụ: Gieo một lần con xúc xắc Gọi B i là biến cố “Mặt trên của nó có i chấm”,

1.1.3 Các định nghĩa xác suất

a Xác suất theo tiên đề

Định nghĩa xác suất theo lối tiên đề, còn gọi là “Định nghĩa xác suất bằng cách kể

ra các tính chất của nó”, do Kolmogorov (nhà toán học người Nga) đưa ra năm

1993, đã tạo nên một cuộc “cách mạng” trong xác suất

)()

(

k

k k

k P A A

i A A

A , , ,2

1 , nghĩa là:

n

i i

P( ) , với 0m  n

Số m và các phần tử của A được gọi là số khả năng thuận lợi cho biến cố A; còn n

được gọi là số khả năng có thể

Ví dụ: Một lô sản phẩm gồm N sản phẩm trong đó có M sản phẩm tốt và M – N phế

phẩm Lấy ngẫu nhiên s sản phẩm từ lô hàng Tìm xác suất để trong s sản phẩm lấy

ra có đúng k sản phẩm tốt

Giải:

- Số khả năng lấy s sản phẩm trong N sản phẩm bằng C N s

- Số khả năng lấy k sản phẩm tốt trong M sản phẩm là C M k

- Số khả năng lấy s sản phẩm từ lô hàng trong đó có k sản phẩm tốt và s  phế k

phẩm là C M k C N sk M

Vậy xác suất cần tìm là:

s N

k s M N

c Xác suất theo tần suất

Trong định nghĩa xác suất cổ điển đòi hỏi tính đồng khả năng của các kết cục Đó

là đòi hỏi ngặt nghèo, vì trong thực tế ta gặp nhiều trường hợp mà tính đồng khả năng bị vi phạm

Ví dụ khi gieo một xúc xắc không cân xứng khả năng trúng đích của mỗi lần bắn vào mục tiêu, sự phân tán của các nguyên tử của một chất phóng xạ trong một thời gian nào đó Đó là những ví dụ về các biến cố không đồng khả năng

Định nghĩa xác suất theo tần suất không đòi hỏi tính đồng khả năng Không gian mẫu là tập hữu hạn hay đếm được các biến cố

có tính chất ổn định, nó dao động quanh một số nào đó Số đó gọi là xác suất của

biến cố A Ký hiệu là P(A)

Ví dụ: Đây là kết quả của thí nghiệm gieo đồng tiền

Người làm thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất

Cho miền  đo được (trong đường thẳng, mặt phẳng, không gian ba chiều…) và

miền con S đo được của  Ta lấy ngẫu nhiên một điểm trong miền  Đặt A là biến cố “điểm M thuộc miền S” Xác suất của biến cố A được xác định như sau:

P(A) = Độ đo của S / Độ đo của 

(Miền  chính là không gian các biến cố sơ cấp)

- Nếu miền  là đường cong hay đoạn thẳng thì “độ đo” của  là độ dài của nó

- Nếu miền  là hình phẳng hay mặt cong thì “độ đo” của  là diện tích của nó

- Nếu miền  là hình khối ba chiều thì “độ đo” của  là thể tích của nó

1.2 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT

1.2.1 Không gian xác suất

Không gian xác suất là bộ ba (,F,P) trong đó:

1) Tập  không rỗng các phần tử (biến cố sơ cấp) ;

2)F là   đại số các tập con của  nghĩa là F thõa mãn:

3) P là độ đo xác suất  cộng tính hay là xác suất trên F

1.3 BIẾN NGẪU NHIÊN

Giả sử (, F)là không gian đo, R[;]

X là biến ngẫu nhiên nếu X :R(;)

* Nhận xét: Biến ngẫu nhiên là một trong những khái niệm quan trọng trong lý

thuyết xác suất Biến ngẫu nhiên là đặc trưng định lượng của kết quả của phép thử

Kí hiệu: biến ngẫu nhiên được kí hiệu bằng chữ in hoa X, Y, Z,…

Ta quan tâm nghiên cứu 2 loại biến ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ:

- Gọi X là số viên đạn trúng đích khi bắn liên tiếp n viên đạn độc lập vào một mục tiêu X là biến ngẫu nhiên Giá trị mà nó có thể nhận là 0, 1, …, n

- Gọi Y là chiều cao của một cây tại thời điểm t Y là biến ngẫu nhiên liên tục

- Gọi Z là số chấm trên mặt con xúc xắc khi gieo 1 lần con xúc xắc cân đối và đồng chất Z là biến ngẫu nhiên Giá trị mà nó có thể nhận là 1,…,6

1.3.2 Các định lý của biến ngẫu nhiên

 Định lý 1:

