Tuyển tập các chủ đề nâng cao môn toán lớp 9 tài liệu phục vụ bồi dưỡng HSG

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/10/2015, 12:41

http://NgocHung.name.vnPHẦN SỐ HỌCBài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN.SỐ NGUYÊN TỐ.A. Nhắc lại và bổ sung các kiến thức cần thiết:I. Tính chia hết:1. Định lí về phép chia: Với mọi số nguyên a,b (b ≠ 0), bao giờ cũng có một cặp sốnguyên q, r sao cho : a = bq + r với 0 ≤ r < b .a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư.Trong trường hợp b > 0 và r ≠ 0 có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b.Ví dụ: Mọi số nguyên a đều có dạng:a = 2q ± 1 (xét phép chia cho b = 2)a = 3q ; 3q ± 1 (xét phép chia cho b = 3)a = 4q ; 4q ± 1 ; 4q ± 2 (xét phép chia cho b = 4).a = 5q; 5q ± 1; 5q ± 2 (xét phép chia cho b = 5)......................2. Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói :a chia hết cho b hay a là bội của b (kí hiệu a  b)b chia hết a hay b là ước của a (kí hiệu b\ a)Vậy: a b (b\ a) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq.3. Các tính chất:1) Nếu a b thì ± a ± b (b ≠ 0)2) a  a; 0  a với mọi a ≠ 03) a ± 1 với mọi a4) Nếu a  m thì an m (m ≠ 0, n nguyên dương).5) Nếu a b và b a thì |a| = |b|6) Nếu a  b và b  c (b,c ≠ 0) thì a  c.7) Nếu a c và b c(c ≠ 0) thì (a ± b) c. Điều ngược lại không đúng.8) Nếu a  m hoặc b  m thì ab  m(m ≠ 0). Điều ngược lại không đúng.9) Nếu a p và a q, (p, q)= 1 thì a  pq10) Nếu a = mn; b = pq và m p n q thì a b11) Nếu ab  m và (b,m) = 1 thì a  m12) Nếu a ± b  m và a  m thì b  mII. Số nguyên tố:1.Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.2. Định lí cơ bản của số học: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa sốnguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số).Số nguyên tố được coi như là tích chỉ gồm một thừa số là chính nó.Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất).Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng các ước của nó không kể bản thân nó.Ví dụ: 6 , 28, ... , 2n-1(2n - 1)III. Một số phương pháp thông thường để giải bài toán về chia hết:1http://NgocHung.name.vnCách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khichia n cho k.Ví dụ 1: Chứng minh rằng:a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.Giải : a) Viết tích của hai số nguyên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1).Có hai trường hợp xảy ra :* n  2 => n(n + 1) 2* n không chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1)  2 => n(n +1)  2b) Chứng minh tương tự a.Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq .+ Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n)  p và A(n)  q.+ Nếu (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh:B(n)  p và C(n)  q .Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) 6.b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.Giải : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3.Do đó A(n) chia hết cho 6.b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1).8 = 4 . 2.Vì 4 4 và n(n +1) 2 nên A(n)  8Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n5 - n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n.(Trích đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2005 - 2006)Giải : A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1)  2n = 5k + 1 => (n - 1)  5n = 5k + 4 => (n + 1)  5.n = 5k + 2 => n2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = (25k2 + 20k + 4 + 1) 5n = 5k + 3 => n2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = (25k2 + 30k + 9 + 1) 5Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nên phải chia hết cho 10.Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu)của nhiều hạng tử , trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k . ( Đã học trong tínhchất chia hết của một tổng ở lớp 6)(Liên hệ: A(n) không chia hết cho k ...)Ví dụ 4: Chứng minh n3 - 13n (n > 1) chia hết cho 6. (Trích đề thi HSG cấp II toànquốc năm 1970).Giải : n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n(n - 1)n(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ; 12n 6 . Do đóA(n)  6Ví dụ 5: Chứng minh n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 , với mọi số n lẻ.Giải : Với n = 2k +1 ta có:A(n) = n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = 4k2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 5= 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2.A(n) bằng tổng của ba hạng tử, trong đó hai hạng tử đầu đều chia hết cho 8 , duy chỉ cóhạng tử 2 không chia hết cho 8. Vậy A(n) không chia hết cho 8.2http://NgocHung.name.vnCách 4: Viết A(n) được dưới dạng: A(n) = k.B(n) thì A(n) chia hết cho k.Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) đều không chia hết cho k thì A(n)không chia hết cho kVí dụ 6: Chứng minh : 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 15.Giải: Ta có: 2 + 22 +23 + ... + 260 = (2 + 22 + ... + 24) + (25+ ... +28)+ ... +(257 + 260)= 2(1+2+4+8) +25(1+2+4+8) + ... + 257(1+2+4 + 8) = 15.(2 + 25 + ... + 257) 15.IV. Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết:Cách 5: Dùng nguyên tắc Dirichlet:Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dưới dạng hình ảnh như sau:Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng mà k> m thì phải nhốt ít nhất hai chú thỏ vàochung một chuồng.Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong m + 1 số nguyên bất kì thế nào cũng có hai số có hiệuchia hết cho m.Giải: Chia một số nguyên bất kì cho m ta được số dư là một trong m số 0; 1 ; 2; 3; ...; m- 1. Theo nguyên tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m thì phải có ít nhất hai số có cùng sốdư . Do đó hiệu của hai số này sẽ chia hết cho m.Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp toán học: Để chứng minh A(n)  k ta làm theotrình tự sau:Thử với n = 1 hoặc 2(Tức số n nhỏ nhất chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu đúng A(1) k.Tiếp tục:Giả sử A(k) k.Chứng tỏ A(k + 1) k. Nếu đúng => Kết luận : A(n) kVí dụ 8: Chứng minh : 16n - 15n - 1 chia hết cho 225.Đặt A(n) = 16n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 225 => A(1) đúng.Giả sử A(k) đúng : A(k) = 16k - 15k -1  225. Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức là c/m:16k + 1 - 15(k + 1) - 1 225.Thật vậy, 16k+1 - 15(k + 1) - 1 = 16. 16k - 15k - 15 - 1 = (15 + 1) 16k - 15k - 15 - 1= 15.16k + 16k - 15k -15 - 1 = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1)= (16k-15k-1)+15(16 - 1)(16k-1 + ... +1) = (16k - 15k - 1) + 225(16k-1+ ... + 1) 225Cách 9: Phương pháp phản chứng:Để chứng minh A(n)  k ta chứng minh A(n) không chia hết cho k là sai.B. PHẦN BÀI TẬP: Chứng minh:1. a) 192007 - 192006 chia hết cho 9.b) 92n + 14 chia hết cho 5.c) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chiahết cho5.2. Tích của một số chính phương và một số tự nhiên đứng liền trước nó là một số chiahết cho 12.3. (n2 - 1)n2(n2 + 1) chia hết cho 604. a) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49b) n2 + 3n +5 không chia hết cho 115. a) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24.b) n4 - 4n3 - 4n2 - 16n (chẵn, n > 4) chia hết cho 384.6. 4n + 15n - 1 chia hết cho 9.3http://NgocHung.name.vn7. n2 + 4n + 3 (n lẻ) chia hết cho 8.8. n3 + 3n2 - n - 3 chia hết cho 48.9) 36n -26n chia hết cho 3510) ab(a2 + b2)(a2 - b2) chia hết cho 30 với mọi số nguyên a,b.11) a) (62n + 19n - 2n+1) chia hết cho17.b) (7.52n + 12.6n) chia hết cho 19.c) (5n+2 + 26.5n + 82n+1) chia hết cho 59.12) a)a2 + b2 chia hết cho 7 thì a và b cũng chia hết cho 7.b) a2 + b2 chia hết cho 3 thì a và b cũng chia hết cho 3Bài 2:ĐỒNG DƯ THỨC .A. Tóm tắt lý thuyết:I. Định nghĩa:1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m có cùngsố dư thì ta nói rằng a đồng dư với b theo môđun m và viết:a ≡ b (modm).≡2. Ví dụ: 3 5 (mod2)14 ≡ 0 (mod 7) ...II. Tính chất :1. Nếu a ≡ b (mod m) thì a - b  m2. Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m)3. Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a ± c ≡ b ± d (mod m)4. Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì ac ≡ bd (mod m)5. Nếu a ≡ b (mod m) thì an ≡ bn (mod m)6. Nếu a ≡ b (mod m) thì ka ≡ kb (mod m) với k > 07. Nếu ka ≡ kb (mod km) thì a ≡ b (mod m) với k > 08. Nếu ka ≡ kb (mod m) và (k , m) = 1thì a ≡ b (mod m) .9. Định lí Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì : np ≡ n (mod p) ; n ∈ ZHoặc : Nếu p là số nguyên tố thì : np-1 ≡ 1 (mod p), với (n,p) = 110. Định lí Euler : Cho m là một số nguyên dương bất kì và (m) là số các số dươngnhỏ hơn m và nguyên tố với m. Thế thì : n(m) ≡ 1 (mod m)* Cách tính (m) : phân tích m ra thừa số nguyên tố :m = a1α. a2β ... anλ . Thế thì : (m) = m 1 −1 11 −a1  a 2 1...1 −  anIII. Bài tập ứng dụng:Bài 1: Chứng minh 2100 - 1 chia hết cho 5Giải : Ta có 24 ≡ 1(mod 5) =>(24)25 ≡ 125 (mod 5) =>2100 ≡ 1(mod 5) hay 2100 - 1  5Bài 2: Tìm số dư của phép chia 299 cho 3.Giải : Có 23 ≡ -1 (mod 3) ⇔ (23)33 ≡ (-1)33 (mod 3) ⇔ 299 ≡ -1 (mod 3) .Vậy 299 chia 3 dư 2.Bài 3 : Tìm chữ số cuối cùng của 2999Bài 4: Chứng minh 22008 không chia hết cho 10.Bài 5: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho 1983k - 14http://NgocHung.name.vnchia hết cho 105.Giải:Cách 1: Áp dụng nguyên tắc Dirichlet:Cho k lần lượt lấy 105 + 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta được 105 + 1 giá trị khácnhau của 1983k - 1. Chia 105 +1 số này cho 105 , ta có nhiều nhất là 105 số dư, do đótheo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai số cho cùng số dư khi chia cho 105. Giả sử đó làhai số 1983m -1 và 1983n - 1 (m > n). Thế thì hiệu của hai số này phải chia hết cho 105:(1983m - 1) - (1983n -1) = 1983m - 1983n = 1983n (1983m-n -1)  105.Do 1983 không chia hết cho 105 => 1983n cũng không chia hết cho 105.Vì vậy 10m-n - 1 chia hết cho 105. Như vậy tìm được số k = m-n sao cho 1983k - 1 chiahết cho 105.Cách 2: Áp dụng định lí Euler:Vì 1983 không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5 , còn 105 = 2555 nên (1983,5105) = 1 . Áp dụng định lí Euler: 1983(10 ) ≡ 1 (mod 105)Mà (10 5 ) = 105(1 -11) (1 - ) = 4. 104.25Nên ta có 19834.10 ≡ 1 (mod 105).số 4.104 là số k phải tìm.Đề bài áp dụng:1. Tìm số dư khi :a) chia 8! Cho 11; b) chia 15325 -1 cho 9c) chia 340 cho 83.; d) chia 21000 cho 25; e) chia 301293 cho 132. Chứng minh rằng : a) 24n - 1  15; b) 270 + 370  13c) 122n+1 - 11n+2  133; d) 22225555 + 55552222  7e) 14k + 24k + 34k + 44k không chia hết cho 54TrườngTHCS Nguyễn đình chiểuNăm học2010-2011KẾ HOẠCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 9Năm học 2011-2012Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬVí dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tửa. a ( x 2 + 1) − x( a 2 + 1)b. x − 1 + x n +3 − x n . Giải:a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chunga ( x 2 + 1) − x( a 2 + 1) = ax 2 + a − a 2 x − x= ax( x − a ) − ( x − a ) = ( x − a )( ax − 1)b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thứcn3x − 1 + x n +3 − x n . = x ( x − 1) + ( x − 1)= x n ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + ( x − 1) = ( x − 1) [ x n ( x 2 + x + 1) + 1]= ( x − 1) ( x n + 2 + x n +1 + x n + 1)Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :a. x8 + 3x4 + 4.b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 .5http://NgocHung.name.vnGiải:a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thứcx8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4= (x4 + 2)2 - (x2)2= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằngđẳng thứcx6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)[([( x) ()]= x 2 x 4 − 2x 2 + 1 + x 2 − 2x + 1= x2= x2)( x − 1) [ x2]− 1 + ( x − 1) = x 2 ( x − 1)2222+ 2x + 22][( x + 1)2]+1Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử :a. 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abcb. x 4 + 2007 x 2 + 2006 x + 2007Giải:a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc= 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c − 2abc + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 2abc == 2ab( a + 2b ) − ac( a + 2b ) + c 2 ( a + 2b ) − 2bc( a + 2b )= ( a + 2b ) ( 2ab − ac + c 2 − 2bc ) = ( a + 2b ) [ a( 2b − c ) − c( 2b − c ) ]= ( a + 2b )( 2b − c )( a − c )b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức()= x 4 − x + 2007 x 2 + 2007 x + 2007()()22x 4 + 2007 x 2 + 206 x + 2007 = x( x − 1) x + x + 1 + 2007 x + x + 1()(= x 2 + x + 1 x 2 − x + 2007)Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a. a 3 + b 3 + c 3 − 3abcb. ( a + b + c ) 3 − a 3 − b 3 − c 3 .Giải: Sử dụng các hằng đẳng thứca 3 + b 3 = ( a + b ) a 2 + b 2 − ab([]= ( a + b ) ( a + b ) − 3ab3= ( a + b ) − 3ab( a + b ) .Do đó:2[)]a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = = ( a + b ) + c 3 − 3ab( a + b ) − 3abc[3]= ( a + b + c ) ( a + b ) − ( a + b ) c + c 2 − 3ab( a + b + c )2= ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )6http://NgocHung.name.vn[]b. ( a + b + c ) 3 − a 3 − b 3 − c 3 = ( a + b + c ) 3 − a 3 − ( b + c ) 3[](= ( b + c ) ( a + b + c ) + a( a + b + c ) + a − ( b + c ) b − bc + c 2(22)2= ( b + c ) 3a + 3ab + 3bc + 3ca = 3( b + c )( a + c )( a + b )2)Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0.Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc.3⇒ ( a + b ) = −c 3 ⇒ a 3 + b 3 + 3ab( a + b ) = −c 3Giải: Vì a + b + c = 0⇒ a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abcabVí dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính P = 24a − b 2Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = 0 ⇔ ( 4a - b)(a - b) = 0 ⇔ a = b.aba21Do đó P == 2 =2234a − b3aVí dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:222a b cx y zxyz+ + = 0; + + = 1 thì ; 2 + 2 + 2 = 1x y za b cabca b cayz + bxz + cxy= 0 ⇒ ayz + bxz + cxy = 0Giải: + + = 0 ⇒x y zxyz2x y zx2 y2 z 2ayz + bxz + cxyx2 y2 z 2x y z+ + = 1 ⇒  + + ÷ = 2 + 2 + 2 + 2.=1⇒ 2 + 2 + 2 =1a b cabcabcabca b cChuyên đề 2:.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI1. Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si)Giải:( a – b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b2. Chứng minh: . (Với a , b ≥ 0)Giải:( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b.3. Chứng minh: (Với a , b ≥ 0)Giải:2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ 0 ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ).Đẳng thức xảy ra khi a = b.4. Chứng minh: .(Với a.b > 0)Giải: + = .Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 .Hay + ≥ 2 .Đẳng thức xảy ra khi a = b5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)Giải: + = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2. Hay + ≤ - 2.Đẳng thức xảy ra khi a = -b.6. Chứng minh: . (Với a , b > 0)7http://NgocHung.name.vnGiải: + - = = ≥ 0 ⇒ + ≥ .Đẳng thức xảy ra khi a = b.Chứng minh rằng: .Giải:2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 07. ⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a= b;b = c;c = a ⇔ a = b= c.Chuyên đề 3:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTDẠNG• Nếu a > 0 : P = ax 2 + bx +c =• Nếu a < 0 : P = ax + bx +c =2Suy ra MaxP =4 a c+b4a2Khix=2b4ac-b 24ac-b 2b +ax +MinP=Khi x=- 2a÷ Suy ra4a2a 4a4 a c+b 24ab− a x−2a2÷÷b2aMột số ví dụ:21. Tìm GTNN của A = 2x + 5x + 754Giải:A = 2x2 + 5x + 7 = 2( x 2 + 2. x +25 25− )+7=16 1652556 − 255315= 2( x + )2 − + 7 =+ 2( x + )2 = + 2( x + ) 2 .4884842.3.Suy ra MinA =315Khi x = − .84Tìm GTLN của A = -2x2 + 5x + 7525 25− )+7=416 1652556 + 255815= −2( x − ) 2 + + 7 =− 2( x − ) 2 = − 2( x − ) 2 ≤ .488484Giải: A = -2x2 + 5x + 7 = - 2( x 2 − 2. x +4.Suy ra MinA =815Khi x = .84Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8.⇒ MinB = 8 khi : ⇔ .6. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10.⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ .Chuyên đề 4:• Ví dụ 1`:5.a. Rút gọn Biếu thức B =34a 2 + 12a + 9Với a ≠ −222a − a − 68http://NgocHung.name.vnb. Thực hiện phép tính:0,5a 2 + a + 2 a 3 − 82:+1 + 0,5aa + 2 a( 2 − a )(a ≠ ± 2.)( 2a + 3) = 2a + 34a 2 + 12a + 9=2( 2a + 3)( a − 2) a − 22a − a − 6230,5a + a + 2 a − 82a 2 + 2a + 4 a + 22:+=⋅ 3+b.1 + 0,5aa + 2 a( 2 − a )a+2a − 8 a( 2 − a )2a + 2a + 42a−21=−==2( a − 2 ) ( a + 2a + 4 ) a ( a − 2 ) a ( a − 2 ) a2Giải:a. B =• Ví dụ 2 Thực hiện phép tính: A =x 2 + y 2 − xyx3 + y3:.( Với x ≠ ± y)x2 − y2x 2 + y 2 − 2 xy( x − y)x 2 + y 2 − xyx3 + y3x 2 + y 2 − xyx− yA=:=×=Giải:2222222x −yx + y − 2 xy ( x − y ) ( x + y ) ( x + y ) x + y − xy( x + y)2(• Ví dụ 3 Cho biểu thức : A =)x4 + x3 + x + 1.x 4 − x3 + 2x 2 − x + 1a. Rút gọn biểu thức A.b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .A==x4 + x3 + x +1x 4 + x3 + x +1=x4 − x3 + 2x2 − x +1 x4 − x3 + x 2 + x2 − x +1x3 ( x + 1) + ( x + 1)x 2 ( x 2 − x + 1) + ( x 2 − x + 1)b. A ==(x( x + 1) ( x3 + 1)2− x + 1) ( x 2 + 1)=( x + 1) 2 ; ( x + 1) 2 ≥ 0; x 2 + 1 > 0 ⇒ A ≥ 0( x + 1)(x22(x2− x + 1)− x + 1) ( x 2 + 1)=( x + 1)(x22+ 1)x2 +1a5 + a6 + a 7 + a8Ví dụ 4 Tính giá trị biếu thức : −5a + a − 6 + a − 7 + a −8với a = 2007.Giải:85678a5 + a6 + a 7 + a8a 5 + a 6 + a 7 + a8a 5 + a 6 + a 7 + a8 a ( a + a + a + a )B = −5== 3=211 11 1a+a+a+1a + a −6 + a −7 + a −8a3 + a 2 + a + 1+++a 5 a 6 a 7 a8a8=a13 ( 1 + a + a 2 + a 3 )a + a + a +132= a13 ⇒ B = 200713• Ví dụ 5: Tính giá trị biếu thức :x 2 − 25y−2: 2.32x − 10 x + 25 x y − y − 2Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x − 3 .Giải:2x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x − 3 ⇔ ( x − 3 y ) + x − 3 = 0x = 3 yx = 3⇔⇔x = 3y = 19http://NgocHung.name.vnC=( x − 5)( x + 5) ⋅ ( y − 2)( y + 1) = ( x + 5)( y + 1) = 8.2 = − 8x 2 − 25y−2: 2=322x ( x − 5)3.( − 2 )3y−2x − 10 x + 25 x y − y − 2x ( x − 5)Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)a) Giải phương trình khi m = 2.b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãnđiều kiện x12 + x22 ≥ 10.c > 0Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: ( c + a ) < ab + bc − 2ac2Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0.Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai x1 − x 2 = 5nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 33 x1 − x 2 = 35Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = bBài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau cónghiệm:(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm nếu2b c≥ +4aaBài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệmthỏa mãn: x12 - x22 =59Bài 10: Cho phương trình: x 2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình cóhai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLNb) B = x12 + x22 - đạt GTNN.c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:11S = x3 + x312Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giảiphương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:10http://NgocHung.name.vnA=3 x12 + 5 x1 x 2 + 3x 224 x1 x 23 + 4 x13 x 2Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:x12 + x22 = 6.3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:x1 < 1 < x2.Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) .Tìm GTNN của M = x12 + x22Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:1 1 1+ =a b 2CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trìnhsau phải có nghiệm:ax2 + 2bx + c = 0 (1)bx2 + 2cx + a = 0 (2)cx2 + 2ax + b = 0 (2)Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:x12 + x22 ≥ 10.3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:E = x12 + x22 đạt GTNN.Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.CMR: a2 + b2 là một hợp số.Chuyên đề 6:Phương trình vô tỉD¹ng1:f ( x) = g ( x) x ∈ TXD⇔ f ( x) = g ( x ) ≥ 0 ⇔  f ( x) = g ( x)(*)Chó ý: §iÒu kiÖn (*) ®îc lùa chän tuú theo ®é phøc t¹p cña f(x) ≥ 0 vµ g(x) ≥ 0VD: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:− x 2 + 3 x − 2 = 2m + x − x 211http://NgocHung.name.vn− x 2 + 3x − 2 ≥ 0 1 ≤ x ≤ 2⇔ − x 2 + 3 x − 2 = 2m + x − x 2 ≥ 0 ⇔ ⇔x = m +1x = m +1§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× 1 ≤ m + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 g ( x)conghia & g ( x) ≥ 0D¹ng2: f ( x) = g ( x) ⇔ 2 f ( x) = g ( x )Chó ý: Kh«ng cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn f ( x) ≥ 0x +1 ≥ 0x ≥ 122⇔⇔ x = −1VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 1 − x = 1 ⇔ x − 1 = x + 1 ⇔  222 x = −2 x − 1 = ( x + 1)VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-1 f ( x ) co nghia & f ( x ) ≥ 0D¹ng3: f ( x) + g ( x) = h( x) ⇔  g ( x) co nghia & g ( x) ≥ 0( f ( x) + g ( x)) 2 = h( x)Chó ý: Kh«ng cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn h( x) ≥ 0VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh:x + 4 − 1− x = 1− 2xx ≤ 11 − x ≥ 01⇔ 1 − x + 1 − 2 x = x + 4 ⇔ 1 − 2 x ≥ 0⇔ x ≤21 − x + 1 − 2 x + 2 (1 − x )(1 − 2 x ) = x + 4 (1 − x)(1 − 2 x) = 2 x + 111 1− ≤x≤x ≤ 2122 1− ≤ x ≤⇔ 2⇔ x=02 ⇔  x = 02 x + 1 ≥ 02(1 − x )(1 − 2 x ) = (2 x + 1) 22 x + 7 x = 07 x = −2HoÆc cã thÓ tr×nh bµy theo çch kh¸c nh sau: - T×m ®iÒu kiÖn ®Ó çc bt cã nghÜa- BiÕn ®æi ph¬ng tr×nhChuyên đề 7: Một số bài tập cơ bản về hình họcBài 1 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By .Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lầnlượt tại E và F .1. Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp .2. AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q . Tứgiác MPOQ là hình gì ? Tại sao ?F3. Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) . Gọi K làgiao của MH và EB . So sánh MK vàKH.Hướng dẫn :MEAKQPH OB12http://NgocHung.name.vn1) EAO = EMO = 900 . Nên AEMO là tứ giác nội tiếp .2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau cóMPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nên PMQO là hình chữ nhật .3) ∆EMKEM∆ EFB (g.g) ⇒EM EF=mà MF = FBMK FBEF⇒ MK = MF∆EAB∆ KHB (g.g) ⇒EK ABEF ABEM EA===mà( Ta let) ⇒KH HBMF HBMK KHVì EM = EA ⇒ MK = KH .BCO’OKAGIBài 2 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B . Kẻ cát tuyếnchung CBD ⊥ AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).)D1. Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳnghàng .2. Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theothứ tự tại I và K . Chứng minh tứ giácCKID nội tiếp .3. Chứng minh BA , CK và DI đồng quy .Hướng dẫn :1. CBA = DBA = 900 nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,Athẳng hàng .2. Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I cùng nhìn CDdưới một góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp .3. A là trực tâm của tam giác ADG có AB là đường cao hay BA đi qua G .Bài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B . Các đường AO vàAO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F .a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng .Db) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .EAc) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếptam giác BDE .d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung củaO’O(O) và (O’)CFBHướng dẫn :a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng .b) D, E cùng nhìn CF dưới một góc vuông nên CDEF nội tiếp .c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy ra EDF =13http://NgocHung.name.vnADB . Hay DE là phân giác góc D của ∆BDE . Tương tự EC là phân giác gócE của ∆BDE . Hai phân giác cắt nhau tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp∆BDE .d) Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuônggóc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’= ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1)DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2)Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kínhbằng nhau )d Bài 4 : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động .Q Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B . ĐườngDthẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q .1)Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp một đường tròn .B Chứng minh AD. AQ = AC.AP .2) AO3)Tứ giác ADBC là hình gì ? Tại sao ?4)Xác định vị trí của CD để SCPQD = 3.SACDCHướng dẫn :1. CPB = CDA ( cùng bằng CBA) nên CPB + CDQ =1800.2. ∆ADC ∆APQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP .3. Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.P4. Để SCPQD = 3.SACD ⇒ SADC = ¼ SAPQ tức là tỉ số đồngdạng của hai tam giác này là ½ .Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông tại B nên C là trungđiểm của CP ⇒ CB = CA hay ∆ACB cân ⇒ CD ⊥ AB .Bài 5 : Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyếnSCD của đường tròn đó .1) Gọi E là trung điểm của dây CD . Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cùngnằm trên một đường tròn .2) Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại saoA?DKC3) Chứng minh AC . BD = BC.DA = ½EAB.CDSOHướng dẫn chứng minh1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , Bcùng nhìn SO dưới một góc vuông , nên tứ giácBSADO nội tiếp đường tròn đường kính SO .14http://NgocHung.name.vnDựa vào tính chất đường kính vuông góc với dây cung , ta có SEO = 90 0 .Nên E thuộc đường tròn đường kính SO .2) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB làhình vuông .AC SC=DA SABC SC∆SBD ⇒ BD = SB2) Ta thấy ∆SAC∆SDA ⇒∆SCBMà SA = SB ⇒AC BC=⇒ AC.BD = AD.BC (1)AD BDTrên SD lấy K sao cho CAK = BAD lúc đó∆CAK ∆BAD (g.g) ⇒ AC.DB = AB.CK∆BAC ∆DAK (g.g) ⇒ BC.AD = DK.ABCộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2)Từ (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CDVậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD .Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D . Trêncung AD lấy một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F .1) Chứng minh CDEF nội tiếp .2) Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N .Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q . Tứ giác MNPQ là hình gì ?Tại sao ?3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ADB , ADC .Chứng minh : r = r12 + r22 .AKEFMPBDNQCHướng dẫn :1) Dựa vào số đo cung ta thấyC = DEB ⇒ C + DEF = 1800Nên tứ giác CDEF nội tiếp .2) ∆BED ∆BCQ ( g.g) ⇒ BPE =BQC⇒ KPQ = KQP hay ∆KPQ cân .∆CNK∆MK ⇒ EMK = CNK⇒ BMN = BNM hay ∆BMN cân . ⇒ MN ⊥ PQ và MN cắt PQ là trung điểm củamỗi đường . Nên MNPQ là hình thoi.3) ∆ABC∆DABr1r2rr1 2r2 2r2==∆DAC ⇒⇒==BC AB ACBC 2 AB 2 AC 215http://NgocHung.name.vnr12 + r2 2r1 2 + r2 2r2⇔==BC 2 AB2 + AC 2BC 2⇔ r2 = r12 + r22 .Bài 7 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) . Hạ các đường cao AD , BEcủa tam giác . Các tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N . Chứng minhrằng :a) Bốn điểm A , E , D , B nằm trên một đường tròn . TÌm tâm I của đườngtròn đó .b) MN // DE .c) Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn AB .Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CEDkhông đổi .Hướng dẫn giải :a) E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuôngAnên tứ giác AEDB nội tiếp trong mộtđường tròn đường kính AB có I ( trungNđiểm của AB ) là tâmb) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE )IO Emà ABE = AMN ( chắn cung AN )nên ADE = AMN hay DE // MN .Hc) Kẻ thêm hình như hình vẽ . Dựa vào gócKnội tiếp của tứ giác AEBD suy ra được CNB D= CM nên OC ⊥ MM ⇒ OC ⊥ DECMTứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K( trung điểm của HC) đây cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE ⇒ KD =KE và ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bìnhhành ⇒ KC = OI không đổi .Bài 8 : Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O,R)1)Tính theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao của ∆ABC .2)Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC ( M ≠ B,C ) Trên tia đối của MB lấyMD = MC . Chứng tỏ ∆MCD đều .3)CMR : M di động trên cung nhỏ BC thì D di chuyển trên một đường tròn cốđịnh , xác định tâm và các vị trí giới hạn .4)Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S = MA + MB + MC là lớn nhất. Tính giátrị lớn nhất của S theo R .Hướng dẫn :16http://NgocHung.name.vnB1) AH =E2) Có MC = MD ( gt)sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 360 0 : 3).2 =1200 .⇒ CMD = 600 . Vậy ∆CMD đềuIHOMDAAB 3và AB = AC = BC = R 323) ∆IMC = ∆IMD ( c.g.c) ⇒ IC = ID .Khi M di động trên cung nhỏ BC thì Dchạy trên đường tròn ( I ; IC )CKhi M ≡ C ⇒ D ≡ C ; M ≡ I ⇒ D ≡ E .4) ∆ACM = ∆BCD ( g.c.g ) ⇒ AM = BD ⇒ S = MA + MB + MC = 2.AM ≤ 2.AI⇒ S ≤ 4R . S Max= 4R khi AM là đường kính .Bài 9 : Cho ∆ABC ngoại tiếp (O) . Trên BC lấy M , trên BA lấy N , trên CA lấy P saocho BM=BN và CM = CP . Chứng minh rằng :a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP .b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn .c) Tìm vị trí M , N , P sao cho độ dài NP nhỏ nhất .Hướng dẫn :Aa) Từ tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và giả thiếtsuy ra :PDN = EM = FP ⇒ ∆ODA = ∆OEM = ∆OFPD( c.g.c )FN⇒ON = OM = OP hay O là tâm đường tròn ngoạiOtiếp ∆MNPBb) Từ câu a) suy ra OND = OPF nên tứ giác ANOPCMEnội tiếp .c) Kẻ OH ⊥ NP .Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2)= 2.OE .Cos (A/2) .Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) .Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm .Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = atrên cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H .a) Chứng minh : AF ⊥ BE .b) Tính cạnh của tứ giác ABFE và đường chéo của nó theo a .17http://NgocHung.name.vnc) Tính theo a đoạn HE , HB .d) Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn . Đường tròn ấy cắt BF ở K . Tínhtheo a đoạn BK . Nhận xét gì về 3 điểm E , K ,C .FDHướng dẫn :Ca) ∆ADF = ∆BAE ⇒DAF = EBA ⇒ BE ⊥ AF .b) Pitago : BE = AF = a 10 ; EF = a 5 ; BF = aKE13c) Dùng hệ thức lượng : EH =HA∆BEKB∆BFH ⇒ BK =a 109a 10; HB =1010d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 180 0 nên EDFHnội tiếp.BE.BH 9a 13=BF13e) Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng .Chuyên dề 8:Một số đÒ thi häc sinh giái to¸n 9Đề 1:Câu 1: ( 6,0 điểm) 1)Giải phương trình:x + 2 + 3 2x − 5 + x − 2 − 2x − 5 = 2 21) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 + 4x + 4x 2 + 4x 2 − 12x + 9Câu 2: ( 3,0 điểm)Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n3 8 15n2 − 1S = + + + ... + 2 không thể là một số nguyên.4 9 16n≥ 2 thìCâu 3: ( 3,0 điểm)Trong một cuộc đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc.Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua môtô trên.Câu 4: ( 3,0 điểm)Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường caoBK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.Câu 5: ( 5,0 điểm)Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trênđường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.1) Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC.2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏAB).ĐỀ 2:18http://NgocHung.name.vnBµi 1: (3 ®iÓm) Cho biÓu thøc P =x x −32( x − 3)x +3−+x −2 x −3x +13− x1) Rut gọn biểu thức P2) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 14 - 6 53) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P và giá trị tương ứng của x.111++=1x +3 + x +2x + 2 + x +1x +1 + xBµi 2: (3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:1)2)36x−2+4y −1= 28 − 4 x − 2 −y −1Bµi 3: (3 ®iÓm) 1) Cho biểu thức A = x 2 − 4 x + 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A.2) Cho ( x + x 2 + 3 )( y + y 2 + 3 ) =3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y.Bài 4: (3 điểm)1) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 )x 2 + 1=y22) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau: x + y = 1980Bài 5: ( 3 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.AChứng minh rằng: sin 2 ≤a2 bcBµi 6: (5 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D saocho BD = 20cm. Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tínhđộ dài các cạnh của tam giác DEF./.ĐỀ 3:Bài1(1,5đ)a/ Tính6−2 5 − 6+2 5b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. Chứng tỏ rằng1 1 1+ +=a 2 b2 c21a1b1c| + + |c/ Hãy chứng tỏ x = 3 5 + 2 − 3 5 − 2 là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0Bài2(2đ)a/Rútgọn,tínhgiátrịbiểuA=x − y  1 1 1+ + ÷.xy xy  x y  x + y + 2 xy( 11 .+÷3 y÷x+ y  x2)19]thứchttp://NgocHung.name.vnVới x = 2 − 3, y = 2 + 3b/ Giải phương trình x + 9 + x − 7 = 4Bài3(2,5đ)a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =x2 − x + 1x2 + x + 1b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0)Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C . Xác định a để đường thẳng y =ax chia hìnhchữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tíchphần chứa điểm CBài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài ABvà tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E ∈ (O) , B , F ∈ (O’) )a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF . Chứng minh rằng : ∆ AOM và ∆ BMO’ đồngdạngb/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BFc/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng¼Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD . Tính cos MANbiết rằng M ,N theo thứ tự là trungđiiểm của BC, CD§Ò 4.Bµi 1(3®). Cho biÓu thøc: A = 3 x + x 3 +32+ x3 ++ 1xx − 27  333a. Rót gän A.b. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 3 +2010Bµi 2(3®). Cho hµm sè y = 3x +2m-1 (1)a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A(1; 5).b. VÏ ®å thÞ hµm sè víi gi¸ trÞ võa t×m ®îc ë c©u a. Gäi giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè(1) víi trôc 0x lµ B; giao ®iÓm cña ®êng th¼ng h¹ tõ A vu«ng gãc víi 0x lµ C. TÝnhdiÖn tÝch tam gi¸c ABC?xyz==2008 2009 2010Chøng minh r»ng: z – x =2 ( x − y )( y − z )Bµi 3(2) Cho çc sè thùc x, y, z tháa m·nBµi 4(2.5). Cho x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x3 + y3 + xyBµi 5(2.5). Cho a, b>0. Chøng minh r»ng:b2a2+≥ a+ babBµi 6(3) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( Bˆ = 900, BC > BA) néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnhAC. KÎ d©y cung BD vu«ng gãc víi ®êng kÝnh AC. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.Trªn HC lÊy ®iÓm E sao cho E ®èi xøng víi A qua H. §êng trßn ®êng kÝnh EC c¾t c¹nhBC t¹i I ( I kh¸c C). Chøng minh r»ng:a. CI.CA = CB.CEb. HI lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh EC20http://NgocHung.name.vnBµi 7(4). Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp (0; R). §êng cao AK c¾t ®êng trßn (0) t¹i D;AN lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (0).a. Chøng minh: BD = CN.b. TÝnh ®é dµi AC theo R vµ α . BiÕt = α .c. Gäi H, G lÇn lît lµ trùc t©m, träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng H; G;0 th¼ng hµng.SỐ CHÍNH PHƯƠNGI. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.II. TÍNH CHẤT:1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể cóchữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyêntố với số mũ chẵn.3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có sốchính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có sốchính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGA. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGBài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thìA = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t ∈ Z) thìA = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)221http://NgocHung.name.vnV ì x, y, z ∈ Z nên x2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y2 ∈ Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 ∈ ZVậy A là số chính phương.Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta cón(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2= (n2 + 3n + 1)2Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .11k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]4411=k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1)44111111⇒ S = .1.2.3.4 - .0.1.2.3 + .2.3.4.5 - .1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) 4444441k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3)4Ta có k(k+1)(k+2) =4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó.Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11…1 + 1n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8n chữ số 4n chữ số 110 n − 110 n − 14.10 2 n − 4.10 n + 8.10 n − 8 + 94.10 2 n + 4.10 n + 1n= 4.. 10 + 8.+1==99992n 2.10 + 1 = 3Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 32 2.10 + 1 ⇒ 3nn-1 chữ số 0∈ Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:22http://NgocHung.name.vnA = 11…1 + 44…4 + 12n chữ số 1n chữ số 4B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 82n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 72n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 822 10 n + 2 Kết quả: A =  3  10 n + 8 B =  3 ;2; 2.10 n + 7 C = 3Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:a. A = 22499…9100…09n-2 chữ số 9 n chữ số 0b. B = 11…155…56n chữ số 1 n-1 chữ số 5a. A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n – 90.10n + 9= ( 15.10n – 3 ) 2 ⇒ A là số chính phươngb. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10n + 5.11…1 + 1n chữ số 1 n chữ số 5n chữ số 1n chữ số 110 n − 110 n − 110 2 n − 10 n + 5.10 n − 5 + 9n=. 10 + 5.+1=9992=102n 10 + 2 + 4.10 + 4= 9 3 nnlà số chính phương ( điều phải chứng minh)Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thểlà một số chính phươngGọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n ∈ N , n ≥2 ).Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)23http://NgocHung.name.vnVì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5⇒ 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phươngBài 8: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n ∈ N và n>1không phải là số chính phươngn6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]= n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)Với n ∈ N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 ⇒ n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương.Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ sốhàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chínhphương đó là một số chính phươngCách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàngchục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phươngCách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tậncùng của a là 4 hoặc 6 ⇒ a 2 ⇒ a2  4Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56,76, 96 ⇒ Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là mộtsố chính phương.a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m ∈ N)⇒ a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1= 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t ∈ N)Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t ∈ N) do đó a2 + b2 không thể là sốchính phương.Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1không thể là các số chính phương.Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không chia hết cho 4 (1)a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m ∈ N)Vì p chẵn nên p+1 lẻ ⇒ m2 lẻ ⇒ m lẻ.Đặt m = 2k+1 (k ∈ N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ p+1 = 4k2 + 4k + 1⇒ p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)  4 mâu thuẫn với (1)24http://NgocHung.name.vn⇒ p+1 là số chính phươngb. p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 ⇒ p-1 có dạng 3k+2.Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 ⇒ p-1 không là số chính phương .Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phươngBài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào làsố chính phương.a. 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1Có 2N  3 ⇒ 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k ∈ N)⇒ 2N-1 không là số chính phương.b. 2N = 2.1.3.5.7…2007Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2 và 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4.2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 ⇒ 2N không là số chính phương.c. 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 12N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 42N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1⇒ 2N+1 không là số chính phương.Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…052008 chữ số 12007 chữ số 0Chứng minhab + 1 là số tự nhiên.10 2008 − 1Cách 1: Ta có a = 11…1 =; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 102008 + 592008 chữ số 1⇒ ab+1 =ab + 1 =Ta thấy 102008(10− 1)(10920082007 chữ số 02008+ 5)+1=(10) + 4.1092008 22008 chữ số 020082 10 2008 + 2 −5+9= 3 10 2008 + 2 210 2008 + 2 =3310 2008 + 2+ 2 = 100…02  3 nên3∈ N hayab + 1 là số tự nhiên.2007 chữ số 0Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +62007 chữ số 02008 chữ số 02008 chữ số 9⇒ ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)225http://NgocHung.name.vn⇒ab + 1 =(3a + 1) 2 = 3a + 1∈NB. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGBài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:a. n2 + 2n + 12b. n ( n+3 )c. 13n + 3d. n2 + n + 1589Giải2a. Vì n + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N)⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n+1)2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết(k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔k+n+1 = 11 ⇔ k = 6k–n-1=1n=42222b. Đặt n(n+3) = a (n ∈ N) ⇒ n + 3n = a ⇔ 4n + 12n = 4a2⇔ (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 ⇔ (2n + 3) 2 - 4a2 = 9 ⇔ (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a)= 9Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên tacó thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1⇔2n + 3 + 2a = 9 ⇔ n = 12n + 3 – 2a = 1a=22c. Đặt 13n + 3 = y ( y ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = y2 – 16 ⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)⇒ (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13⇒ y = 13k ± 4 (Với k ∈ N)⇒ 13(n – 1) = (13k ± 4 )2 – 16 = 13k.(13k ± 8)⇒ n = 13k2 ± 8k + 1Vậy n = 13k2 ± 8k + 1 (Với k ∈ N) thì 13n + 3 là số chính phương.d. Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m ∈ N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2⇔ (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thểviết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:a.a2 + a + 43b.a2 + 81c.a2 + 31a + 1984Kết quả: a. 2; 42; 1326http://NgocHung.name.vnb. 0; 12; 40c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chínhphương .Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương .Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phươngVới n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phươngVới n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đềutận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phảilà số chính phương .Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.Bài 4: Tìm n ∈ N để các số sau là số chính phương:a. n2 + 2004( Kết quả: 500; 164)b. (23 – n)(n – 3)( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)2c. n + 4n + 97d. 2n + 15Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m ∈ N)Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 ⇔ (m + n)(m - n) = 2006Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)Từ (1) và (2) ⇒ m + n và m – n là 2 số chẵn⇒ (m + n)(m - n)  4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4⇒ Điều giả sử sai.Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.Bài 6: Biết x ∈ N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1)2Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương .Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên xchỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x ∈ N và 2 < x ≤ 9 (2)Từ (1) và (2) ⇒ x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7.Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 577627http://NgocHung.name.vnBài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chínhphương.Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên tađược 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.Vậy n = 40Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các sốchính phương thì n là bội số của 24.Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m ∈ N)Ta có m là số lẻ ⇒ m = 2a+1 ⇒ m2 = 4a (a+1) + 14a(a + 1)m2 −1⇒ n=== 2a(a+1)22∈⇒ n chẵn ⇒ n+1 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ Đặt k = 2b+1 (Với bN) ⇒ k2 = 4b(b+1) +1⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n  8 (1)Ta có k2 + m2 = 3n + 2 ≡ 2 (mod3)Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1.Nên để k2 + m2 ≡ 2 (mod3) thì k2 ≡ 1 (mod3)m2 ≡ 1 (mod3)⇒ m2 – k2  3 hay (2n+1) – (n+1)  3 ⇒ n  3 (2)Mà (8; 3) = 1 (3)Từ (1), (2), (3) ⇒ n  24.Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) thì2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)2p.2q = (a+48)(a-48)Với p, q ∈ N ; p+q = n và p > q⇒a+48 = 2p ⇒ 2p – 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q -1) = 25.3a- 48 = 2q⇒ q = 5 và p-q = 2 ⇒ p = 7 ⇒ n = 5+7 = 12Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNGBài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của Amột đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số28http://NgocHung.name.vnB = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2với k, m ∈ N và 32 < k < m < 100a, b, c, d ∈ N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9⇒ Ta cóA = abcd = k2B = abcd + 1111 = m2⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m-k)(m+k) = 1111 (*)Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101Do đó m – k == 11 ⇔ m = 56 ⇔A = 2025m + k = 101n = 45B = 3136Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơnsố gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = 1 và k ∈ N, 32 ≤ k < 100Suy ra 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) ⇒ k +10  101 hoặc k-10  101Mà (k-10; 101) = 1 ⇒ k +10  101Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 ⇒ k+10 = 101 ⇒ k = 91⇒ abcd = 912 = 8281Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ sốcuối giống nhau.Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)Nhận xét thấy aabb  11 ⇒ a + b  11Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương .Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn ⇒ b = 4Số cần tìm là 7744Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lậpphương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y ∈ NVì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương .Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương ⇒ y = 16⇒ abcd = 409629http://NgocHung.name.vnBài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố,căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c,d ≤ 9abcd chính phương ⇒ d ∈ { 0,1,4,5,6,9}d nguyên tố ⇒ d = 5Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 ⇒ k tận cùng bằng 5Tổng các chữ số của k là một số chính phương ⇒ k = 45⇒ abcd = 2025Vậy số phải tìm là 2025Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó vàviết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phươngGọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b ∈ N, 1 ≤ a,b ≤ 9 )Số viết theo thứ tự ngược lại ba22Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 )  11 ⇒ a2 - b2  11Hay ( a-b )(a+b )  11Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11 ⇒ a + b = 1122Khi đó ab - ba = 32 . 112 . (a - b)22Để ab - ba là số chính phương thì a - b phải là số chính phương do đó a-b = 1hoặc a - b = 4• Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332• Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 7,5 ( loại )Vậy số phải tìm là 65Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũngđược một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu( Kết quả: 1156 )Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng cácchữ số của nó.Gọi số phải tìm là ab với a,b ∈N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 92Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 ⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3⇒ ab là một lập phương và a+b là một số chính phươngĐặt ab = t3 ( t ∈N ) , a + b = l 2 ( l ∈N )30http://NgocHung.name.vnVì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 hoặc ab = 64• Nếu ab = 27 ⇒ a + b = 9 là số chính phương• Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 không là số chính phương ⇒ loạiVậy số cần tìm là ab = 27Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n ∈N)Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9⇒ 12n( n + 1 ) = 11(101a – 1 )⇒ 101a – 1  3 ⇒ 2a – 1  3Vì 1 ≤ a ≤ 9 nên 1 ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – 1 ∈{ 3; 9; 15 }⇒ a ∈{ 2; 5; 8 }Vì a lẻ ⇒ a = 5 ⇒ n = 213 số càn tìm là 41; 43; 45Bài 10: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằngtổng lập phương các chữ số của số đó.ab (a + b ) = a3 + b3⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab⇔ 3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 )a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đóa + b = 3ahoặca + b – 1 = 3aa +b–1=3+ba+b=3+b⇒ a=4,b=8hoặca=3,b=7Vậy ab = 48 hoặc ab = 37.….………………….. Hết ………………………….Sè nguyªn tèI. KiÕn thøc cÇn nhí:1. DÞnh nghÜa:* Sè nguyªn tè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, chØ cã hai íc lµ 1 vµ chÝnh nã.* Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, cã nhiÒu h¬n hai íc.2. TÝnh chÊt:* NÕu sè nguyªn tè p chia hÕt cho sè nguyªn tè q th× p = q.31http://NgocHung.name.vn* NÕu tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× Ýt nhÊt mét thõa sè cña tÝch abc chiahÕt cho sè nguyªn tè p.* NÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× tÝch ab kh«ng chia hÕt cho sènguyªn tè p .3. Çch nhËn biÕt mét sè nguyªn tè:a) Chia sè ®ã lÇn lît cho çc sè nguyªn tè ®· biÕt tõ nhá ®Õn lín.- NÕu cã mét phÐp chia hÕt th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.- NÕu chia cho ®Õn lóc sè th¬ng nhá h¬n sè chia mµ çc phÐp chia vÉn cßn sè d th×ssã ®ã lµ sè nguyªn tè.b) Mét sè cã 2 íc sè lín h¬n 1 th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.4. Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè:* Ph©n tÝch mét sè tù nhiªn lín h¬n 1 ra thõa sè nguyªn tè lµ viÕt sè ®ã díi d¹ngmét tÝch çc thõa sè nguyªn tè.- D¹ng ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè cña mçi sè nguyªn tè lµ chÝnh sè ®ã.- Mäi hîp sè ®Òu ph©n tÝch ®îc ra thõa sè nguyªn tè.A = a α .bβ .....c γVíi a, b, c lµ nh÷ng sè nguyªn tè.α, β, ..., γ ∈ N vµ α, β, ..., γ ≥ 15. Sè çc íc sè vµ tæng çc íc sè cña mét sè:Gi¶ sö A = a α .bβ .....c γVíi a, b, c lµ nh÷ng sè nguyªn tè.α, β, ..., γ ∈ N vµ α, β, ..., γ ≥ 11. Sè çc íc sè cña A lµ: (α+1)(β+1)...(γ +1).a α +1 − 1 bβ+1 − 1 c γ+1 − 12. Tæng çc íc sè cña A lµ:....a −1b −1c −16. Sè nguyªn tè cïng nhau:* Hai sè nguyªn tè cïng nhau lµ hai sè cã ¦CLN b»ng 1.Hai sè a vµ b nguyªn tè cïng nhau ⇔ ¦CLN(a, b) = 1.Çc sè a, b, c nguyªn tè cïng nhau ⇔ ¦CLN(a, b, c) = 1.Çc sè a, b, c ®«i mét nguyªn tè cïng nhau ⇔ ¦CLN(a, b) = ¦CLN(b, c) =¦CLN(c, a) =1.II. Çc vÝ dô:VD1: Ta biÕt r»ng cã 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100. Tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½nhay sè lÎ.HD:Trong 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 cã chøa mét sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2, cßn 24sè nguyªn tè cßn l¹i lµ sè lÎ. Do ®ã tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½n.VD2: Tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012. T×m sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ba sènguyªn tè ®ã.HD:32http://NgocHung.name.vnV× tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012, nªn trong 3 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i Ýt nhÊtmét sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2 vµ lµ sè nguyªn tè nhá nhÊt.VËy sè nguyªn tè nhá nhÊt trong 3 sè nguyªn tè ®ã lµ 2.VD3: Tæng cña 2 sè nguyªn tè cã thÓ b»ng 2003 hay kh«ng? V× sao?HD:V× tæng cña 2 sè nguyªn tè b»ng 2003, nªn trong 2 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i 1 sè nguyªntè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2. Do ®ã sè nguyªn tè cßn l¹i lµ 2001. Do2001 chia hÕt cho 3 vµ 2001 > 3. Suy ra 2001 kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.VD4: T×m sè nguyªn tè p, sao cho p + 2 vµ p + 4 còng lµ çc sè nguyªn tè.HD:Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè.- NÕu p = 2 th× p + 2 = 4 vµ p + 4 = 6 ®Òu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.- NÕu p ≥ 3 th× sè nguyªn tè p cã 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k ∈ N*.+) NÕu p = 3k ⇒ p = 3 ⇒ p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 ®Òu lµ çc sè nguyªn tè.+) NÕu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ p + 2  3 vµ p + 2 > 3. Do ®ãp + 2 lµ hîp sè.+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⇒ p + 4  3 vµ p + 4 > 3. Do ®ãp + 4 lµ hîp sè.VËy víi p = 3 th× p + 2 vµ p + 4 còng lµ çc sè nguyªn tè.VD5: Cho p vµ p + 4 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 lµ hîp sè.HD:V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k∈ N*.- NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⇒ p + 4  3 vµ p + 4 > 3. Do ®ãp + 4 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 4 lµ sè nguyªn tè).- NÕu p = 3k + 1 th× p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⇒ p + 8  3 vµ p + 8 > 3. Do ®ãp + 8 lµ hîp sè.VËy sè nguyªn tè p cã d¹ng: p = 3k + 1 th× p + 8 lµ hîp sè.VD6: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1.HD:Mçi sè tù nhiªn n khi chia cho 4 cã thÓ cã 1 trong çc sè d: 0; 1; 2; 3. Do ®ã mäi sè tùnhiªn n ®Òu cã thÓ viÕt ®îc díi 1 trong 4 d¹ng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3víi k ∈ N*.