Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Chun đề: Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN I- LÝ THUYẾT: 1. Phương trình đường tròn: Dạng 1: Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I (a; b) , bán kính R > : ( x - a) + ( y - b) = R R I Dạng 2: Phương trình tổng qt: x + y - 2ax - 2by + c = (*) có tâm I (a; b) , bán kính R = a + b - c Lưu ý: Điều kiện để (*) phương trình đường tròn là: a + b - c > THUẬT TỐN Lập phương trình đường tròn Bước 1: Bước 2: Kết luận: Xác định tâm I (a; b) ( C ) . Xác định bán kính R > . Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I (a; b) , bán kính R > : ( x - a) + ( y - b) = R2 Nhận xét: Phương trình (*) hồn tồn xác định biết hệ số a, b, c . Như cần giả thiết để xác định a, b, c . 2. Tiếp tuyến đường tròn: x + y - 2ax - 2by + c = a. Tiếp tuyến ( C ) M ( x0 ; y0 ) ( M : tiếp điểm) Tiếp tuyến ( C ) M ( x0 ; y0 ) có phương trình: R I xx0 + yy0 - a ( x + x0 ) - b( y + y0 ) + c = M0 (CT phân đơi toạ độ) D Nhận xét: Râ rµng tiÕp tun ®i qua M ( x0 ; y0 ) vµ cã vect¬ ph¸p IM ( x0 a; y0 b) : (a x0 ) x x0 (b y0 )( y y0 ) b. Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng D : ax + by + c = tiếp tuyến ( C ) Û d ( I ; D ) = R Lưu ý: Để tiện việc tìm phương trình tiếp tuyến ( C ) , khơng nên xét phương trình đường thẳng dạng y = kx + m (tồn hệ số góc k ). Vì dẫn đến sót trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x = C (khơng có hệ số góc). Nhắc: * §êng th¼ng y kx m cã hƯ sè gãc k . * §êng th¼ng x C (vu«ng gãc Ox) kh«ng cã hƯ sè gãc. Do ®ã, qu¸ tr×nh viÕt pt tiÕp tun víi (C) tõ ®iĨm M ( x0 ; y0 ) (ngoµi (C)) ta cã thĨ thùc hiƯn b»ng p.ph¸p: * Ph¬ng ph¸p 1: Gäi ®êng th¼ng bÊt k× qua M ( x0 ; y0 ) vµ cã h.s.g k: y y0 k ( x x0 ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY ¸p dơng ®k tiÕp xóc, gi¶i ®ỵc k. Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 * NÕu kÕt qu¶ hƯ sè gãc k (t¬ng øng t.tun), bµi to¸n gi¶i qut xong. * NÕu gi¶i ®ỵc h.g.gãc k, th× xÐt ®êng th¼ng x x (®©y lµ tiÕp tun thø hai). * Ph¬ng ph¸p 2: Gäi n (a; b) a b lµ v.t ph¸p cđa ®.th¼ng ®i qua M ( x0 ; y0 ) a ( x x0 ) b( y y0 ) ¸p dơng ®iỊu kiƯn tiÕp xóc, ta ®ỵc ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai theo a, b. Nhận xét: Ph¬ng ph¸p tá hiƯu qu¶ vµ khoa häc h¬n. 3. Vị trí tương đối hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: Cho hai đường tròn ( C1 ) có tâm I1 , bán kính R1 ( C2 ) có tâm I , bán kính R2 . Trường hợp I1 R R Kết luận ( C1 ) khơng cắt ( C2 ) (ngồi nhau) Số tiếp tuyến chung I2 R1 + R2 < I1I ( C1 ) I1 R1 R2 I2 R1 + R2 = I1I I1 R2 R1 I2 R1 + R2 > I1I > R1 - R2 R I1 I2 R ( C1 ) tiếp xúc ngồi với ( C2 ) cắt ( C2 ) hai điểm phân biệt ( C1 ) tiếp xúc với ( C2 ) R1 - R2 = I1I Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY ( C1 ) khơng cắt ( C2 ) (lồng vào nhau) Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 R1 I1 R I2 R1 - R2 < I1I VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng phương trình bậc hai phương trình đường tròn. Tìm tâm bán kính đường tròn. Phương pháp: Cách 1: Đưa phương trình dạng x + y - 2ax - 2by + c = (1) ìïT©m I (a; b) Kiểm tra, biểu thức: a + b - c > (1) phương trình đường tròn í 2 ỵï R = a + b - c Cách 2: Đưa phương trình dạng: ( x - a)2 + ( y - b)2 = m kết luận. LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường tròn. Tìm tâm bán hính có: a) x + y - x + y + 10 = b) x + y + x - y - 12 = c) x + y + x + y + = d ) 2x + y - x + y - = e) x + y - y = f ) x + y - x + 8y + = g ) x + y + xy + y - = Bài tập 2: Cho phương trình x + y - mx + my + m - = (1) a. Với giá trị m pt(1) phương trình đường tròn? b. Nếu (1) phương trình đường tròn, tìm toạ độ tâm tính bán kính đường tròn theo m . Bài tập 3: Cho phương tr×nh : x + y + 6mx - 2(m - 1) y + 11m + 2m - = . a. T×m điều kiện m để pt trªn l ph¬ng tr×nh đường trßn. b. T×m quỹ tÝch t©m đường trßn. Bài tập 4: Cho phương trình: x y 2(cosa 1) x 2(sin a 1) y 2 . a. Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× ph¬ng tr×nh trªn lµ p.tr×nh cđa mét ®êng trßn. b. T×m gi¸ trÞ a ®Ĩ ®êng trßn cã b¸n kÝnh nhá nhÊt, lín nhÊt. c. T×m q tÝch t©m ®êng trßn, a thay ®ỉi trªn ®o¹n 0 ;1800 . 2 Bài tập 5: Cho phương tr×nh (Cm ) : x + y + 2(m - 1) x - 2(m - 3) y + = . a. T×m m để (Cm ) phương tr×nh đường trßn. b. T×m m để (Cm ) đường trßn t©m I (1; -3). Viết phương tr×nh đường trßn. c. T×m m để (Cm ) đường trßn cã b¸n kÝnh R = 2. Viết phương tr×nh đường trßn. d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn (Cm ) . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY VẤN ĐỀ 2: Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương pháp: Cách 1: Tìm tâm I (a; b) , bán kính R > . Suy (C) : ( x - a ) + ( y - b ) = R 2 Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: x + y - 2ax - 2by + c = - Từ điều kiện đề đưa đến hệ phương trình với ẩn số a, b, c . - Giải hệ phương trình tìm a, b, c . LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) trường hợp sau: a. (C) có tâm I (-1;2) tiếp xúc với đường thẳng D : x - y + = . b. (C) có đường kính AB với A(1;1), B (7;5) Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn qua ba điểm với A(1;4), B (-7;4), C(2; -5) . Bài tập 3: Cho điểm A(1;2), B (5;2), C(1; -3) . a. Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. b. Xác định tâm bán kính (C). Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(1;5), B (4; -1), C(-4; -5) Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn (C), có tâm I (2;3) trường hợp sau: a. (C) có bkính b. (C) qua điểm A(1;5) . c. (C) tiếp xúc với trục Ox d. (C) tiếp xúc với trục Oy e. (C) tiếp xúc với đường thẳng D : x + 3y - 12 = Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(-1;2), B (-2;3) có tâm đường thẳng D : x - y + 10 = . Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a;3a + 10) Ỵ Δ . Do (C) qua A, B nên IA = IB ( = R ) Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d đoạn AB. Bước 2: Tâm I (C) giao điểm d Δ . Bài tập 7: Lập phương trình đường tròn (C) qua điểm A(1;2), B (3;4) tiếp xúc với đường thẳng D : 3x + y - = . Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a; b) tâm đường tròn. ìï IA = IB Þ giải I. Theo giả thiết: í ỵïd ( I ;Δ ) = IA Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d đoạn AB. Bước 2: Gọi tâm (C) I Ỵ d (tọa độ ẩn). Do Δ tiếp xúc với (C) nên d ( I ;Δ ) = IA Þ giải I. Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) điểm M (4;2) tiếp xúc với trục toạ độ. Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Gọi I (a; b) tâm (C). Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a = b = R . TH 1: a = b Þ I (a; a ), R = a Phương trình (C): ( x - a ) + ( y - a ) = a 2 éa = 2 Do M (4;2) Ỵ ( C ) Û ( - a ) + ( - a ) = a2 Û a2 - 12 a + 20 = Û ê ë a = 10 Vậy có đường tròn: ( C1 ) : ( x - ) + ( y - ) = ( C2 ) : ( x - 10 ) + ( y - 10 ) = 100 . TH 2: a = -b Þ I (a; - a ), R = a Phương trình (C): ( x - a ) + ( y + a ) = a 2 Do M (4;2) Ỵ ( C ) Û ( - a ) + ( + a ) = a Û a - a + 20 = v« nghiƯm Bài tập 9: Cho đường thẳng: D1 : x + y - = 0, D : x + y - = 0, d : x + y - = . Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm đường thẳng d (C) tiếp xúc với D1 , D . Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a;1 - 2a) Ỵ d tâm đường tròn (C). Do D1 , D tiếp tuyến (C) nên suy ra: d ( I ; D1 ) = d ( I ; D ) Þ giải I. Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng D1 D2 . 3x + y - x + 3y - Û 3x + y - = x + 3y - 32 + 42 42 + 32 é3 x + y - = x + y - éT : x - y - = Ûê Ûê ë T2 : x - y - = ë3 x + y - = - ( x + y - ) Bước 2: Tâm I đường tròn tương ứng giao điểm d T1, T2 . Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A(0;1), B (2; 3) có bán kính R5. Gợi ý: Cách 1: ì IA = IB Gọi I (a; b) tâm đường tròn (C). Theo giả thiết í ỵ IA = R = Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d AB. Bước 2: Gọi I Ỵ d (tọa độ ẩn). Theo giả thiết IA = Þ giải I. Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I (1;1) , biết đường thẳng : x 4 y cắt (C) theo dây cung AB với AB 2. Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO = Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 AB Dễ thấy R = éë d ( I ;Δ ) ùû + Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có A(0;2), B (-2; -2) C (4; -2) . Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M, N trung điểm AB BC. Viết phương trình đường tròn qua điểm H, M, N. Gợi ý: Bước 1: Xác định tọa độ M, N. Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d MN. Dễ thấy tâm I (C) thuộc d . Bước 3: Tâm I (C) giao điểm BH d . Suy IM = R . Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn qua điểm A(1;1) có bán kính R 10 , tâm (C) nằm Ox. Gợi ý: Gọi I (a;0) Ỵ Ox tâm (C). Theo giả thiết, IA = 10 , từ giải I. Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn qua điểm M (2;3) tiếp xúc đồng thời với hai đường thẳng 1 : x 4 y 0, 2 : x y 7 0. Gợi ý: ìï IM = d ( I ;Δ1 ) ( = R ) Þ giải I. Gọi I (a; b) tâm (C). Theo giả thiết í ïỵd ( I ;Δ1 ) = d ( I ;Δ ) Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn qua gốc toạ độ, bán kính R tiếp xúc với đường thẳng : 2x y . Gợi ý: ìïOI = ( = R ) Gọi I (a; b) tâm (C). Theo giả thiết í Þ giải I. ïỵd ( I ;Δ ) = Bài tập 16: Cho đường thẳng d : x y 3 đường tròn (C ) : x y 7 x y 0. Chứng minh d cắt (C ) . Hãy viết phương trình đường tròn (C ') qua M (3;0) giao điểm d (C ) . Gợi ý: y x 3 (1) x y 3 Xét hệ phương trình: 2 x y 7 x y x y 7 x y (2) é x = Þ y = -2 A(1; -2) Thay (1) vào (2): x - x + = Û ê ë x = Þ y = -3 B (0; -3) Bài tốn trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm A(1; -2), B (0; -3) M (3;0) . (Dùng kỹ năng: Gọi phương trình x + y - 2ax - 2by + c = thay tọa độ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Bài tập 17: Cho đường thẳng d : x y 3 đường tròn (C ) : x y x 7 y 0. Chứng minh d cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B . Hãy viết phương trình đường tròn (C ') qua A, B có bán kính R . Gợi ý: Xác định giao điểm A, B d (C). ì IA = IB . Gọi I (a; b) tâm (C ') . Theo giả thiết: í IA = ỵ Bài tập 18: Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm P(1; 1), Q(3;1) tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y . Gợi ý: (C ') : x y có tâm O(0;0), R = . Lập phương trình đường trung trực Δ PQ. Gọi I Ỵ Δ (tọa độ ẩn) tâm (C) Xét trường hợp: TH 1: (C) (C’) tiếp xúc ngồi, tức OI = R1 + R2 Û OI = + IA Þ giải I. TH 2: (C) (C’) tiếp xúc trong, tức OI = R1 - R2 Û OI = - IA Þ giải I. Bài tập 19: Viết phương trình đường tròn có bán kính R , qua M (2;0) tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y 1. Gợi ý: ì IM = R Gọi I (a; b) tâm (C ) . Theo giả thiết: í . Từ đây, giải I. ỵ IO = R + Bài tập 20: Viết phương trình đường tròn có bán kính R , tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y vµ ®êng th¼ng y . Gợi ý: Gọi I (a; b) tâm (C ) . éb = Ta có, (C) tiếp xúc với Ox nên R = b Û b = Û ê ëb = -2 TH 1: b = Þ I (a; 2) . Theo giả thiết IO ' = R1 + R2 . Từ đây, giải I. TH 2: b = -2 Þ I (a; -2) . Theo giả thiết IO ' = R1 + R2 . Từ đây, giải I. Bài tập 21: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d : y 2 điểm M (4;2) tiếp xúc với đường tròn (C ') : x ( y 2) 4. Gợi ý: Qua M dựng đường thẳng Δ vng góc với d . Lúc đó, tâm I Ỵ Δ (tọa độ ẩn). Dễ thấy R = IM TH 1: II ' = R + R ' Û II ' = IM + R ' . Từ đây, giải I. TH 2: II ' = R - R ' Û II ' = IM - R ' . Từ đây, giải I. Bài tập 22: Cho đường tròn (C ') : x y . Viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng : x 3 đường tròn (C’) điểm M (2;2) . Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Lập phương trình đường thẳng I ' M . Tâm I Ỵ I ' M (tọa độ ẩn). Ta có: II ' = IM + I ' M Û II ' = d ( I , x - 3) + I ' M . Từ đây, giải I. Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng d : x - y + 10 = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D : x + y = tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2) . Gợi ý: Tâm I Ỵ Δ (tọa độ ẩn). Theo giả thiết IA = d ( I , d ) . Từ đây, giải I. VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN Bài tập 1: Cho đường tròn (C): ( x - ) + ( y - 1) = 25 . Viết phương trình tiếp tuyến (C) trường hợp sau: a. Tại điểm M (5; -3) b. Biết tiếp tuyến song song D : x - 12 y + = c. Biết tiếp tuyến vng góc D : 3x + y + = d. Biết tiếp tuyến qua A(3;6) . Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): x + y - x - y = giao điểm (C) đường thẳng D : x + y = . Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y - x - y = xuất phát từ A(3; -2) . Gợi ý: (C) có tâm I (2;1) R = . Cách 1: Gọi n = ( a; b ) ( a2 + b2 > ) vectơ pháp tiếp tuyến cần tìm: D : a( x - 3) + b( y + 2) = Û ax + by - 3a + 2b = . 2a + b - 3a + 2b D tiếp tuyến (C) Û d ( I ; D ) = R Û = Û 3b - a = ( a2 + b2 ) 2 a +b éb ê a = Û b = 2a 2 2 2 Û 9b - 6ab + a = ( a + b ) Û 2b - 3ab - 2a = Û ê êb = - Û b = - a 2 ëê a TH 1: b = 2a . D : a( x - 3) + 2a( y + 2) = Û x - + 2( y + 2) = Û x + y + = (do a ¹ ) Lúc đó: TH 2: b = - a 1 D : a( x - 3) - a( y + 2) = Û x - - ( y + 2) = Û x - y - = (do a ¹ ) Lúc đó: 2 Kết luận: Vậy có tiếp tuyến (C) xuất phát từ A. D1 : x + y + = , D : x - y - = . Cách 2: Xác đ ịnh tọa độ tiếp điểm. Gọi M0 ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến xuất phát từ A đường tròng (C). ìï x02 + y02 - x0 - y0 = ì M0 Ỵ (C ) Û í Suy ra: í Từ đây, giải hai tiếp điểm… M A ^ M I ỵ ïỵ M0 A.M0 I = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Bài tập 4: Cho đường tròn (C): x + y - x + y + = điểm A(1;3) . a. Chứng tỏ A nằm ngồi đường tròn (C). b. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A. Bài tập 5: Cho đường tròn (C): ( x + 1) + ( y - ) = điểm M (2; -1) . a. Chứng tỏ qua M ta vẽ hai tiếp tuyến D1 D với (C). Hãy viết phương trình D1 D . b. Gọi M1 M2 hai tiếp điểm D1 D với (C), viết phương trình M1 M2 . Gợi ý: (C) có tâm I (-1;2) R = . a. Ta có IM (3; -3) Þ IM = > = R nên M nằm ngồi (C). Vậy từ M tồn tiếp tuyến với (C). Cách 1: Gọi n = ( a; b ) ( a2 + b2 > ) vectơ pháp tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên) Cách 2: Gọi M0 ( x0 ; y0 ) tiếp điểm. Lúc đó, tiếp tuyến (C) M có dạng D : ( x + 1) ( x0 + 1) + ( y - ) ( y0 - ) = . Mặt khác D qua M (2; -1) nên: ( + 1) ( x0 + 1) + ( -1 - ) ( y0 - ) = Û x0 - y0 = (1) Do M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) Û ( x0 + 1) + ( y0 - ) = (2) é x0 = -1, y0 = -1 ïì x0 - y0 = Ûê Từ (1) (2), giải hệ: í 2 ë x0 = -2, y0 = -2 ïỵ( x0 + 1) + ( y0 - ) = Suy hai tiếp điểm M1 (-1; -1), M2 (-2; -2) TH 1: Tiếp tuyến D1 qua M (2; -1) M1 (-1; -1) có phương trình: y = -1 . TH 2: Tiếp tuyến D qua M (2; -1) M2 (-2; -2) có phương trình: x -2 y +1 = Û x - 4y - = . -2 - -2 + b) Theo trên, hai tiếp điểm M1 (-1; -1), M2 (-2; -2) . x+2 y+2 = Û x - y = 0. Cách 1: Phương trình M1 M2 : -1 + -1 + Cách 2: (Khơng cần xác định tọa độ M1 , M2 ) Gọi M1 ( x1; y1 ) , M2 ( x2 ; y2 ) . Tiếp tuyến (C) M1 : ( x + 1) ( x1 + 1) + ( y - ) ( y1 - ) = . Mặt khác D qua M (2; -1) nên: ( + 1) ( x1 + 1) + ( -1 - ) ( y1 - ) = Û x1 - y1 = (3) Tương tự, tiếp tuyến (C) M1 : ( x + 1) ( x2 + 1) + ( y - ) ( y2 - ) = . Mặt khác D qua M (2; -1) nên: ( + 1) ( x2 + 1) + ( -1 - ) ( y2 - ) = Û x2 - y2 = (4) Từ (3), (4) dễ thấy: M1 , M2 Ỵ D : x - y = hay đường thẳng M1 M2 : x - y = . Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn: a) (C1 ) : x + y - x + = (C2 ) : x + y - 12 x - y + 44 = . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 b) (C1 ) : x + y - x - = (C2 ) : x + y - x - y + 28 = c) (C1 ) : x + y + x - y - = (C2 ) : x + y - 16 x - 20 y + 21 = d) (C1 ) : x + y = (C2 ) : x + y - y - = Gợi ý: 6b) (C1 ) : x + y - x - = (C2 ) : x + y - x - y + 28 = ìïT©m I1 (1;0 ) ïìT©m I ( 4;4 ) Ta có ( C1 ) có í ( C2 ) có í ỵïB¸n kÝnh R1 = ỵïB¸n kÝnh R2 = Ta có: I1I = (3;4) Þ I1I = > = R1 + R2 . Vậy ( C1 ) ( C1 ) ngồi nên tồn tiếp tuyến chung cần tìm. Gọi D : ax + by + c = ( a2 + b2 > ) tiếp tuyến chung ( C1 ) ( C2 ) . ì a+c =2 ï 2 ì (1) ïìd ( I1; D ) = R1 ï a2 + b2 ïa+c =2 a +b Ûí Ûí Lúc đó, theo giả thiết: í ïỵd ( I ; D ) = R2 ï 4a + 4b + c = ïỵ 4a + 4b + c = a2 + b2 (2) ï a2 + b2 ỵ é3a + 4b = é a + c = 4a + 4b + c Ûê Từ (1) (2) suy ra: a + c = 4a + 4b + c Û ê a + c = a + b + c ( ) êc = -5a - 4b ë ë TH 1: 3a + 4b = Û a = - b . é 14 c= b 16 10b b +b Û c- b = Ûê Lúc đó, (1) trở thành: c - b = ê 3 ëc = -2b 14 4 14 * Với c = b, a = - b tiếp tuyến D1 : - bx + by + b = Û -4 x + 3y + 14 = . 3 3 4 * Với c = -2b, a = - b tiếp tuyến D : - bx + by - 2b = Û -4 x + 3y - = . 3 -5a - 4b . TH 2: c = Lúc đó, (1) trở thành: -5a - 4b a+ = a2 + b2 Û 3a + 4b = a2 + b2 Û ( 3a + 4b ) = ( a2 + b2 ) é a = Þ c = -2b Û 9a + 24ab + 16b = 16a + 16b Û a ( 7a - 24b ) = Û ê ê a = 24 b Þ c = - 74 b 7 ë * Với c = -2b, a = tiếp tuyến D : by - 2b = Û y - = . 74 24 24 74 b tiếp tuyến D : bx + by + b = Û 24 x + y - 74 = . * Với c = - b, a = 7 7 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Kết luận: Vậy tồn tiếp tuyến thỏa mãn u cầu tốn: D1 : - x + 3y + 14 = , D : - x + 3y - = , D : y - = , D : 24 x + y - 74 = Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) : x y 25 , biết tiếp tuyến hợp với đường thẳng : x y 1 mét gãc a mµ cosa = . Gợi ý: (C) có tâm O(0;0) R = . Gọi nd = ( a; b ) ( a2 + b2 > ) vectơ pháp đường thẳng d cần tìm. Đường thẳng D có vectơ pháp nD (1;2) . nên suy ra: Do góc đường thẳng d D a với cosa nd .nD a + 2b = Û a + 2b = a2 + b2 cosa = Û 2 nd . nD a +b éa = Û a + 4ab + 4b = ( a + b ) Û a(4b - 3a) = Û ê êb = a ë TH 1: a = Þ nd = (0; b) ( b ¹ ) , chọn nd (0;1) Þ d : y + m = . ém = =5Û ê ë m = -5 Vậy trường hợp có tiếp tuyến: d1 : y + = 0, d2 : y - = . Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d ( O; d ) = R Û m ỉ a Þ nd = ç a; a ÷ ( a ¹ ) , chọn nd (4;3) Þ d : x + 3y + n = . è ø n é n = 25 Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d ( O; d ) = R Û = Û ê ë n = -25 Vậy trường hợp có tiếp tuyến: d3 : x + 3y + 25 = 0, d4 : x + 3y - 25 = . TH 2: b = MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1) (ĐH A-2002) Cho tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC là: x - y - = , đỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường tròn nội tiếp 2. Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC. Gợi ý: Ta cã BC Ç Ox = B (1;0). §Ỉt x A = a ta cã: A(a;0) vµ xC = a Þ yC = 3a - ( ) VËy C a; 3a - . ì ïï xG = ( x A + xB + xC ) ỉ 2a + 3(a - 1) ; Tõ c«ng thøc í Ta cã G ç ÷ 3 è ø ïy = ( y + y + y ) G A B C ỵï Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Cách 1: Ta cã: AB = a - , AC = a - , BC = a - Do ®ã: SΔABC = Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 AB. AC = ( a - 1) . 2 a -1 ( a - 1) 2S Ta cã: r = = = = 2. AB + AB + BC a - + a - +1 VËy a - = + y ỉ7+4 6+2 TH 1: a1 = + Þ G1 ç ; ÷ 3 ø è ỉ -1 - -6 - TH 1: a2 = -2 - Þ G2 ç ; ÷ 3 è ø O B Cách 2: Gäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ΔABC. V× r = Þ yI = ±2. x -1 Ph¬ng tr×nh BI: y = ( tan 300 ) . ( x - 1) = Þ xI = ± 3 TH 1: NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B th× xI = + 3. Tõ d ( I ; AC ) = C I x A ỉ7+4 6+2 Þ a = xI + = + Þ G1 ç ; ÷ 3 ø è TH 2: NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B th× xI = - 3. Tõ d ( I ; AC ) = ỉ -1 - -6 - Þ a = xI - = -1 - Þ G2 ç ; ÷ 3 è ø ỉ1 2) (ĐH B-2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ç ;0 ÷ , phương trình đường thẳng AB là: è2 ø x - y + = AB= 2AD. Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm. Gợi ý: 5 Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ®êng th¼ng AB b»ng Þ AD = vµ IA = IB = 2 Do ®ã A, B lµ c¸c giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng AB víi ®êng trßn t©m I vµ b¸n kÝnh R = . VËy täa ®é A, B lµ nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh: ìx - y + = ï 2 íỉ 1ư ỉ . Gi¶i hƯ ®ỵc A(-2;0), B (2; 2) (v× x A < 0) ïç x - ÷ + y = ç ÷ 2ø è2ø ỵè Þ C (3;0), D(-1; -2). Lưu ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Hoµn toµn cã thĨ x¸c ®Þnh täa ®é H lµ h×nh chiÕu cđa I trªn ®êng th¼ng AB. Sau ®ã t×m A, B lµ giao ®iĨm cđa ®êng trßn t©m H b¸n kÝnh HA víi ®êng th¼ng AB. 3) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x + y - 10 x = 0, a. ( C2 ) : x + y + x - y - 20 = Viết phương trình đường tròn qua giao điểm ( C1 ) , ( C2 ) có tâm nằm đường thẳng x + y - = . b. Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) . 4) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x + y - y - = 0, ( C2 ) : x + y - x + y + 16 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) . 5) (Đề dự bị 2002) Cho đường thẳng d : x - y + = đường tròn ( C ) : x + y + x - y = . Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua ta kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C ) A B cho góc AMB 600 . 6) (ĐH B-2003) Cho tam giác ABC vng A AB= AC. Biết M (1; -1) trung điểm cạnh ỉ2 BC G ç ;0 ÷ trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ đỉnh A, B, C. è3 ø 7) (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng d : x - y + 10 = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D : x + y = tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2) . 8) (ĐH D-2003) Cho đường thẳng d : x - y - = đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y - ) = . Viết phương trình đường tròn ( C / ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d . Tìm toạ độ giao điểm ( C / ) ( C ) . Gợi ý: 2 Tõ (C): ( x - 1) + ( y - ) = suy (C) cã t©m I (1; 2) vµ b¸n kÝnh R = 2. §êng th¼ng d cã vect¬ ph¸p tun n = (1; -1). Do ®ã ®êng th¼ng Δ ®i qua x -1 y - = Û x + y - = 0. -1 Täa ®é giao ®iĨm H cđa d vµ Δ lµ nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh: I (1; 2) vµ vu«ng gãc víi d cã ph¬ng tr×nh: ìx - y -1 = ìx = Ûí Þ H (2;1) í ỵx + y - = ỵy =1 Gäi J lµ ®iĨm ®èi xøng víi I (1; 2) qua d . Khi ®ã: ì x J = xH - xI = Þ J (3;0) í y = y y = H I ỵ J V× (C') ®èi xøng víi (C) qua d nªn (C') cã t©m lµ J (3;0) vµ b¸n kÝnh R = 2. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 * Täa ®é c¸c giao ®iĨm cđa (C) vµ (C') lµ nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh: ìï( x - 1) + ( y - ) = ìï x - y - = ì y = x -1 é x = 1, y = Û Û Û í í í ê x = 3, y = 2 2 ë ỵ2 x - x + = ïỵ( x - 3) + y = ỵï( x - 3) + y = VËy täa ®é giao ®iĨm cđa (C) vµ (C') lµ A(1;0), B (3; 2). 9) (ĐH A-2004) Cho hai điểm A(0; 2), B (- 3; -1) . Tìm toạ độ trực tâm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Gợi ý: + §êng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi BA( 3;3) cã ph¬ng tr×nh x + y = 0. §êng th¼ng qua B, vu«ng gãc víi OA(0; 2) cã ph¬ng tr×nh y = -1. §êng th¼ng qua A, vu«ng gãc víi BO( 3;1) cã ph¬ng tr×nh x + y - = ) ( Gi¶i hƯ hai (trong ba) ph¬ng tr×nh trªn ta ®ỵc trùc t©m H( 3; -1). + §êng trung trùc c¹nh OA cã ph¬ng tr×nh y = 1. §êng trung trùc c¹nh OB cã ph¬ng tr×nh x + y + = 0. (§êng trung trùc c¹nh AB cã ph¬ng tr×nh 3x + y = ) Gi¶i hƯ hai (trong ba) ph¬ng tr×nh trªn ta ®ỵc t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ΔOAB lµ I( - 3;1). 10) (ĐH A-2005) Cho hai đường thẳng d1 : x - y = 0, d : x + y - = . Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d đỉnh B, D thuộc trục hồnh. Gợi ý: V× A Ỵ d1 Þ A ( t ; t ) . V× A vµ C ®èi xøng qua BD vµ B, D Ỵ Ox nªn C (t ; -t ). V× C Ỵ d nªn 2t - t - = Û t = 1. VËy A(1;1), C (1; -1). ì IB = IA = Trung ®iĨm AC lµ I (1;0). V× I lµ t©m cđa h×nh vu«ng nªn: í ỵ ID = IA = ìï b - = ì B Ỵ Ox ì B (b;0) ìb = 0, d = MỈt kh¸c: í Ûí Þí Ûí ỵ D Ỵ Ox ỵ D(d ;0) ỵï d - = ỵd = 0, d = Suy ra, B (0;0) vµ D(2;0) hc B (2;0) vµ D(0;0). VËy ®Ønh cđa h×nh vu«ng lµ: A(1;1), B (0;0), C (1; -1), D(2;0) hc A(1;1), B (2;0), C (1; -1), D(0;0) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 11) (ĐH B-2005) Cho hai điểm A(2;0), B (6;4) . Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với trục hồnh A khoảng cách từ tâm ( C ) đến điểm B 5. Gợi ý: Gäi t©m cđa (C) lµ I (a; b) vµ b¸n kÝnh cđa (C) lµ R. Ta cã: (C) tiÕp xóc víi Ox t¹i A Þ a=2 vµ b = R. éb = 2 IB = Û ( - ) + ( - b ) = 25 Û b - 8b + = Û ê ëb = * Víi a = 2, b = ta cã ®êng trßn ( C1 ) : ( x - ) + ( y - 1) = 2 * Víi a = 2, b = ta cã ®êng trßn (C1 ) : (x - ) + ( y - ) = 49 12) (Đề dự bị 2005) Cho đường tròn ( C ) : x + y - 12 x - y + 36 = . Viết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc hai trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp ngồi với (C). phương trình Gợi ý: ( C ) Û x + y - 12 x - y + 36 = Û ( x - ) + ( y - ) = Vậy (C) có tâm I ( 6,2 ) R=2 Vì đường tròn ( C1 ) tiếp xúc với trục Ox, Oy nên tâm I1 nằm đường thẳng y = ± x vàvì (C) có tâm I ( 6,2 ) ,R = nên tâm I1 ( x ; ± x ) với x > 0. TH 1: Tâm I1 Ỵ đường thẳng y = x Þ I ( x , x ) , bán kính R1 = x ( C1 ) tiếp xúc với (C) Û I I1 = R + R1 Û ( x - 6)2 + ( x - 2)2 =2+ x Û ( x - ) + ( x - ) = + x + x Û x - 16 x - x + 36 = éx = .Ứng với R1 = hay R2 = 18 Û x - 20 x + 36 = Û ê ë x = 18 ( x - 18) + ( y - 18) = 18 y = - x Þ I ( x , - x ) ; R1 = x Có đường tròn là: ( x - ) + ( y - ) = ; TH 2: Tâm I1 Ỵ đường thẳng Tương tự trên, ta có x= Có đường tròn ( x - ) + ( y + ) = 36 Kết luận: Tóm lại ta có đường tròn thỏa ycbt là: ( x - ) + ( y - ) = 4; ( x - 18) + ( y - 18) = 18; ( x - ) + ( y + ) = 36 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 13) (Đề dự bị 2005) Cho hai đường tròn ( C1 ) : x + y = 9, ( C2 ) : x + y - x - y - 23 = . Viết phương trình trục đẳng phương d ( C1 ) ( C2 ) . Chứng minh K thuộc d khoảng cách từ K đến tâm ( C1 ) nhỏ khoảng cách từ K đến tâm ( C2 ) . Gợi ý: Đường tròn ( C1 ) có tâm O ( 0,0 ) bán kính R1 = Đường tròn ( C2 ) có tâm I (1,1) , bán kính R = Phương trình trục đẳng phương đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) (x ) ( ) + y - - x + y - x - y - 23 = Û x + y + = (d) Gọi K ( xk , yk ) Ỵ ( d ) Û yk = - xk - OK = ( xk - ) + ( yk - ) = xk2 + yk2 = xk2 + ( - xk - ) = xk2 + 14 xk + 49 IK = ( xk - 1) + ( yk - 1) = ( xk - 1) + ( - xk - 8) = xk2 + 14 xk + 65 ) ( ( ) Ta xét IK - OK = xk2 + 14 xk + 65 - xk2 + 14 xk + 49 = 16 > Vậy IK > OK Û IK > OK (đpcm) (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C): x2 + y2 -4 x - y - 12 = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : x - y + = cho MI = 2R , I tâm R bán kính đường tròn (C). Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I ( 2,3) , R=5 M ( x M ,y M ) Ỵ ( d ) Û 2x M - y M + = Û y M = 2x M + IM = Û ( x M - ) + ( y M - 3) = 10 ( x M - ) + ( 2x M + - 3) = 10 Û 5x2M - 4x M - 96 = é x M = -4 Þ y M = -5 Þ M ( -4, -5) ê Ûê 24 63 ỉ 24 63 xM = Þ yM = Þ Mç , ÷ êë 5 è 5 ø (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B có bán kính R = 10 . Gợi ý: Gọi I ( a, b ) tâm đường tròn (C) Pt (C), tâm I, bán kính R = 10 ( x - a ) + ( y - b ) = 10 A Ỵ ( C ) Û ( - a ) + ( - b ) = 10 Û a2 + b2 - 10b + 15 = (1) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 B Ỵ ( C ) Û ( - a ) + ( - b ) = 10 Û a2 + b2 - 4a - 6b + = (2) (1) ( 2) ìa = -1 ìa = ïìa2 + b2 - 10b + 15 = Ûí Ûí hay í ïỵ4a - 4b + 12 = ỵb = ỵb = Vậy ta có đường tròn thỏa ycbt ( x + 1) + ( y - ) = 10 ( x - 3) + ( y - ) = 10 14) (ĐH D-2006) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y + = đường thẳng d : x - y + = . Tìm toạ độ điểm M d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường tròn ( C ) , tiếp xúc ngồi với đường tròn ( C ) . Gợi ý: §êng trßn (C) cã t©m I (1;1) vµ b¸n kÝnh R = 1. V× M Ỵ d nªn M ( x; x + 3). Yªu cÇu cđa bµi to¸n t¬ng ®¬ng víi: éx = MI = R + R Û ( x - 1) + ( x + ) = Û ê ë x = -2 VËy, cã hai ®iĨm M tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: M1 (1;4), M (-2;1). 15) (Đề dự bị 2006) Cho đường thẳng d : x - y + - = điểm A(-1;1) . Viết phương trình đường tròn ( C ) qua A, gốc toạ độ O tiếp xúc với đường thẳng d . Gợi ý: V× (C) qua O nªn ph¬ng tr×nh (C): x + y + ax + by = MỈt kh¸c, A(-1;1) Ỵ (C): - a + b = Û b = a - 1. Lóc ®ã, ph¬ng tr×nh (C), viÕt l¹i: x + y + ax + 2(a - 1) y = Þ (C) cã t©m I (- a;1 - a) vµ b¸n kÝnh R = a - a + Do (C) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d : x - y + - = nªn R = d (I ; d ) Û 2a2 - 2a + = - a - (1 - a) + - 2 = = 1. éa = Û 2a2 - 2a = Û ê . a = ë VËy cã hai ®êng trßn tháa y.c.b.t lµ (C1 ) : x + y - y = 0, (C ) : x + y + x = 0, 16) (ĐH B-2006) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y + = điểm M (-3;1) . Gọi T1 , T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C ) . Viết phương trình đường thẳng T1T2 . Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 §êng trßn (C) cã t©m I(1;3) vµ b¸n kÝnh R = 2, MI = > R nªn M n»m ngoµi (C). NÕu T ( x0 ; y0 ) lµ tiÕp ®iĨm cđa tiÕp tun kỴ tõ M ®Õn (C) th×: ìïT Ỵ (C ) ìïT Ỵ (C ) í Þ í ỵï MT ^ IT ỵï MT .IT = Ta cã: MT = (x0 + 3; y0 - 1), IT = (x0 - 1; y0 - 3). Do ®ã, ta cã: ìï x02 + y02 - x0 - y0 + = Þ x0 + y0 - = (1) í 2 x + y + x y = ïỵ 0 0 VËy, täa ®é c¸c tiÕp ®iĨm T1 vµ T2 cđa c¸c tiÕp tun kỴ tõ M ®Õn (C) ®Ịu tháa m·n ®¼ng thøc (1). Do ®ã, ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng T1T2 : x + y - = 0. 