§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 trêng THPT Chu v¨n an vµ thpt hµ néi amsterdam. N¨m häc 2005 - 2006 Vßng I (Dµnh cho mäi thÝ sinh. Thêi gian lµm bµi 150 phót). Bµi 1. (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc P = x x − 1 − x x + 1 + x + 1 x− x x+ x x a) Rót gän P; b) T×m x ®Ó P = 9/2. Bµi 2. (2 ®iÓm) Cho bÊt ph¬ng tr×nh 3(m-1)x + 1 > 2m + x (m lµ tham sè) a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh víi m = 1 -2 2 b) T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh nhËn mäi gi¸ trÞ x > 1 lµ nghiÖm. Bµi 3. (2 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, cho ®êng th¼ng (d): 2x – y – a2 = 0 vµ parabol (P) y = ax2 (a lµ tham sè d¬ng). a) T×m a ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. Chøng minh r»ng khi ®ã A, B n»m vÒ bªn ph¶i trôc tung. b) Gäi u, v theo thø tù lµ ho¹nh ®é cña A, B. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc T= 4 1 + u + v uv Bµi 4. (3 ®iÓm) ®êng trßn t©m O cã d©y cung AB cè ®Þnh vµ I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung lín AB. LÊy ®iÓm M bÊt k× trªn cung lín AB, dùng tia Ax vu«ng gãc víi ®êng th¼ng MI t¹i H vµ c¾t BM t¹i C. a) Chøng minh c¸c tam gi¸c AIB vµ AMC lµ tam gi¸c c©n. b) Khi ®iÓm M di ®éng trªn cung lín AB, chøng minh r»ng ®iÓm C di chuyÓn trªn mét cung trßn cè ®Þnh. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó chu vi tam gi¸c AMC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 5. (1 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã AB < AC vµ trung tuyÕn AM, ACB = α, AMB = β. Chøng minh r»ng: (sinα + cosα)2 = 1 + sinβ. Vßng II (Dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n, chuyªn Tin. Thêi gian lµm bµi 150 phót). Bµi 6. (2 ®iÓm) Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc víi a, b, c lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho 4 th× P chia hÕt cho 4. ( x + y ) 4 + 13 = 6 x 2 y 2 + m Bµi 7. (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh xy ( x 2 + y 2 ) = m a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = -10; b) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Bµi 8. (2 ®iÓm) Ba sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n hÖ thøc: 1 2 3 + + = 6. x y z XÐt biÓu thøc P = x + y2 + z3. a) Chøng minh r»ng P ≥ x + 2y + 3z – 3. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. Bµi 9. (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, lÊy ba ®iÓm D, E, F theo thø tù trªn ba c¹nh BC, CA, AB sao cho AEDF lµ tø gi¸c néi tiÕp. Trªn tia AD lÊy ®iÓm P (D n»m gi÷a A vµ P) sao cho DA.DP = DB.DC. a) Chøng minh r»ng tø gi¸c ABPC néi tiÕp, vµ hai tam gi¸c DEF, PCB dång d¹ng víi nhau. b) Gäi S vµ S’ lÇn lît lµ diÖn tÝch hai tam gi¸c ABC vµ DEF. Chøng minh S EF ≤ S ' 2 AD 2 Bµi 10. (1 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD vµ 2005 ®êng th¼ng ®ång thêi tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn: a) Mçi ®êng th¼ng ®Òu c¾t hai c¹nh ®èi cña h×nh vu«ng. b) Mçi ®êng th¼ng ®Òu chia h×nh vu«ng thµnh hai phÇn cã tØ sè diÖn tÝch lµ 0,5. Chøng minh r»ng trong 2005 ®êng th¼ng ®ã cã Ýt nhÊt 502 ®êng ®ång quy.