DE THI HSG TOAN 10

Trờng THPT Đông Sơn kì thi CHọN HọC SINH GiỏI lớp 10 năm 2010 -2011 Môn Thi : Toán Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2điểm) Giải phơng trình : x x = x + Câu 2: (2điểm) x + y + xy = Giải hệ phơng trình: 2 x + = y + x Câu 3: (2điểm) 2 > 2x Giải bất phơng trình: x + x + 6x Câu 4: (2điểm) Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b , AB = c thoả c mb = , b mc mb , mc trung tuyến kẻ từ B C. Chứng minh : 2cotA = cotB + cotC Câu 5: (2điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(0;2) đờng thẳng (d): x-2y + = Tìm đờng thẳng (d) hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC. Câu 6: (2điểm) Cho tam giác ABC biết A(3;4) , B(-1;2) có diện tích S = (đvdt) trọng tâm tam giác thuộc đờng thẳng (d): x - 3y + = 0.Tìm toạ độ đỉnh C. Câu 7: (2điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c. Gọi R; r; P lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp, bán kính đờng tròn nội tiếp nửa chu vi tam giác ABC. Biết P r Rr = ab + bc + ca . Chứng minh tam giác ABC đều. Câu 8: (2điểm) ( ) Chứng minh bất đẳng thức : số thực dơng Câu 9: (2điểm) y x z 1 + + + + biết x,y,z 2 x +y y +z z +x x y z x + y = Tìm m để hệ phơng trình : có nghiệm x x + y y = 3m Câu 10: (2điểm) Tìm m để phơng trình : x x x + m = m (1) có nghiệm Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Trờng thpt đông sơn i Hớng dẫn chấm môn toán thi hsg lớp 10 năm học 2010- 2011 - Điểm toàn không làm tròn. - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa. Câu Nội dung Giải phơng trình : (1) Điểm 2,00 Điều kiện: x PT (1): x x + = ( x + 3) + x + + x = x + + 4 2 1 x = x + + x = x + ( 2) x = x + x = x + (3) 2 Giải (2): x x + 17 x = x + x= x 2x + = x + x 3x = 0,5 0,5 Giải HPT: 2,00 x + y + xy = (1) HPT tơng đơng với: x + 16 = y + 14 x (2) Cộng (1) (2) ta đợc: 2 x + y + xy y 14 x + 10 = ( x 1) + ( x + y 3) = x = x = x + y = y = x = Vậy HPT có nghiệm y = Giải BPT: (1) Điều kiện: < x < Theo BĐT côsi ta có : Vậy (1) x + + 2,00 Suy ra: ( x 1)( x ) x + x = 2 x + 6x 0,5 > x (2) x + 6x Mặt khác : x + > x với x > Do (2) nghiệm Và x + 6x Vậy BPT (1) nghiệm với < x < Cho tam giác 1,0 1,0 x + 6x = Nên: < x +6 x 0,5 x x 13 Giải (3): x = x + x= x = x + x x = + 17 x = Vậy PT có nghiệm 13 x = 0,5 0,5 0,5 0,5 2,00 c mb c2 m2 = = b2 b mc b mc áp dụng công thức tính độ dài đờng trung tuyến ta có : Theo ra: b2 b c Nên: c = a + c = 2mb2 + a + b = 2mc2 + b c2 2 a + b2 1 a c + b c c = a b + b c b a c b c b = 2 2 ( ( ) ( ) ( a2 + c2 ) ( ) ) 1 c2 b2 a2 c2 + b2 = a c2 + b2 = 2 2a = b + c 2a = a + 2bc cos A a = 2bc cos A 0,5 ( R sin A) = 2( R sin B ).