Chuyên đề : Hàm số và đồ thị.
*Thời gian thực hiện: 6 tiết.
A. Kiến thức cơ bản :
I, Hàm số y = ax + b, (a ≠ 0) :
1. Đồ thị là đường thẳng đi qua điểm (O,b) và có hệ số góc là a.
+ Hàm số đồng biến nếu a > 0; nghịch biến nếu a < 0.
2.Xét y = a1x + b1 (d1); y = a2x + b2 (d2).
+ d1 ∩ d2 ⇔ a1 ≠ a2.
Giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình.
a1 x + b1 = a2 x + b2
y = a1 x + b1
+ d1 Pd2 ⇔ và b1 ≠ b2.
+ d1 = d2 ⇔ a1 = a2 và b1 = b2.
+ d1 ⊥ d2 ⇔ a1.a2 = -1.
II, Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) :
1.Đồ thị là parabol(P) có đỉnh là (0;0)
+ Nằm trên trục hoành ( nhận (0;0) là điểm cực tiểu ) nếu a > 0.
+ Nằm dưới trục hoành ( nhận (0;0) là điểm cực đại ) nếu a < 0.
2.Tính chất : + Nếu a > 0 hàm số đồng biến x > 0; nghịch biến với x < 0.
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến x < 0; nghịch biến với x > 0.
III, Quan hệ :
1.Tọa độ giao điểm của (d): y = mx + n và (P): y = ax2 là nghiệm của hệ
y = mx + n
phương trình :
y = ax
2
2. Đồ thị hàm số bâc hai y = ax2 (P) và đường thẳng y = mx + n(d) cắt nhau
tại bao nhiêu điểm ⇔ pt: ax2 = mx + n (1) có bấy nhiêu nghiệm.
Trường hợp (1) có nghiệm kép ta nói (d) tiếp xúc với (P) và điểm chung gọi
là tiếp điểm hay còn nói (d) là tiếp tuyến của (P).
3. Chú ý :
• M(x0;y0) ∈ đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ y0 = f(x0).
• Công thức tính khoảng cách giữa M(x1;y1) và N(x2;y2) là:
MN2 = (x1-x2)2 + (y1-y2)2.
• Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b.
B. Một số dạng toán thường gặp :
I, Dạng 1: Vẽ đồ thị.
VD: Vẽ đồ thị hàm số.
a, y = 1-x
+, Xác định 2 điểm thuộc đồ thị :
Cho x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ A(0;1)
Cho y = 0 ⇒ x = 1 ⇒ B(1;0)
+, Nối A với B. Đường thẳng AB là đồ thị hàm số y = 1-x.
b, y = x2
+, Lập bảng giá trị :
x
…
-2
-1
0
1
2
…
2
y=x
…
4
1
0
1
4
…
+, Vẽ đồ thị :
+, Nhận xét: Đồ thị là Parabon (P) nằm trên trục hoành,nhận
II, Dạng 2: Xác định hàm số _ Viết pt đuờng thẳng.
*VD 1: Biết đồ thị hàm số: y = ax2 (P) đi qua điểm A(2;-2). Xác định (P).
Bài giải:
+ Điểm A(2;-2)∈ (P) ⇔ -2 = a.22 ⇔ a = -
1
2
1
2
+ Vậy (P) : y = - x2.
*VD 2: Cho 2 điểm A(1;3) và B(-2;1)
a, Hãy lập pt đường thẳng (∆) đi qua A,B.
b, Lập pt đường thẳng đi qua C(2,-1) và song song với (∆).
Bài giải:
a,
+ Pt đường thẳng (∆) có dạng: y = ax + b.
+ Vì (∆) đi qua A(1;3) nên 3 = a.1 + b.
(∆) đi qua B(-2;1) nên 1 = a.(-2) + b.
2
a=
a + b = 3
3
+ Giải hệ:
ta được:
−2a + b = 1
b = 7
3
2
7
+ Vậy pt đường thẳng (∆) là y = x + .
3
3
b,
+ Gọi pt đường thẳng cần tìm là y = mx + n (d).
2
2
⇒ y = x + 6.
3
3
2
7
+ Vì (d) đi qua C(2;-1) nên -1 = .2 + b ⇔ b = −
3
3
2
7
+ Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = x − .
3
3
+ Vì (d) P(∆) nên a =
*VD 3: Cho hàm số: y = kx +3 – 2x + k. Xác định k để đường thẳng cắt 2
trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích là 1.
Bài giải:
Hàm số có dạng y = kx +3 – 2x + k
Dựa trên hình vẽ ta có :
1
k +3
k +3
=1
2
k −2
⇔ (k+3)2 = 2 k − 2
S=
⇔ k2 + 6k + 9 = 2 k − 2
+ Với k>2 thì (1) ⇔ k2 + 4k + 15 = 0.Pt vô nghiệm.
k1 = −4 − 11
2
⇔
⇔
+ Với k 0 hay 1 + 8m > 0 ⇔ m > − .
8
1
Vậy với m > − thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
8
1
1
c, Với m = 1. Ta có (P): y = x2; (d): y = - x + 1.
2
2
+ Gọi x0 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) thì x0 là nghiệm của phương
trình:
1
2
- x+1=
⇔
⇔
1 2
x
2
x02 + x0 – 2 = 0
x0 = 1 hoặc x0 = -2.
+, Nếu x0 = 1 ⇒ y0 =
1
1
⇒ A(1; )
2
2
+ Nếu x0 = -2 ⇒ y0 = 2 ⇒ B(-2;2)
1
2
Vậy với m = 1 thì (d) cắt (p) tại 2 điểm A(1; ); B(-2;2).
*VD 2: Cho (P): y = x2 và đường thẳng (d) có pt; y = mx + 1.
a, C/m: Với m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B.
b, Tìm giá trị của m để SOAB = 3.
Bài giải:
a Xét pt hoành độ:
x2 = mx + 1
⇔
x2 – mx – 1 = 0.
Vì a,c trái dấu ⇒ ∆ > 0 ⇒ pt luôn có 2 nghiệm trái dấu (do
c
> 0)
a
Suy ra (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B.
b, Giả sử xA < 0 < xB.
Gọi I là giao điểm của (d) và trục Oy thì I ∈ [ AB ] . Khi đó:
SOAB = SOAI + SOIB =
x A .OI + xB .OI x A + xB
x − xA
V
=
= B
=
2
2
2
2
Hay SOAB = m 2 + 4
+, SOAB = 3 ⇔ m 2 + 4 = 3 ⇔ m2 = 5 ⇔ m ∈ { − 5; + 5}
+ Vậy m ∈ { − 5; + 5} thoả mãn đề.
C. Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hàm số y = x + m có đồ thị là đường thẳng (d).
Tìm các giá trị của m để (d):
a, Đi qua A(1;2008)
b, Song song với đường thẳng: x – y + 3 = 0.
c, Tiếp xúc với parabol: y = -
1 2
x .
4
Bài 2: Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và
y = x2. Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên
trục hoành. Tính SABCD.
Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy ta xét (P): y = 2x2 và (d): y = ax + 2 – a.
a, Vẽ (P).
b, C/m: Với mọi giá trị của a thì (P) và (d) luôn có điểm chung cố
định, tìm toạ độ điểm chung đó.
Bài 4: Cho hàm số: y = ( m – 2 )x + m + 3 (d)
a, Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
b, Tìm giá trị của m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3.
c, Tìm m để đồ thị các hàm số y = -x + 2; y = 2x – 1 và (d) đông quy.
Bài 5: Tìm tất cả giá trị của m để 2 đường thẳng y = 2x + m + 2 và
y = (1 – m)x + 1 cắt nhau tại 1 điểm trên tia parabol y = 2x2
Bài 6: Cho (P): y = ax2 và (d): y = x + m
a, Tìm a biết (P) đi qua điểm M(-2;1).
b, Với a tìm được ở câu . Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) tại điểm N.
Xác định toạ độ của N.
c, Tính SOMN.
Bài 7: a, Vẽ đồ thị hàm số y = x2.
b, Dùng đồ thị hàm số y = x2 để giải pt: x2 để giải pt x2 – 2x – 8 = 0
và khẳng định lại bằng phép tính.
c, Viết pt và vẽ đường thẳng (d) song song với đường thẳng
y = 2x + 8 và tiếp xúc với parabol(P) có pt y = x2.
Bài 8: Cho (d): x + y + 1 = 0.
a, Gọi A là giao điểm của đồ thị trên với trục tung.B là giao điểm của
đồ thị trên với trục hoành. Cho điểm C(1;0). Viết pt đường thẳng AC
b, C/m: ∆BAC vuông cân. Tính SBAC.
Bài 9: Cho đường thẳng: y = (m – 1)x + 2.
Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
Bài 10: Cho parabol(P): y = mx2 và đường thẳng (d): y = nx + 4.
Xác định m,n để (P) và (d) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x = -2.
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = ( m − 2 − 2) x 2
a, Vẽ đồ thị hàm số với m = 3.
b, X/đ m để hàm số nghịch biến ∀ x < 0.
c, X/đ m để hàm số đi qua điểm M(1;1).
d, X/đ m để đường thẳng y = 2x + 1 cắt đồ thị hàm số.
Bài 12: Cho hàm số y =
1 2
x có đồ thị (P).
4
a, Viết pt đường thẳng qua 2 điểm A và B ∈ ( P) nếu xA = -2;
... 11: Cho hàm số y = f(x) = ( m − − 2) x a, Vẽ đồ thị hàm số với m = b, X/đ m để hàm số nghịch biến ∀ x < c, X/đ m để hàm số qua điểm M(1;1) d, X/đ m để đường thẳng y = 2x + cắt đồ thị hàm số Bài... Đường thẳng AB đồ thị hàm số y = 1-x b, y = x2 +, Lập bảng giá trị : x … -2 -1 … y=x … 1 … +, Vẽ đồ thị : +, Nhận xét: Đồ thị Parabon (P) nằm trục hoành,nhận II, Dạng 2: Xác định hàm số _ Viết pt... để (d) tiếp xúc với (P) điểm N Xác định toạ độ N c, Tính SOMN Bài 7: a, Vẽ đồ thị hàm số y = x2 b, Dùng đồ thị hàm số y = x2 để giải pt: x2 để giải pt x2 – 2x – = khẳng định lại phép tính c,