Động học và động lực học vật rắn

... TÂM 3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 3.3 – MÔMEN QUÁN TÍNH 3.4 – PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VR 3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC VR 3.1 – KHỐI TÂM - Định nghĩa: Ta có hệ thức: M1G P2 m = = M G P1 m1... 3.2.1 Chuyển động quay VR Ta có:     F = F|| + Fn + Ft Chỉ thành phần lực Ft gây chuyển động quay trục Momen lực:    M = r × Ft Hình 3.6: Phân tích lực 3.2.2 Phương trình ch động quay VR... BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG – Động lượng hệ chất điểm Động lượng hệ chất điểm tổng động lượng chất điểm hệ: → hay: → → p = ∑ p i = ∑ mi vi → → p = m vG – Định luật bảo toàn động lượng Tổng động lượng

BÀI GIẢNG VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1

Chương 3

ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC

VẬT RẮN

T.S Trần Ngọc

MỤC TIÊU

Xác định được khối tâm các VR đồng nhất

Tính được mômen quán tính của VR

Giải được bài toán chuyển động đơn giản của VR

Sau bài học này, SV phải :

3.1 – KHỐI TÂM

VR

0 dm

MG

Khối tâm của hệ chất điểm là điểm G thỏa mãn:

0G

Mm

n

1 i

Đặc điểm của G:

– Đặc trưng cho hệ; là điểm rút gọn của hệ – Nằm trên các yếu tố đối xứng.

Phân biệt khối tâm và trọng tâm:

– Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực

– Trên thực tế G trùng với trọng tâm

3.1 – KHỐI TÂM

1 - Định nghĩa:

n

1 i

i i

G

m

r

m OG

→

3 r

→

G r

→

3.1 – KHỐI TÂM

Tọa độ khối tâm của hệ chất điểm – vật rắn:

dm m

ydm

m y y

dm m

zdm

m z z

dm m

(xi ,yi ,zi) là tọa

độ của chất điểm thứ i

3.1 – KHỐI TÂM

(xG,yG,zG) là tọa độ của khối tâm G

Ba chất điểm m 1 = 2m o ; m 2

= 3m o ; m 3 = 3m o đặt tại ba

đỉnh A,B,C của tam giác

đều cạnh a Xác định khối

tâm G của hệ Cần phải

tăng hay giảm khối lượng

của vật m 1 đi bao nhiêu để

G trùng với trọng tâm tam

1 2 3

m x m x m xx

2m a 3 / 2 0 0 a 3x

Để G trùng với trọng tâm của

tam giác ABC thì m 1 = m 2 = m 3

Vậy phải tăng khối lượng m 1

thêm ∆m = m 0

h x

O R

r

dx

Ví dụ 2:

3.1 – KHỐI TÂM

Giải ví dụ 2:

3.1 – KHỐI TÂM

? G

h x

x(h x) dx x

=

Ví dụ 3 (Bài tập B3.4):

3.1 – KHỐI TÂM

ab

b

Giải ví dụ 3:

3.1 – KHỐI TÂM

O1G

1 2

m x m xx

m m

+

=

+

• Một đĩa tròn đồng nhất bán

kính R, bị khoét một lỗ cũng

có dạng hình tròn bán kính r

Tâm của phần khoét cách

tâm đĩa một khoảng d Xác

Ví dụ 4 (Bài tập B3.5):

3.1 – KHỐI TÂM

R r

Giải ví dụ 4:

3.1 – KHỐI TÂM

x

G O

O’

Chọn trục Ox như hình vẽ Gọi

m là khối lượng ban đầu, m 1 là

khối lượng bị khoét và m 2 là

khối lượng phần còn lại.

Lúc chưa khoét thì:

1 1 2 2 O

2

m xx

Giải ví dụ 4:

3.1 – KHỐI TÂM

d

R r

x

G O

O’

3

r dx

(R r )

= −

−

(dấu trừ chứng tỏ G nằm ngược phía với lỗ khoét)

2

Rx

14

= −

r = d = R/2

3 – Chuyển động của khối tâm G:

Kết luận: Khối tâm G chuyển động như một

chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của

toàn hệ.

R x

F  = || +  + 

Hình 3.6: Phân tích lực

ti i

m  ×  =  × 

i i

i i

i r r

m  × (β × ) = M

i i

ia F

m  = 

VÍ DỤ:

Một dây cuaroa truyền động, vòng qua khối trụ I và bánh xe II Bán kính khối trụ và bánh xe là r 1 = 30cm

và r 2 = 75cm Bánh xe bắt đầu quay với gia tốc góc

0,4π rad/s 2 Hỏi sau bao lâu, khối trụ I sẽ quay với

vận tốc 300 vòng/phút? (dây cuaroa không trượt trên khối trụ và bánh xe)

3 – Phức tạp :

Phân tích cđ phức tạp thành 2 cđ đồng thời:

• Tịnh tiến của G.

• Quay quanh trục qua G.

Tổng quát: nếu chọn điểm N trên VR là điểm cơ bản thì:

đường nó đi được sau 2 lần

liên tiếp tiếp xúc với mặt

A v x Rv

Vận tốc – qũi đạo của điểm M:

2 i

ir m I

r i : k/c từ chất điểm thứ i đến trục ∆

r : k/c từ yếu tố khối lượng dm đến trục ∆

momen quán tính của hệ

đối với trục quay:

- Chứa đường cao AH

- Chứa cạnh AB

- Chứa cạnh BC

- Đi qua trọng tâm tam

giác ABC và vuông góc

9m a I

4

=

Mômen quán tính đối với ∆3 :

2 o 3

3m a I

4

=

VÍ DỤ 3:

Tính momen quán tính của một thanh mảnh, đồng chất khối

lượng m, chiều dài L đối với trục quay đi qua khối tâm của

thanh và vuông góc với thanh.

2 - Mmqt đối với trục quay qua G của các VR đồng chất:

Mômen quán tính của các VR thường gặp:

3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH

Ví dụ 1:

3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH

Tính mômen quán tính của một vành tròn khối lượng m, bán kính R đối với trục quay chứa đường kính của vành tròn và đối với trục quay là tiếp tuyến của vành tròn.

I mR 2

⇒ =

3

I mR 2

Ví dụ 2:

3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH

Tính mômen quán tính của một đĩa tròn khối lượng m, bán kính R đối với trục quay chứa đường kính của đĩa và với trục quay ∆ nằm trong mặt phẳng của đĩa, vuông góc với bán kính R tại trung điểm của R.

Mỗi hình vành khăn đó coi như một

vòng tròn và mômen quán tính của

Đối với trục ∆ vuông góc với R

y

∆

d

2 G

I I = + md =

2 2

mR m

  +  ÷  1 2

mR 2

=

3.4 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG

1 – Động lượng của hệ chất điểm

Động lượng của một hệ chất điểm là tổng

động lượng của các chất điểm trong hệ:

hay:

2 – Định luật bảo toàn động lượng

Tổng động lượng của một hệ cô lập (hay hệ kín) được bảo toàn:

3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG

1 – Mômen động lượng của hệ chất điểm

Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O là tổng mômen động lượng của các chất điểm trong hệ:

3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG

2 – Định lý về mômen động lượng

Lấy đạo hàm mômen động lượng theo thời gian, ta có:

Với

là tổng các mômen ngoại lực tác dụng lên hệ

3 – Định luật bảo toàn mômen động lượng:

Nếu tổng mômen ngoại lực bằng không thì mômen động lượng hệ là đại lượng không đổi.

3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN

ĐỘNG LƯỢNG

Ví dụ:

Hình 3.11:

(a) Tàu không gian chứa bánh đà Nếu bánh đà

quay theo chiều kim đồng hồ thì tàu sẽ quay theo chiều ngược kim đồng hồ

(b) Nếu bánh đà ngừng quay tàu cũng dừng lại

và như thế hướng của tàu đã được thay đổi.

VD về tính mômen lực

M∆ = Fd = 10.0,2 = 2 Nm

F = 10N; d = 20cm Tính momen của lực F đối với trục ∆ .

3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVR

B 1 : Phân tích các lực tác dụng lên VR.

B 2 : Viết các PTĐLH cho chuyển động tịnh tiến và

chuyển động quay (nếu có).

B 3 : Chiếu phương trình vectơ lên các trục tọa độ cần thiết.

B 4 : Giải hệ pt và biện luận kết quả.

Các bước:

3.5.1 Động lực học của ch.động lăn:

Ví dụ 0:

Một bánh xe đang quay quanh trục O với moment lực (bởi một động cơ) Ta đặt bánh xe này xuống mặt

đường Nếu không có ma sát giữa bánh xe và mặt

đường thì bánh xe tiếp tục quay tại chỗ Tại điểm tiếp xúc P sẽ xuất hiện lực ma sát nghỉ có khuynh hướng giữ chặt điểm P của bánh xe không cho nó trượt trên mặt đường, tức là có chiều từ trái sang phải như trên Hình vẽ

Lực này sẽ tạo ra cho bánh xe một gia tốc chuyển động tịnh tiến tới phía trước

0rM

Chúng ta giới hạn chỉ khảo sát trường hợp bánh xe lăn

không trượt , tức là điểm P không trượt trên mặt đường

Như vậy lực ma sát tác dụng lên bánh xe là lực ma sát nghỉ.

0

M

Tuy vậy không phải cứ tăng moment lực của động cơ là

có thể tăng được gia tốc, vì để cho bánh xe có thể lăn không trượt, tức là để điểm tiếp xúc không trượt trên mặt đường, cần có điều kiện là lực ma sát nghỉ phải nhỏ hơn lực ma sát nghỉ cực đại

,

:

max msn msn 0

F

Ví dụ 1:

Một khối trụ đặc đồng chất lăn

không trượt trên mặt phẳng

ngang dưới tác dụng của lực

kéo đặt tại trục quay như hình

vẽ Tính gia tốc của khối trụ

3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVR

Phương trình ĐLH cho chuyển động tịnh tiến

của khối tâm:

ms

P N F F m a (1)

→ → → → →

+ + + =

Phương trình ĐLH cho chuyển động quay

quanh khối tâm:

ms

F R I = β (2)

Chiếu (1) lên phương chuyển động: F F − ms = ma (3)

Vì vật lăn không trượt, nên: a = a t = βR (4)

Giải (2), (3), (4) ta được:

2

F 2F a

I 3m m

R

= =

+

Ví dụ 3.13:

Một quả cầu đặc đồng chất, bán kính R , khối lượng phân bố đều, bắt đầu lăn

không trượt từ đỉnh dốc nghiêng một

góc α so với phương ngang xuống chân dốc Lúc đầu, khối tâm của quả cầu ở độ cao h so với mặt phẳng ngang ở chân

dốc Bỏ qua ma sát cản lăn Tính gia tốc, vận tốc của khối tâm quả cầu khi nó

xuống đến chân dốc.

3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVR

Một sợi dây nhẹ, không co giãn,

vắt qua ròng rọc có dạng đĩa tròn

đống chất, khối lượng m Hai đầu

dây buộc hai vật m 1 và m 2 (m 1 >

Vì dây không giãn và không trượt trên ròng rọc, nên:

Cho cơ hệ như hình vẽ Dây nối rất nhẹ, không co giãn, ròng rọc C có dạng đĩa tròn đống chất, khối lượng m Hai đầu dây buộc hai vật A và B khối lượng m 1 và m 2 Bỏ qua mômen cản ở trục ròng rọc.