Giả sử X :R Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

i) X là biến ngẫu nhiên

ii) :X() xF (xR)

iii) :a X()bF với a  bất kì b Định nghĩa hàm Borel: Hàm  :(Rn,B(Rn))  (R,B(R)) được gọi là hàm Borel, nếu có B(Rn)đo được, nghĩa là 1(B)B(R)

lim , X hữu hạn thì X cũng là biến ngẫu nhiên

1.3.3 Cấu trúc của biến ngẫu nhiên

 Định lý:

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (,F) Khi đó

a) Tồn tại dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đều đến X;

b) Nếu X 0thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản X sao cho n X n  X

1.3.4 Vectơ ngẫu nhiên

 Định nghĩa:

Vectơ ngẫu nhiên k chiều là một bộ k biến số ngẫu nhiên X1(), ,X k()

Ví dụ: Trong một lớp học gồm n sinh viên, khi cho làm một bài kiểm tra Đặt:

i

X là số sinh viên được i điểm

Khi đó, vectơ V (X0,X1, ,X10) là một vectơ ngẫu nhiên 11 chiều

1.4 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1.4.1 Định nghĩa:

Hàm số F X(x) P[X x], xR

được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

Ví dụ: Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần xuất hiện mặt sấp khi

gieo một lần đồng tiền cân đối và đồng chất

Giải:

Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với phép thử “gieo đồng tiền” là   { S, N}

Vì X có thể nhận 2 giá trị 0 hoặc 1 Vì vậy :

10

},({

0, )0(

x P

x N

P

x P

10

,21

0,

x x x

1.4.2 Tính chất của hàm phân phối

a) Hàm phân phối là hàm đơn điệu tăng, nghĩa là

)()(x F y F

1.4.3 Các dạng hàm phân phối

a) Phân phối rời rạc

Hàm phân phối F X (x)được gọi là rời rạc nếu nó có dạng







x x i i X

i

p x

F

:)(

trong đó p i 0,  1

i i

p và S {x i :1i}là tập con không quá đếm được của R

* Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc

Giải: Phân phối xác suất của X là : P[X = k] =

c

c

3 12

3 4 8



, k = 0, 1, 2, 3

Hoặc có thể viết dưới dạng bảng sau :

Hàm phân phối của X là : F(x) =

32

,220164

21

,22052

10

,2204

0,0

x

x x x x

Xác suất P[ 1 X < 3] = F(3) – F(1) =

220

164

- 220

4

= 220

160 = 11

8

Ví dụ: Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất

Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số chấm ở mặt trên của con xúc xắc Tìm phân phối xác suất của X Viết hàm phân phối của X Tính xác suất P[0 X < 3]

Hàm phân phối của X là :

65

, 65

54

, 32

43

, 21

32

, 31

21

, 61

1, 0

x x x x x x x

b) Phân phối liên tục tuyệt đối

Hàm phân phối liên tục tuyệt đối nếu có một hàm Borel f (x)sao cho

F( ) ( ) , xR

1.4.4 Hàm mật độ

a Định nghĩa:

Hàm mật độ của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: f (x) , là đạo

hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất X , tức là f(x)F(x)

iii)   

b

a

dx x f b

X a

Ví dụ: Giả sử hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là : F(x) =

2

1 1



= 2 1

1 5 SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Họ hữu hạn {F i,iI}là các  đại số con của F được gọi là độc lập nếu

i I

Họ vô hạn {F i,iI} các  đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi họ

con hữu hạn của nó độc lập

Họ các biến ngẫu nhiên X , i i  được gọi là độc lập nếu họ các I  đại số sinh bởi chúng {F(X i),iI}là độc lập

Họ các biến cố A i,i  IF được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên

Kí hiệu L là tập hợp các biến ngẫu nhiên đơn giản xác định trên 10 (,F,P)

Biến ngẫu nhiên XL10khi và chỉ khi 





k

i A

i I i g X

1

)()

i I i g X

1

)()

1

)(

b Tính chất của kỳ vọng:

1) EC  C với C là hằng số

2) Tính tuyến tính: E(aX bY)aEX bEY với a, b là các hằng số

3) Bảo toàn thứ tự: Nếu X()Y()()thì EX  EY

Đặc biệt: Nếu X()0 thì EX 0

4) Tính khả tích: Nếu X khả tích thì | X khả tích và ngược lại, ngoài ra |

X E

E

)()

(6) Tính chất nhân: Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

EY EX Y

i

i EX X

E

1 1

)(

7) Định lý hội tụ đơn điệu P Levy: Nếu {X n,n1 2, }là dãy không giảm các biến

ngẫu nhiên không âm, hội tụ đến biến ngẫu nhiên X (0 X n  X ) tại mọi , thì 0EX n  EX

* Bổ đề Fatou

Giả sử Y,X1,X2, là dãy biến ngẫu nhiên

i) Nếu X n Y, n1 và EY  thì ElimX n limEX n

ii) Nếu X n Y, n1 và EY  thì limEX n ElimX n

iii) Nếu | X n |Y, n1 và EY  thì ElimX n limEX n limEX n ElimX n

Khi X có phân phối rời rạc, giả sử X có bảng phân phối xác suất:

n p x p x

p x p x EX

1 2

2 1

E XY

E| | | | | |

1 1



trong đó r 1,s1 và 111

s r

Đặc biệt, với r  s 2 ta được:

 Bất đẳng thức Schwarz:

Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên bất kì, ta có

2 2

2

|

|

|

| |

1 1

1 1



2 10 2

Ví dụ: Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là :

2 2

1

0 ,

0

2 1 2 2

x

x n

0

2 1 2 2

221

22

1)

n dx

e x n x

dx x xf

x n

n

x n

n

n

dt e t n

t n

1 2

2 2

2

1

0 2

Vậy E(X) = n

Ví dụ: Cho phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là :

: E X EX

Kí hiệu: DX hay Var(X)

Trong thực tế, người ta thường tính phương sai bằng công thức

2 2

)()

2 1

2 1

2

)()(

)(

i i i n

c Ý nghĩa của phương sai:

Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó (kỳ vọng) Do đó, người ta còn gọi phương sai là tán

DX = E(X2) – (E(X))2 =

4

1 2

1 2

2 1

D(2X + Y + 3) = 4DX + DY = 4

4

1

 + 3

4

= 1 +

3

4 = 3

1.6.3 Moment của biến ngẫu nhiên

 Moment trung tâm bậc 2 chính là phương sai DX

 Moment trung tâm bậc 3 được sử dụng để đo độ lệch trái, độ lệch phải của hàm mật độ

Tiến hành một dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công ở mỗi phép thử là

p, 0 p1 Giả sử X là số lần thành công trong n phép thử đó Khi đó, X là biến

ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị S {01, ,n} và

k n k

k

n p p C

k X

P[  ] (1 )  , k  S Lúc này, X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n và p

n.p EX

Ví dụ: Gieo 1000 hạt đậu tương Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là p = 0,8 Gọi X là

số nảy mầm trong 1000 hạt Tìm phân phối xác suất của X Tính xác suất P[X1]

Tính kỳ vọng và phương sai của X

Giải:

Gieo 1000 hạt đậu tương được xem như thực hiện 1000 phép thử Bernoulli với xác

suất nảy mầm p = 0,8 Theo công thức xác suất nhị thức ta có :

1     

o Kỳ vọng của X : E(X) = np = 1000  0,8 = 800

o Phương sai của X : DX = npq = 1000 0,8  0,2 = 160

Ví dụ: Một lô sản phẩm có tỷ lệ phế phẩm là 5% Lấy ngẫu nhiên liên tiếp (có hoàn

lại) 30 sản phẩm từ lô hàng Gọi X là số sản phẩm tốt trong 30 sản phẩm lấy ra Tìm phân phối xác suất của X Tính kỳ vọng toán và phương sai của X Tính số sản phẩm

tốt có khả năng nhất trong 30 sản phẩm lấy ra

Giải :

Xem việc lấy liên tiếp (có hoàn lại) 30 sản phẩm từ lô hàng như việc thực hiện dãy

30 phép thử Bernoulli Xác suất để 1 sản phẩm là sản phẩm tốt là p = 1 – 0,05 = 0,95

Theo công thức xác suất nhị thức ta có :

P[X = k] = k k k

C30( 0 , 95 ) ( 0 , 05 )30 ; k = 0, 1, , 30

Đây là phân phối xác suất của X

Kỳ vọng toán của X : E(X) = np = 30  0,95 = 28,5

Phương sai của X : DX = npq = 30  0,95  0,05 = 1,425

1.7.2 Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Poisson với tham số  0 nếu X có miền giá

trị S N{0 1,2, } và

!]

[

k

e k

X P

Ví dụ: Một bao thóc giống có tỷ lệ hạt lép là 0,0002 Chọn ngẫu nhiên liên tiếp có

hoàn lại 10000 hạt Tính gần đúng xác suất để trong 10000 hạt có đúng 5 hạt lép

2)5(

2 5

104



P

1.7.3 Phân phối đều

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều nếu hàm mật độ của nó có dạng

],[khi

1)

(

b a x

b a x a

b x f

b x a a

b

a x

a x x

F

khi 1

khi

khi 0)

EX   và

12

)(b a 2

DX  

1.7.4 Phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong R được gọi là có phân phối chuẩn với các tham số a và 2( 0là độ lệch chuẩn của X ) nếu hàm mật độ phân phối xác

suất của nó có dạng

2 2 2 ) (2

1)





a x

e x

x

2 2 ) (2

1)





2

1)

sơ sinh tại một bệnh viện phụ sản, năng suất một giống lúa được gieo trồng

* Đặc biệt, phân phối chuẩn chính tắc (phân phối chuẩn tắc)

Cho X ~ N(a,2) Xét



a X

Z   , khi đó biến ngẫu nhiên Z có hàm mật độ

2

2

1)(

z

e z



Ta nói Z tuân theo luật phân phối chuẩn hóa

Kí hiệu: Z ~ N(0,1)

Ví dụ: Giả sử độ cao X của trẻ em có phân phối chuẩn dạng N(1,3 ; 0,01) Tính xác

suất để trẻ em có độ cao nằm trong khoảng (1,2 ; 1,4)

Giải:

Theo công thức (2.27) ta có :

6828,01)1(2)1()1(01

,0

3,12,101

,0

3,14,1]4,

0,.)(

.

x

x e x

f

x





)(

.

x

x e x

F

x



1.8 SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

1.8.1 Hội tụ theo xác suất

 Định nghĩa:

Dãy biến ngẫu nhiên (X n)được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với  0bất kỳ

0][

Dãy biến ngẫu nhiên (X n)được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên

X nếu tồn tại tập A sao cho P(A)0 sao cho

)()

X n  với A

Kí hiệu: X n h .c X

* Khái niệm hầu chắc chắn (h.c.c)

Trên không gian xác suất (,F,P), tính chất H được gọi là hầu chắc chắn (hay hầu khắp nơi) nếu nó xảy ra bên ngoài một tập N có xác suất không

Ví dụ: Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là bằng nhau hầu chắc chắn nếu tồn tại tập N sao cho P(N)0và X()Y()với N

Khi đó ta viết X  Y (h.c.c) hoặc X Y

c

h .



* Dãy cơ bản theo xác suất

Dãy (X n)được gọi là cơ bản theo xác suất (tương ứng hầu chắc chắn, theo trung bình bậc p) nếu với  0bất kỳ

b Đối với các độ đo xác suất

 Định nghĩa:

Giả sử P , n n1 và P là các độ đo xác suất Khi đó các điều kiện sau tương

đương

i) P n w P

ii) Với mọi tập đóng A thì limP n(A)P(A)

iii) Với mọi tập mở A thì limP n(A)P(A)

Chương 2

HÀM ĐẶC TRƯNG 2.1 ĐỊNH NGHĨA

Cho X là biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất (,F,P), i là đơn vị ảo

Ta đặt

C

R :

X



tX iE tX E Ee

X

 , tRd) Hàm đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên X (X1, ,X k) nhận giá trị trong không gianR là hàm của k biến được xác định bởi công thức k

2.1.2 Một số ví dụ về hàm đặc trưng của các phân phối thường gặp

Ví dụ 1: Phân phối nhị thức

Giả sử X ~ B(n,p) Khi đó X có hàm đặc trưng là

n it n

k

k n k it k n n

k

k n k k n

itk

X(t) e C p q C (pe ) q (pe q)

0 0

k

k itk X

k

e e t

e e

e k

t

a x itx

1)

1

(X  P X   X  

P

Giải:

a) Áp dụng công thức xác định hàm đặc trưng cho biến ngẫu nhiên rời rạc, ta được:

t e

1)

13

13

13

1)

iv)  X (t) là hàm thực X có phân phối đối xứng

tức là X và –X có cùng phân phối ( hay tương đương X(B) P X(B))

v) Nếu X và Y độc lập thì

)()

()

(

1

1

t t

i

) (





!

)(

!

)()(

0

t n

it EX k

it

n k

Đảo lại, với m là số nguyên dương bất kì nếu  ( m2 )(0) tồn tại và hữu hạn thì

dF e x

dF e

1(

)()

(t h  t  Ee itX e ihX  E e ihX 

ihx ihx



 A

x

x dF

Với A, h đã chọn như trên, ta có:       

4

22)()(t h X t

X

Vậy  X (t) liên tục đều trên R

iii)  X(t) e itx dF(x) e itx dF(x)  X(t)

x dF x x

dF

supTheo định lý Lebesgue về hội tụ và bị chặn, có thể lấy đạo hàm dưới dấu tích phân Suy ra

!

)(

!

)((1 0

tX i n

itX k

itX E

Ee

n

k

n k

!

)(1 0

t EX

n

it EX k

it

n n

n k