Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 56 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
56
Dung lượng
868,81 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
NGUYỄN THỊ NHUNG
ỨNG DỤNG CỦA NHÓM LIE TRONG XÂY DỰNG
CÁC MÔ HÌNH THỐNG NHẤT TƢƠNG TÁC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
NGƯỜI HƯỚNG DẪN
T.S PHÙNG VĂN ĐỒNG
Hà Nội, năm 2015
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy
Phùng Văn Đồng vì thầy đã tận tình hướng dẫn, chia sẻ những kinh nghiệm
qúy báu để tôi có thể dễ dàng tiếp thu và hoàn thành khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hoàng Ngọc Long và cô Nguyễn Thu
Hương đã truyền dạy cho tôi những kiến thức cơ bản nhất.
Xin cảm ơn qúy thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp đã
nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi.
Xin gửi lời cảm ơn đến qúy thầy cô trong khoa vật lý, trường đại học sư
phạm Hà Nội II đã truyền đạt cho tôi những kiến thức cơ bản nhất. Đó chính
là cơ sở, nền tảng để tôi hoàn thành khóa luận của mình.
Chân thành cảm ơn tới các anh chị lớp cao học vật lý lý thuyết tại Viện
vật lý đã tận tình hướng dẫn và cùng tôi trao đổi những kiến thức đã học và
các vấn đề trong cuộc sống.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn đến các thành viên trong gia đình
của tôi, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Nhung.
Nguyễn Thị Nhung
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1 : NHÓM LIE ............................................................................. 6
1.1. Nhóm Lie ................................................................................................ 6
1.2. Phương pháp weight cho SU(2) ............................................................ 13
1.3. Phương pháp tensor cho SU(3) ............................................................. 18
1.4. Phương pháp bảng Young cho SU(N) .................................................. 22
CHƢƠNG 2 : ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ MẪU QUARK .......................... 31
2.1. Đối xứng với nhóm giao hoán U(1) ...................................................... 31
2.2. Đối xứng chuẩn với nhóm không giao hoán SU(2) .............................. 36
2.3. Mẫu quak............................................................................................... 40
2.4. Nhóm SU(3) trong tương tác mạnh (QCD) .......................................... 43
CHƢƠNG 3 : MÔ HÌNH CHUẨN .............................................................. 47
3.1. Nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L U(1)Y ................................................. 47
3.2. Toán tử điện tích và siêu tích yếu ......................................................... 48
3.3. Biến đổi chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y ............................................................ 50
KẾT LUẬN .................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 53
Nguyễn Thị Nhung
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
MỞ ĐẦU
Kể từ khi có nền văn minh nhân loại, con người đã rất tò mò, hiếu kỳ trước
thế giới tự nhiên. Họ dần dần hiểu được những quy luật đơn giản như ngày đêm,
tháng và năm. Họ cũng hiểu được sự chuyển hoá của vật chất từ dạng này sang
dạng khác, như mộc sinh hỏa, hỏa sinh thổ v.v. Nhận thức của con người dần
dần rộng hơn, sâu sắc hơn phản ánh đúng hiện tượng hơn. Một điều không thể
phủ nhận, xã hội phát triển mạnh như ngày nay chính nhờ vào những nhận thức
đó, những sáng chế đó. Đây cũng là yếu tố cổ vũ, thúc đẩy con người chinh phục
và không khuất phục trước những bí ẩn của vũ trụ. Những câu hỏi về tự nhiên đã
được đúc kết lại: “ Cái gì cấu thành nên vũ trụ? Luật cơ bản nào tri phối vận
động nào của nó? Nguồn gốc của vũ trụ là gì? Nó kết thúc không? Tại sao chúng
ta xuất hiện? ’’ Nếu như trưóc kia chúng chỉ tồn tại trong triết học với những mô
tả định tính, đôi khi cảm tính, thì ngày nay chúng được trả lời bằng những khoa
học chính xác – hạt nhân của khoa học chính xác đó là Vật lý học.
Trước hết, ta biết rằng vũ trụ này gồm các hạt vật chất thông thường như
lepton, quark và các hạt truyền tương tác giữa chúng: photon cho tương tác điện
từ,W,Z cho tương tác yếu, gluon cho tương tác mạnh và gravito cho tương tác
hấp dẫn. Yếu tố đặc biệt còn lại là hạt Higgs khối lượng cho mọi hạt khác. Ba
tương tác đầu tiên được mô tả thành công bởi mô hình chuẩn và làm việc ở
thang vi mô như phân tử, nguyên tử, hạt nhân, các hạt cơ bản. Tương tác hấp dẫn
được mô tả thành công bởi thuyết tương đối rộng ở thang vĩ mô như trái đất, mặt
trời, sao, thiên hà khi các hạt cơ bản cô đặc. Có một điều ta chưa hiểu tường tận
là vật chất ngày nay chỉ cấu thành từ các hạt, không có bằng chứng cho phản vật
chất được cấu thành từ các phản hạt, gọi là vấn đề bất đối xứng vật chất – phản
vật chất (vì theo mô hình chuẩn số hạt phải bằng số phản hạt ). Ngoài ra, vật chất
Nguyễn Thị Nhung
1
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
thông thường chỉ tồn tại dưới dạng thiên hà, tinh vân, neutrino, bức xạ và chiếm
chỉ khoảng 5
thành phần vật chất vũ trụ.
Còn hai loại vật chất khác chiếm đến 95
thành phần vật chất vũ trụ là vật
chất tối và năng lượng tối, không có trong và cũng không được mô tả bởi các lý
thuyết chính thống của chúng ta, mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng (không
kể hằng số vũ trụ ).Vật chất tối (chiếm 25
vật chất vũ trụ) đổ đầy các thiên hà
và mở rộng ra vỏ ngoài thiên hà ở một thang lớn. Chúng trung hoà điện, không
hấp thụ và bức xạ ánh sáng. Hiệu ứng mạnh nhất là thông qua tương tác hấp dẫn
và có thể được ghi nhận thông qua năng kính hấp dẫn. Chúng gây nên sự phân
bố vận tốc gần như không đổi của các sao khi quay quanh tâm thiên hà, và đây
chính là bằng chứng đầu tiên chúng ta biết về nó. Năng lượng tối choán đầy vũ
trụ, chiếm đến 70
vật chất vũ trụ. Một đặc tính của năng lượng tối là nó sẽ sinh
lực hấp dẫn là lực đẩy khi các thiên hà nằm trong đó. Điều này giải thích cho
hiện tượng các thiên hà đang dần xa nhau với vận tốc tăng dần (sự giãn gia tốc
của vũ trụ ), quan sát được hơn mười năm qua .
Hiểu biết của chúng ta được tổng kết ở mô hình chuẩn và thuyết tương đối
rộng - những nền tảng cơ xở của vật lý hiện đại. Vì vậy, trước hết chúng ta hãy
điểm qua những học thuyết này. Có ba yếu tố cơ sở hình thành nên mô hình
chuẩn là 1) Đối xứng chuẩn , (2) phá võ đối xứng tự phát , và (3) mẫu quark .
Đối xứng chuẩn Abelian U(1) cho tương tác điện từ được ghi nhận trực tiếp
từ điện động lực Maxwell như một hệ quả do Weyl (1918)và Pauli (1941). Điện
động lực học vì vậy ẩn ý rằng đối xứng chuẩn chính là ngôn ngữ của các tương
tác cơ bản . Thực vậy , năm 1954 Yang và Mills đã xây dựng thành công lý
thuyết chuẩn dựa trên nhóm không Abelian. Đối xứng chuẩn của mô hình chuẩn
SU(3) ⨂ SU(2) ⨂ U(1) cho ba tương tác điện từ , yếu và mạnh là hệ quả của
những phát minh đó .Tương tự ,thuyết tương đối rộng cho tương tác hấp dẫn
Nguyễn Thị Nhung
2
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
chính là một lý thuyết chuẩn dựa trên hình học Riemann được xây dựng năm
1916 bởi Einstein . Một đặc tính của lý thuyết là các trường truyền tương tác
không có khối lượng do bất biến chuẩn . Điều này tốt cho tương tác điện từ,
mạnh và hấp dẫn. Tuy nhiên, tương tác yếu là tương tác tầm gần, các hạt truyền
tương tác W, Z phải có khối lượng lớn. Làm sao sinh khối lượng cho W,Z mà
vẫn bảo toàn đối xứng chuẩn.
Khó khăn đó được khắc phục bởi hiện tương phá vỡ đối xứng tự phát cholý
thuyết chuẩn, thông qua cơ chế Higgs. Đối xứng chuẩn là đối xứng của
Lagrangian không phải đối xứng của chân không. Trường vô hướng thực hiện
phá vỡ đối xứng gồm hai phần, phần thực và phần ảo. Phần thực, gọi là hạt
Higgs, sẽ có trung bình chân không và cho khối lượng đến mọi hạt khác kể cả
boson chuẩn khi chúng tương tác với Higgs. Khi boson chuẩn nhận khối lượng,
số bậc tự do của nó tăng từ 2 lên 3. Bậc tự do mới, thành phần dọc của trường
chttuẩn, chính là phần ảo của trường vô hướng hạt Goldstone. Ta nói boson
chuẩn ăn hạt Goldstone, khắc phục khó khăn của định lý Goldstone cho lý thuyết
với đối xứng toàn cục.
Những năm 1961-1964 là những năm có ý nghĩa nhất đối với sự phát triển
của tương tác mạnh thứ mà gắn kết proton và neutron cấu thành nên hạt nhân.
Gell- Mann, Ne’eman, Nishijima và Zweig đã khám phá ra rằng các hardron
trong đó có proton, neutron và meson được cấu thành và được phân loại bởi các
hạt cơ sở hơn gọi là quark. Một năm sau, năm 1965, người ta nhận ra rằng các
quark phải có thêm một số lượng tử mới (gọi là mầu) như biểu diễn cơ sở của đối
xứng chuẩn mới SU(3)C. Lý thuyết tương tác mạnh QCD giữa các quark thông
qua hạt truyền tương tác gluon ngay sau đó hình thành. Vì các hadron không có
màu tích, baryon xây dựng từ 3 quark và meson từ 2 quark sao cho bất biến với
nhóm màu. Các đặc tính của QCD là khi các quark gần nhau chúng coi như
Nguyễn Thị Nhung
3
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
không tương tác (tiệm cận tự do ), khi chúng xa nhau cỡ bán kính hạt nhân tương
tác trở nên cực kỳ mạnh. Thực tế các quark chỉ tồn tại trong các hadron, không
có quark tự do và điều này cũng đúng cho gluon, gọi là hiện tượng cầm tù quark.
Lực hạt nhân chính là tàn dư của tương tác mạnh, gọi là lực London, mặc dù các
nucleon thung hoà mầu, tương tự lực liên kết phân tử Wanderwalls
Mô hình chuẩn với hai phần cơ sở là lý thuyết điện yếu GWS (SU
⨂
U(2)Y) và sắc động lực học QAD (SU(3)C) với đối xứng chuẩn SU(3)C⨂ SU(2)L
⨂ U(2)Y. Các fermion được xếp theo thế hệ: thế hệ 1gồm
gồm
, μ, c, s và thế hệ 3 gồm
, e, u, d, thế hệ 2
, , t, b. Mỗi fermion có hai thành phần: phân
cực trái và phân cực phải .Riêng neutrino chỉ có phân cực trái. Các thành phần
trái phải là cấu thành cơ sở của mô hình chuẩn: hạt trái được xếp vào lưỡng
tuyến SU(2)L, trong khi hạt phải là đơn tuyến của nhóm này. Các quark nằm
trong tam tuyến của SU(3)C, trong khi lepton là đơn tuyến. Siêu tích yếu Y = Q , trong đó
isospin yếu và Q là điện tích. Phá vỡ đối xứng điện yếu và sinh
khối lượng được thực hiện thông qua cơ chế Higgs với một lưỡng tuyến vô
hướng
,
,𝑣+H+i
)
thành SU(3)C⨂ SU(2)L⨂ U(2)Y
. Khi này, đối xứng chuẩn bị phá vỡ
SU(3)C⨂ U(1)Q. Các hạt truyền tương tác yếu
, Z cà fermion (trừ neutrino) nhận khối lượng tỉ lệ với 𝑣 thông qua tương tác
với H. Phhoton gắn với U
không.
và
và các gluon gắn với SU
có khối lượng bằng
là các hạt Goldstone có khối lượng bằng không và bị ăn bởi các
boson chuẩn khối lượng
và Z (chúng không phải là hạt vật lý ). Hạt Higgls
H là hạt vật lý đã được tìm thấy trong thực nghiệm LHC năm 2012 với khối
lượng 125 Gev. Mô hình chuẩn với ba thế hệ fermion cùng với các hạt truyền
tương tác mạnh, yếu, điện từ và hạt sinh khối lương H giải thích mọi hiện tượng
vi mô liên quan đến 5
cao, hơn 99
vật chất thông thường của vũ trụ với độ chính xác rất
so với giá trị thực nghiệm. Kết hợp với tương tác hấp dẫn tác dụng
Nguyễn Thị Nhung
4
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
của thang vĩ mô, mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng là hai trụ cột của vật lý
hiện đại, mô tả thành công vật lý từ thang hạt cơ bản đến vũ trụ tổng thể .Vừa
qua,năm 2013,giải Nobel đã chao cho Higgs và Englert vì đã phát minh ra Higgs
năm 1964. Ngoài việc sinh khối lượng,Higgs còn có ý nghĩa sau : tiến hoá của vũ
trụ kể từ sau bigbang sẽ theo cách mà sự sống xuất hiện. Không có Higgs sẽ
không có chúng ta như ngày nay. Nhằm phần nào tìm hiểu các lý thuyết nói trên,
trong luận văn này em sẽ đề cập về lý thuyết nhóm liên tục, nhóm Lie, và ứng
dụng của nhóm Lie trong mô hình xây dựng các mô hình thống nhất tương tác.
Tên đề tài được chọn là: “ Ứng dụng của nhóm Lie trong các mô hình thống nhất
tương tác’’.
Nguyễn Thị Nhung
5
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
CHƢƠNG 1 : NHÓM LIE
Phần này tôi giới thiệu chung về các khái niệm nhóm Lie như vi tử của
nhóm, biểu diễn nhóm và xây dựng đại số Lie về mối quan hệ giữa các vi tử qua
hằng số cấu trúc của nhóm. Từ hằng số cấu trúc lại xây dựng được một biểu diễn
gọi là biểu diễn phó tác động lên không gian vi tử. Lại áp dụng đại số Lie và biểu
diễn phó cho các nhóm unita chéo hoá ma trận đó, và yêu cầu tất cả các trị riêng
của toán tử chéo xác định dương sẽ xây dựng được đại số Lie compact tiện lợi
với các biểu diễn đơn giản. Sẽ lấy ví dụ cụ thể cho các nhóm SU(2), SU(3).
1.1. Nhóm Lie
1.1.1. Định nghĩa
Xét nhóm vô hạn , các yếu tố nhóm
là khả vi liên tục theo các tham
số độc lập
,
Trong đó ta quy ước ứng
{
,
,
,
}
coi là yếu tố đơn vị của nhóm vô hạn.
với
Khi đó biểu diễn của nhóm gồm các toán tử tuyến tính cũng tham số hóa theo
cùng cách đó gọi là toán tử đơn vị.
với
Ta sẽ chỉ ra biểu diễn của nhóm vô hạn có thể được tham số hóa thành dạng lũy
thừa.
(*)
Trong đó ta định nghĩa:
với
Trong đó
, , ,
..,
là vi tử của nhóm và Lie đã chứng minh được rằng tham số hóa lũy
thừa đúng cho mọi biểu diễn với mọi hữu hạn và đúng cho các nhóm trừu tượng,
nên các nhóm loại này gọi chung là nhóm Lie.
Xét 1 lân cận đủ nhỏ
Nguyễn Thị Nhung
quanh , ta có thể khai triển Taylor:
6
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Nếu
Khoa Vật Lý
hữu hạn, ta chia
đoạn bằng nhau
thành
[
]
thì:
i
Nhóm Lie là nhóm liên tục, tức là các yếu tố nhóm đóng kín
tùy ý) khi
(gần nhau
đóng kín. Và các biểu biễn của yếu tố nhóm cũng sẽ đóng kín, tức là
với
thì
Như vậy, nếu
, ta nói nhóm
liên tục và khả vi theo
đến mọi cấp, hay
giải tích theo
là nhóm Lie. Trong tài liệu người ta gọi đơn giản nhóm Lie là
nhóm liên tục.
Ví dụ cho nhóm SU(N):
SU(N) gồm các ma trận unita với det=1 tạo thành một nhóm.
Tính đóng kín:
,
,
,
,
Xét:
.
. .
