Sáng kiến kinh nghiêm Sử dụng phơng trình bậc hai để giải phơng trình nghiệm nguyên Đặt vấn đề Nội dung phơng trình nghiệm nguyên từ đầu cấp THCS học sinh đợc tiếp cận. Đây lĩnh vực khó với đa dạng phơng pháp giải, phải linh hoạt cách suy luận, đòi hỏi em phải t sử dụng nhiều kiến thức hơn. Có nhiều phơng pháp để giải phơng trình nghiệm nguyên mà ta biết nh: phân tích thành tích; dùng tính chất chia hết; dùng tính chẵn lẻ; phơng pháp loại trừ; dùng bất đẳng thức vv. Tuy nhiên học đến lớp sau đợc tiếp cận tìm hiểu phơng trình bậc hai ẩn việc giải phơng trình nghiệm nguyên trở nên dễ dàng nhiều. Việc sử dụng phơng trình bậc hai giúp em nhanh chóng tìm kết so với phơng pháp khác. Trong viết xin trình bày thêm phơng pháp để giải phơng trình nghiệm nguyên là: Sử dụng phơng trình bậc hai để tìm nghiệm nguyên nhằm giúp bạn bè đồng nghiệp học sinh tham khảo, vận dụng trình dạy học để phát triển t cho học sinh, góp phần làm phong phú thêm phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên. Nội dung Chúng ta toán tìm nghiệm nguyên sau: Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 + 2y2 - 2xy + 3x - 3y + = (1) Đối với dạng toán lớp dới em học sinh phải tìm cách đa vế trái phơng trình dạng tích. Nhng học sinh lớp em giải theo cách nh sau: Năm học 2010 - 2011 Sáng kiến kinh nghiêm (1) x + (3 -2y)x + 2y - 3y + = Đây phơng trình bậc hai ẩn x, ta coi y tham số. Sử dụng công thức nghiệm ta có: = (3 -2y)2 - 4(2y2 - 3y + 2) = - 12y + 4y2 - 8y2 + 16y - = - 4y2 Vì phơng trình (1) có nghiệm nên => - 4y2 => y2 1/4 1 y . Vì y số nguyên nên => y = 2 Với y = x = -1 x = -2. Vậy (x, y) = (-1; 0) ; (-2; 0) Nh qua toán ta dùng phơng pháp phơng trình bậc hai để giải phơng trình nghiệm nguyên nh sau: + Đa phơng trình cho dạng phơng trình bậc hai ẩn ( coi ẩn lại tham số) + Dùng công thức nghiệm tính (hoặc ) + Lập luận để hạn chế tập nghiệm ẩn: Vì phơng trình có nghiệm nên ( 0). Từ ta tìm đợc tập nghiệm ẩn. Sau thay vào để tìm tập nghiệm phơng trình cho. Bài tập áp dụng: 1. Tìm x, y nguyên thỏa mãn: xy + x + y + = x2 + y2 (2) (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Ninh Bình năm học 2009 2010) Gợi ý cách giải: Theo phơng pháp nêu ta có cách giải nh sau: Đa (2) phơng trình bậc hai ẩn x: x2 (y + 1)x + y2 y = Ta có: = - y2 + 2y + => - y y nhận giá trị: -1; 0; 1; 2; Vậy (x, y) nhận giá trị: (-1; 0), (0; -1), (2; 0), (0; 2), (3; 2), (2, 3) 2. Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 12x2 +6xy + 3y2 = 28(x + y) (3) (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định năm học 2004 2005) Gợi ý cách giải: Đa (3) phơng trình bậc hai ẩn y: 3y2 + 2(3x - 14)y + 12x2 28 x = = - 27x2 + 196 => x2 . Vì x nguyên nên => x = 0; -1; ; ; - Thay giá trị x ta tìm đợc tập nghiệm: (x, y) = (0; 0), (1; 8) , ( -1; 10). 3. Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 + y2 + 2xy 8x 4y = (4) (Tơng tự đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 2010) Gợi ý cách giải: Năm học 2010 - 2011 Sáng kiến kinh nghiêm Đa (4) phơng trình bậc hai ẩn x: 3y + 2(3x - 14)y + 12x2 28 x = = - y2 4y + 16 => y . Từ tìm đợc giá trị x, y 4. Tìm x, y nguyên dơng thỏa mãn: x3 + y3 = ( x + y)2 (x + y) [ x ( y + 1) x + y y ] = Vì x, y nguyên dơng nên x + y > => x2 (y + 1)x + y2 y = Giải phơng trình bậc hai ẩn x theo phơng pháp nh ta tìm đợc nghiệm (x, y) giá trị (2; 1) , (1; 2) , (2; 2) Củng có toán mà làm đợc nh tính đợc mà lại dùng để hạn chế tập nghiệm đợc: Ví dụ 2: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 + y2 + xy x2y2 = (5) Đa (5) phơng trình bậc hai ẩn x: (y2 - 1)x2 yx y2 = Ta có: = y2 + 4y2 (y2 1) = y2 (4y2 3) Nếu sử dụng cách lập luận ta hạn chế đợc ẩn y. Vậy đến ta phải làm nh nào. Công cụ mà ta phải sử dụng với x, y nguyên nên số phơng, từ giúp ta hạn chế đợc tập nghiệm ẩn y. Vì x, y nguyên nên phải số phơng nên y = 4y2 = t2 (t Z) Dựa vào cách phân tích 4y2 t2 = => (2y + t)(2y t) = 3. Nghiệm nguyên t : t = -1 t = 1. Từ ta giải tìm đợc y = y = -1 Vậy phơng trình có nghiệm là: (x, y) = (0; 0), (1; -1) , (-1; 1) Bài tập tơng tự : Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 + 6xy + 5y2 4y = Gợi ý cách giải: PT x2 + 6yx + 5y2 4y = có = (3y)2 - 5y2 + 4y + = 4y2 + 4y + = (2y + 1) + Làm tơng tự ta tìm đợc y = y = - Kết : (x, y) cặp số (1; 1), (2; -2), (-7; 1), ( 10; -2) Năm học 2010 - 2011 Sáng kiến kinh nghiêm Kết luận Trên số phơng pháp sử dụng phơng trình bậc hai để giải phơng trình nghiệm nguyên. Ngoài sử dụng phơng trình bậc hai ta tìm cực trị biểu thức vài ứng dụng mà cha thể đa đợc. Trong trình giảng dạy thân thấy việc đa nội dung vào để giảng dạy cho học sinh lớp ôn tập cần thiết. Củng từ phơng pháp học sinh mở rộng cho cách giải số toán khác. Trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009 2010 Sở GD Hà Tĩnh có đề tơng tự nhng câu hỏi : Tìm GTLN A = x2 + y2 + 2xy 8x 4y Kết lớp giảng dạy có em làm trọn vẹn kết quả, có em biết biến đổi đ a PT bậc hai tìm đợc cha đa đợc kết cuối cùng. Dẫu thành công bớc đầu. Do thời gian có hạn nên viết tránh khỏi sai sót. Vì xin đợc góp ý bổ sung bạn bè đồng nghiệp để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Hơng Sơn, ngày 10/04/2011 Năm học 2010 - 2011 . dung Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tìm nghiệm nguyên sau: Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x 2 + 2y 2 - 2xy + 3x - 3y + 2 = 0 (1) Đối với dạng bài toán này ở lớp dới các em học sinh. giải phơng trình nghiệm nguyên Đặt vấn đề Nội dung về phơng trình nghiệm nguyên ngay từ đầu cấp THCS học sinh đã đợc tiếp cận. Đây là một lĩnh vực khó với bởi vì nó đa dạng về phơng pháp giải,. nên => y = 0 Với y = 0 thì x = -1 hoặc x = -2. Vậy (x, y) = (-1; 0) ; (-2; 0) Nh vậy qua bài toán này ta có thể dùng phơng pháp phơng trình bậc hai để giải phơng trình nghiệm nguyên nh sau: +