yếu tố vẽ thêm đường phụ ở một số bài tập toán lớp 8

Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU I. 1.LÝ DO I.1.1. Cơ sở lí luận Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ, thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”. Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ là một dạng toán rất quan trong chương trình hình học ở bậc THCS, đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh có tầm nhìn cao hơn trong việc phát hiện và tìm ra lời giải của bài toán. Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ thông qua những bài tập mà yếu tố đường phụ vẽ thêm là đơn giản. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn. I.1.2. Cơ sở thực tiễn Năm học 2005- 2006 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 9 ( Trường THCS Triệu Phước) qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Chứng minh rằng: Trong một tam giác, nếu có một đường cao và một đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh và chia góc tại đỉnh đó thành ba phần bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông. ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ năng giải các bài toán về Dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ và các bài toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ. I.2. Mục đích. - Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các phương pháp dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này. I.3. Thời gian - địa điểm I.3.1. Thời gian Đề tài được nghiên cứu từ tháng 9 năm 2009 tới tháng 5 năm 2010 I.3.2. Địa điểm Trường THCS Lao Bảo – Hướng Hóa – Quảng Trị I.3.3. Phạm vi I.3.3.1. Giới hạn đối tượng nghiên cứu “Các phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ” I.3.3.2. Giới hạn địa bàn Trường THCS Lao Bảo – Hướng Hóa – Quảng Trị I.3.3.3. Giới hạn khách thể: Học sinh lớp 9 I.4. Phương pháp nghiên cứu I.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm. - Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở như: + Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9 + Sách giáo viên 7, 8, 9 + Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh I.4.2. Phương pháp chuyên gia Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm. I.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm. Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm I.5. Đóng góp mới về mặt lí luận và thực tiễn ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== - Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ đường phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì cho học sinh. Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó. - Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ đường phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS , phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau. PHẦN II. NỘI DUNG Chương I: Các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS I.1.1. Lịch sử nghiên cứu Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trong những nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định. Song việc thực hiện được kết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố. Bản thân tôi không có tham vọng đi sâu và nghiên cứu tất cả các phương pháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp đối với học sinh THCS I.1.2. Cơ sở lý luận Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng Toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học. Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu “Các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS” II.2.1. Thực trạng Năm học 2005-2006 và 2009 - 2010 Tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 9 và toán 7 – 8, tự chọn toán 9 , qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải những bài toán có liên quan đến yếu tố phụ. Một số ví dụ minh họa: Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c Giải Cách dựng: ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== - Dựng tia Ax - Dựng đường tròn ( A;b). Gọi C là giao điểm của đường tròn (A;b) với tia Ax - Dựng đường trong ( A;c) và đường tròn (C;a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a - Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A;c) và (C;a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC Bài toán 2: Dựng một góc bằng một góc cho trước Cách dựng: - Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O,r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được tam giác OAB. - Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c)như bài toán 1, ta được O ˆ 'O ˆ = Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước Cách dựng: - Dựng đường tròn ( A,r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C. - Dựng các đường tròn ( B,r) và (C,r) chúng cắt nhau ở D. Tia AD là tia phân giác của xAy. Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒ 21 A ˆ A ˆ = ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo c b a A x C B b a c y x O A B y x O A B O’ A’ B’ x y z A B C D r r r r 1 2 Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước. Cách dựng: - Dưng hai đường tròn (A;AB) và (B;BA) chúng cắt nhau ở C, D. Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB * Chú ý: đay cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước. Cách dựng: - Dựng đường tròn (O;r) cắt a tại A,B - Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm một cách tùy tiện ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo C D BA O D BA Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== II.2. CƠ SỞ THỰC TẾ Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra những cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau( hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo các bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng ( hay hai góc) đó là hai cạnh ( hay là hai góc ) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau Bước 3: Từ hai tam giác đó bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau. Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiên các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và hình học 9 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích lũy được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực. Chương III: Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC. Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) thì DH = 4cm. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A 1) Phân tích bài toán:Bài cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) thì DH = 4cm. Yêu cầu Chứng minh tam giác ABC cân tại A 2) Hướng suy nghĩ: ∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC. Ta nghĩ ngay đến điểm phụ K là trung điểm của BC. Vậy yêu tố phụ phụ cần vẽ là trung điểm của BC. 3) Chứng minh GT ∆ABC; AB = 10cm; BC = 12 cm; ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo A B C H K D Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== AB 2 1 DBDA == ; DH ⊥ BC DH = 4 cm KL ∆ ABC cân tại A. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = 6BC 2 1 = cm. Lại có : BD = AB 2 1 = 5 cm Xét ∆ HBD có: BHD = 90 0 ( gt) theo định lí Pitago ta có:DH 2 + BH 2 = BD 2 ⇒ BH 2 = BD 2 - DH 2 = 5 2 – 4 2 = 9 ⇒ BH = 3 ( cm) Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm) ⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3). Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒ AK ⊥ BC. Xét ∆ ABK và ∆ACK có: • BK = KC ( theo cách lấy điểm K) • AKB = AKC = 90 0 • AK là cạnh chung ⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c) ⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân tại A. 4) Nhận xét: Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ. ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== Bài toán 2: Cho tam giác ABC có C ˆ B ˆ = ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác). !) Phân tích bài toán: Bài cho: tam giác ABC có C ˆ B ˆ = ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC. 2) Hướng suy nghĩ: Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I∈ BC) 3) Chứng minh: GT ∆ABC; C ˆ B ˆ = KL AB = AC Vẽ tia phân giác AI của BAC (I∈ BC). ⇒ BAC 2 1 A ˆ A ˆ 21 == . (1) Mà C ˆ B ˆ = ( gt) ⇒ 21 I ˆ I ˆ = (2) Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có: • 21 I ˆ I ˆ = ( theo (2)) • Cạnh AI chung • 21 A ˆ A ˆ = ( theo (1)) ⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g) ⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau. CÁCH 2: TRÊN MỘT TIA CHO TRƯỚC, ĐẶT MỘT ĐOẠN THẲNG BẰNG ĐOẠN THẲNG CHO TRƯỚC. Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2) 1) Phân tích bài toán: ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo A B C I 1 2 1 A B C I 1 2 1 2 Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: BCAM2BC 2 1 AM =⇒= 2) Hướng suy nghĩ: Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD. 3) Chứng minh: GT ∆ABC; 0 90A ˆ = ; AM là trung tuyến KL BC 2 1 AM = Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA. Xét ∆ MAC và ∆ MDB ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) • M 1 = M 2 ( vì đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c) ⇒ AB=CD(2cạnh tương ứng) (1) và D ˆ A ˆ 1 = (2 góc tương ứng). ⇒ AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Lại có: AC ⊥ AB ( gt) ⇒ AC ⊥CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay 0 90C ˆ A ˆ == (2) Xét ∆ ABC và ∆ CDA có: • AB = CD ( Theo (1)) • 0 90C ˆ A ˆ == ( Theo (2)) • AC là cạnh chung ⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c) ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AD 2 1 AM = ⇒ BC 2 1 AM = ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo B A C M D 1 1 2 Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS ============================================== ========== 4) Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh BC 2 1 AM = ta đã vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AD 2 1 AM = . Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác. Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2) 1) Phân tích bài toán: Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Yêu cầu : So sánh BAM và MAC? 2) Hướng suy nghĩ: Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này. 3) Lời giải: GT ∆ABC; AB < AC M là trung điểm BC KL So sánh BAM và MAC? Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA. Xét ∆ MAB và ∆ MDC ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) • M 1 = M 2 ( vì đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c) ========================================================= Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo B A C Đ M 2 1 1 2 . dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP 8 – Vẽ thêm một số yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7, 8, 9 – Nguyễn Đức Tấn – NXB GD 8 – Tạp chí toán. tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học. Bài toán 7: Cho tam giác. phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ. I.2. Mục đích. - Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các phương pháp dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhằm giúp cho