17) (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có A(0;2), B (-2; -2) C (4; -2) . Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M, N trung điểm AB BC. Viết phương trình đường tròn qua điểm H, M, N. Gợi ý: Ta cã M (-1;0), N (1; -2), AC = (4; -4). Gi¶ sư H ( x; y ), ta cã: ìï BH ^ AC ì4( x + 2) - 4( y + 2) = ìx = Ûí Ûí Þ H (1;1) í ỵ4 x + 4( y - 2) = ỵy = ỵï H Ỵ AC Gi¶ sư ph¬ng tr×nh ®êng trßn cÇn t×m lµ: x + y + 2ax + 2by + c = (1) Thay täa ®é cđa M, N, H vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã hƯ ph¬ng tr×nh: ì a = ï ì2 a - c = ï ï ï í2a - 4b + c = -5 Û íb = ï ï ỵ2a + 2b + c = -2 ïc = -2 ï ỵ VËy ph¬ng tr×nh ®êng trßn cÇn t×m lµ: x + y - x + y - = 0. 18) (ĐH D-2007) Cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y + ) = đường thẳng d : x - y + m = . Tìm m để d có điểm P mà từ P kẻ hai tiếp tun PA, PB (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB đều. Gợi ý: (C) cã t©m I(1; -2) vµ b¸n kÝnh R = 3. Ta cã DPAB ®Ịu nªn IP = IA = R = Û P thc ®êng trßn (C') t©m I b¸n kÝnh R ' = 6. Nhận xét: Điểm P điểm chung (C’) d. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Trªn d cã nhÊt mét ®iĨm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n vµ chØ d tiÕp xóc víi (C') t¹i P é m = 19 Û d ( I; d ) = Û ê ë m = -41 19) (Đề dự bị 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x + y = . Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) điểm A, B cho AB = . Viết phương trình đường thẳng AB. Gợi ý: Cách 1: Đường thẳng OI nối tâm đường tròn (C), (C') đường phân giác y = x . Do đó, đường AB ^ đường y = x Þ hệ số góc đường thẳng AB -1 . Vì AB = Þ A, B phải giao điểm (C) với Ox, Oy. é A(0,1); B(1,0) Suy ê ë A '(-1,0); B'(0, -1) Suy phương trình AB: y = - x + y = - x - . Cách 2: Phương trình AB có dạng: y = - x + m Pt hồnh độ giao điểm AB là: x + (- x + m)2 = Û x - 2mx + m - = (2) (2) có D / = - m2 , gọi x1 , x2 nghiệm (2) ta có : A AB = Û 2( x1 - x2 )2 = Û ( x1 - x2 )2 = R ém = 4D / = Û - m2 = Û ê a ë m = -1 Vậy phương trình AB : y = - x + y = - x - . Cách 3: Phương trình AB có dạng: y = - x + m O Û B Gọi H trung điểm AB. Suy ra: OI = d ( O; AB ) = R - AH = R Từ giải phương trình OI = d ( O; AB ) . H AB 20) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x + y - x + y + 21 = đường thẳng d: x + y - = . Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A Ỵ d. Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = Tọa độ I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y - = . Vậy I Ỵ d Vậy AI đường chéo hình vng ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = , x = x = tiếp tuyến (C) nên - Hoặc A giao điểm đường (d) x = Þ A(2, –1) - Hoặc A giao điểm đường (d) x = Þ A(6, –5) - Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) - Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 21) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x + y - x + y + = . Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB = . Gợi ý: Phương trình đường tròn (C): x + y - x + y + = có tâm I(1, –2) R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB ^ IM trung điểm H đoạn AB. Ta có AH = BH = AB = . Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. 2 Gọi A'B' vị trí thứ AB. Gọi H' trung điểm A'B' ỉ 3ư Ta có: IH ' = IH = IA - AH = - ç ÷ = è ø Ta có: MI = ( - 1) MH = MI - HI = - + (1 + ) = = 2 MH ' = MI + H ' I = + 13 = 2 Ta có: R12 = MA2 = AH + MH = R 22 = MA'2 = A' H'2 + MH'2 = 49 52 + = = 13 4 169 172 + = = 43 4 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: ( x - 5) + ( y - 1) = 13 hay ( x - 5) + ( y - 1) = 43 . 22) (ĐH A-2009) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) : x + y + x + y + = đường thẳng Δ : x + my - 2m + = . Gọi I tâm đường tròn (C), tìm m để Δ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho IAB có diện tích lớn nhất. Gợi ý: ïìT©m I ( -2; -2 ) . Đường tròn ( C ) có í ỵïB¸n kÝnh R = * Ta có: x + my - 2m + = Û x = - ( my - 2m + 3) thay vào phương trình ( C ) , ta được: ( my - 2m + 3) + y - ( my - 2m + 3) + y + = (*) rõ lúc đó, phương trình (*) có nghiệm phân biệt. Hai giao điểm A ( - my A + 2m - 3; y A ) B ( - my B + 2m - 3; y B ) , với y A , yB nghiệm phương trình (*). = R sin AIB = 2sin AIB * Để ý rằng, SIAB = IA.IB.sin AIB 2 = Û AIB = 900 Û IA ^ IB (**) max Û sin AIB Lập luận SIAB max Û 2sin AIB Ta có: IA = ( -my A + 2m - 1; y A + ) , IB = ( -myB + 2m - 1; yB + ) ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ) Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Từ (**) suy ra: IA.IB = Û ( -my A + 2m - 1) ( -myB + 2m - 1) + ( y A + ) . ( yB + ) = Sử dụng định lí Vi-et phương trình (*), suy kết quả. 23) (ĐH B-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - ) + y = hai đường thẳng Δ1 : x - y = 0, Δ : x - y = . Xác định tâm K bán kính đường tròn ( C1 ) , biết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc với Δ1, Δ tâm K thuộc đường tròn (C). Gợi ý: (1) tiếp xúc với Δ1, Δ Û d ( K ; D1 ) = d ( K ; D ) ( = R1 ) Gọi tâm ( C1 ) K (a; b) Ỵ ( C ) Û Theo giả thiết, đường tròn ( C1 ) ( a - 2) + b2 = é a=- b é5a - 5b = a - 7b ê Û = Û a - b = a - 7b Û ê Û ê 50 ë5a - 5b = 7b - a ë a = 2b Thay vào (1), giải kết quả. a-b a - 7b 24) (ĐH D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + y = . Gọi I = 300 . tâm (C). Xác định điểm M thuộc (C) cho IMO Gợi ý: Cách 1: Gọi M ( x; y ) Ỵ ( C ) : ( x - 1) + y = (1) Û x + y = + - 2cos1200 Xét tam giác IAB : OM = IM + OI - IM .OI .cos MIO Û x + y = (2) Giải hệ (1) (2), đưa kết tốn. = 30 . Cách 2: Để ý rằng, với giả thiết cho tốn, thấy MOI Lúc đó, điểm M giao điểm đường thẳng D1 , D qua O có hệ số góc tương ứng 1 k1 = tan150 = . k1 = tan 30 = 3 1 Ta có D1 : y = x D1 : y = x 3 Kết hợp với giả thiết M ( x; y ) Ỵ ( C ) : ( x - 1) + y = (1) , giải hệ đưa kết quả. 25) (ĐH A-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = d : 3x - y = . Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d hai điểm B, C cho tam giác ABC vng B. Viết phương trình (T) biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương. Gợi ý: (*) Để ý rằng: SABC = AB.BC = 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 ) ( Do A Ỵ d1 : x + y = Þ A a; - 3a . Mặt khác, (T) cắt d hai điểm B, C nên gọi ( ) ( ( ) B b; 3b , C c; 3c . Ta có: AC = c - a; 3c + 3a d1 có vectơ phương ad1 = 1; - . ) ( ) Do DABC vng B nên tâm I (T) trung điểm AC. Và (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A nên suy ra: AC .ad1 = Û ( c - a ) - 3c + 3a = Û c = -2a . ( ( ) ) Lúc đó: C -2a; -2 3a . Từ (*) giải tọa độ A, chọn hồnh độ dương. XEM LẠI TÍ!!!! x2 y + = 1. 26) (ĐH B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2; elip ( E ) : Gọi F1, F2 tiêu điểm (E) ( F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E), N điểm đối xứng F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 . ( Gợi ý: NhËn thÊy F1 (-1;0) vµ F2 (1;0). §êng th¼ng AF1 cã ph¬ng tr×nh: ) x +1 y = 3 M lµ giao ®iĨm cã tung ®é d¬ng cđa AF1 víi (E), suy ra: ỉ 3ư M ç 1; ÷ Þ MA = MF2 = è ø Do N lµ ®iĨm ®èi xøng cđa F2 qua M nªn MF2 = MN , suy ra: MA = MF2 = MN . ỉ 3ư Ph¬ng tr×nh (T): (x - 1) + ç y ÷ = ø è 27) (ĐH D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -7) , trực tâm H (3; -1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I (-2;0) . Xác định tọa độ đỉnh C biết đỉnh C có hồnh độ dương. Gợi ý: Lấy điểm A’ đối xứng với điểm A qua I. Gọi C ( x; y ) : AC. A / C = (1) . Để ý rằng, BHCA’ hình bình hành nên IA = IC (2) Từ (1) (2) suy ra, kết luận tốn. 28) (ĐHDLHV) Cho điểm A ( 8; -1) đường tròn ( C ) : x + y - x - y + = a. Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) kẻ từ A. b. Gọi M, N tiếp điểm. Tính độ dài MN. 29) (CĐMGTW3-2004) Cho đường tròn ( C ) : x + y + x - y = đường thẳng d : x - y +1 = a. Viết phương trình đường thẳng vng góc với d tiếp xúc ( C ) . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 b. Viết phương trình đuờng thẳng song song với d cắt đường tròn hai điểm M, N cho độ dài MN 2. c. Tìm toạ độ điểm T d cho qua T kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với ( C ) hai điểm A, Bvà góc ATB 600 . 30) (CĐCNHN 2004) Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình x + y - = x + y + = , cạnh BC có trung điểm M (-1;1) . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 31) (CĐCNHN 2005) Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh AB, BC, CA x + y - = 0, x + y + = 0, x - y + = . Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 32)(CĐSPQB 2005) Viết phương trình đường tròn ( C ) qua điểm A(2;3), B (4;5), C (4;1) Chứng tỏ điểm K (5; 2) thuộc miền ( C ) . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm K cho d cắt ( C ) theo dây cung AB nhận K làm trung điểm. 33) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y - = a. Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm M (4;0) . b. Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm N (4;6) . 34) Cho đường tròn ( C ) : ( x - ) + ( y - ) = điểm M (3;4) a. Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm M . b. Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến hợp với chiều dương trục Ox góc 450 . 35) (ĐHGTVT) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y - = điểm A(2; 2) . Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm A . Giả sử hai tiếp điểm MN, tính S AMN . Gợi ý: Cách 1: Viết phương trình tiếp tuyến D1 , D (C) qua A trên. Xác định tọa độ M, N tương ứng tiếp điểm D1 , D (C). Tính S AMN . Cách 2: Dùng cơng thức phân đơi tọa độ, suy phương trình MN là: x + = . Xét DIMH : MH = IM - éë d ( I ; MN ) ùû = R - ëé d ( I ; MN ) ûù Þ MN = MH Từ suy ra: S AMN = d ( A; MN ) .MN D1 M I N = R sin MAN MA.NA.sin MAN D2 2 = IM : sin MAI = MAI . Tính MAI Với MAN IA 2 36) Cho hai đường tròn ( C1 ) : x + y - x - y + 11 = ( C2 ) : x + y - x - y - = Cách 3: Dùng cơng thức SDAMN = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền A Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY a. Xét vị trí tương đối hai đường tròn b. Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn. Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 37) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( C ) : ( x - 1) + ( y + 3) = đường thẳng d : x - y + = . Trên (C) lấy điểm M lấy điểm N d cho O trung điểm MN. Tìm M, N. Gợi ý: Gọi N (t ; t + 1) Ỵ d . Do M, N đối xứng qua O nên M (-t ; -t - 1) . ét = -1 2 Mặt khác, M Ỵ (C ) Û ( -t - 1) + ( -t - + 3) = Û t - t - = Û ê ët = Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa u cầu tốn M (1;0), N (-1;0) M (-2; -3), N (2;3) 38) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( C ) : ( x + 1) + ( y - 1) = đường thẳng d : x - y - = . Trên (C) lấy điểm M lấy điểm N d cho M, N đối xứng qua Ox. Tìm M, N. Gợi ý: Gọi N (t ; t - 1) Ỵ d . Do M, N đối xứng qua Ox nên M (t ; -t + 1) . ét = -1 2 Mặt khác, M Ỵ (C ) Û ( t + 1) + ( -t + - 1) = Û t + t = Û ê ët = Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa u cầu tốn M (-1;2), N (-1; -2) M (0;1), N (0; -1) 39) (Tốn học Tuổi trẻ 2010) Cho tam giác ABC có A(1;0) , hai đường thẳng tương ứng chứa đường cao kẻ từ B, C tam giác thứ tự có phương trình: x - y + = 3x + y - = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiế p tam giác ABC. Gợi ý: Phương trình AB : x - y = Þ B (-5; -2) . Phương trình AC : 2x + y = Þ C (-1;4) . Sử dụng kỹ gọi đường tròn qua điểm A(1;0) , B (-5; -2) C (-1; 4) ta tìm 36 10 43 = 0. phương trình ( C ) : x + y + x - y 7 40) (Tốn học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( C ) : x + y = parabol ( P ) : y = x . Tìm (P) điểm M cho từ M kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C) hai tiếp tuyến tạo với góc 600. Gợi ý: Cách 1: Gọi M ( x02 ; x0 ) Ỵ ( P ) A, B hai tiếp điểm. Dễ thấy u cầu tốn AMB = 600 Û OM = 2OA = 6. Từ ta tìm x0 Ỵ { } 2; - . ( ) ( ) Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t M 2; , M 2; - . Cách 2: Tương tự tính AMB = 600 Û OM = 2OA = 6. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY ( ) Suy M Ỵ ( C / ) º O; điểm M giao điểm hai đường: (C ) : x / Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 + y = ( P ) : y = x …. 41) (Tốn học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y + = đường thẳng d : x - y + = . Tìm tọa độ điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d có giá trị nhỏ nhất. Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I (3;2) , bán kính R = . Hai tiếp tuyến (C) song song với d Δ1 : x - y + = Δ : x - y - = . Xác định tiếp điểm M , M tương ứng Δ1 Δ với (C). So sánh d ( M ; d ) d ( M 2; d ) . Đáp số: M (1;3) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền [...]... Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 21) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 3 Gợi ý: Phương trình đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R = 3 Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ^ IM tại... A(1;0) , hai đường thẳng tương ứng chứa đường cao kẻ từ B, C của tam giác thứ tự có phương trình: x - 2 y + 1 = 0 và 3x + y - 1 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiế p tam giác ABC Gợi ý: Phương trình AB : x - 3 y = 1 Þ B (-5; -2) Phương trình AC : 2x + y = 2 Þ C (-1;4) Sử dụng kỹ năng gọi đường tròn đi qua 3 điểm A(1;0) , B (-5; -2) và C (-1; 4) ta tìm được 36 10 43 = 0 phương trình ( C ) :... đường tròn nội tiếp tam giác ABC 32)(CĐSPQB 2005) Viết phương trình đường tròn ( C ) qua 3 điểm A(2;3), B (4;5), C (4;1) Chứng tỏ điểm K (5; 2) thuộc miền trong của ( C ) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm K sao cho d cắt ( C ) theo dây cung AB nhận K làm trung điểm 33) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 8 y - 8 = 0 a Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm M (4;0) b Viết phương. .. ( C2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6 y - 6 = 0 b Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) 4) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x 2 + y 2 - 4 y - 5 = 0, ( C2 ) : x 2 + y 2 - 6 x + 8 y + 16 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) 5) (Đề dự bị 2002) Cho đường thẳng d : x - y + 1 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2... tiếp điểm Tính độ dài MN 29) (CĐMGTW3-2004) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x - 4 y = 0 và đường thẳng d : x - y +1 = 0 a Viết phương trình đường thẳng vng góc với d và tiếp xúc ( C ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 b Viết phương trình đuờng thẳng song song với d và cắt đường tròn tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng... hai đường tròn ( C1 ) : x + y - 4 x - 8 y + 11 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 2 = 0 Cách 3: Dùng cơng thức SDAMN = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền A Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY a Xét vị trí tương đối của hai đường tròn b Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 37) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( C ) : ( x - 1) + ( y + 3) = 9 và đường. .. ) : x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 23 = 0 Viết phương trình trục đẳng phương d của ( C1 ) và ( C2 ) Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của ( C1 ) nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của ( C2 ) Gợi ý: Đường tròn ( C1 ) có tâm O ( 0,0 ) bán kính R1 = 3 Đường tròn ( C2 ) có tâm I (1,1) , bán kính R 2 = 5 Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) là (x 2 ) ( ) + y 2... Vậy phương trình AB : y = - x + 1 hoặc y = - x - 1 Cách 3: Phương trình AB có dạng: y = - x + m O Û B Gọi H là trung điểm AB Suy ra: OI = d ( O; AB ) = R 2 - AH 2 = R 2 Từ đó giải phương trình OI = d ( O; AB ) H AB 2 4 20) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 8 x + 6 y + 21 = 0 và đường thẳng d: x + y - 1 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A Ỵ d Gợi ý: Đường tròn. .. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm N (4;6) 34) Cho đường tròn ( C ) : ( x - 2 ) + ( y - 4 ) = 9 và điểm M (3;4) 2 2 a Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm M b Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến đó hợp với chiều dương của trục Ox một góc 450 35) (ĐHGTVT) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 4 y - 4 = 0 và điểm A(2; 2) Viết phương trình tiếp... ï4a - 4b + 12 = 0 ỵb = 2 ỵb = 6 ỵ Vậy ta có 2 đường tròn thỏa ycbt là ( x + 1) 2 + ( y - 2 ) 2 = 10 ( x - 3) 2 + ( y - 6 ) 2 = 10 14) (ĐH D-2006) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 và đường thẳng d : x - y + 3 = 0 Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường tròn ( C ) , tiếp xúc ngồi với đường tròn ( C ) Gợi ý: §êng trßn (C) cã t©m I (1;1) . ph ng trình ng tròn. c. Tìm m ( ) m C l ng tròn có bán kính 5 2.R = Vi t ph ng trình ng tròn. d. Tìm t p h p tâm các ng tròn ( ) m C . Chuyên đ ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. c ủa ( ) 2 C . Gợi ý: Đường tròn ( ) 1 C có tâm ( ) O 0,0 bán kính 1 R 3= Đường tròn ( ) 2 C có tâm ( ) I 1,1 , bán kính 2 R 5= Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn ( ) 1 C ,. ph ươ ng trình đường tròn (C) có tâm (1;1) I , bi ết đường th ẳng : 3 4 3 0 x y c ắt (C) theo d ây cung AB v ớ i 2.AB Gợi ý: Chuyên đ ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY