Bài 5:
Ch ng minh r ng trong s 10 ng ứ ằ ố ư i ờ b t kỳ bao gi cũng tìm ấ ờ đư c ợ ho c là 2 ng ặ ư i ờ có cùng t ng s tu i chia h t cho 16, ho c là hai ng ổ ố ổ ế ặ ư i ờ mà hi u chia h t cho 16 ệ ế
Gi i: ả
G i a0……a15 là s dư khi chia tu i c a 10 ngư i cho 16 ọ ố ổ ủ ờ
=>ai € {0,1….15} v i i=0…15; ớ
TH1:
Ta chia 16 thành
16=15+1=14+2=…………=8+8=0+0;
=>Có t t c là 9 c p trong khi đó có 10 ngư i.Theo nguyên lý Dirichlet=>t n ấ ả ặ ờ ồ
t i 2 t ng s các a ạ ổ ố i thu c cùng 1 t ng ộ ổ
->Luôn tìm đư c 2 ngư i có t ng s tu i chia h t cho 16 ợ ờ ổ ố ổ ế
Trang 2
TH2:
Do có 10 ngư i mà l i có 15 s dư ờ ạ ố
->T n t i 2 ngư i có cùng 1 s dư khi chia tu i c a h cho 16ồ ạ ờ ố ổ ủ ọ Suy ra luôn t n t i aồ ạ i=aj
->Tìm đư c 2 ngư i mà hi u s tu i c a h chia h t cho 16.ợ ờ ệ ố ổ ủ ọ ế
Trang 3 C n có ít nh t bao ngiêu b có th t g m 2 s nguyên (a,b)sao cho ch c ch n tìm ầ ấ ộ ứ ự ồ ố ắ ắ
đư c ợ trong s hai b (c,d)&(e,f) sp cho c-e & d-f là các s có t n cùng b ng 0 ố ộ ố ậ ằ .
Gi i:ả
Ta xét c p (a,b) b t kỳ.Chia các c p này thành 10 nhóm có s dư c a a khi chia ặ ấ ặ ố ủ cho 10 là 0,……9;
V y 2 c p (a ậ ặ 1,a2) &(a3,a4) trong cùng 1 nhóm thì a1&a3 cùng s dư khi chia cho 10 ố
Do đó ch c n tìm c p (a,b) sao cho ít nh t 1 trong 10 nhóm trên ->ít nh t là ỉ ầ ặ ấ ấ
11 c p ặ
Trong nhóm v a nên trên s có 2 c p (c,d)&(e,f) sao cho (c-e) t n cùng b ng 0 ừ ẽ ặ ậ ằ
và (d-f) t n cùng =0 ầ
Mà có 10 nhóm nên đ t n t i ít nh t 1 nhóm có ít nh t 11 c p thì s c p (a,b) ể ồ ạ ấ ấ ặ ố ặ
c n ch n là: ầ ọ
11*10+1=101.
Trang 4
Bài 7:
17 nhà bác h c ọ đôi 1vi t thế ư trao đ iổ cho nhau vè 3 ch ủ đề , m i c p ch ỗ ặ ỉ trao đ iổ v i nhau v 1 ch ớ ề ủ đề.Ch ngminh r ng luôn tìm ứ ằ đư cợ 3 nhà bác
h c ọ đôi m t vi t thộ ế ư trao đ iổ v i nhau v cùng 1 ch ớ ề ủ đề
Gi s l y 1 nhà bác h c b t kì là aả ử ấ ọ ấ 1 vi t thư cho 16 bác h c còn l iế ọ ạ
-> do có 3 v n đ c n trao đ i nên t n t i ít nh t 6 nhà bác h c aấ ề ầ ổ ồ ạ ấ ọ 1v n ấ
đ 1 nào đó.ề
Trong 6 nhà bác h c trên l y ra 1 nhà bác h c b t kì là aọ ấ ọ ấ 2
5 ngư i còn l i n u có 1 nhà bác h c vi t thư trao đ i v i aờ ạ ế ọ ế ổ ớ 2 v v n đ ề ấ ề
1 thì bài toán đã gi i quy t.ả ế
Ta xét TH:
a2 vi t thư trao đ i v i 5 ngư i v 2 v n đ còn l i.ế ổ ớ ờ ề ấ ề ạ
Theo nguyên lý dicrichlet t n tai 3 ngư i trao đ i v i aồ ờ ổ ớ 2 v v n đ ề ấ ề nào đó g i là v n đ 2.ọ ấ ề
Trong 3 ngư i trao đ i v v n đ 2 n u có 1 ngư i trao đ i v n đ 2 ờ ổ ề ấ ề ế ờ ổ ấ ề thì bài toán đư c gi i.ợ ả
Ngư c l i n u không có ai trong 3 ngư i đó trao đ i v v n đ 2 thì ợ ạ ế ờ ổ ề ấ ề
ch c ch n h s trao đ i v v n đ 3.ắ ắ ọ ẽ ổ ề ấ ề
=>Bào toán đã đư c gi i.ợ ả
Trang 5Trong không gian cho 9 đi m có to ể ạ độ nguyên.Ch ng minh r ng trong ứ ằ
s 9 ố đi m luôn tìm ể đư cợ 2 di m sao cho ể đo n th ng n i chúng ạ ẳ ố đi qua
đi m có t o ể ạ độ nguyên
Gi i:ả
Xét 1 di m b t kì trong không gian (x,y,z).ể ấ
Do 1 giá tr x ho c y ho c z ch nh n 1 trong 2 giá tr ch n, l ị ặ ặ ỉ ậ ị ẵ ẽ
->có t t c là 2*2*2=8 b mà (x,y,z) có th nh n.ấ ả ộ ể ậ
Ví d như (ch n, ch n, ch n),(ch n, ch n, l )…….ụ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẽ
Mà theo bài ra thì có t t c là 9 đi m.Theo nguyên lý Dirichle thì t n t i ấ ả ể ồ ạ
2 đi m có cùng t a đ ch n,l ể ọ ộ ẵ ẽ
=>trung đi m c a đo n th ng n i 2 đi m đó là s nguyên->dpcmể ủ ạ ẳ ố ể ố