HÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC

HÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng số 7: ÔN TẬP TỔNG HỢP A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Định lý: Nếu đường thẳng   d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng   P thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong   P .  Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mặt phẳng   P là đường thẳng a  . Khi ấy, một đường thẳng b nằm trong   P vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a  . Tức là:   a b P a b      .  Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a , b là góc giữa hai đường thẳng a  , b  cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . Chú ý: a. Để xác định góc   , a b ta có thể lấy điểm O nằm ngay trên một trong hai đường thẳng đó. b. Nếu u  , v  theo thứ tự là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a , b và   ,u v     thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  hoặc 0 180   tùy theo 0 90   hoặc 0 90   .  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   P là góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a  của nó trên   P , kí hiệu là     , a P hay     , P a . b a' a  P a b c d O a b b' a' Quan hệ vuông góc trong không gian Đặc biệt: o Khi a thuộc   P hoặc a song song với   P thì     0 , 0 a P  . o Khi a vuông góc với   P thì     0 , 90 a P  . Như vậy, ta luôn có     0 0 0 , 90 a P  .  Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Đặc biệt: Khi   P và   Q trùng nhau hoặc song song với nhau thì   0 , 0 a b  . Nhận xét: Với hai mặt phẳng   P và   Q cắt nhau theo giao tuyến   d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng   R vuông góc với   d lần lượt cắt   P và   Q theo các giao tuyến a và b . Lúc đó góc giữa   P và   Q bằng góc giữa hai đường thẳng a và b .  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Định lý: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b , luôn có duy nhất một đường thẳng d cắt cả a và b , và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy. Đường thẳng d được gọi là đường vuông góc chung của a và b . Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có   SA ABC  , các tam giác ABC  và SBC  không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC  và SBC  . Chứng minh rằng: a) AH , SK , BC đồng quy. b)   SC BHK  . c)   HK SBC  . Giải: a) Gọi   E AH BC   , ta có: BC AE BC SA        BC SAE   BC SE   SE  là đường cao của SBC  K SE   . C B A S H E K a' a O P b a P Q Quan hệ vuông góc trong không gian Vậy ba đường thẳng AH , SK , BC đồng quy tại E . b) Ta có: BH AC BH SA        BH SAC   BH SC   . Mặt khác, ta có: BK SC  . Do đó   SC BHK  . c) Do   SC BHK  nên HK SC  . Mà HK BC  . Do đó   HK SBC  . Ví dụ 2: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB , SC , SD . a) Chứng minh rằng   BC SAB  ,   CD SAD  . b) Chứng minh rằng   SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . c) Chứng minh rằng AH , AK cùng vuông góc với SC . Từ đó suy ra ba thẳng AH , AI , AK cùng chứa trong một mặt phẳng. d) Chứng minh rằng   SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn HK . Từ đó suy ra HK AI  . e) Tính diện tích tứ giác AHIK , biết SA AB a   . Giải: a) Từ giả thiết SA BC   . Mặt khác, ta có: AB BC  vì ABCD là hình vuông. Suy ra   BC SAB  . Chứng minh tương tự ta được   CD SAD  . b) Từ giả thiết   SA ABCD  SA BD   . Mặt khác, ta có: AC BD  vì ABCD là hình vuông. Do đó   BD SAC  tại trung điểm O của BD . Vậy   SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . c) Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu a), ta được: AH SB AH BC        AH SBC   AH SC   . Chứng minh tương tự ta được AK SC  . Như vậy, vì AH , AI , AK cùng vuông góc với SC nên ba đường thẳng AH , AI , AK cùng chứa trong một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC . d) Giả sử HK cắt AI tại E . Nhận xét rằng:   . . SAB SAD c g c    SH SK   . Trong SBD  , ta có: SH SK SB SD  HK BD   và E là trung điểm của HK . Kết hợp với kết quả ở câu a), suy ra   HK SAC  tại trung điểm E của HK . B C A D S O K H I E Quan hệ vuông góc trong không gian Vậy   SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn HK . Từ kết quả   HK SAC  suy ra HK AI  . e) Ta có: 1 . 