- NÕu n = 4k ⇒ n 4 ⇒ n lµ hîp sè.- NÕu n = 4k + 2 ⇒ n 2 ⇒ n lµ hîp sè.VËy mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4k + 1 hoÆc 4k – 1. Hay mäi sè nguyªn tèlín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1 víi n ∈ N*.VD7: T×m ssã nguyªn tè, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tæng cña hai sè nguyªn tè vµ b»ng hiÖucña hai sè nguyªn tè.HD:33http://NgocHung.name.vnGi¶ sö a, b, c, d, e lµ çc sè nguyªn tè vµ d > e.Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*).Tõ (*) ⇒ a > 2 ⇒ a lµ sè nguyªn tè lÎ.⇒ b + c vµ d - e lµ sè lÎ.Do b, d lµ çc sè nguyªn tè ⇒ b, d lµ sè lÎ ⇒ c, e lµ sè ch½n.⇒ c = e = 2 (do c, e lµ çc sè nguyªn tè).⇒ a = b + 2 = d - 2 ⇒ d = b + 4.VËy ta cÇn t×m sè nguyªn tè b sao cho b + 2 vµ b + 4 còng lµ çc sè nguyªn tè.VD8: T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn tè x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.HD:Ta cã: x 2 − 6 y 2 = 1 ⇒ x 2 − 1 = 6 y 2 ⇒ ( x − 1)( x + 1) = 6 y 2Do 6 y 2 2 ⇒ ( x − 1)( x + 1)2Mµ x - 1 + x + 1 = 2x ⇒ x - 1 vµ x + 1 cã cïng tÝnh ch½n lÎ.⇒ x - 1 vµ x + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp⇒ ( x − 1)( x + 1)8 ⇒ 6 y 2 8 ⇒ 3 y 2 4⇒ y 2 2 ⇒ y 2 ⇒ y = 2 ⇒ x = 5VD9: Cho p vµ p + 2 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 1 6.HD:V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k∈ N*.- NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ p + 2  3 vµ p + 2 > 3. Do ®ãp + 2 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 2 lµ sè nguyªn tè).- NÕu p = 3k + 2 th× p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).Do p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3 ⇒ p lÎ ⇒ k lÎ ⇒ k + 1 ch½n ⇒ k + 1 2 (2)Tõ (1) vµ (2) ⇒ p + 1 6.II. Bµi tËp vËn dông:Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho çc sè sau còng lµ sè nguyªn tè:a) p + 2 vµ p + 10.b) p + 10 vµ p + 20.c) p + 10 vµ p + 14.d) p + 14 vµ p + 20.e) p + 2vµ p + 8.f) p + 2 vµ p + 14.g) p + 4 vµ p + 10.h) p + 8 vµ p + 10.Bµi 2: T×m sè nguyªn tè p sao cho çc sè sau còng lµ sè nguyªn tè:a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.34http://NgocHung.name.vne) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.Bµi 3:a) Cho p vµ p + 4 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 8 lµ hîp sè.b) Cho p vµ 2p + 1 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 4p + 1 lµ hîp sè.c) Cho p vµ 10p + 1 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 5p + 1 lµ hîp sè.d) Cho p vµ p + 8 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 4 lµ hîp sè.e) Cho p vµ 4p + 1 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 2p + 1 lµ hîp sè.f) Cho p vµ 5p + 1 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 10p + 1 lµ hîp sè.g) Cho p vµ 8p + 1 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p - 1 lµ hîp sè.h) Cho p vµ 8p - 1 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p + 1 lµ hîp sè.i) Cho p vµ 8p2 - 1 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 + 1 lµ hîp sè.j) Cho p vµ 8p2 + 1 lµ çc sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 - 1 lµ hîp sè.Bµi 4: Chøng minh r»ng:a) NÕu p vµ q lµ hai sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p2 – q2  24.b) NÕu a, a + k, a + 2k (a, k ∈ N*) lµ çc sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× k  6.Bµi 5:a) Mét sè nguyªn tè chia cho 42 cã sè d r lµ hîp sè. T×m sè d r.b) Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d r. T×m sè d r biÕt r»ng r kh«ng lµ sè nguyªntè.Bµi 6: Hai sè nguyªn tè gäi lµ sinh ®«i nÕu chóng lµ hai sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp. Chøngminh r»ng mét sè tù nhiªn lín h¬n 3 n»m gi÷a hai sè nguyªn tè sinh ®«i th× chia hÕt cho6.Bµi 7: Cho 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3, trong ®ã sè sau lín h¬n sè tríc lµ d ®¬n vÞ. Chøngminh r»ng d chia hÕt cho 6.Bµi 8: T×m sè nguyªn tè cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ngîc l¹i th× ta®îc mét sè lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn.Bµi 9: T×m sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè, ch÷ sè hµng ngh×n b»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, ch÷ sèhµng tr¨m b»ng ch÷ sè hµng chôc vµ sè ®ã viÕt ®îc díi d¹ng tÝch cña 3 sè nguyªn tè liªntiÕp.Bµi 10: T×m 3 sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp ®Òu lµ çc sè nguyªn tè.Bµi 11: T×m 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 còng lµ sè nguyªn tè.Bµi 12: T×m tÊt c¶ çc bé ba sè nguyªn tè a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.Bµi 13: T×m 3 sè nguyªn tè p, q, r sao cho pq + qp = r.Bµi 14: T×m çc sè nguyªn tè x, y, z tho¶ m·n xy + 1 = z.Bµi 15: T×m sè nguyªn tè abcd sao cho ab , ac lµ çc sè nguyªn tè vµ b 2 = cd + b − c.Bài 16: Cho çc sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c ∈ N*) lµ çc sè nguyªn tè.Chøng minh r»ng 3 sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau.Bµi 17: T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn tè x, y sao cho:a) x2 – 12y2 = 1.b) 3x2 + 1 = 19y2.35http://NgocHung.name.vnc) 5x2 – 11y2 = 1.d) 7x2 – 3y2 = 1.e) 13x2 – y2 = 3.f) x2 = 8y + 1.Bµi 18: T×m 3 sè nguyªn tè sao cho tÝch cña chóng gÊp 5 lÇn tæng cña chóng.Bµi 19: Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó p vµ 8p2 + 1 lµ çc sè nguyªn tè lµp = 3.Bµi 20: Chøng minh r»ng: NÕu a2 – b2 lµ mét sè nguyªn tè th× a2 – b2 = a + b.Bµi 21: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 3 ®Òu cã d¹ng 6n + 1 hoÆc6n – 1.Bµi 22: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3 kh«ng thÓ lµmét sè nguyªn tè.Bµi 23: Cho sè tù nhiªn n ≥ 2. Gäi p1, p2, ..., pn lµ nh÷ng sè nguyªn tè sao chopn ≤ n + 1. §Æt A = p1.p2 ...pn. Chøng minh r»ng trong d·y sè çc sè tù nhiªn liªn tiÕp: A+ 2, A + 3, ..., A + (n + 1). Kh«ng chøa mét sè nguyªn tè nµo.Bµi 24: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th× 2.3.4...(p – 3)(p – 2) - 1 p.Bµi 25: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th× 2.3.4...(p – 2)(p – 1) + 1 p.Chuyªn ®Ò t×m ch÷ sè tËn cïngI. Tìm một chữ số tận cùngTính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kìthì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùngvẫn không thay đổi.c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thìchữ số tận cùng là 1.d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thìchữ số tận cùng là 6.e) Tích của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên lẻ nào cũngcho ta số có chữ số tận cùng là 5.Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thìchữ số tận cùng vẫn không thay đổi.Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữsố tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữsố tận cùng là 3.b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùnglà 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùnglà 2.c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽkhông thay đổi chữ số tận cùng.36http://NgocHung.name.vnBài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số:a) 799b)6714145c) 414Giải: a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 9 9 − 1 = (9 − 1)(98 + 97 + … + 9+ 1) chia hết cho 4 ⇒ 99 = 4k + 1 (k ∈ N) ⇒ 799 = 74k + 1 = 74k.7Do 74k có chữ số tận cùng là 1 ⇒ 799 có chữ số tận cùng là 7.b) Dễ thấy 1414 = 4k (k ∈ N) ⇒ 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6.c) Ta có 567 − 1  4 ⇒ 567 = 4k + 1 (k ∈ N) ⇒ 4567 = 44k + 1 = 44k.4 ⇒ 44k có chữ số tậncùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4.Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số:a) 71993b) 21000c) 31993d) 4161e) 234g) 999h) 1981945i) 321930Bài 3: Chứng minh rằng: a) 8102 − 2102  10b) 175 + 244 − 1321  10c) 4343 − 1717  10Bài 4: Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1  10Bài 5: Có tồn tại hay không số tự nhiên n để n2 + n + 2 chia hết cho 5?Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của C = 1.3.5.7…..99Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng cácchữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009.Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 1, n ∈ {2, 3, …, 2004}).Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùnggiống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 =9009.Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011.Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}).Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữsố tận cùng là 4 ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4= 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. Vậy: chữ số tận cùng củatổng T là 9.Bài 4: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000.Giải: 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n 2 +n + 1 có chia hết cho 5 không? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liêntiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0; 2; 6 ⇒ n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùnglà 1; 3; 7 ⇒ n2 + n + 1 không chia hết cho 5.Vậy: không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000.37http://NgocHung.name.vnSử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ;5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được Bài sau:Bài 5: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương:a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)b) N = 20042004k + 2003Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ;3 ; 7 ; 9”Bài 6: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: p8n +3.p4n − 4 chia hết cho 5.Bài 7: Tìm số dư của các phép chia:a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của X, Y:X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016Bài 9: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau:U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015Bài 10: Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn:19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004.II. Tìm hai chữ số tận cùngNhận xét: Nếu x ∈ N và x = 100k + y, trong đó k; y ∈ N thì hai chữ số tận cùng của xcũng chính là hai chữ số tận cùng của y.Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tựnhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x =ma như sau:Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am  2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an − 1  25.Viết m = pn + q (p ; q ∈ N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq  4 ta có:x = am = aq(apn − 1) + aq.Vì an − 1  25 ⇒ apn − 1  25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn − 1)  100.Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, tatìm hai chữ số tận cùng của aq.Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an − 1  100.Viết m = un + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun − 1) + av Vì an − 1 100 ⇒ aun− 1 100.Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, tatìm hai chữ số tận cùng của av.Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được Bài là chúng ta phải tìm được số tựnhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng củaaq và av.38http://NgocHung.name.vnBài 11: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) a2003 b) 799Giải: a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n −1  25.Ta có 210 = 1024 ⇒ 210 + 1 = 1025  25 ⇒ 220 − 1 = (210 + 1)(210 − 1)  25 ⇒ 23(220 − 1) 100. Mặt khác: 22003 = 23(22000 − 1) + 23 = 23((220)100 − 1) + 23 = 100k + 8 (k ∈ N).Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08.b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n − 1  100.Ta có 74 = 2401 => 74 − 1  100. Mặt khác: 99 − 1  4 => 99 = 4k + 1 (k ∈ N)Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k − 1) + 7 = 100q + 7 (q  N) tận cùng bởi hai chữ số 07.Bài 12: Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25.Giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3 517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2,ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n − 1  100.Ta có 310 = 95 = 59049 ⇒ 310 + 1  50 ⇒ 320 − 1 = (310 + 1) (310 − 1)  100.Mặt khác: 516 − 1  4 ⇒ 5(516 − 1)  20 ⇒ 517 = 5(516 − 1) + 5 = 20k + 5 ⇒ 3517 = 320k + 5= 35(320k − 1) + 35 = 35(320k − 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43.Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18.Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của haichữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng.Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4.Một câu hỏi đặt ra là: Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây:Tính chất 4: Nếu a  N và (a, 5) = 1 thì a20 − 1  25.Bài 13: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng:a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003Giải: a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a 100 − 1 chia hết cho 4 ;nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25.Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a ∈ N và (a, 5) = 1 ta có a × 100 − 1  25.Vậy với mọi a ∈ N ta có a2(a100 − 1)  100.Do đó S1 = 12002 + 22(22000 − 1) + ... + 20042(20042000 − 1) + 22 + 32 + ... + 20042.Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng221 + 2 + 32 + ... + 20042. áp dụng công thức: 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6⇒12 + 22 + ... + 20042 = 2005 × 4009 × 334 = 2684707030, tận cùng là 30.Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30.b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S 2 = 12003 + 23(22000 − 1) + ... + 2004 3(20042000 − 1) + 23+ 33 + 20043. Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S 2 cũng chính là hai chữ số tận cùngcủa 13 + 23 + 33 + ... + 20043. Áp dụng công thức:2 n(n + 1) 13 + 23 + 33 + ... + n 3 = (1 + 2 + ... + n) 2 =  2 ⇒ 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 × 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00.39http://NgocHung.name.vnVậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00.Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ;+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ;+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ;+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ;+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.Bài 14: Cho n ∈ N và n − 1 không chia hết cho 4. CMR: 7n + 2 không thể là số chínhphương.Giải: Do n − 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r ∈ {0, 2, 3}). Ta có 74 − 1 = 2400 100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k − 1) + 7r + 2. Vậy hai chữ số tận cùng của 7 n + 2cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7 r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45.Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hếtcho 4.III. Tìm ba chữ số tận cùngNhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tậncùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000.Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y ∈ N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính làba chữ số tận cùng của y (y ≤ x).Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tậncùng của số tự nhiên x = am như sau:Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho a n − 1chia hết cho 125.Viết m = pn + q (p ; q ∈ N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta có:x = am = aq(apn − 1) + aq.Vì an − 1 chia hết cho 125 => apn − 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1nên aq(apn − 1) chia hết cho 1000.Vậy ba chữ số tận cùng của a m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a q. Tiếp theo,ta tìm ba chữ số tận cùng của aq.Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an − 1 chia hết cho 1000.Viết m = un + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun − 1) + av.Vì an − 1 chia hết cho 1000 => aun − 1 chia hết cho 1000.Vậy ba chữ số tận cùng của a m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a v. Tiếp theo,ta tìm ba chữ số tận cùng của av. Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4.Tính chất 6: Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a100 − 1 chia hết cho 125.Chứng minh: Do a20 − 1  25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1⇒ a20 + a40 + a60 + a80 + 1  5. Vậy a100 − 1 = (a20 − 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) 125.Bài 15: Tìm ba chữ số tận cùng của 123101.Giải: Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 ⇒ 123100 − 1  125 (1).Mặt khác: 123100 − 1 = (12325 − 1)(12325 + 1)(12350 + 1) ⇒ 123100 − 1  8 (2).40http://NgocHung.name.vnVì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 123100 − 1  1000⇒ 123101 = 123(123100 − 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∈ N). Vậy 123101 có ba chữ số tậncùng là 123.Bài 12: Tìm ba chữ số tận cùng của 3399...98.Giải: Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 − 1 chi hết cho 125 (1).Tương tự bài 11, ta có 9100 − 1 chia hết cho 8 (2).Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 9 100 − 1 chia hết cho 1000 ⇒ 3399...98 = 9199...9 =9100p + 99 = 999(9100p − 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q ∈ N).Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 9 99. Lại vì9100 − 1 chia hết cho 1000 ⇒ ba chữ số tận cùng của 9 100 là 001 mà 999 = 9100: 9 ⇒ bachữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9 99 là 9, sau đó dựa vàophép nhân ???9 × 9 = ...001 để xác định ??9 = 889 ). Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 là889.Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cáchgián tiếp theo các bước: Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năngcủa ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng.Bài 16: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200.Giải: do (2004, 5) = 1 (tính chất 6) ⇒ 2004100 chia cho 125 dư 1 ⇒ 2004200 = (2004100)2chia cho 125 dư 1 ⇒ 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876.Do 2004200  8 nên chỉ có thể tận cùng là 376.Bài tập vận dụng:Bài 17: Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho4.Bài 18: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận cùng giống nhau.Bài 19: Tìm hai chữ số tận cùng của:a) 3999 b) 111213Bài 20: Tìm hai chữ số tận cùng của:S = 23 + 223 + ... + 240023Bài 21: Tìm ba chữ số tận cùng của:S = 12004 + 22004 + ... + 20032004Bài 22: Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a 101 cũng bằng ba chữsố tận cùng của a.Bài 23: Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùng củaA200.Bài 24: Tìm ba chữ số tận cùng của số:199319941995 ...2000Bài 25: Tìm sáu chữ số tận cùng của 521.D·y sè cã qui luËt41http://NgocHung.name.vnI > Ph¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p :Trong mét sè trêng hîp khi gÆp bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹nSn = a1 + a2 + .... an (1)B»ng çch nµo ®ã ta biÕt ®îc kÕt qu¶ (dù ®o¸n , hoÆc bµi to¸n chøng minh khi ®· chobiÕt kÕt qu¶). Th× ta nªn sö dông ph¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh thÕ nµo còng chøng minh ®îc .VÝ dô 1 : TÝnh tængSn =1+3+5 +... + (2n -1 )Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1S2 = 1 + 3 =22S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32.........Ta dù ®o¸n Sn = n2Víi n = 1;2;3 ta thÊy kÕt qu¶ ®ónggi¶ sö víi n= k ( k ≥ 1) ta cã Sk = k 2(2)ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3)ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) 2theo nguyªn lý quy n¹p bµi to¸n ®îc chøng minhvËy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2T¬ng tù ta cã thÓ chøng minh çc kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc .1, 1 + 2+3 + .... + n =n(n + 1)22, 12 + 2 2 + ..... + n 2 =n(n + 1)(2n + 1)6n(n + 1) 3, 1 +2 + ..... + n =  2 33234, 15 + 25 + .... + n5 =1 2.n (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )12II > Ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp :42http://NgocHung.name.vnGi¶ sö ta cÇn tÝnh tæng (1) mµ ta cã thÓ biÓu diÔn a i , i = 1,2,3...,n , qua hiÖu hai sè h¹ngliªn tiÕp cña 1 d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sö : a1 = b1 - b2a2 = b2 - b3.... .... .....an = bn – bn+ 1khi ®ã ta cã ngay :Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 )= b1 – bn + 1VÝ dô 2 : tÝnh tæng :S=Ta cã :1111+++ ....... +10.11 11.12 12.1399.10011 1=−10.11 10 11,11 1= −11.12 11 12,111=−99.100 99 100Do ®ã :S=1 1 1 111119− + − + ....... +−=−=10 11 11 1299 100 10 100 100• D¹ng tæng qu¸t111Sn = 1.2 + 2.3 + ...... + n(n + 1) ( n > 1 )= 1-1n=n +1 n +1VÝ dô 3 : tÝnh tæng1111Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...... + n(n + 1)(n + 2)Ta cã Sn =Sn =Sn =1 11  1 11 1 11−−−+  + ........ + 2  1.2 2.3  2  2.3 3.4 2  n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 111111−+−+ ...... +−2  1.2 2.3 2.3 3.4n( n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 11n(n + 3) =−2  1.2 (n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2)43http://NgocHung.name.vnVÝ dô 4 : tÝnh tængSn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )Ta cã : 1! = 2! -1!2.2! = 3 ! -2!3.3! = 4! -3!..... ..... .....n.n! = (n + 1) –n!VËy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n!= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1VÝ dô 5 : tÝnh tæng32n + 15Sn = (1.2) 2 + (2.3) 2 + ....... +[ n(n + 1)] 2Ta cã :Do ®ã2i + 1[ i(i + 1)]2=11−;2i(i + 1) 2Sn = ( 1-i = 1 ; 2 ; 3; ....; n111 1 1) +  2 − 2  + ..... +  2 −22(n + 1) 2 2 3 n1n( n + 2)= 1- (n + 1) 2 = (n + 1) 2III > Ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh:VÝ dô 6 : TÝnh tængS = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4)ta viÕt l¹i S nh sau :S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 )=> S= 1+2 ( S -2 100 )( 5)Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101 S = 2101-1VÝ dô 7 : tÝnh tæng44http://NgocHung.name.vnSn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p ≠ 1)Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) Sn = 1+p ( Sn –pn ) Sn = 1 +p.Sn –p n+1 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1P n +1 − 1 Sn =p −1VÝ dô 8 : TÝnh tængSn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p ≠ 1)Ta cã : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1p.Sn=Sn-P n +1 − 1+ (n + 1) P n +1 ( theo VD 7 )P −1L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 -p n +1 − 1P −1(n + 1) P n +1 p n +1 − 1− Sn =p −1( P − 1) 2IV > Ph¬ng ph¸p tÝnh qua çc tæng ®· biÕt• Çc kÝ hiÖu :n∑ai =1i= a1 + a 2 + a3 + ...... + a n• Çc tÝnh chÊt :nnni =1i =1i =11, ∑ (ai + bi ) = ∑ ai + ∑ bi2,nni =1i =1∑ a.ai = a∑ aiVÝ dô 9 : TÝnh tæng :45http://NgocHung.name.vnSn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)nnnni =1i =1i =1i =122Ta cã : Sn = ∑ i(i + 1) = ∑ (i + i ) = ∑ i + ∑ iV× :n∑ i = 1 + 2 + 3 + .... + n =i =1n( n + 1)2n(n + 1)(2n + 1)i =∑6i =1n(Theo I )2n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2)+=263cho nªn : Sn =VÝ dô 10 : TÝnh tæng :Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)ta cã : Sn =nni =1i =1∑ i(3i − 1) = ∑ (3i 2 − i)nni =1i ==12= 3∑ i − ∑ iTheo (I) ta cã :Sn =3n( n + 1)(2n + 1) n(n + 1)−= n 2 (n + 1)62VÝ dô 11 . TÝnh tængSn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3ta cã :Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]= [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 )Sn =(2n + 1) 2 (2n + 2) 2 8n 2 (n + 1) 2−44( theo (I) – 3 )=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2= (n +1 )2 (2n2 +4n +1)V/ VËn dông trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tæng çc sè h¹ng cña d·y sè çch ®Òu ( Häc sinhlíp 6 )• C¬ së lý thuyÕt :46http://NgocHung.name.vn+ ®Ó ®Õm sè h¹ng cña 1 d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y çch nhau cïng 1 sè ®¬nvÞ , ta dïng c«ng thøc:Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè ®Çu 0 : ( kho¶ng çch ) + 1+ §Ó tÝnh tæng çc sè h¹ng cña mét d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp çch nhau cïng 1 sè®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc:Tæng = ( sè ®Çu – sè cuèi ) .( sè sè h¹ng ) :2VÝ dô 12 :TÝnh tæng A = 19 +20 +21 +.... + 132Sè sè h¹ng cña A lµ : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng )mA = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607VÝ dô 13 : TÝnh tængB = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009sè sè h¹ng cña B lµ ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515VI / V©n dông 1 sè c«ng thøc chøng minh ®îc vµo lµm to¸nVÝ dô 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )Tõ ®ã tÝnh tæng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1)Chøng minh : çch 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)= k( k+1) [ (k + 2) − (k − 1)] = k (k+1) .3 = 3k(k+1)Çch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1).=k (k + 1)(k + 2) k (k + 1)(k − 1)−33(k + 2) − (k − 1)3* 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)=> 1.2 =1.2.3 0.1.2−332.3.4 1.2.3−33...................................n(n + 1)(n + 2) (n − 1)n(n + 1)n(n + 1) =−332.3 =47http://NgocHung.name.vnS=−1.2.0 (n + 2)n(n + 1) ( n + 1)n(n + 2)+=333VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)tõ ®ã tÝnh tæng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [ (k + 3) − (k − 1)]= k( k+1) ( k +2 ) .4Rót ra : k(k+1) (k+2) =k (k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k (k + 1)(k + 2)−44¸p dông : 1.2.3 =1.2.3.4 0.1.2.3−442.3.4 =2.3.4.5 1.2.3.4−44..........................................................n(n+1) (n+2) =Céng vÕ víi vÕ ta ®îc S =n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n − 1)n(n + 1)(n + 2)−44n (n + 1)(n + 2)(n + 3)4* Bµi tËp ®Ò nghÞ :TÝnh çc tæng sau1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 2022, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 763, D = 49 +64 + 81+ .... + 1694, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) ,5, S =1111+++ ........ +1.2 2.3 3.499.1006, S =444++ .... +5.7 7.959.617, A =5555+++ ...... +11.16 16.21 21.2661.6648n = 1,2,3 ,....http://NgocHung.name.vn8, M =1 1 11+ 1 + 2 + ..... + 200503 3 331119, Sn = 1.2.3. + 2.3.4 + ..... + n(n + 1)(n + 2)10, Sn =222++ ..... +1.2.3 2.3.498.99.10011111, Sn = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ...... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3)12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....950 ch÷ sè 913, Cho: S1 = 1+2S3 = 6+7+8+9S2 = 3+4+5S4 = 10 +11 +12 +13 + 14TÝnh S100 =?Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái , t«i ®· kÕt hîp çc d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õnd¹ng tÝnh tæng ®Ó rÌn luyÖn cho çc em , ch¼ng h¹n d¹ng to¸n t×m x :14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 82011121989c, 1 + 3 + 6 + 10 + ...... + x( x + 1) = 1 1991Hay çc bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 lµ luü thõa cña 2b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60  3 ; 7; 15c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991  13 ; 41d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1  549[...]... s 1 n-1 ch s 5 a A = 224.102n + 99 9.10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 1 ) 10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + 102n 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n 90 .10n + 9 = ( 15.10n 3 ) 2 A l s chớnh phng b B = 11115555 + 1 = 111.10n + 5.111 + 1 n ch s 1 n ch s 5 n ch s 1 n ch s 1 10 n 1 10 n 1 10 2 n 10 n + 5.10 n 5 + 9 n = 10 + 5 +1= 9 9 9 2 = 10 2n 10 + 2 + 4.10 + 4 = 9 3 n n l s chớnh phng ( iu phi... = 102008 + 5 9 2008 ch s 1 ab+1 = ab + 1 = Ta thy 10 2008 (10 1)(10 9 2008 2007 ch s 0 2008 + 5) +1= (10 ) + 4.10 9 2008 2 2008 ch s 0 2008 2 10 2008 + 2 5 +9 = 3 10 2008 + 2 2 10 2008 + 2 = 3 3 10 2008 + 2 + 2 = 10002 3 nờn 3 N hay ab + 1 l s t nhiờn 2007 ch s 0 Cỏch 2: b = 10005 = 1000 1 + 6 = 99 9 + 6 = 9a +6 2007 ch s 0 2008 ch s 0 2008 ch s 9 ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 =... k = 91 abcd = 91 2 = 8281 Bi 3: Tỡm s chớnh phng cú 4 ch s bit rng 2 ch s u ging nhau, 2 ch s cui ging nhau Gi s chớnh phng phi tỡm l aabb = n2 vi a, b N, 1 a 9; 0 b 9 Ta cú n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11. (99 a+a+b) (1) Nhn xột thy aabb 11 a + b 11 M 1 a 9 ; 0 b 9 nờn 1 a+b 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vo (1) c n2 = 112(9a+1) do ú 9a+1 l s chớnh phng Bng phộp th vi a = 1; 2; ; 9 ta... chớnh ph ng Bi 4: Cho dóy s 49; 44 89; 4448 89; 444488 89; Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú Chng minh rng tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng Ta cú 44488 89 = 44488 8 + 1 = 444 10n + 8 111 + 1 n ch s 4 n-1 ch s 8 n ch s 4 n ch s 8 n ch s 4 n ch s 1 10 n 1 10 n 1 4.10 2 n 4.10 n + 8.10 n 8 + 9 4.10 2 n + 4.10 n + 1 n = 4 10 + 8 +1= = 9 9 9 9 2 n 2.10 + 1 = 3 Ta... y3 = x2 nờn y cng l mt s chớnh phng Ta cú 1000 abcd 99 99 10 y 21 v y chớnh phng y = 16 abcd = 4 096 29 http://NgocHung.name.vn Bi 5: Tỡm mt s chớnh phng gm 4 ch s sao cho ch s cui l s nguyờn t, cn bc hai ca s ú cú tng cỏc ch s l mt s chớnh phng Gi s phi tỡm l abcd vi a, b, c, d nguyờn v 1 a 9 ; 0 b,c,d 9 abcd chớnh phng d { 0,1,4,5,6 ,9} d nguyờn t d = 5 t abcd = k2 < 10000 32 k < 100... 4; 5; 6; 9 nờn x ch cú th tn cựng bi 1 trong cỏc ch s 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1) Do x l ch s nờn x 9, kt hp vi iu kin bi ta cú x N v 2 < x 9 (2) T (1) v (2) x ch cú th nhn 1 trong cỏc giỏ tr 5; 6; 7 Bng phộp th ta thy ch cú x = 7 tha món bi, khi ú 762 = 5776 27 http://NgocHung.name.vn Bi 7: Tỡm s t nhiờn n cú 2 ch s bit rng 2n+1 v 3n+1 u l cỏc s chớnh phng Ta cú 10 n 99 nờn 21 2n+1 199 Tỡm s chớnh... 44488 89 l s chớnh phng Bi 5: Chng minh rng cỏc s sau õy l s chớnh phng: 22 http://NgocHung.name.vn A = 111 + 444 + 1 2n ch s 1 n ch s 4 B = 111 + 111 + 666 + 8 2n ch s 1 n+1 ch s 1 n ch s 6 C = 444 + 222 + 888 + 7 2n ch s 4 n+1 ch s 2 n ch s 8 2 2 10 n + 2 Kt qu: A = 3 10 n + 8 B = 3 ; 2 ; 2.10 n + 7 C = 3 Bi 6: Chng minh rng cỏc s sau l s chớnh phng: a A = 22 499 9100 09 n-2 ch s 9 n... Gi s phi tỡm l ab vi a,b N v 1 a 9 , 0 b 9 2 Theo gi thit ta cú : ab = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 ab l mt lp phng v a+b l mt s chớnh phng t ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N ) 30 http://NgocHung.name.vn Vỡ 10 ab 99 ab = 27 hoc ab = 64 Nu ab = 27 a + b = 9 l s chớnh phng Nu ab = 64 a + b = 10 khụng l s chớnh phng loi Vy s cn tỡm l ab = 27 Bi 9: Tỡm 3 s l liờn tip m tng bỡnh phng... pq + qp = r Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd sao cho ab , ac là các số nguyên tố và b 2 = cd + b c Bi 16: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) là các số nguyên tố Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: a) x2 12y2 = 1 b) 3x2 + 1 = 19y2 35 http://NgocHung.name.vn... + 15 89 Gii 2 a Vỡ n + 2n + 12 l s chớnh phng nờn t n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhn xột thy k+n+1 > k-n-1 v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6 kn-1=1 n=4 2 2 2 2 b t n(n+3) = a (n N) n + 3n = a 4n + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) 9 = 4a2 (2n + 3) 2 - 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a)= 9 Nhn ... ƯCLN Hai số a b nguyên tố ƯCLN(a, b) = Các số a, b, c nguyên tố ƯCLN(a, b, c) = Các số a, b, c đôi nguyên tố ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1 II Các ví dụ: VD1: Ta biết có 25 số nguyên... > Phơng pháp dự đoán quy nạp : Trong số trờng hợp gặp toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1) Bằng cách ta biết đợc kết (dự đoán , toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng... tiếp công thức tính tổng số hạng dãy số cách ( Học sinh lớp ) Cơ sở lý thuyết : 46 http://NgocHung.name.vn + để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng công thức: Số

- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển tập các chủ đề nâng cao môn toán lớp 9 tài liệu phục vụ bồi dưỡng HSG, Tuyển tập các chủ đề nâng cao môn toán lớp 9 tài liệu phục vụ bồi dưỡng HSG,

Tuyển tập các chủ đề nâng cao môn toán lớp 9 tài liệu phục vụ bồi dưỡng HSG

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Trích đoạn

Tài liệu liên quan