Khoang cach Day them

Chun đề. KHOẢNG CÁCH Dạng I. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Phương pháp: Cách 1: ∆ // ∆ B1: Xác định mặt phẳng chứa a O ∆1 M B2: Dựng đường thẳng qua O vng góc a cắt a H. ∆2 B3: d (O, a) = OH H (α ) ⊃ M Cách 2. Dựng mặt phẳng  ⇒ (α ) ∩ a = H ⇒ d (O, a) = OH (α ) ⊥ a Chän ®iĨm M trªn ∆ 1, dùng MH ⊥ ∆ ( H thc ∆ 2) ta cã d(∆ ∆ 1,∆ ∆ 2) = MH Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh a, S SA ⊥ ( ABCD ) SA = a. Gọi I trung điểm cạnh SC M trung điểm AB. IO ⊥ ( ABCD ) . a. I b. Tính khoảng cách từ I đến CM Hướng dẫn. M O N Giả sử OH ⊥ MC ⇒ MC ⊥ IH . Tức H hình chiếu I lên MC. ( D A ) H B C Vậy d I , CM = IH B1: Xác định hình chiếu I lên CM. Xét ∆MHO đồng dạng ∆MNC B2: Tập trung tính IH. OH OM a = ⇒ OH = CN MC + Biết IO + Tinh OH Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O, SA ( S ) = AB = 2a, ABC = 60 SA ⊥ ABCD . ( K ) a. CM: BD ⊥ SC ⇒ d O, SC . b. d ( O, SB ) , d (D, SB) 2a I H Hướng dẫn. A D 2a ( ) ( ) a. Qua BD dựng mặt phẳng α ⊥ SC I d O, SC = OI ∆SAC vng cân A nên SCA = 45o ⇒ ∆OIC vng cân I. ( ) b. + Trong tam giác SOB hạ OH ⊥ SB ⇒ d O, SB = OH O B C BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SO Tam giác ABC nên BO = AB =a Xét tam giác vng SOB: OH .SB = OS.OB ⇒ OH = . + Trong SBD hạ DK ⊥ SB nên OH đường trung bình. Dạng II. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ∆ M ∆ // (α α) Phương pháp: M ( ) H B1: Xác định hình chiếu H M lên α ( ) ( MH ⊥ α ) ( α Chän ®iĨm M thc ∆ , dùng MH ⊥ ∆ ( H thc (α α )), ta cã d(∆ ∆ ,(α α )) = MH H α ) Dùng: MH ⊥ (α α ), H thc (α α ) ta cã: d(M,(α α )) = MH B2: d M ,(α ) = MH Ví dụ 3. Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA = S a . Gọi I trung điểm BC. 3a a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI). H b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC). C A c) Tính góc (SBC) (ABC). I a B Ví dụ 4. Cho tứ diện OABC, OA, OB, OC đơi ( ) A vng góc với nhau. Kẻ OH ⊥ ABC . O 1. CM: H trực tâm ABC. 2. CM: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Hướng dẫn H A B C O H M ( ) 1. Kẻ OH ⊥ ABC , OH ∩ BC = M OH ⊥ BC Ta có:  ⇒ BC ⊥ AH  BC ⊥ OA M B C Tương tự BH ⊥ AC 2. Theo định lí đường vng góc MO ⊥ BC Xét ∆AOM : 1 = + 2 OH OA OM Ví dụ (ĐH_D_2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC), ngồi AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = cm. Tính khoảng cách từ A đến (BCD) D H A C M B Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tam giác ABC đều, cạnh bên AA’ = a, mặt bên (A’AB) (A’AC) hợp với đáy góc α . Tính khoảng cách từ A’ đến (ABC) B' C' Hướng dẫn. A' ( ) Hạ A ' O ⊥ ABC , AK ⊥ AB, AH ⊥ AC . C B Khi A ' HO = A ' KO = α ⇒ ∆A ' KO = ∆A ' HO AO phân giác nên OAK = 300 . Đặt AH = AK = x. Ta tính A’O cách: O K H A + A ' O = KO.tan α = AK tan 300 tan α = x tan α  AK  4x2 + A ' O = A ' A − AO = a −  = a −   cos30  x tan α 4x2 a ⇔ =a − ⇒x= 3 tan α + ( ( Vậy d A ', ABC )) = A ' O = a tan α tan α + Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ , đáy tam giác cạnh a, hình chiếu C’ lêm (ABC) trùng với tâm C' B' đáy. Cạnh C’C hợp với đáy góc 600 .Tính khoảng cách từ C ( đến ABB ' A ' ) A' H Hướng dẫn. ( ) Ta thấy CC '/ / ABA ' B ' nên khoảng cách từ C đến (ABA’B’) C B khoảng cách từ điểm CC’ đến (ABB’A’). Gọi I ( ) trung điểm AB hạ C ' O ⊥ ABC nên C ' CO = 60 O I  AB ⊥ CI Ta có   AB ⊥ C ' O ⇒ AB ⊥ ( C ' CI ) A Trong tam giác C’CI dựng IH ⊥ CC ' ⇒ IH ⊥ AB ( ) Mặt khác IH ⊥ AA ' Vi AA '/ / CC ' ⇒ IH ⊥ ( ABB ' A ') ( ( Vậy d C , ABB ' A " Ta có CO = ) ) = IH a CI = ; CO ' = CO tan 600 = a 3 Trong tam giác C’IC: IH .C ' C = C ' O.CI ⇒ IH = a Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh bên cạnh đáy a. Cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 600 hình chiếu vng góc A mp(A’B’C’) trùng với trung điểm B’C’. a) b) Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ. Chứng minh mặt bên BCC’B’ hình vng. Dạng III. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp: Để xác định đường vng góc chung khoảng hai đường thẳng chéo nhau. + Trường hợp: a ⊥ b (α ) ⊂ a (α ) ⊥ b B1: Xác định mặt phẳng  ( ) B2: Giả sử α ∩ b = H B3: Từ H dựng đường thẳng vng góc với a cắt a M ( ) B4: d a, b = MH + Trường hợp: a b khơng vng góc. Cách 1. Sử dụng mặt phẳng song song. (α ) ⊂ a (α ) / / b B1: Dựng  ( ) b K M B2: Xác định hình chiếu b’ b lên α ( ) B3: Giả sử b '∩ b = H lấy điểm M ∈ b , xác định hình chiếu M’ M lên α B4: Từ H dựng đường thẳng c song song với MM’. c đường vuông góc chung. d ( a, b ) = HK B5:  b' H M' a Cách 2. Mặt phẳng vng góc. ( ) ( ) B2: Dựng hình chiếu b’ b (α ) B3: Trong mặt phẳng (α ) vẽ OH ⊥ b ' B1: Dựng mặt phẳng α ⊥ a O, α ∩ b = I B4: Từ H kẻ đường thẳng song song với a cắt b B B5: Qua B kẻ đường thẳng song c song song với OH cắt a A. c đường vuông góc chung. B6:  AB khoảng cách a b (α ) ⊃ a  Cách 3. Dựng ( β ) ⊃ b ⇒ d ( a, b ) = d ( (α ),(β ) )  (α ) / / ( β ) B A a b O H I Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh SA = h vng góc với đáy. Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung. a. SB CD; Hướng dẫn. b. SC BD S c. SC AB K d ( SB, CD ) = CB a. E A b. d ( SC , BD ) = OH c. Ta thấy AB ⊥ SAD D H F ( O ) B Dựng AK ⊥ SD ; kẻ KE // CD. Kẻ EF // AK C B  AK ⊥ SD ⇒ AK ⊥ ( SCD ) ⇒ AK ⊥ SC  AK ⊥ CD Ta thấy  C F E EF ⊥ AB D A Vì EF//AK nên  EF ⊥ SC ( K ) Vậy d SC , AB = EF = AK S Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy 3a, cạnh bên 2a. Gọi G trọng tâm đáy ABC. S a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC). b. Tính khoảng cách AB SG. Hướng dẫn. C A ( ) G a. Vì S.ABC hình chóp nên SG ⊥ ABC nên d ( S ,( ABC ) ) = SG . H I ( ) b. Ta thấy CG ⊥ AB ⇒ d SG, AB = HG B Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a OB = a . Trên đường S thẳng vng góc với (ABCD) O ta lấy điểm S cho SB = a. a. CM: SAC vng SC vng góc BD. ( ) ( )( ) ( I a ) D b. Chứng minh: SAD ⊥ SAB , SCB ⊥ SCD . c. Tính khoảng cách SA BD. Hướng dẫn. a 3 O C Ta thấy ∆SOB = ∆AOB ⇒ SO = OA = OC b.Gọi I trung điểm SA. Vì BS = BA = a ⇒ BI ⊥ SA ( A ) Vì DS = DA = a ⇒ DI ⊥ SA ⇒ (SAB ),(SAD ) = BID B a ∆AOB : OA = AB − OB = a a 3 ⇒ OI = OB = OD ⇒ BID vuông Mà SO = OA ⇒ OI = ( ) c. d SA, BD = OI Ví dụ (ĐH_D_2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác A' C' vng BA = BC = a, cạnh AA ' = a . Gọi M trung điểm BC. Tính khoảng cách AM B’C. C B' E Hướng dẫn. H H A Gọi E trung điểm BB’ M C M B B Ta thấy B’C//(AEM) d ( B ' C , AM ) = d ( B ' C ,( AEM ) ) = d ( C ,( AEM ) ) = d ( B,( AEM ) ) = BH Mà BAEM tứ diện vng nên: 1 1 (*) = + + 2 BH BA BM BH Nhận xét: Cơng thức cho tứ diện vng quan trọng. Ví dụ (ĐH_B_2007). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a. Gọi E điểm điểm đối xứng với D qua SA. Gọi M, N tương ứng trung điểm AE BC. Tìm khoảng cách MN AC. E S Hướng dẫn. M Gọi P trung điểm AB. I MP//EB (1). P SE // AD ⇒ SE / / BC ⇒ SEBD HBH EB / / SC (2) B A H N O Từ (1) (2): MP // SC D ( ) ( Mà PN // AC nên MPN / / SAC ( ) C (3) ) ( ) Nên d ( MN , AC ) = d ( MNP ),(SAC ) = d H ,(SAC ) = OH 1 OH = OB = BD Lưu ý: Bài giải với ý CM : MN ⊥ BD Ví dụ (ĐH_A_2006). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 1. Gọi M, N trung điểm AB CD. Tìm khoảng cách A’C MN. A' D' C' B' Hướng dẫn. Ta thấy MN//(A’BC). ( I ) + BC ⊥ A ' AB ⇒ BC ⊥ AI D H A Mà AI ⊥ A ' B N M Vậy AI ⊥ ( A ' BC ) C B Mặt khác dựng MH vng góc với A’B ( Thì MH ⊥ A ' BC ( ) ) ( ) ( ) Vậy d MN , A ' C = d MN ,( A ' BC ) = d M ,( A ' BC ) = MH Ví dụ (ĐH_A_2004). Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi cạnh S AB = 5, AC = 4, SO = 2, SO ⊥ ( ABCD ) . Gọi M trung điểm M SC. Tìm khoảng cách hai đường thẳng SA BM. C D Hướng dẫn. K ( ) ( ) ( ) Dễ thấy d MB, SA = d S ,( MOB) = d C ,( MOB ) = CH ( O A B C ) Ta cm: OB ⊥ OCM nên có hình vẽ dưới. B H M Kẻ MK ⊥ OC B Trong tam giác OMC: MK .OC = CH .OM ⇒ CH = MK .OC OM K O H M C