Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động chương 7 nguyễn thành phúc

•Đánh giátính ổn định•Chất lượng của hệ rời rạc •Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc... Trình tự thiết kế khâu sớm pha rời rạc dùng QĐNS* •Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Chương 7 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

•Đánh giátính ổn định

•Chất lượng của hệ rời rạc

•Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

Đánh giá tính ổn định

•Hệ thống ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếutín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn.

Miền ổn định của hệ liên Miền ổn định của hệ rời rạc là

Phương trình đặc trưng của hệ rời rạc

Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi sơ đồ khối:

• Phương trình đặc trưng: 1 + G C ( z )GH ( z ) = 0

Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi PTTT:

•Tiêu chuẩn ổn định đại số

Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

Tiêu chuẩn Jury

•Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

•Bảng Routh

•Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các hệ số ở cột 1 của

•Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT:

•Tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc ổn định

•Bảng Jury: gồm có (2n+1) hàng.

•Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần

•Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết

theo thứ tự ngược lại

•Hàng lẽ thứ i = 2k+1 (k≥1) gồm có (n−k+1) phần tử, phần tử

ở hàng i cột j xác định bởi công thức:

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Jury

•Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT là:

•Bảng Jury

•Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương

trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

•Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến

m zero của G0(z), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm

cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6

•Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực

Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

•Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm

trên trục thực và là nghiệm của phương trình:

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

•Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể

xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz mở rộng

hoặc thay z=a+jb (a2+b2 =1) vào phương trình đặc trưng

•Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức p j

được xác định bởi

•Dạng hình học của công thức trên là:

•Phương trình đặc trưng của hệ thống:

1 + G( z ) = 0

•Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối:

•Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→ +∞ Tính Kgh

•Phương trình đặc trưng:

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

• Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị:

(PTĐT)

(*)

•Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng:

•Theo hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz, điều kiện ổn định là:





=>

Đổi biến ,(*) trở thành:

•Thay giá trị K gh = 21.83 vào phương trình (*), ta được:

•Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị là:

•Cách 2: Thay z = a + jb vào phương trình (*) :

=>

=>

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

•Kết hợp với điều kiện a2 + b2 =1, ta được hệ phương trình:

•Giải hệ phương trình trên, ta được 4 giao điểm là:

khikhi

Chất lượng của hệ rời rạc

•Đáp ứng của hệ rời rạc có thể tính bằng một trong hai cách sau:

•Cách 1 : nếu hệ rời rạc mô tả bởi hàm truyền thì trước tiên ta

tính C(z), sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm c(k).

•Cách 2 : nếu hệ rời rạc mô tả bởi PTTT thì trước tiên ta tính

nghiệm x(k) của PTTT, sau đó suy ra c(k).

•Cặp cực quyết định của hệ rời rạc là cặp cực nằm gần vòng tròn

đơn vị nhất

Chất lượng quá độ

•Cách 1: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào đáp ứng thời gian

c(k) của hệ rời rạc.

•Độ vọt lố:

trong đó cmax và cxl là giá trị cực đại và giá trị xác lập của c(k)

•Thời gian quá độ:

trong đó kqđ thỏa mãn điều kiện:

•Cách 2: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào cặp cực quyết định.

•Cặp cực quyết định:

•Độ vọt lố:

•Thời gian quá độ: (tiêu chuẩn 5%)

=>

Sai số xác lập

•Biểu thức sai số:

•Sai số xác lập:

1 Tính hàm truyền kín của hệ thống điều khiển trên.

2 Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị

3 Đánh giá chất lượng của hệ thống: độ vọt lố, thời gian quá độ,

sai số xác lập

Giải:

1 Hàm truyền kín của hệ thống:

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

=>

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

2 Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị:

=>

=>

•Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị:

•Điều kiện đầu:

Thay vào biểu thức đệ qui tính c(k):

c(k ) = {0; 0.0420; 0.1418; 0.2662; 0.3909; 0.5003;

0.5860; 0.6459; 0.6817;0.6975; 0.6985; 0.6898; 0.6760; 0.6606; 0.6461; 0.6341; 0.6251;

0.6191; }

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

•Thời gian quá độ theo tiêu chuẩn 5%:

•Trước tiên ta cần xác định kqđ thỏa:

•Theo kết quả tính đáp ứng ở câu 2 ta thấy: k qđ = 14

•Sai số xacù lập

=>

<=>

•Chú ý: Ta có thể tính POT và t qđ dựa vào cặp cực phức

Cặp cực phức của hệ thống kín là nghiệm của phương trình

=>

=>

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

Với

1 Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên

2 Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị

(điều kiện đầu bằng 0) dựa vào phương trình trạng thái vừa tìm

1 Thành lập phương trình trạng thái:

Giải:

•PTTT của hệ liên tục hở theo phương pháp tọa độ pha:

=>

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

•Ma trận quá độ:

•PTTT rời rạc mô tả hệ kín

với

•Vậy phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm là:

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

•PTTT của hệ rời rạc hở:

