hàm đặc trưng trong lý thuyết xác suất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC ------------ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giáo viên hướng dẫn ThS. Hồ Hữu Hòa Sinh viên thực hiện Phan Tuyết Mai MSSV: 1100116 Lớp: SP Toán – Tin K36 Cần Thơ, 2014 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 LỜI CẢM ƠN Sau khoảng thời gian bốn năm học tập, được sự chỉ dẫn nhiệt tình, cũng như sự giúp đỡ của thầy cô Trường Đại học Cần Thơ nói chung, các thầy cô Khoa Sư phạm nói riêng và đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Toán đã trang bị cho em những kiến thức quý báu để nay em có thể hoàn thành đề tài luận văn tốt nghiệp của mình. Em xin chân thành biết ơn sự nhiệt tình giúp đỡ của các thầy cô Khoa Sư phạm – Trường Đại Học Cần Thơ, đặc biệt em xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến thầy Hồ Hữu Hòa đã trực tiếp hướng dẫn em trong suốt thời gian làm đề tài luận văn này. Cám ơn sự ủng hộ, động viên từ gia đình, bạn bè, tập thể Sư phạm Toán Tin K36, tập thể phòng 17C12 đã tạo điều kiện, giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành đề tài. Tuy nhiên, do còn hạn hẹp về kiến thức và kinh nghiệm nên luận văn khó tránh được những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự thông cảm, những đóng góp chân tình của các thầy cô và các bạn để có thể rút kinh nghiệm hoàn thiện hơn. Cuối cùng em xin kính chúc quý thầy cô Khoa Sư Phạm, các thầy cô Bộ môn Toán và đặc biệt là thầy Hồ Hữu Hòa cùng các thầy cô trong Hội đồng phản biện dồi dào sức khoẻ và thành công trong công việc. Chân thành cảm ơn! Cần Thơ, ngày 24 tháng 4 năm 2014 Sinh viên thực hiện Phan Tuyết Mai i Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU Z R R C 0 Rn x x a A a A A B A B A  B  AB A\ B sup A inf A lim  lim sup n  n  lim  lim inf n  Tập hợp số nguyên Tập hợp số thực Tập hợp số thực và  ,  Tập hợp số phức Tập hợp rỗng Không gian n chiều Tồn tại phần tử x Với mọi phần tử x bất kì Phần tử a thuộc tập hợp A Phần tử a thuộc tập hợp A Tập A là tập hợp con của tập B Hợp của tập A và tập B Giao của tập A và tập B Hiệu của tập A và B Cận trên đúng của tập A Cận dưới đúng của A Giới hạn trên n  Giới hạn dưới ( xn )  {xn } Dãy số hoặc dãy các phần tử w xn  x Dãy xn hội tụ yếu đến x f : g Định nghĩa f là g ii Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 MỤC LỤC Lời cám ơn .......................................................................................................... i Danh mục các từ viết tắt, ký hiệu ......................................................................... ii PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1 PHẦN NỘI DUNG ............................................................................................. 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................. 2 1.1 Phép thử, biến cố ngẫu nhiên và xác suất ...................................................... 2 1.2 Không gian xác suất...................................................................................... 6 1.3 Biến ngẫu nhiên. ........................................................................................... 6 1.4 Hàm phân phối ............................................................................................. 8 1.5 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên................................................................ 12 1.6 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên ............................................................ 12 1.7 Một số phân phối thông dụng ........................................................................ 18 1.8 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên .................................................................. 