§Ò thi tuyÓn sinh vµo khèi THPT Chuyªn §¹i häc Vinh N¨m häc 2004 - 2005 1. a) Rót gän biÓu thøc sau: A = 8 + 15 + 8 − 15 2 2 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x + 5 + 3 − x = 4. 2. Chøng tá r»ng (n3 + 17n) 6 víi mäi sè tù nhiªn n. 3. Gi¶ sö x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 − 4x = 3x + m, trong ®ã m lµ tham 1− x sè. T×m m ®Ó biÓ thøc |x1 – x2| ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 4. Cho h×nh vu«ng ABCD. Hai ®iÓm I, J lÇn lît thuéc hai c¹nh BC vµ AD sao cho IAJ = 450. §êng chÐo BD c¾t AI vµ AJ t¬ng øng t¹i H vµ K. TÝnh tØ sè HK : IJ. 5. Cho hai ®êng trßn (O1; R1) vµ (O2; R2) cã R1 > R2, tiÕp xóc ngoµi víi nhau t¹i A. ®êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®êng trßn (O1; R1) t¹i M vµ c¾t ®êng trßn (O2; R2) t¹i N ( c¸c ®iÓm M, N kh¸c A). a) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng d ®Ó ®é dµi ®o¹n th¼ng MN lín nhÊt. b) T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña c¸c ®o¹n th¼ng MN khi d quay quanh ®iÓm A. Vßng II 6 6. T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 19 . b) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n sao cho n2 – 14n – 256 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. 2005 1 x + y = 2 7. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh y + 1 = 2 x 8. T×m c¸c sè nguyªn a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 < ab + 3b + 2c. 9. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh b»ng a (a > 0) vµ mét ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn ngt tam gi¸c ABC. a) Chøng minh r»ng nÕu M thuéc cung nhá BC th× MA + MB = MC. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc MA + MB + MC. 10. Cho h×nh vu«ng ABCD cã AB = 14 cm . Trong h×nh vu«ng cã ®¸nh dÊu 76 ®iÓm ph©n biÖt. Chøng minh r»ng tån t¹i mét ®êng trßn cã b¸n kÝnh 2 cm chøa trong nã Ýt nhÊt 4 ®iÓm trong sè c¸c ®iÓm trªn. Q. Chøng minh MN//PQ.