•Với điều kiện đầu x1(−1)=x2(− 1)=0, tín hiệu vào là hàm nấc đơn

vị, suy ra nghiệm của PTTT là:

•Từ PTTT ta suy ra:

•Đáp ứng của hệ thống: c(k ) = 10 x1 (k ) + 2 x2(k )

c(k ) = {0; 0.198; 0.348; 0.455; 0.529; 0.577; 0.606; 0.622; 0.631;

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

•Điều khiển nối tiếp

•Điều khiển hồi tiếp trạng thái

Hàm truyền của các khâu cơ bản rời rạc

Khâu vi phân

•Khâu vi phân liên tục:

•Khâu vi phân rời rạc:

=>

Hàm truyền của bộ điều khiển rời rạc

•Bộ điều khiển PID

hoặc

•Bộ điều khiển sớm pha, trể pha

z C < p C sớm pha

•Cách 1: Thiết kế gián tiếp hệ thống điều khiển liên tục, sau đó

rời rạc hóa ta được hệ thống điều khiển rời rạc Chất lượng của

hệ rời rạc xấp xỉ chất lượng hệ liên tục nếu chu kỳ lấy mẫu T

đủ

nhỏ

•Cách 2: Thiết kế trực tiếp hệ thống điều khiển rời rạc

Phương pháp thiết kế: QĐNS, phương pháp phân bố cực, phươngpháp giải tích, …

Trình tự thiết kế khâu sớm pha rời rạc dùng QĐNS

*

•Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chất

lượng của hệ thống trong quá trình quá độ:

•Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định z*1, 2 nằmtrên QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức:

Khaâu hieäu chænh caàn thieát keá

•Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

•Có hai cách vẽ thường dùng:

•PP đường phân giác (để cực và zero của khâu H/C gần nhau)

•PP triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc của hệ thống)

•Vẽ 2 nữa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định z1* saocho 2 nữa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng φ* Giaođiểm của hai nữa đường thẳng này với trục thực là vị trí cực và

zero của khâu hiệu chỉnh

•Bước 4: Tính hệ số khuếch đại K C bằng cách áp dụng công thức:

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNS

•TK bộ điều khiển sớm pha G C (z) sao cho hệ thống sau khi hiệu

chỉnh có cặp cực quyết định với ξ = 0.707 , ω n = 10 (rad/sec)

•Phương trình đặc trưng:

Giải:

=>

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNS

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNS

•Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệt

tiêu nghiệm:

=>

=>

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNS

•Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh

•Bước 1: Đặt Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập.

•Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1:

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNS

•TK bộ điều khiển trể pha G C (z) sao cho hệ thống sau khi hiệu

chỉnh có hệ số vận tốc K V* = 100

•Phương trình đặc trưng trước khi hiệu chỉnh:

Giải:

=>

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNS

=> PTĐT trước khi hiệu chỉnh

z1, 2 = 0.699 ± j 0.547

=> Cực của hệ thống trước khi hiệu chỉnh

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNS

•Bước 2 : Chọn zero của khâu trể pha rất gần +1

•Bước 3: Tính cực của khâu trể pha

•QĐNS trước và sau khi hiệu chỉnh

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tích

•Thiết kế khâu hiệu chỉnh G C (z) sao cho hệ thống kín có cặp cực

phức với ξ=0.707, ωn=2 rad/sec và sai số xác lập đối với tín

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tích

•Do đó phương trình đặc trưng của hệ thống là:

(do T=2)



Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tích

•Cân bằng các hệ số phương trình đặc trưng của hệ thống và

phương trình đặc trưng mong muốn, ta được:

•Kết luận:

=>

PP phân bố cực Thí dụ 1

Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K sao cho hệ thống kín có

•Cho hệ thống điều khiển

•Phương trình đặc trưng của hệ thống kín









•Cân bằng các hệ số phương trình đặc trưng của hệ thống và

phương trình đặc trưng mong muốn, ta được:

=>

•Kết luận: K = [3.12 1.047]

PP phân bố cực Thí dụ 2

•Cho hệ thống điều khiển:

1 Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở

2 Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K = [k1 k2] sao cho hệ

thống kín có cặp nghiệm phức với ξ=0.5, ωn=8 rad/sec.

1 Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở:

B1: PTTT mô tả hệ liên tục:

PP phân bố cực Thí dụ 2

=>

B2: Ma trận quá độ:

B3: PTTT mô tả hệ rời rạc hở:

PP phân bố cực Thí dụ 2

2 Tính độ lợi hồi tiếp trạng thái K:

Phương trình đặc trưng của hệ kín:





•Cặp cực quyết định mong muốn:

=>

( z − 0.516 − j0.428)( z − 0.516 + j0.428) = 0

•Phương trình đặc trưng mong muốn:

=>

PP phân bố cực Thí dụ 2

•Cân bằng các hệ số PTTT của hệ kín và PTTT mong muốn:

=>

Vậy

3 Tính đáp ứng và chất lượng của hệ thống :

•Phương trình trạng thái mô tả hệ kín: