Đề thi tuyển sinh vo THPT chuyn mn ton 2005 2006 lam so

§Ò thi vµo THPT Chuyªn Lam S¬n Thanh Ho¸ N¨m häc 2005 - 2006  x + x + 1   1. (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: M =      x + 1  x + x + 1  x −1 a) T×m x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa vµ rót gän M. b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x + 3x + 4 x = 2 3 . 3 −1 2 2x - 3x = y 2 - 2 2. (1,5 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  2 2y - 3y = x 2 - 2 3. (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2x - 2|x - m| + 2 = 0. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1. b) T×m m ®Ó tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng hai phÇn tö. 4. (3 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®êng th¼ng AB, ta vÏ nöa ®êng trßn (C) t©m O ®êng kÝnh AB vµ hai tia tiÕp tuyÕn Ax, By víi (C). Mét ®êng th¼ng (d) thay ®æi c¾t Ax, By lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M vµ N (M kh¸c A, N kh¸c B). Gäi I lµ giao ®iÓm cña AN vµ BM. a) Chøng minh r»ng nÕu (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) th× ∠MON = 900. b) Chøng minh r»ng nÕu ∠MON = 900 th× (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C). c) Cho (d) tiÕp xóc víi (C) t¹i H. T×m vÞ trÝ cña (d) ®Ó tø gi¸c HIBN néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. 5. (1,5 ®iÓm) Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã ASB = 600; BSC = 900; CSA= 1200; vµ SA = SB = SC = a. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo a. Vßng II (Dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n. Thêi gian lµm bµi 150 phót). 6. (2,5 ®iÓm) a) Cho biÓu thøc P(x) = x 8 + 12 x + 12 - 3x. Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 – x – 1 = 0. Chøng minh P(x1) = P(x2). b) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 3x2 + 14y2 + 13xy = 330  x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 7. (2 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh   x + y = 4 8. (2 ®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = x2 + x +1 + x2 − x +1 1 1 1 b) Cho ba sè thùc x, y, z ®Òu lín h¬n 2 vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn + + = 1. Chøng x y z minh r»ng (x-2)(y-2)(z-2) ≤ 1. DÊu b»ng x¶y ra khi nµo? 9. (2 ®iÓm) Cho ®êng trßn t©m O néi tiÕp tam gi¸c ABC vµ tx víi c¸c c¹nh AB, BC, CA lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, N, P. a) XÐt trêng hîp AB < AC, gäi D lµ giao ®iÓm cña c¸c tia AO vµ MN. Chøng minh AD vu«ng gãc DC. b) Gäi T lµ tam gi¸c cã c¸c ®Ønh M, N, P. Gi¶ sö (T) ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC theo tØ sè k, tÝnh k? 10. (1,5 ®iÓm) Cho ®êng trßn t©m O néi tiÕp h×nh thoi ABCD. TiÕp tuyÕn (d1) víi ®êng trßn c¾t c¸c c¹nh AB, AD lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, P. TiÕp tuyÕn (d2) víi ®êng trßn c¾t c¸c c¹nh CB, CD lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm N, Q. Chøng minh MN//PQ.