( R sin C ) cos A sin A = sin B sin C cos A cos A sin A sin ( B + C ) sin B cos C + sin C cos B = = cot A = sin A sin B sin C sin B sin C sin B sin C cos C cos B = + cot A = cot C + cot B sin C sin B 2 2 12 + = 2t + t 2t 22 12t + = t = C ( 0,1) 7 t = C ; Vậy có cặp điểm B,C thoả mãn ycbt. 5 Cho tam giácABC. Gọi M trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ABC. x x = 2( xG x M ) xC = x G x M Khi : GC = 2GM C G (1) y C y G = 2( y G y M ) yC = yG y M 0,5 0,5 2,00 Trong mp Oxy x = 2t PT tham số đờng thẳng (d) : y = t Xét điểm B,C (d) đó: B(2t1 ; t1) ; C(2t2 ; t2) Ta có : AB( 2t1 2; t1 ) , (d) có vtcp: u (2;1) AB.u = (1) AB = BC Theo giả thiết ta có: AB = BC (2) AB.BC = 6 Từ (1) 2( 2t1 2) + ( t1 ) = t1 = B , 5 Từ (2) 0,5 0,5 0,5 t = t = 0,5 0,5 2,00 0,25 x A + xB =1 x M = * Toạ độ điểm M đợc cho bởi: M (1;3) y + y A B y = =3 M * Điểm G(x;y) thuộc đờng thẳng (d) x - 3y + = (2) Gọi CH đờng cao tam giác ABC hạ từ C, ta có: 3 3 S ABC = AB.CH = CH = = 2 4 ( 3) + ( ) Qua G dựng đờng thẳng song song với AB cắt CH H1 , đó: HH MG 1 = = HH = CH = CH MC 3 PT đờng thẳng (AB): x - 2y + = x 2y + Ta có: d ( G; ( AB ) ) = HH = x 2y + = 2 +2 Từ (2),(3) ta có hệ PT: 25 x y + = G ; x y + = 4( x y + 5) = 31 x y + = 4( x y + 5) = G ; 4 83 33 25 Với G ; thay vào (1) ta đợc C(;- ) 4 4 101 39 31 Với G ; thay vào (1) ta đợc C(;- ) 4 4 0,25 0,5 0,5 ( 3) 0,5 2,00 Cho tam giác ABC . Biến đổi: S2 S abc 2[ P ( P a )( P b )( P c ) ] 2abc P r Rr = P 2 8. . = 2P P 4S P P P2 2 = a +b +c 2 (1) a + b + c = ab + bc + ca ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) = a=b=c Suy tam giác ABC đều. ( ) [ ] 2 x x 1 Ta có: = . + (1) x y x y x + y 2 x3 y + y + z 2 y z 0,5 0,5 0,5 2,00 C/m BĐT: y 0,5 ( 2) ; Cộng vế với vế (1)(2)(3) ta đợc đpc/m. 2 z + (3) z + x 2 z x 1,0 0,5 0,5 2,00 Cho hệ PT x Điều kiện y Đặt x =u0 ; y =v0 0,5 (1) u + v = Hệ phơng trình cho có nghiệm hệ sau có nghiệm u + v = 3m (2) u 0; v (3) Từ (1) (2) ta có u + v = (u + v )(u uv + v ) = (u + v ) (u + v ) 3uv = 3uv [ ] u + v = Ta cần tìm m để hệ uv = m (I) có nghiệm u 0; v 0,5 0,5 Dễ thấy u; v nghiệm phơng trình t t + m = (*) Hệ (I) có nghiêm PT (*) có nghiệm không âm 4m S 0m P m 0,5 hệ phơng trình cho có nghiệm Tìm m để PT Đặt x + m = t ( *) . PT cho trở thành: Vậy với m 10 ( 2,00 ) m 2t m + t 2t t = (2) m = t + t Giải (2) theo m m = t t Từ (*) x = t m Do PT x x x + m = m có nghiệm m = t + t Thì PT có nghiệm t [ 0,+ ) m = t t Vẽ đồ thị hàm số y = t2 + t , y = t2 t -1 [ 0,+ ) Căn đồ thị ta có: m = -1 < m < ( t 0) 0,5 0,5 0,5 0,5 . Câu 10: (2điểm) Tìm m để phơng trình : )1(2 2 mmxxx =+ có nghiệm duy nhất Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Trờng thpt đông sơn i Hớng dẫn chấm môn toán thi hsg lớp 10 năm học 2 010- . Trờng THPT Đông Sơn 1 kì thi CHọN HọC SINH GiỏI lớp 10 năm 2 010 -2011 Môn Thi : Toán Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu. +=+ =++ )2(146164 )1(64 2 22 xyx xyyx Cộng (1) và (2) ta đợc: ( ) ( ) = = =+ = =++=+++ 1 1 32 1 03 2101 014645 22 22 y x yx x yxxxyxyyx Vậy HPT có nghiệm = = 1 1 y x 1,0 1,0 3 Giải BPT: (1) 2,00 Điều