§Ò thi tuyÓn sinh vµo khèi THPT Chuyªn trêng §HKHTN §HQG Hµ Néi. N¨m häc 2004 - 2005 Vßng I (Dµnh cho mäi thÝ sinh. Thêi gian lµm bµi 150 phót). x + y + xy = 3 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2 2 x + y = 2 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh x + 4 x + 3 + 2 3 − 2 x = 11 3. T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x2 + 17y2 + 34xy + 51(x+y) = 1740 4. Cho hai ®êng trßn (O), (O’) n»m ngoµi nhau cã t©m t¬ng øng lµ O vµ O’. Mét tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (O) t¹i A vµ (O’) t¹i B. Mét tiÕp tuyÕn chung trong cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (O) t¹i C vµ (O’) t¹i D vµ c¾t AB t¹i I. BiÕt r»ng C n»m gi÷a I vµ D. a) Hai ®êng th¼ng OC, O’B c¾t nhau t¹i M. Chøng minh r»ng OM > O’M. b) KÝ hiÖu (S) lµ ®êng trßn ®i qua A, C, B vµ (S’) lµ ®êng trßn ®i qua A, D, B. ®êng th¼ng CD c¾t (S) t¹i E kh¸c C vµ c¾t (S’) t¹i F kh¸c D. Chøng minh r»ng AF vu«ng gãc víi BE. 5. Gi¶ sö x, y, z lµ c¸c sè d¬ng thay ®æi vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xy2z2 + x2z + y = 3z2. H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = z4 1 + z 4 (x4 + y 4 ) Vßng II (Dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n, chuyªn Tin. Thêi gian lµm bµi 150 phót). x 3 + y 3 − xy 2 = 1 6. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 4 4 4 x + y = 4 x + y 7. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 − x + x + 2 + 4 − x 2 = 2 8. Gi¶ sö x, y lµ nh÷ng sè kh«ng ©m tháa m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 = 1. a) Chøng minh 1 ≤ x + y ≤ 2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 1 + 2 x + 1 + 2 y 9. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ ®iÓm P n»m trong tam gi¸c ABC. a) Gi¶ sö BPC = 1350. Cmr 2PB2 + PC2 = PA2. b) C¸c ®êng th¼ng AP vµ CP c¾t c¸c c¹nh BC vµ BA t¬ng øng t¹i c¸c ®iÓm M vµ N. Gäi Q lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua trung ®iÓm cña ®o¹n MN. Chøng minh r»ng khi P thay ®æi trong tam gi¸c ABC, ®êng th¼ng PQ lu«n ®i qua D. 10. a) Cho ®a gi¸c ®Òu (H) cã 14 ®Ønh. Chøng minh r»ng trong 6 ®Ønh bÊt k× cña (H) lu«n cã 4 ®Ønh lµ c¸c ®Ønh cña mét h×nh thang. b) Cã bao nhiªu ph©n sè tèi gi¶n m·n mn = 13860. m lín h¬n 1 (m, n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng) tho¶ n