B

C A

→ 2

C A

→ 2

C A

→ 2

O

Thả cho trụ rỗng lăn xuống

dưới Biết khối lượng của trụ

3.5 – GIẢI BÀI TOÁN ĐLHVR

2 1

2 g 2R

=

=

β =

Cho cơ hệ như hình vẽ Dây

nối rất nhẹ, không co giãn,

p d

BÀI TẬP LDB N3-4

Một xe chở đầy cát, có khối lượng là m 2 = 10

kg chuyển động không ma sát trên mặt

đường nằm ngang với vận tốc v 2 = 1 m/s Một viên đạn khối lượng m 1 = 2 kg bay theo chiều ngược lại với vận tốc v 1 = 7 m/s Sau khi gặp

xe, viên đạn nằm ngập trong cát Hỏi sau đó

xe chuyển động theo chiều nào, với vận tốc bằng bao nhiêu?

BÀI TẬP B3.15

Một dây mảnh, nhẹ, không dãn,

quấn quanh một trụ đặc đồng chất

khối lượng m 0 = 3kg Đầu kia của

dây nối với vật m = 1kg (hình

0

0

4 ; 2

2

mg m a

m s m

rọc Biết dây rất nhẹ, không

dãn và không trượt trên ròng

B

C A

C A

→

2

P

→ 1

T

1

T '→

x y

10 ; / 2

13,3 / 2

BÀI TẬP B3.17

Trên một trụ rỗng, thành mỏng,

khối lượng 4kg , có quấn một

sợi dây mảnh, rất nhẹ, không

dãn Đầu kia của sợi dây buộc

BÀI TẬP B3.18

Một người có khối lượng 70 kg đứng ở mép một bàn tròn bán kính 1m Bàn đang quay theo quán tính quanh trục thẳng đứng đi qua tâm của bàn với tốc độ 2 vòng/giây Tính tốc độ quay của bàn khi người này dời vào tâm của bàn Biết mômen quán tính của bàn là I = 140 kgm2; mômen quán tính của người được tính như đối với chất điểm; bỏ qua ma sát.

Đs: 3 vòng/giây

) h R

2 (

h mg

−

−

≥

Đs: F

BÀI TẬP TN 3.21A

Cho cơ hệ như hình 3.42 Biết

dây nhẹ, không dãn và không

BÀI TẬP TN 3.21

Vô lăng có khối lượng m = 60kg phân bố đều trên vành tròn bán kính R = 0,5m Vô lăng có thể quay quanh trục thẳng đứng đi qua khối

tâm Tác dụng lực F = 48N luôn theo phương tiếp tuyến của vô lăng thì nó bắt đầu quay và sau khi quay được 4 vòng , vận tốc góc của nó

là 4rad/s Tính mômen của lực cản.

A) 19,2 Nm B) 21,6 Nm

C) 24 Nm D) 28,7 Nm

BÀI TẬP LDB N3-20

Một hệ gồm một trụ đặc

khối lượng M A = 2,54 kg

và vật nặng m B = 0,5 kg

được nối với nhau bằng

một sợi dây vắt qua ròng

BÀI TẬP TN 3.20

Một vô lăng hình đĩa tròn đồng chất, có khối lượng 10 kg , bán kính 20 cm , đang quay với vận tốc 240 vòng/phút thì bị hãm đều và

dừng lại sau 20 giâ y Độ lớn của mômen hãm

là :

A) 0,13 Nm B) 0,50 Nm

C) 0,25 Nm D) 1 Nm

BÀI TẬP TN 3.28

Gọi I 1 , I 2 , I 3 lần lượt là mômen quán tính đối với trục quay qua khối tâm của quả cầu đặc, trụ đặc, vành tròn có cùng khối lượng m và bán kính R Quan hệ nào sau đây là đúng?

A) I 1 > I 2 > I 3 B) I 1 < I 2 < I 3

C) I 2 > I 1 > I 3 D) I 3 > I 1 > I 2