22 Chương 2. HÀM ĐẶC TRƯNG .......................................................................... 23 2.1 Định nghĩa .................................................................................................... 23 2.2 Các tính chất của hàm đặc trưng .................................................................... 26 2.3 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối ....................................... 32 2.4 Hàm đặc trưng của phân phối nhiều chiều ..................................................... 39 2.5 Ứng dụng của hàm đặc trưng trong nghiên cứu các định lý giới hạn .............. 40 PHẦN KẾT LUẬN ............................................................................................. 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 60 iii Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong chương trình học từ bậc Trung học Phổ thông, em đã được làm quen với Xác suất Thông kê – môn khoa học nghiên cứu về các hiện tượng ngẫu nhiên và tìm ra quy luật chúng. Theo sự phát triển của xã hội, Xác suất Thống kê càng ngày càng khẳng định được tầm quan trọng trong nhiều lĩnh vực của đời sống: dự báo thời tiết, thị trường chứng khoán, y học, văn học và các môn khoa học tự nhiên khác... Xác suất thống kê nói chung và Lý thuyết Xác suất nói riêng đã gây ấn tượng mạnh và tạo cho em niềm yêu thích đối với lĩnh vực toán học này. Dưới sự hướng dẫn của thầy Hồ Hữu Hòa, em đã quyết định chọn đề tài Hàm đặc trưng trong Lý thuyết Xác suất để tìm hiểu và nghiên cứu trong luận văn tốt nghiệp của mình. Hàm đặc trưng (phép biến đổi Fourier của Hàm phân phối) là công cụ quan trọng để nghiên cứu các định lý giới hạn trong Lý thuyết Xác suất. Tìm hiểu về đề tài này, em mong muốn có cơ hội áp dụng những kiến thức nhận được trong quá trình học đại học như Xác suất thống kê, Tô-pô, Độ đo & Tích phân Lebegues, Giải tích hàm... để tiếp tục đi sâu hơn vào Lý thuyết Xác suất. II. Mục đích và phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung tìm hiểu về Hàm đặc trưng trong Lý thuyết Xác suất:  Định nghĩa  Các tính chất của Hàm đặc trưng  Mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối  Ứng dụng của Hàm đặc trưng trong nghiên cứu các định lý giới hạn. III. Phương pháp nghiên cứu  Tìm các tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài.  Phân tích, tổng hợp theo mục đích nghiên cứu. 1 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 PHẦN NỘI DUNG Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 PHÉP THỬ, BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là khái niệm cơ bản không định nghĩa. Ta có thể mô tả như sau: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định và có thể được lặp lại nhiều lần. Kết quả xảy ra không đoán định được trước. Ví dụ: - Gieo một con xúc xắc là tiến hành một phép thử. Kết quả là số chấm nhận được ở mặt trên của xúc xắc. - Một bà mẹ sinh một con được xem như tiến hành thử một phép thử. Kết quả của phép thử này là con trai hay con gái. 1.1.2 Biến cố ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của phép thử, là đặc trưng định tính của kết quả. Kí hiệu: Các biến cố ngẫu nhiên được kí hiệu bằng chữ in hoa: A, B, C,… Người ta phân biến cố ngẫu nhiên ra làm: biến cố sơ cấp, biến cố chắc chắn (không gian biến cố sơ cấp), biến cố không. - Biến cố sơ cấp là khái niệm cơ bản nhất, có thể hiểu là biến cố nhỏ nhất không thể chia nhỏ hơn nữa. Kí hiệu:  - Không gian biến cố sơ cấp (không gian mẫu) là tập tất cả các biến cố sơ cấp. Kí hiệu:  - Biến cố không là sự kiện không xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu: 0 Ví dụ: Gieo một lần con xúc xắc. Gọi Bi là biến cố “Mặt trên của nó có i chấm”, i  1,6 . - Biến cố sơ cấp: B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 - Không gian biến cố sơ cấp là   B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6  2 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 1.1.3 Các định nghĩa xác suất a. Xác suất theo tiên đề Định nghĩa xác suất theo lối tiên đề, còn gọi là “Định nghĩa xác suất bằng cách kể ra các tính chất của nó”, do Kolmogorov (nhà toán học người Nga) đưa ra năm 1993, đã tạo nên một cuộc “cách mạng” trong xác suất.  Định nghĩa: Giả sử (, F ) là một không gian đo được. Người ta định nghĩa xác suất trên F là một ánh xạ P : F  0;1 Với phần tử A  F là một biến cố ngẫu nhiên, xác suất của biến cố A là một số thực, kí hiệu là P(A) thỏa mãn các tính chất (tiên đề) sau đây: i. P ()  1 ii. Nếu dãy Ak xung khắc từng đôi một (nghĩa là Ai  A j  0 ) thì   k 1 k 1 P ( Ak )   P ( Ak ) iii. P ( A)  0 Sau đây là một số mô hình xác suất thường gặp, là trường hợp đặc biệt của định nghĩa trên. b. Xác suất cổ điển  Định nghĩa: Giả sử phép thử G tương ứng với không gian biến cố sơ cấp gồm n biến cố A1 , A2 ,..., An đồng khả năng,   A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 . Khi đó, nếu biến cố A gồm có m biến cố sơ cấp Ai1 , Ai2 ,..., Ain , nghĩa là: A  Ai1  Ai2  ...  Ain , i  i1 ,..., im  n, thì tỉ số m m được gọi là xác suất của biến cố A và kí hiệu P ( A)  , với 0  m  n . n n Số m và các phần tử của A được gọi là số khả năng thuận lợi cho biến cố A; còn n được gọi là số khả năng có thể. 3 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 Ví dụ: Một lô sản phẩm gồm N sản phẩm trong đó có M sản phẩm tốt và M – N phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên s sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để trong s sản phẩm lấy ra có đúng k sản phẩm tốt. Giải: - Số khả năng lấy s sản phẩm trong N sản phẩm bằng C Ns - Số khả năng lấy k sản phẩm tốt trong M sản phẩm là C Mk - Số khả năng lấy s sản phẩm từ lô hàng trong đó có k sản phẩm tốt và s  k phế phẩm là C Mk .C NskM Vậy xác suất cần tìm là: P ( A)  C Mk .C NskM C Ns c. Xác suất theo tần suất Trong định nghĩa xác suất cổ điển đòi hỏi tính đồng khả năng của các kết cục. Đó là đòi hỏi ngặt nghèo, vì trong thực tế ta gặp nhiều trường hợp mà tính đồng khả năng bị vi phạm. Ví dụ khi gieo một xúc xắc không cân xứng khả năng trúng đích của mỗi lần bắn vào mục tiêu, sự phân tán của các nguyên tử của một chất phóng xạ trong một thời gian nào đó. Đó là những ví dụ về các biến cố không đồng khả năng. Định nghĩa xác suất theo tần suất không đòi hỏi tính đồng khả năng. Không gian mẫu là tập hữu hạn hay đếm được các biến cố.  Định nghĩa: Giả sử ta thực hiện n phép thử thấy biến cố A xuất hiện m lần. Gọi m là tần suất n có tính chất ổn định, nó dao động quanh một số nào đó. Số đó gọi là xác suất của biến cố A. Ký hiệu là P(A) 4 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 Ví dụ: Đây là kết quả của thí nghiệm gieo đồng tiền Người làm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất Buffon 4040 2040 0.5080 K.Pearson 12000 6019 0.5016 K.Pearson 24000 12012 0.5005 thí nghiệm Kết quả cho thấy sự ổn định của tần suất xung quanh một số nào đó. d. Xác suất theo hình học Trong thực tế có những sự kiện mà kết cục của nó là vô hạn, không đếm được. Giả sử các kết cục của phép thử là đồng khả năng.  Định nghĩa: Cho miền  đo được (trong đường thẳng, mặt phẳng, không gian ba chiều…) và miền con S đo được của  . Ta lấy ngẫu nhiên một điểm trong miền  . Đặt A là biến cố “điểm M thuộc miền S”. Xác suất của biến cố A được xác định như sau: P(A) = Độ đo của S / Độ đo của  (Miền  chính là không gian các biến cố sơ cấp) - Nếu miền  là đường cong hay đoạn thẳng thì “độ đo” của  là độ dài của nó. - Nếu miền  là hình phẳng hay mặt cong thì “độ đo” của  là diện tích của nó. - Nếu miền  là hình khối ba chiều thì “độ đo” của  là thể tích của nó. … Ví dụ: Tìm xác suất để điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 2m. Giải: Hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 2m có đường kính 2m. 2 Vậy diện tích hình tròn đó là R  m 2 Diện tích hình vuông là S  2.2  4 m 2 Xác suất phải tìm là: P(A) = diện tích hình tròn / diện tích hình vuông   4 5 2m Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 1.2 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 1.2.1 Không gian xác suất Không gian xác suất là bộ ba (, F , P ) trong đó: 1) Tập  không rỗng các phần tử (biến cố sơ cấp)  ; 2) F là   đại số các tập con của  nghĩa là F thõa mãn:  F  A F  A   \ A F  An  F   An  F  n 1 3) P là độ đo xác suất   cộng tính hay là xác suất trên F 1.3 BIẾN NGẪU NHIÊN Giả sử (, F ) là không gian đo, R  [;] 1.3.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên suy rộng (hay hàm F- đo được) là hàm thực X  X ( ) xác định trên  lấy giá trị trên R trong đó { : X ( )  B}  X 1 ( B )  F với mỗi B  B (R) X là biến ngẫu nhiên nếu X :   R  (;) * Nhận xét: Biến ngẫu nhiên là một trong những khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất. Biến ngẫu nhiên là đặc trưng định lượng của kết quả của phép thử. Kí hiệu: biến ngẫu nhiên được kí hiệu bằng chữ in hoa X, Y, Z,… Ta quan tâm nghiên cứu 2 loại biến ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. Ví dụ: - Gọi X là số viên đạn trúng đích khi bắn liên tiếp n viên đạn độc lập vào một mục tiêu. X là biến ngẫu nhiên. Giá trị mà nó có thể nhận là 0, 1, …, n. - Gọi Y là chiều cao của một cây tại thời điểm t. Y là biến ngẫu nhiên liên tục. - Gọi Z là số chấm trên mặt con xúc xắc khi gieo 1 lần con xúc xắc cân đối và đồng chất. Z là biến ngẫu nhiên. Giá trị mà nó có thể nhận là 1,…,6. 6 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 1.3.2 Các định lý của biến ngẫu nhiên  Định lý 1: Giả sử X :   R . Khi đó các mệnh đề sau tương đương: i) X là biến ngẫu nhiên. ii)  : X ( )  x F ( x  R ) iii)  : a  X ( )  b F với a  b bất kì Định nghĩa hàm Borel: Hàm  : ( R n , B ( R n ))  ( R , B ( R )) được gọi là hàm Borel, nếu có B (R n )  đo được, nghĩa là  1 ( B )  B (R )  Định lý 2: Giả sử X 1 ,..., X n là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (, F ) và  (t1 ,..., t n ) là hàm Borel giá trị thực. Khi đó Y   ( X 1 ,..., X n ) cũng là biến ngẫu nhiên.  Định lý 3: Giả sử ( X n , n  1) là dãy biến ngẫu nhiên và sup X n ; inf X n hữu hạn trên  . n n Khi đó, sup X n ; inf X n ; lim sup X n ; lim inf X n là các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt nếu n n n n lim X n  X , X hữu hạn thì X cũng là biến ngẫu nhiên. 1.3.3 Cấu trúc của biến ngẫu nhiên  Định lý: Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (, F ) . Khi đó a) Tồn tại dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đều đến X; b) Nếu X  0 thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản X n sao cho X n  X 1.3.4 Vectơ ngẫu nhiên  Định nghĩa: Vectơ ngẫu nhiên k chiều là một bộ k biến số ngẫu nhiên X 1 ( ),..., X k ( ) . Ví dụ: Trong một lớp học gồm n sinh viên, khi cho làm một bài kiểm tra. Đặt: X i là số sinh viên được i điểm. Khi đó, vectơ V  ( X 0 , X 1 ,..., X 10 ) là một vectơ ngẫu nhiên 11 chiều. 7 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 1.4 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.4.1 Định nghĩa: Hàm số FX ( x)  P[ X  x] , x  R được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Ví dụ: Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo một lần đồng tiền cân đối và đồng chất. Giải: Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với phép thử “gieo đồng tiền” là   { S, N}. Vì X có thể nhận 2 giá trị 0 hoặc 1. Vì vậy : 0  [  : X(  ) < x] = {N}   Với x  R, 0[...]... khi  (t ) là hàm chẵn 2.2.2 Định lý Bochner Vấn đề: Trong nhiều trường hợp ta cần kiểm tra một hàm phức biến thực có phải là hàm đặc trưng hay không, điều kiện nào để một hàm phức biến thực là hàm đặc trưng của phân phối xác suất nào đó? Trước khi tìm hiểu định lý Bochner, ta cần nắm định nghĩa Hàm xác định dương  Định nghĩa Hàm xác định dương Hàm giá trị phức g (t ) , t  R gọi là xác định dương... định lý Bochner, hàm xác định dương  (t )  tại t  0 và  (0)  1  cos t liên tục 2 1  cos 0  1 Do đó,  (t ) đã cho là hàm đặc trưng 2 2.3 MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI Từ định nghĩa ta thấy được rằng mỗi biến ngẫu nhiên đều có một hàm đặc trưng hoàn toàn xác định Vậy mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối tương ứng như thế nào? 2.3.1 Định lý ngược: Giả sử F là hàm. .. : EeitX  E cos tX  iE sin tX trong đó t  R , E là kì vọng Khi đó,  X (t ) được gọi là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X 2.1.1 Nhận xét: a) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị x j , j   có thể viết là:  X (t )   e itx j pj j trong đó p j  [ X  x j ] b) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối X có hàm mật độ xác suất fX(x) có thể viết là:   X...   X (t )   e itx f X ( x )dx  c) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất FX (x ) có thể viết là:   X (t )   e itx dFX ( x) , t  R  d) Hàm đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên X  ( X 1 , , X k ) nhận giá trị trong không gian R k là hàm của k biến được xác định bởi công thức k  X (t )  Ee i ( t , X )  R e i ( t , X ) dFX ( x ) trong đó t  (t1 , , t k ) và (t , X )... một hàm Borel f (x) sao cho x F ( x)   f (t )dt , xR  1.4.4 Hàm mật độ a Định nghĩa: Hàm mật độ của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: f (x) , là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất X , tức là f ( x)  F ( x ) b Tính chất: Theo tính chất của tích phân xác định ta có F ( x )  f ( x) tại các điểm liên tục của f(x) Từ tính chất của hàm phân phối ta suy ra tính chất của hàm. .. trong 1000 hạt Tìm phân phối xác suất của X Tính xác suất P[X  1] Tính kỳ vọng và phương sai của X 18 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 Giải: Gieo 1000 hạt đậu tương được xem như thực hiện 1000 phép thử Bernoulli với xác suất nảy mầm p = 0,8 Theo công thức xác suất nhị thức ta có : k P[X = k] = C1000 (0,8) k (0,2)1000  k , k = 0, 1, 2, , 1000 Đây chính là phân phối xác suất của X o Xác. .. ta có n  g (tk  t1 ) zk zl  0 k ,l 1 Hàm xác định dương có các tính chất sau: i) g (0)  0 ii) g (t )  g (t ) iii) g (t )  g (0) iv) Với mọi t , s  R ta có g (t  s ) 2  2 g (0) | g (0)  g (t  s ) |  Định lý Bochner Điều kiện cần và đủ để hàm g(t), t  R là hàm đặc trưng của phân phối xác suất nào đó là hàm g(t) liên tục tại t  0 , g (0)  1 và xác định dương Chứng minh: Từ giả thiết,... liên tục bị chặn trong R d b Đối với các độ đo xác suất  Định nghĩa: Giả sử Pn , n  1 và P là các độ đo xác suất Khi đó các điều kiện sau tương đương i) w Pn  P ii) Với mọi tập đóng A thì lim Pn ( A)  P( A) iii) Với mọi tập mở A thì lim Pn ( A)  P ( A) 23 Luận văn tốt nghiệp – Phan Tuyết Mai 1100116 Chương 2 HÀM ĐẶC TRƯNG 2.1 ĐỊNH NGHĨA Cho X là biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất (, F , P... trong đó h( x) : R g (u ) exp{  iux}du  0 2 Ta thấy rằng h(x) khả tích trên R và  2u 2 1  (u ) : g (u ) exp{ } 2 2 Cho u  0 , ta được R R e iux h( x) dx h( x ) dx  1 2 Như vậy có thể coi  (u ) là hàm đặc trưng của phân phối F (x) nào đó Cho   0 : lim  (u )  g (u )  0 Theo định lý về tính chất liên tục của hàm đặc trưng và giả thiết g liên tục tại 0, suy ra g (u ) là hàm đặc. .. theo xác suất Dãy ( X n ) được gọi là cơ bản theo xác suất (tương ứng hầu chắc chắn, theo trung bình bậc p) nếu với   0 bất kỳ P X n  X m     0 khi m, n   1.8.4 Hội tụ yếu a Đối với dãy hàm phân phối  Định nghĩa: Dãy hàm phân phối ( Fn ) được gọi là hội tụ yếu đến hàm phân phối F (trong R d ) nếu R d f ( x) dFn ( x)  Rd f ( x )dF ( x ) trong đó f  Cb (R d ) với Cb (R d ) là tập hợp các hàm