Đóng kín:
+)
+)
+)
( unita và
mà
)
và
,
Nguyễn Thị Nhung
7
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
(
Khoa Vật Lý
là nghịch đảo của
)
Tính chất của nhóm SU(N):
U11 U12
U = U 21 U 22
U
N1 U N 2
U1 N
U2N
U NN
+) Số tham số thực: 2N2
, N2 phương trình biến thực
+) Điều kiện Unita:
+) Điều kiện det = 1 một phương trình biến thực
Số tham số thực độc lập : 2N2 – N2 – 1 = N2 – 1
Số vi tử: N2 – 1
Vậy với cách tham số hóa lũy thừa như trên thì mối quan hệ giữa các vi tử tương
ứng là như thế nào? Để biết được điểu đó, ta sẽ tìm hiểu đaị số Lie.
1.1.2. Đại số Lie
Ta sẽ chứng minh được với là hằng số cấu trúc của nhóm Lie.
Chứng minh:
Theo luật nhân nhóm:
Xét , , đủ nhỏ, lấy ln hai vế ta có:
(
[
Nguyễn Thị Nhung
)
n
][
]
8
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Ta có:
[
]
Mà:
[
Hay:
,
]
[
,
]
,
,
,
Hệ thức đúng cho mọi hệ số , , bất kỳ
Đặt tương ứng:
[
,
]
[
,
]
Trong đó:
là hằng số cấu trúc của nhóm, có tính phản đối xứng theo ,
1.1.3. Biểu diễn phó
Bản thân các vi tử, hay nói cách khác là hằng số cấu trúc sẽ sinh ra một biểu
diễn tác động lên không gian biểu diễn của các vi tử
[ ,
Ta hoàn toàn chứng minh được: [ ,
gọi là biểu diễn phó.
]
]
Chứng minh:
Nguyễn Thị Nhung
9
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Từ đồng nhất thức Jacobi:
,[
[
]]
,
,[
[
]]
,
[
[
,
,[
[
]
]]
,
,[
[
,[
[
]]
,
,
[[
]
]]
,
,
],
]
,
]
[
Xét:
[ ,
]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
à
[ ]
[
,
]
[
,
]
[
]
Vậy ta có điều phải chứng minh
1.1.4. Đại số Lie compact
Vết của tích 2 biểu diễn phó có thể chéo hóa và giả sử rằng các trị riêng của toán
tử chéo xã định dương và chọn để bằng
thì định nghĩa được đại số Lie
compact.
,
Để chứng minh
ta có:
Nguyễn Thị Nhung
10
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
,
Xét
với các nhóm unita, trong đó
, có thể chéo hóa,
là số thực, và đối xứng theo
là ma trận unita.
tác động trong không gian N chiều. Để tìm
xét sự thay đổi của các không gian vi tử
(biểu diễn phó bị thay đổi) ta
tác động lên đó thông
vì ma trận
qua hằng số cấu trúc.
L: là ma trận chuyển cơ sở
L
[
]
,
[
,
[
]
]
[
[
]
]
[
]
Như vậy, ta đã chéo hoá được ma trận
,
,
,
⨂ dạng chéo. Trong đó
là các trị riêng của .
, , ,
+ Nếu mọi
về ma trận
,
thì có thể chọn để mọi
, lúc này ta có đại
số Lie compact:
Ví dụ: Nhóm SU(N), SO(N) thuộc loại này
+ Nếu tồn tại một
thì đại số Lie không compact
và một
Ví dụ: Nhóm Lorentz O(1,3), O(N)
+ Nếu tồn tại
thì chuẩn của vi tử tương ứng triệt tiêu
,
Ví dụ: Nhóm Abelian
+ Nếu
thì
Vậy chỉ cho chuẩn của vi tử về λ, không đổi dấu của
Nguyễn Thị Nhung
11
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
1.1.5. Đại số Lie đơn và nửa đơn
a) Đại số đơn và nhóm nửa đơn
Trước khi định nghĩa đại số đơn, ta có khái niệm đại số con bất biến.
Cho đại số Lie gồm các vi tử { } . Một tập hợp con { }của { }gọi là đại số con
bất biến nếu có thành chính nó khi giao hoán với một vi tử bất kỳ thuộc { }. Tức
là:
{ , }
{ }
Một đại số Lie gọi là đơn nếu nó không có đại số con bất biến nào khác
chính nó và { }, tức là không tồn tại số con không tầm thường. Từ đây ta có định
nghĩa của nhóm đơn là không tồn tại nhóm con bất biến không tầm thường. Ví
dụ SU(N) là nhóm đơn vì tập hợp các vi tử cuả nhóm {
}tạo thành đại số đơn.
SO(3) đẳng cấu với SU(2) cũng là một đại số đơn. Nhưng nhóm SO(4) chứa
nhóm con bất biến là SO(3) thì lại không phải là nhóm đơn.
b) Đại số nửa đơn và nhóm nửa đơn
Trước khi định nghĩa đại số nửa đơn ta có khái niệm đại số con bất biến giao
hoán (abelian)
Cho đại số Lie gồm các vi tử { }. Nếu tồn tại một vi tử N mà giao hoán với mọi
vi tử còn lại thì bản thân N tạo thành một đại số con bất biến gọi là đại số con bất
biến abelian [
,
]
. Nhóm mà có duy nhất một vi tử như thế chính là
nhóm U(1), tương ứng với phép biểu diễn
gọi là thừa số abelian.
Một đại số Lie { }gọi là nửa đơn nếu nó không có đại số con bất biến abelian
nào kể cả chính nó. Bởi vì nếu có đại số đó cũng sẽ giao hoán với mọi vi tử khác
của nhóm. Như vậy không gian toàn bộ đại số lại có thể tách thành tổng trực tiếp
của các không gian của đại số đơn, bởi:
{ }
Nguyễn Thị Nhung
{ }
{ }
.
12
{ }
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Và nhóm nửa đơn sẽ là tích trực tiếp của nhóm đơn.
Ví dụ SU(3) ⨂ SU(2) là nhóm nửa đơn.
c) Định lý tổng quát
Mọi nhóm Lie đều viết được thành tích trực tiếp của các nhóm đơn và thừa số
abelian.
Ví dụ mô hình chuẩn chính là một nhóm Lie tổng quát.
⨂
⨂
Nhóm nửa đơn đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý lượng tử, đặc biệt là ứng
dụng mô tả vật lý hạt. Bởi khi thống nhất các tương tác cần mở rộng nhóm đối
xứng chuẩn bao gồm một tập hợp các vi tử mà có thể không có nhóm đơn nào
đáp ứng. Ví dụ thống nhất tương tác điện – yếu cần 4 vi tử buộc ta phải sử dụng
tích trực tiếp của
và
. Khi đó, sử dụng nhóm nửa đơn là phương
pháp đơn giản nhất.
1.2. Phƣơng pháp weight cho SU(2)
Muốn tìm các biểu diễn của nhóm Lie, ta bắt đầu với các biểu diễn của đại số
Lie cuả nhóm, sau đó chuyển sang các biểu diễn của nhóm bằng cách tham số
hóa lũy thừa. Việc xây dựng các biểu diễn bất khả quy của đại số Lie bắt đầu xây
dựng một không gian biểu diễn mà có thể thực hiện nhờ các toán tử sinh hủy
hoặc các vi tử nâng hạ wieght. Các vi tử nâng hạ wieght lại được xây dựng chính
từ vi tử của nhóm không phải vi tử cartan. Chú ý SU(2) là thuộc nhóm unita nên
vi tử biểu diễn được chọn sẽ là hermitian.
Sau đây tội sẽ trình bày phương pháp weight để xây dựng biểu diễn của nhóm
Lie compact đơn giản nhất SU(2).
1.2.1. Vi tử Cartan
Nguyễn Thị Nhung
13
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Trước tiên cần phải nói về đại số cartan, là đại số bao gồm những vi tử đôi
một có thể chéo hoá. Vật lý cần những vi tử như thế để mô tả cho các đại lượng
đo được. Nhóm SU(N) có N2 – 1 vỉ tử thì có N – 1 vi tử cartan. SU(2) có 3 vi tử,
trong đó có 1 vi tử cartan, do đó 3 vi tử đôi một không giao hoán nhau [
Gọi
là vi tử chéo của SU(2). Ta có:
m
,
]
mm
1.2.2. Vi tử nâng hạ wieght
Xét biểu diễn định nghĩa của SU(2), là biểu diễn có số chiều bằng chiều của
nhóm, tức là sẽ xây dựng các ma trận biểu diễn
của các vi tử. Các biểu
diễn khác có thể suy ra từ biểu diễn định nghĩa. Như vậy
sẽ có hai trị riêng
ứng với 2 vectơ riêng có thể chọn làm vecter cơ sở của biểu diễn.
Ta đưa ra một số khái niệm:
- Các trị riêng của vi tử chéo gọi là weight m
- Các vecter riêng của vi tử chéo gọi là vecter weight
m
- Trị riêng lớn nhất của vi tử chéo gọi là hight weight, ta ký hiệu là
a)Vi tử nâng hạ wieght
Trong cơ sở mà chéo hóa thì ta định nghĩa các vi tử nâng hạ
,
như sau.
√
Ý nghĩa vật lý của các vi tử nâng hạ trong cơ học lựơng tử chính là toán tử nâng
hạ spin, còn trong mô hình chuẩn thì chúng là vi tử của các boson chuẩn
Từ đại số của nhóm SU(2) ta chứng minh được:
[
Nguyễn Thị Nhung
,
]
14
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Sử dụng các biểu thức trên ta lại chỉ ra được
của
ứng với trị riêng
m cũng là một vecter trị riêng
lại là trị riêng ứng với các vectơ
. Mà
m 1 . Vậy nên
m 1
m
Ta nhận thấy:
+ Các vi tử đã nâng weight lên một đơn vị
+ Các vi tử đã hạ weight xuống một đơn vị
Vậy, từ một vectơ m biết trước, sử dụng vi tử nâng hạ weight ta có thể tìm ra tất
cả các vectơ còn lại cuả không gian biểu diễn. Chỉ cần ta tìm được công thức
tính giá trị riêng của các vi tử nâng hạ weight.
b) Trị riêng của vi tử nâng hạ weight
Bởi vì làm việc với vi tử nâng và hạ là tương đương nên ta chọn vectơ riêng ứng
với weight cao nhất của vi tử chéo và sử dụng vi tử hạ để tìm các vectơ còn lại.
Dễ dàng chứng minh được:
j
√ j 1
Một cách tổng quát hơn:
jk
√
j k 1
c) Ma trận biểu diễn
Trước tiên ta đi tìm ma trận biểu diễn của biểu diễn không tầm thường đơn giản
nhất.
Ta sử dụng ký hiệu chuẩn jm cở sở trực chuẩn cho không gian biểu diễn spin
m trạng thái của xung lượng
Các yếu tố ma trận ứng với spin j có 2j+1 giá trị m: {j, j-1,…,1, 0, -1,…,-j}
Nguyễn Thị Nhung
15
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
có 2j+1 các trạng thái jj jj 1 ... j 0 ... j j
Chiều của biểu diễn
Không gian biểu diễn:
.
(
.
)
.
Ta có một số công thức hay sử dụng:
jm 1
jm
jm '
jm
,
jm 1
jm
jm '
jm
,
1.2.3. Ứng dụng phƣơng pháp weight với SU(2)
Biểu diễn định nghĩa của SU(2) chính là biểu diễn trong không gian 2 chiều với
nên, ta có các trạng thái weight
1 1 1 1
. Ta cũng hoàn toàn làm phương
,
22 2 2
1
2
pháp weight được với spin1, spin ,….và tổng quát cho cả đại số cartan.
Mục đích của weight:
- Xây dựng không gian biểu diễn
- Xây dựng biểu diễn bất khả quy
1
2
1
2
Ví dụ, cụ thể tìm yếu tố ma trận của spin , spin có hai trạng thái
1 1 1 1
, ,
22 2 2
kỳ vọng ma trận biểu diễn là ma trận Pauli
+ Tìm
:
Nguyễn Thị Nhung
16
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
11
11
1
1
X3
X 3 1 1
22
22
2
2
22
11
1 1
X3
0 X 3 1 1 0
2 2
2 2
Ta có: 2 2
1 1
11
X3
0 X 3 1 1 0
2 2
22
2 2
1 1
1 1
X2
0 X 3 1 1 0
2 2
2 2
2 2
(
Vậy:
+ Tìm
)
sử dụng công thức: jm '
jm
,
Ta có:
11 11
1
X
1 1 0 X 1 1 0
22
22
2 22
2 2
1 1 1 1
1
1
1
X
1 1
X 1 1
2 2
22
2 22
2
2
2 2
1 1 1 1
X
0 X 1 1 0
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
X
0 X 1 1 0
22
2 2
2 2
(
Vậy:
) là ma trận chỉ số
√
+ Tìm
sử dụng công thức: jm '
jm
,
11 11
X
0 X 1 1 0
22
22
22
1 1 1 1
1
1
1
X
1 1
X 1 1
Ta có:
22
2 2
2 22
2
2
2 2
1 1 1 1
X
0 X 1 1 0
2 2
22
2 2
(
Vậy:
Tìm
,
√
)là ma trận nâng chỉ số
:
Nguyễn Thị Nhung
17
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
(
√
)
(
√
)
1.3. Phƣơng pháp tensor cho SU(3)
Ở phần này tôi trình bày về phương pháp tensor, bao gồm xây dựng các biểu
diễn cao chiều từ việc lấy tích tensor của các biểu diễn cơ sở, biểu diễn liên hợp
và ngược chiều, tách biểu diễn nhìn chung không bất khả quy của các tích tensor
này thành tổng của các biểu diễn bất khả quy thành phần. Tôi sẽ làm cụ thể cho
SU(3).
1.3.1. Tích tensor
Xét
,
là hai biểu diễn của
ứng với biểu diễn N chiều với các vectơ cơ sở i , i 1,...., N
ứng với biểu diễn M chiều với các vectơ cơ sở x , x 1,...., M
Vậy, tích tensor ứng với vectơ cơ sở ix i x , và tích tensơ ứng với biểu diễn
chiều.
⨂
ix
i x
a) Biểu diễn tích tensor
Từ tích trực tiếp của một nhóm:
⨂
ix
đó minh họa cho nhóm SU(2) mà
i x thì ta có thể biểu diễn nào
từ đó, ta có biểu diễn tích tensor
như sau:
jy
Nguyễn Thị Nhung
⨂
ix
j
i
18
y
x
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
[
]
⨂
[
,
] [
]
Ta khai triển vô cùng bé (chỉ giữ lại bậc nhất) ta có, công thức tổng quát:
⨂
[
]
[
,
]
[
]
Tích tensor hay tích biểu diễn chính là cộng vi tử.
Vi tử tác động lên không gian tích tensor bằng tổng các vi tử tác động lên không
gian thành phần.
i x
( i ) x
i (
x )
Ví dụ tìm ⨂ cho SU(2)
Biểu diễn 2 của SU(2) ứng với biểu diễn spin
Biểu diễn 3 của SU(2) ứng với biểu diễn spin
1
2
spin : có hai trạng thái
1 1 1 1
,
22 2 2
spin1 : có ba trạng thái 11 , 10 , 1 1
Tích tensor:
1
m 1m '
2
1
1
m 1m ' có weight cao nhất là
2
2
+ Trạng thái với weight cao nhất:
33
11
11
22
22
(1)
+ Dùng toán tử X tìm các trạng thái còn lại:
Ta có: X
33
11
11
X
11
X 11
22
22
22
3 31
1 1 1
11
11
10
2 22
22
2 2 2
31
1 1 1
2 11
11
10
22
3 22
3 2 2
Nguyễn Thị Nhung
(2)
19
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Ta có: X
Khoa Vật Lý
31
1 1 1
2 11
X
11
X
10
22
2 2
3
22
3
31
1 1 1
2 11
2 11
X 11
X 10
X
10
22
3
22
3 22
3 2 2
31
1 1 1
2 1 1 1
2 11
2
10
10
11
22
3 2 2 2
3 22
3 2 2
X
3 1
2 1 1
1 11
10
1 1
2 2
3 2 2
3 22
Ta có: X
3 1
2 1 1
2 2
3 2 2
X
(3)
10
1 11
X
1 1
22
3
3 3 3
2 1 1
1 1 1
11
11
2 2 2
3 2 2
6 2 2
3 3
1 1
1 1
2 2
2 2
(4)
3
2
Biểu diễn bốn chiều của spin với bốn vectơ của biểu diễn tensor đôi một trực
giao nhau.
1.3.2. Tích tensor của SU(3)
SU(3) có hai biểu diễn cơ bản,
sở. Từ đó ta lấy tích tensor
⨂
là biểu diễn cơ sở và
,
trong đó,
là biểu diễn phản cơ
⨂
sinh ra mọi
biểu diễn khác nhau, mọi biểu diễn có thể xác định theo các biểu diễn cơ bản.
+ Biểu diễn cơ sở:
1
3
2
3
1 3
2 6
1 3
2 6
3
0
3
Nguyễn Thị Nhung
20
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Ta có:
Khoa Vật Lý
i
j
j
i
j
[ ]
i
[ ]
j
j
j
+ Biểu diễn liên hợp:
*
2
3
1 3
2 6
1 3
2 6
3
0
3
1
3
i
i
Ta có:
i
[
i
j
j
]
⨂
+ Biểu diễn tích tensor của
i1
i2
i3
......
j1
j3
j2
in
n
Ta có: X a
X
j1 j2 ... jm
i1i2 ...in
k 1
i1
n
j1 j2 .... jm
a i1i2 ...in
k 1
i
......
jm
.... X a
ik
j1 j2 ... jm
i1i2 ...in
m
in
....
jm
k 1
m
j1 j2 ..... jm
i1i2 ..... ik 1 ik 1 .... in
X a i
k
k 1
j1 .... jk 1 ik 1 ...in
i1i2 ....in
i1
....
Xa
j1
in
.... X a
jk
....
jm
jk
Kết luận: Các tích tensor nhìn chung là không bất khả quy, có thể tách tích tensor
thành các biểu diễn bất khả quy.
1.3.3. Ví dụ tìm
⨂ , ⨂ *cho SU(3)
a) ⨂ ta có thành phần tensor
vàcó thành phần tensor
⨂ có thành phần tensor
có số chiều biểu diễn là 9 (khả quy)
Viết lại:
(
)
Biểu diễn bất khả quy 6 chiều đối xứng (2,0)
Nguyễn Thị Nhung
21
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Biểu diễn bất khả quy chiều phản đối xứng (0,1)
Vậy: ⨂
⨂
,
b) có thành phần tensor
có thành phần tensor
⨂
Vậy: ⨂
1.4. Phƣơng pháp bảng Young cho SU(N)
Ở cuối của phần này là phương pháp bảng Young. Ta biết rằng các biểu diễn
bất biế khả quy của nhóm unita có thể thực hiện bằng bằng bảng Young. Các
tensor hoàn phản xứng và không vết cũng sẽ cho một bảng Young. Vậy thay vì
biểu diễn tích tensor phức tạp ta sẽ đưa về biểu diễn dạng bảng Young với những
quy tắc nhân bảng Young đơn giản tiện lợi hơn.
1.4.1. Bảng Young
a. Nhóm SU(3)
Ta thấy SU(3) có hai biểu diễn cơ bản ,
ra biểu diễn bất kỳ
. Từ hai biểu diễn cơ bản có thể sinh
,
⨂
đối xứng theo và phản đối
xứng theo , chứa mọi biểu diễn cần tìm.
Đối xứng hóa các chỉ số thích hợp sẽ cho biểu diễn bất khả quy tương ứng.
.
Cho tensor tổng quát:
.
.
biến đổi như V
Tính chất của
đối xứng theo các cặp
Nguyễn Thị Nhung
,
,
đối xứng theo ℓ
22
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
phản đối xứng theo mỗi cặp
,
, phản đối xứng theo ℓ
Để rút các biểu diễn tensor này về biểu diễn bất khả quy ta làm như sau:
Tìm biểu diễn bất khả quy của
với weight cao nhất.
Đối xứng theo , đối xứng theo
Phản đối xứng theo
.
Đối xứng không vết:
.
Vế trái với điều kiện không vết:
Vế phải với điều kiện không vết:
đối xứng theo
(một tensor luôn biểu diễn được thành một đối xứng và
mà
phản đối xứng)
Một tensor như thế này đối xứng theo và đối xứng theo cặp
,
, phản đối xứng theo
,
,
đối xứng theo
, không vết tự động thoả mãn sẽ cho một
bảng Young.
Biểu diễn bất khả quy qua bảng Young
Các cặp phản đối xứng tương đương xếp vào một cột.
Những đơn i cunxg là cột, nhưng chỉ 1 ô (giữa i và các cặp là đối xứng nên đặt i
tương đương k là đủ)
Đối xứng theo các ô trên hàng, phản đối xứng theo các ô trên cột.
b) Quy tắc tính chiều biểu diễn bất khả quy của một bảng Young
Nguyễn Thị Nhung
23
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
+ Chọn ô gốc là N trên cùng bên trái, sang phải tăng một đơn vị, xuống dưới trừ
một đơn vị.
+ Chiều của biểu diễn:
Ví dụ:
Chiều biểu diễn của SU(3)
3
4
2
. .
. .
3
4
.
Chiều biểu diễn của SU(5)
5
6
.
Nguyễn Thị Nhung
⨂
24
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
5 6
4
3
2
. . . .
. .
⨂
⨂
1.4.2. Quy tắc nhân bảng Young
Bảng Young cho một biểu diễn bất khả quy bất kỳ từ biểu diễn cơ bản.
Cho hai bảng 2 biểu diễn bất khả quy ,
Để tính
⨂ ta có quy tắc:
Bước 1:
Nhặt mọi ô trên hàng thứ nhất của
Nhặt mọi ô trên hàng thứ hai của
là
là
(Tất cả các ô trên một hàng là như nhau)
Bước 2:
Nhặt mọi
hàng 1 đặt vào
theo bên phải và ở dưới ,không có hai ô trên 1 cột
cùng số ,vì sự phản đối xứng sẽ làm nó triệt tiêu .Vậy bảng thu được là bảng
chuẩn.
Các ô trên hàng không tăng khi sang phải
Bước 3:
Nguyễn Thị Nhung
25
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Nhặt mọi
Khoa Vật Lý
đặt vào kết quả của bước 2
Bước 4:
Đọc các nhãn ,
từ phải sang trái theo hàng, và từ trên xuống dưới theo cột là
một nhóm hoán vị mạng ( số
số )
1.4.3. Ví dụ đối với SU(3) và SU(5)
a) SU(3)
⨂
⨂
⨂
⨂
Ta thấy: 3
(1,0) 6
(2,0)
3* (0,1) 6* (0,2)
3
8
10
(1,1)
(3,0)
(1 ô,0 cột)
Nguyễn Thị Nhung
26
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
3*
Khoa Vật Lý
(0 ô, 1 cột)
6
(2 ô lẻ,0 cột phản đối xứng)
6*
(0 ô lẻ,2 cột phản đối xứng)
8
(1 ô lẻ,1 ô phản đối xứng)
(3 ô lẻ,0 cột phản đối xứng)
10
1
(0 ô lẻ)
Nguyễn Thị Nhung
27
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
⨂
=
Khoa Vật Lý
Loại (b,a)
(a,b)
Loại (b,a)
⨂
*
(a,b)
Hoán vị mạng phải được thỏa mãn số b > số a
⨂
⨂
*
=
=
Nguyễn Thị Nhung
28
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
⨂
⨂
=
Nguyễn Thị Nhung
29
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
b) SU(5)
Có bốn biểu cơ bản:
(biểu diễn bất khả quy 10 chiều)
(biểu diễn bất khả quy 10 chiều)
Một biểu diễn phó (24 chiều) bằng
⨂
=
Nguyễn Thị Nhung
30
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
CHƢƠNG 2 : ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ MẪU QUARK
Ở chương này tôi muốn đề cập đến trường hợp đối xứng chuẩn với nhóm
giao hoán U(1) và trường hợp đối xứng với nhóm SU(2). Trong lý thuyết chuẩn
thì đưa ra đạo hàm hiệp biến, từ đạo hàm hiệp biến đó sẽ xuất hiện các trường
chuẩn (hay gọi là hạt gauge boson) truyền tương tác, rồi xây dựng Lagrangian
bất biến mô tả tương tác. Trong vật lý nhóm U(1)Q mô tả được tương tác điện từ
(trong chuẩn QED), nhóm SU(3)C mô tả được trong tương tác mạnh (trong
QCD)
2.1. Đối xứng với nhóm giao hoán U(1)
2.1.1. Nhóm giao hoán U(1)
U(1) là nhóm biến đổi pha liên tục, góc pha của hàm sóng sin. Yếu tố U = e-iQx
là phép quay mặt phẳng phức hai chiều.
Trong đó: Q là vi tử duy nhất của U
Q
toán tử điện tích
=
Q̅ = - ̅
Trong điện động lực học, đại lượng bảo toàn là điện tích. Mà theo định lý
Noether “ Tính chất lagrangian bất biến dưới 1 phép biến đổi liên tục nào đó cho
phép suy ra tính chất bảo toàn của một đại lượng lực biến đổi theo thời gian”.
Vậy có thể dùng nhóm U(1) để mô tả điện động lực. U(1) phải là biến đổi định
xứ, vì mỗi điểm trong không gian hàm sóng electron biến đổi theo một định
hướng khác nhau,
= const thì U(1) toàn cục, α = α(x) thì U(1) định xứ
2.1.2. Xây dựng Lagrangian bất biến dƣới U(1) định xứ
Lagrangian tự do trường spinor
L0 = ̅ ( i
Nguyễn Thị Nhung
–m)
31
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Trong đó L0 bất biến dưới U(1) toàn cục, không bất biến dưới U(1) định xứ.
Ta có ̅̅̅i
’
̅i
do thành phần động năng chứa đạo hàm thông
thường ( đạo hàm trường tại các điểm khác nhau là khác nhau)
i
tại hai điểm
Phải chỉnh lại trường
điể
và
để đạo hàm tại hai
theo hai hướng khác nhau à như nhau có iên kết với nhau)
Ta đưa vào một trường liên kết
- trường vectơ
i
Trong đó:
được yêu cầu là biến đổi như toán tử trường
Langrangian của spinor bất biến dưới U(1) định xứ là:
LSQED = ̅
LSQED = ̅ (
Nguyễn Thị Nhung
)
̅
32
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Trong đó: ̅
̅
là thành phần tự do
là thành phần tương tác
Lagrangian toàn phần của lí thuyết QED:
(
LQED =
̅(
)
̅
)
(
)
2.1.3. Tensor cƣờng độ điện trƣờng
Tensor cường độ điện trường được định nghĩa như sau:
Ta sẽ chứng minh tensor cường độ trường chính là kết qủa của một độ sai lệch
khi đạo hàm theo hai hướng khác nhau.
,
[
,
[
Thật vậy: [
⦋
,
⦌
⦋
,
⦌
,
]=[ ,
]
=0
mà
=
]+
]
⦋ ,
⦌
⦋
,
⦌
⦋
,
⦌
2.1.4. Quy luật biến đổi của trƣờng chuẩn và tensor cƣờng độ trƣờng
Trước tiên ta xét quy luật biến đổi của
(
(
)
⦋(
)
, xuất phát từ quy luật biến đổi của
)
]
Quy luật biến đổi của
Nguyễn Thị Nhung
33
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Kết luận:
Khoa Vật Lý
bất biến dưới phép biến đổi định xứ U(1)
2.1.5. Lagrangian bất biến của trƣờng điện từ
với U(1) định xứ
Lgange = .
[
]
để thỏa mãn tính tái chuẩn hóa,
, để phương trình
chuyển động lagrange khớp với phương trình Maxwell.
Lgange =
0
Ex
E
y
Ez
Ex
0
Bz
By
Ey
Bz
0
Bx
Cần đưa vào số hạng cố định chuẩn LGF =
Ez
By
Bx
0
. Trường
đưa vào để duy
trì đối xứng gauge thì có bốn thành phần thực. Trong khi đó, trường điện từ - hạt
photon vật lí chỉ có hai trạng thái phân cực (2 trạng thái spin vật lí). Vậy “ Fixing
the gauge” là phương pháp phá vỡ đối xứng gauge trước đó ở trong lagrangian
(2 trạng thái mất đi tương đương hai ma trận xuất hiện).
là trường vectơ
không khối lượng buộc phải có điều kiện cố định chuẩn. Ngoài ra, từ lgauge ta
không tìm được hàm truyền của photon.
Lgauge =
Chuyển sang không gian xung lượng
∫
Toán tử
̃
không có nghịch đảo
Nguyễn Thị Nhung
]̃
[
ứng với trị riêng bằng 0
34
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
[
Lgauge + LFQ
Khi lượng tử hoá trường chuẩn bằng phương pháp tích phân phiếm hàm, với việc
đưa vào điều kiện cố định chuẩn (gauge fixing) đồng nghĩa với đưa vào tham số
chuẩn, đã xuất hiện số hạng ma.
∑ ̅
∫
[
,
] .
,
Trong đó: ̅
,
là các trường ma
Mà
∫
∑ ̅
[
]
,
Hàm trường của trường ma:
Nhận xét: Các trường ma chỉ tương tác với trường chuẩn. Các trường ma là
trường vô hướng nhưng tuân theo các hệ thức phản giao hoán (tuân theo phân bố
Fecmi)
̅
Lint =
Nguyễn Thị Nhung
̅
35
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Với lí thuyết QED dùng nhóm U(1)Q thì
chính là điện tích của trường
2.2. Đối xứng chuẩn với nhóm không giao hoán SU(2)
2.2.1. Nhóm không giao hoán SU(2)
Nhóm SU(2) gồm các ma trận ⨂ với det U =1 và quy tắc nhân nhóm là phép
nhân ma trận.
Xét biểu diễn định nghĩa của nhóm SU(2) thì phép biến đổi SU(2) có dạng
, ,
là vi tử của nhóm SU(2), trong đó
với
Đối với biểu diễn cơ bản
..
:
Hạt sống trong không gian biểu diễn cơ bản thì Ф = ( )
Biểu diễn chính quy
(
)
(
)
(
Hạt sống trong không gian biểu diễn phó:
(
)
)
Xét trường hợp spinor ở trong biểu diễn cơ bản:
Dưới phép biến đổi SU(2) toàn cục:
(
)
̅
(
)
(
Xét lagrangian:
̅
̅
̅
)
bất biến)
Kết luận: Lagranggian của trường spinor bất biến dưới phép biến đổi toàn cục,
làm việc với nhóm U(1) toàn cục thì không thể đưa vào trường chuẩn.
Nguyễn Thị Nhung
36
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
2.2.2. Lý thuyết chuẩn với phép biến đổi SU(2) định xứ
(
Ta có:
̅
̅ ̅
SU (2)
)
̅̅̅
̅
Đạo hàm theo các hướng khác nhau làm phép biến đổi không có cùng quy luật
và số hạng động năng không bất biến. Vậy phải đưa vào trường chuẩn liên kết
không gian giữa hai điểm
để cho đạo hàm trường biến đổi cùng
và
quy luật.
,
, ,
Đạo hàm hiệp biến biến đổi như hàm trường
(
)
Quy luật biến đổi của trường chuẩn, ta xuất phát từ phép biến đổi của đạo hàm
hiệp biến.
Đặt
(
)
và nhân vào bên phải
2.2.3. Tensor cƣờng độ trƣờng
[
Nguyễn Thị Nhung
,
37
]
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
[
,
]
[
,
]
[ ,
Khoa Vật Lý
[ ,
]
[
[ ,
]
]
[
,
]
]
hay
Với
không bất biến dưới phép biến đổi chuẩn SU(2)
,
Cụ thể: [
SU (2)
[
]
.
Tuy nhiên
,
]
[
,
]
.
(
) bất biến. Thật vậy:
SU (2)
(
(
)
)
Kết luận: Có ba trường chuẩn không khối lượng xuất hiện
,
,
ba hạt này
mang lực tương tác hạt nhân yếu, lúc đó Yang Mill cho rằng ba hạt ấy mang
tương tác mạnh.
2.2.4. Lagrangian bất biến của trƣờng chuẩn
là biểu diễn chính quy của nhóm SU(2) nên
không phải là một số mà
là một ma trận dạng:
(
Không thể lagrangian có dạg
Nguyễn Thị Nhung
)
như với nhóm U(1). Ta phải lấy vết
38
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
∑
(
)
n=1 để lí thuyết tái chuẩn hóa
vì để có dạng giống với
(
. (
)
)
(
)
Lagrangian toàn phần:
̅
̅
Với:
(
và
{
(
Với:
)
}
)
[
]
’
Ta có:
Nhận xét: Trong lý thuyết Yang Mill không xuất hiện số hạng khối lượng trường
nên hạt mang tương tác yếu được cho là không khối lượng. Suy ra điều này
không chính xác. Vì tương tác yếu là tương tác tầm ngắn hạt truyền phải có khối
lượng.
Nguyễn Thị Nhung
39
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
2.3. Mẫu quak
Từ lý thuyết Erghtfall Way của Gell – Man suy ra các hadron có thể được xây
dựng từ quark là biểu diễn cơ sở của SU(3).
∑
Phép biến đổi SU(3) gồm các phần tử dạng:
,
Trong đó:
là thực
Quy luật biến đổi của toán tử trường:
Nếu
thì biểu diễn đơn tuyến tương đương với biểu diễn một chiều trung
hòa bởi 1 hạt.
,
Nếu
biểu diễn cơ sở tương đương 8 biểu diễn (3 3)
chiều trung hòa bởi ba hạt.
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
√
(
(
)
(
)
)
Ta có tính chất hermit:
[
Nguyễn Thị Nhung
]
40
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
[
]
,
(
Khoa Vật Lý
,
)
, ,
Từ biểu diễn cơ sở suy ra mọi biểu diễn khác nhau. Ta xét biểu diễn cơ sở cho
các quark.
Ta có: [
, ]
, ,
Trong đó:
.,
, , (chỉ số vị)
Các số lượng tử gắn với SU(3) có spin đồng vị I1, I2, I3 và siêu tích
√
Ta có: [ ,
√
]
,
√
Quark u,d có siêu tích , quark s có siêu tích
Ví dụ:
, biểu diễn phó
hay [
trung hòa bởi 8 hạt
]
,
,
, ,
..,
Có 9 tổ hợp khả dĩ của quark ( ) và phản quark ( )
( )
(
)
⨂
Đồng nhất 8 thành phần
với các trường trong bát tuyến sau
+ Bát tuyến Baryon
: p, n,
+ Bát tuyến Meson
:
+ Bát tuyến Meson
:
Nguyễn Thị Nhung
,
,
,
,
,
,
,
, ,
,
,
,
, ,
,
,̃
, ,̃ ,̃
41
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Để thuận tiện, ta viết bát tuyến dưới dạng ma trận
√
√
√
√
√
√
Ma trận tương ứng có dạng:
√
√
√
√
(
√
Tương tự ta có bát tuyến Messon
√
(Messon giả vô hướng)
√
√
(
Nguyễn Thị Nhung
)
√
̃
42
√
)
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Tương tự ta có bát tuyến Messon
√
(Messon giả vô vectơ)
√
√
√
(
√
)
Chú ý các đa tuyến quarks
8 baryon
8 Messon
:
(
:
)
̃
̅)
( ̅,
8 Messon
(
:
̅,
̅,
̅
̅
)
̃
(
10 Baryon
,
,
)
,
:
2.4. Nhóm SU(3) trong tƣơng tác mạnh (QCD)
2.4.1. Lý thuyết QCD với nhóm đối xứng gauge SU(3)C
Các khó khăn về mặt lý thuyết liên quan tới sự tồn tại quark.
Nguyễn Thị Nhung
43
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
+ Các hạt cộng hưởng cấu tạo từ các quark cùng trạng thái spin
hoặc spin
thì bị vi phạm nguyên lý loại trừ Pauli.
+ Các qúa trình hủy cặp
và
̅
+ Biên độ tán xạ
̅
Theo lý thuyết như trên thì:
( không màu )
à
Mà:
ế
Gell – Man với ý tưởng các quark chứa số lượng tử màu NC. Để phù hợp với
thực nghiệm và giải quyết vấn đề vi phạm nguyên lý Pauli thì mỗi quark còn gắn
với một số lượng tử màu NC = 3.
∑
∑
à
ế
̅
Quá trình phân rã:
Tính gần đúng công ta có tỷ số rã
√
ế
NC = 3 thì √
ế
Nguyễn Thị Nhung
,
√
,
44
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Nếu bổ đính vòng thì cho kết qủa khớp hơn
2.4.2. Biểu diễn cơ sở của nhóm SU(3)C
Mỗi quark được mô tả bởi một tam tuyến trường hợp biểu diễn
(
Trong đó:
)
(
)
, , chỉ số vị
, , chỉ số màu
Mỗi phản quark mô tả bởi một phản tam tuyến tổ hợp biểu diễn
∑
Các quy luật biến đổi dưới phép biến đổi
của nhóm biểu diễn
SU(3)C
(
)
Vậy dưới nhóm biến đổi cơ sở của nhóm SU(N)
SU(3)C thì quy luật biến đổi
là:
(
) (
)
Trong đó: các vi tử cuả nhóm SU(N) và nhóm SU(3)C là giao hoán nhau,
tác dụng lên chỉ số vị của quark và
chỉ
tác dụng lên chỉ số màu quark.
2.4.3. Lagrangian mô tả tƣơng tác mạnh giữa quark và gluon
+ Đạo hàm hiệp biến
(
)
(
+ Trường chuẩn 8 gluon
Nguyễn Thị Nhung
, , ,
)
,
45
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
+ Tensor cường độ trường chuẩn
[
,
]
+ Lagrangian mô tả tương tác mạnh
quark và gluon
,
+ Lagrangian bất biến chuẩn
SU(3) có tính chất tương tác chuẩn như SU(2) đã trình bày.
Nguyễn Thị Nhung
46
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
CHƢƠNG 3 : MÔ HÌNH CHUẨN
Ở một mức năng lượng nhất định nào đó, một số tương tác có thể thống nhất
với nhau. Nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y mô tả được tương tác điện từ và
tương tác yếu. Dùng cơ chế Higss phá vỡ đối xứng này sẽ sinh ra 3 hạt gauge
boson mang khối lượng truyền tương tác yếu, còn một hạt gause boson không
mang khối lượng chính là photon truyền tương tác điện từ. Mô hình chuẩn với
nhóm đối xứng chuẩn SU(3)C⨂ SU(2)L⨂ U(1)Y mô tả sự thống nhất của cả ba
tương tác điện từ, yếu, mạnh. Do SU(3)C đã trình bày chương trước. Chương này
nhấn mạnh về phần SU(2)L⨂ U(1)Y.
3.1. Nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L U(1)Y
Kế thừa lý thuyết Fermi, Glashon nhận thấy tương tác yếu được truyền bởi
,
ba hạt
. Ông cũng nhận thấy có thể xem xét lực yếu và lực điện từ cùng
,
nhau, như vậy phải xét tới 4 dòng
,
,
,
tương tác tới 4 gauge boson
. Thực tế không có nhóm đơn nào thỏa mãn có 4 vi tử. Và các tích
yếu (3 vi tử) định nghĩa từ các dòng này không tạo thành đại số đóng kín. Do đó
sử dụng 1 nhóm SU(2) cũng không mô tả được 3 dòng này. Do đó sử dụng 1
nhóm SU(2) cũng không mô tả được 3 dòng này.Ta sẽ chứng minh được:
,̃
Xét qúa trình rã cho
Tương tác yếu:
có hai dòng
̃
và
với các dòng V-A cho ta điện tích yếu
∫
∫
∫
[
,
Nguyễn Thị Nhung
]
∫
[
]
47
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Tương tác điện từ:
Trong đó:
Tương tác điện từ sinh ra điện tích điện:
∫
Như vậy
,
∫
không tạo thành đại số đóng kín. Vậy phương pháp mở rộng
nhóm đối xứng chuẩn, 4 vi tử bị phá vỡ ( để 4 sinh ra 4 gauge boson) phải thuộc
nhóm tích trực tiếp. SU(2)L ⨂ U(1)Q à nhó
đơn giản nhất thỏa mãn. Phải
xắp xếp các hạt trái vào một ưỡng tuyến, hạt phải vào đơn tuyến.
( ) ,
( ) ,
( )
( ) ,
,
( ) ,
,
( ) ,
,
3.2. Toán tử điện tích và siêu tích yếu
Do bảo toàn điện tích, toán tử điện tích là tổng của vi tử chéo:
Trong đó:
là vi tử chéo của SU(2)L
Y là vi tử của U(1)Y
Nguyễn Thị Nhung
48
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Tác động lên lưỡng tuyến lepton:
(
,
)
. )
(
(
* (
)
)
(
(
)+
)
Ta có:
,
,
Chọn
Nhận xét:
1)
Lưỡng tuyến
Đơn tuyến
2)
,
,
( , )
( , )
( ,
)
Nguyễn Thị Nhung
49
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
Phá vỡ đối xứng: Để sinh khối lượng cho các hạt (boson chuẩn và fermi người ta
đưa vào lưỡng tuyến)
(
,
)
( )
và chọn trường nền có:
√
,
Suy ra 3 vi tử
Vi tử
,
của nhóm SU(2)L bị phá vỡ.
(
)( 𝑣 )
√
(
)( 𝑣 )
√
(
)( 𝑣 )
√
của U(1)Q không thể bị phá vỡ vì liên quan tới bảo toàn dòng điện
(
tích
)( )
√
Kết luận:
- SU(2)L⨂ U(1)Y U(1)Q
- Bốn vi tử
- Bốn dòng
,
bị phá vỡ sinh 4 gauge boson
,
,
,
,
tương tác với nhau thông qua các gauge boson
- Sử dụng nhóm SU(2)L⨂ U(1)Y với phá vỡ đối xứng tự phátcho lý thuyết
tái chuẩn hóa. Nhóm này mô tả lực điện yếu đã biết.
3.3. Biến đổi chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y
a) Quy luật biến đổi của các hạt dưới nhóm SU(2)L⨂ U(1)L
SU (2) L U (1)Y
SU (2) L U (1)Y
SU (2) L U (1)Y
Nguyễn Thị Nhung
50
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
SU (2) L U (1)Y
SU (2) L U (1)Y
b) Dạng của đạo hàm hiệp biến
Đạo hàm hiệp biến tác động lên hạt trái
(
)
(
)
Đạo hàm hiệp biến tác động lên hạt phải
c) Dạng Lagrangian bất biến dưới nhóm chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y
(
)
̃
Trong đó:
Mà ̃
Nguyễn Thị Nhung
51
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
KẾT LUẬN
Nghiên cứu về đề tài “ Ứng dụng của nhóm Lie trong các mô hình thống nhất
tương tác” luận văn thu được kết qủa như sau:
1) Đưa ra được khái niệm về nhóm Lie, vi tử của nhóm, biểu diễn nhóm và xây
dựng đại số Lie cho mối quan hệ giữa các vi tử qua hằng số cấu trúc của nhóm.
2) Bằng phương pháp nâng hạ weight (trị riêng của cuả các toán tử cartan) ta xây
dựng các vectơ trạng thái.
3) Xây dựng các biểu diễn cao chiều từ việc lấy tích tensor của các biểu diễn cơ
sở, biểu diễn liên hợp. Phương pháp tensor cũng cho xác định các biểu diễn bất
khả quy. Cho 1 biểu diễn bất khả quy hoặc tách khả quy thành tổng của các biểu
diễn bất khả quy.
4) Ta thấy được các biểu diễn bất khả quy của nhóm unita có thể thực hiện được
bằng những bảng Young. Bảng Young cho nhân các biểu diễn, tách các biểu
diễn.
5) U(1)Q mô tả được tương tác điện từ (điện động lực, lượng tử), SU(2)L mô tả
tương tác yếu (lý thuyết isospin của Heisenberg), còn SU(3)C mô tả được trong
tương tác mạnh (sức điện động lượng tử).
6) Nhóm đối xứng chuẩn
⨂
mô tả được trong tương tác điện từ
và tương tác yếu (lý thuyết yếu Glashow – Weirberg – Shalam). Nhóm đối xứng
chuẩn
⨂
⨂
mô tả thống nhất cả ba tương tác điện từ, yếu,
mạnh (mô hình chuẩn).
Nguyễn Thị Nhung
52
K37 Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Khoa Vật Lý
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] GS. Hoàng Ngọc Long “ Nhập môn lý thuyết trường và mô hình thống nhất
tương tác điện yếu’’
[2] TS. Phùng Văn Đồng “Giáo trình lý thuyết nhóm’’
[3] Lie Algebras in Particle Physics
[4] Gauge theory of elememtary particle physics “ Ta – Pei Cheng and Ling –
FongLi”
Nguyễn Thị Nhung
53
K37 Vật Lý
[...]... Lý Và nhóm nửa đơn sẽ là tích trực tiếp của nhóm đơn Ví dụ SU(3) ⨂ SU(2) là nhóm nửa đơn c) Định lý tổng quát Mọi nhóm Lie đều viết được thành tích trực tiếp của các nhóm đơn và thừa số abelian Ví dụ mô hình chuẩn chính là một nhóm Lie tổng quát ⨂ ⨂ Nhóm nửa đơn đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý lượng tử, đặc biệt là ứng dụng mô tả vật lý hạt Bởi khi thống nhất các tương tác cần mở rộng nhóm. .. đối xứng chuẩn bao gồm một tập hợp các vi tử mà có thể không có nhóm đơn nào đáp ứng Ví dụ thống nhất tương tác điện – yếu cần 4 vi tử buộc ta phải sử dụng tích trực tiếp của và Khi đó, sử dụng nhóm nửa đơn là phương pháp đơn giản nhất 1.2 Phƣơng pháp weight cho SU(2) Muốn tìm các biểu diễn của nhóm Lie, ta bắt đầu với các biểu diễn của đại số Lie cuả nhóm, sau đó chuyển sang các biểu diễn của nhóm. .. XỨNG CHUẨN VÀ MẪU QUARK Ở chương này tôi muốn đề cập đến trường hợp đối xứng chuẩn với nhóm giao hoán U(1) và trường hợp đối xứng với nhóm SU(2) Trong lý thuyết chuẩn thì đưa ra đạo hàm hiệp biến, từ đạo hàm hiệp biến đó sẽ xuất hiện các trường chuẩn (hay gọi là hạt gauge boson) truyền tương tác, rồi xây dựng Lagrangian bất biến mô tả tương tác Trong vật lý nhóm U(1)Q mô tả được tương tác điện từ (trong. .. m - Các vecter riêng của vi tử chéo gọi là vecter weight m - Trị riêng lớn nhất của vi tử chéo gọi là hight weight, ta ký hiệu là a)Vi tử nâng hạ wieght Trong cơ sở mà chéo hóa thì ta định nghĩa các vi tử nâng hạ , như sau √ Ý nghĩa vật lý của các vi tử nâng hạ trong cơ học lựơng tử chính là toán tử nâng hạ spin, còn trong mô hình chuẩn thì chúng là vi tử của các boson chuẩn Từ đại số của nhóm SU(2)... U(1)Q mô tả được tương tác điện từ (trong chuẩn QED), nhóm SU(3)C mô tả được trong tương tác mạnh (trong QCD) 2.1 Đối xứng với nhóm giao hoán U(1) 2.1.1 Nhóm giao hoán U(1) U(1) là nhóm biến đổi pha liên tục, góc pha của hàm sóng sin Yếu tố U = e-iQx là phép quay mặt phẳng phức hai chiều Trong đó: Q là vi tử duy nhất của U Q toán tử điện tích = Q̅ = - ̅ Trong điện động lực học, đại lượng bảo toàn là điện... số Lie 1.1.2 Đại số Lie Ta sẽ chứng minh được với là hằng số cấu trúc của nhóm Lie Chứng minh: Theo luật nhân nhóm: Xét , , đủ nhỏ, lấy ln hai vế ta có: ( [ Nguyễn Thị Nhung ) n ][ ] 8 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Ta có: [ ] Mà: [ Hay: , ] [ , ] , , , Hệ thức đúng cho mọi hệ số , , bất kỳ Đặt tương ứng: [ , ] [ , ] Trong đó: là hằng số cấu trúc của nhóm, có tính phản đối xứng... tensor như thế này đối xứng theo và đối xứng theo cặp , , phản đối xứng theo , , đối xứng theo , không vết tự động thoả mãn sẽ cho một bảng Young Biểu diễn bất khả quy qua bảng Young Các cặp phản đối xứng tương đương xếp vào một cột Những đơn i cunxg là cột, nhưng chỉ 1 ô (giữa i và các cặp là đối xứng nên đặt i tương đương k là đủ) Đối xứng theo các ô trên hàng, phản đối xứng theo các ô trên cột b) Quy... dựng các biểu diễn cao chiều từ việc lấy tích tensor của các biểu diễn cơ sở, biểu diễn liên hợp và ngược chiều, tách biểu diễn nhìn chung không bất khả quy của các tích tensor này thành tổng của các biểu diễn bất khả quy thành phần Tôi sẽ làm cụ thể cho SU(3) 1.3.1 Tích tensor Xét , là hai biểu diễn của ứng với biểu diễn N chiều với các vectơ cơ sở i , i 1, , N ứng với biểu diễn M chiều với các. .. phải chứng minh 1.1.4 Đại số Lie compact Vết của tích 2 biểu diễn phó có thể chéo hóa và giả sử rằng các trị riêng của toán tử chéo xã định dương và chọn để bằng thì định nghĩa được đại số Lie compact , Để chứng minh ta có: Nguyễn Thị Nhung 10 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý , Xét với các nhóm unita, trong đó , có thể chéo hóa, là số thực, và đối xứng theo là ma trận unita tác động trong. .. phản đối xứng theo mỗi cặp , , phản đối xứng theo ℓ Để rút các biểu diễn tensor này về biểu diễn bất khả quy ta làm như sau: Tìm biểu diễn bất khả quy của với weight cao nhất Đối xứng theo , đối xứng theo Phản đối xứng theo Đối xứng không vết: Vế trái với điều kiện không vết: Vế phải với điều kiện không vết: đối xứng theo (một tensor luôn biểu diễn được thành một đối xứng và mà phản đối xứng) Một ... truyền tương tác, xây dựng Lagrangian bất biến mô tả tương tác Trong vật lý nhóm U(1)Q mô tả tương tác điện từ (trong chuẩn QED), nhóm SU(3)C mô tả tương tác mạnh (trong QCD) 2.1 Đối xứng với nhóm. .. “ Ứng dụng nhóm Lie mô hình thống tương tác ’ Nguyễn Thị Nhung K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý CHƢƠNG : NHÓM LIE Phần giới thiệu chung khái niệm nhóm Lie vi tử nhóm, biểu diễn nhóm. .. theo cách mà sống xuất Không có Higgs ngày Nhằm phần tìm hiểu lý thuyết nói trên, luận văn em đề cập lý thuyết nhóm liên tục, nhóm Lie, ứng dụng nhóm Lie mô hình xây dựng mô hình thống tương tác