2 AHIK S AI HK  . Trong SAC  vuông tại A , ta được: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 AI SA AC a a     6 3 a AI  . Trong SBD  , ta được: 1 2 SH SK SB SD   HK  là đường trung bình 2 2 a HK  . Vậy 2 1 6 2 3 . . 2 3 2 6 AHIK a a a S   . Ví dụ 3: Cho ACD  và BCD  nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AC AD BC BD a     và 2 CD x  . Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và CD . b) Tính AB và IJ theo a và x . c) Xác định x sao cho     ABC ABD  . Giải: a) Xét ACD  và BCD  , ta có: CD chung AC AD BC BD       AJ BJ   JAB   cân tại J IJ AB   . Xét CAB  và DAB  , ta có: AB chung AC AD BC BD       DI CI   ICD   cân tại I IJ CD   . b) Trong AJC  vuông tại J , ta có: 2 2 2 2 2 AJ AC CJ a x     2 2 AJ a x    . Nhận xét rằng:         ACD BCD ACD BCD CD AJ CD            AJ BCD   AJ BJ   . Trong AJB  vuông cân tại J , ta có:   2 2 2 2 AB AJ a x    và   2 2 2 2 2 a x AB IJ    . c) Nhận xét rằng:     ABC ABD AB DI AB         Do đó, để     ABC ABD  điều kiện là:   DI ABC  DI CI   ICD   vuông tại đỉnh I C B D A I J Quan hệ vuông góc trong không gian 1 2 IJ CD     2 2 2 1 .2 2 2 a x x    3 a x   . Vậy với 3 a x  thì hai mặt phẳng   ABC và   ABD vuông góc với nhau. Ví dụ 4: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có  0 60 A  , cạnh 6 2 a SC  và SC vuông góc với mặt phẳng   ABCD . a) Chứng minh     SBD SAC  . b) Trong SCA  kẻ IK SA  tại K . Hãy tính độ dài IK . c) Chứng minh  0 90 BKD  và từ đó suy ra     SAB SAD  . Giải: a) Ta có:   BD AC BD SAC BD SC            SBD SAC   . b) Trong ABD  có  0 60 A  nên nó là tam giác đều, do đó BD a  , 3 2 a AI  3 AC a   . Trong SAC  vuông tại C , ta có:   2 2 2 2 2 2 6 9 3 2 2 a a SA SC AC a              3 2 2 a SA  . Vì hai tam giác AKI và ACS đồng dạng nên IK AI SC SA  . 2 SC AI a IK SA    . c) Trong KBD  trung tuyến KI thỏa mãn: 1 2 KI BD  KBD   vuông tại K  0 90 BKD  . Ta có: SA BD SA IK        SA KBD   SA KB SA KD               0 , , 90 SAB SAD KB KD       SAB SAD   . Ví dụ 5: Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC AB AC a      và 2 BC a  . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB . Giải: Cách 1: Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , AC . Khi đó, ta nhận thấy: MP SC MN AB          , , SC AB MP MN   . A D B C S I K B C A S M N P Quan hệ vuông góc trong không gian Trong MNP  , ta có:  2 2 2 cos 2 . MN MP NP NMP MN MP    . Ta lần lượt có: 1 2 2 a MN AB   (vì MN là đường trung bình), 1 2 2 a MP SC   (vì MP là đường trung bình). Trong SBP  , theo định lý đường trung tuyến ta có: 2 2 2 2 2 2 SB PB PS NP   . Nhận xét rằng: - Vì ABC  vuông tại A   2 2 2 ó c AB AC BC   nên: 2 2 2 2 2 2 5 4 4 a a PB AB AP a     . - Vì SAC  đểu   ó c SA SC AC a    nên 3 2 a PS  . Do đó 3 2 a NP   1 cos 2 NMP     0 120 NMP  . Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 0 0 0 180 120 60   . Cách 2: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC  và AB  , ta có:     . . . . cos , . . . SA AC AB SC AB SA AB AB AB SC AB SC AB SC AB SC AB                   . Trong đó: - Vì SAB  đều   ó c SA SB AB a    nên:    2 0 0 . . .cos 180 . .cos120 2 a SA AB SA AB SAB a a        . - Vì ABC  vuông tại A   2 2 2 ó c AB AC BC   nên . 0 AC AB    . Từ đó ta được:   2 2 0 1 2 cos , 2 a SC AB a          0 , 120 SC AB    . Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 0 0 0 180 120 60   . Cách 3: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC  và AB  , ta có:     . . . . cos , . . . SC SB SA SC AB SC SB SC SA SC AB SC AB SC AB SC AB                   . Trong đó: - Vì SBC  vuông tại S   2 2 2 ó c SB SC BC   nên . 0 SC SB    . - Vì SAC  đểu   ó c SA SC AC a    nên  2 0 . . .cos . .cos60 2 a SC SA SC SA ASC a a     . Quan hệ vuông góc trong không gian Từ đó ta được:   2 2 0 1 2 cos , 2 a SC AB a         0 , 120 SC AB    . Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 0 0 0 180 120 60   . Ví dụ 6: Cho hình chóp . S ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC a  , 3 2 a SA SB SC   . a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng   ABC . b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng   ABC . Giải: a) Gọi O là trung điểm của BC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  . Ngoài ra, theo giả thiết ta có SA SB SC   nên SO là trục đường tròn của ABC  , suy ra   SO ABC  và     , SO d S ABC  . Trong SAO  vuông tại O , ta có: 1 2 2 a OA BC   (trung tuyến thuộc cạnh huyền) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 a a a SO SA OA                    2 2 a SO  . b) Vì   SO ABC  nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên   ABC , do đó      , SA ABC SAO  . Trong SAO  vuông tại O , ta có:  3 2 cos 3 3 2 a OA SAO SA a    . Vậy ta được     3 cos , 3 SA ABC  . Ví dụ 7: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 2 AB a  , 3 SA a  và vuông góc với mặt phẳng   ABCD . a) Tính góc giữa hai mặt phẳng   SAD và   SBC . b) Tính góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   SCD . Giải: a) Ta có thể lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Dựng góc dựa trên giao tuyến. Giả sử AD BC E       SAD SBC SE    . B A C S O B E A S D C F O Quan hệ vuông góc trong không gian Nhận xét rằng: AD BD  vì ABCD là nửa lục giác đều, SA BD  Suy ra   BD SAD  BD SE   . Hạ DF SE F   , suy ra   BDF SE  . Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng   SAD và   SBC là  BFD . Vì ABE  đều nên 2 AE AB a   và vì CDE  đều nên DE CD a   . Trong SAE  vuông tại A , ta có:     2 2 2 2 2 2 3 2 7 SE SA AE a a a      7 SE a   . Hai tam giác vuông SAE  và DEF  có chung góc  E nên chúng đồng dạng, suy ra: DF DE SA SE  . 3. 21 7 7 SA DE a a a DF SE a     . Trong ABD  vuông tại A , ta có:  0 .sin 2 .cos60 3 BD AB BAD a a    . Trong BDF  vuông tại D , ta có:  3 tan 7 21 7 BD a BFD DE a     BFD  nhọn. Vậy ta được       tan , 7 SAD SBC  . Cách 2: Nhận xét rằng: AD BD  vì ABCD là nửa lục giác đều, SA BD  Suy ra   BD SAD  . Trong   SAC , hạ AJ SC  tại J , ta có: BC AC  vì ABCD là nửa lục giác đều, BC SA  Suy ra   BC SAC  BC AJ     AJ SBC   . Trong   SAC hạ OK SC  tại K , suy ra OK AJ  . Do đó            , , , SAD SBC BD AJ BD OK KOB    . Trong nửa lục giác đều ABCD , ta có: 2 3 3 . 3 2 3 a a OC   , 3 1 3 2 3 . 2 3 2 3 a a a OB    . Trong SAC  vuông tại A , ta có:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 6 SC SA AC SA AB BC a a a a          6 SC a   . Hai tam giác vuông SAC  và OKC  có chung góc nhọn  C nên chúng đồng dạng, suy ra: OK OC SA SC  3 3. . 6 3 6 6 a a SAOC a OK SC a     . Trong KOB  vuông tại K , ta có:  6 2 6 cos 4 2 3 3 a OK KOB OB a    . B A S D C K O J Quan hệ vuông góc trong không gian Vậy ta được       2 cos , 4 SAD SBC  . b) Trong   SAC , hạ AJ SC  tại J , ta có: BC AC  vì ABCD là nửa lục giác đều, BC SA  Suy ra   BC SAC  BC AJ     AJ SBC   . Hạ AH CD  tại H , suy ra: CD AH CD SA        CD SAH       SCD SAH   và     SCD SAH SH   . Hạ AI SH  tại I , suy ra   AI SCD  . Do đó        , SCD SBC IAJ  . Trong SAH  vuông tại A , ta có: 3 2 a AH  và   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 3 33 2 AI SA AH a aa            15 5 a AI  . Trong SAC  vuông tại A , ta có: 3 AC SA a   1 2 6 2 2 2 SA a AJ SC    . Trong AIJ  vuông tại I , ta có:  15 10 5 cos 5 6 2 a AI IAJ AJ a    . Vậy ta được       10 cos , 5 SCD SBC  . Ví dụ 8: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc  0 60 A  và có đường cao SO a  . a) Tính khoảng cách từ O đến   SBC . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB . Giải: a) Hạ OI BC  và kéo dài OI cắt AD tại J . B A S D C O J H I B C A D S O J I H Quan hệ vuông góc trong không gian Ta có: BC OI BC SO        BC SOI       SBC SOI   và     SBC SOI SI   . Hạ OH SI    OH SBC   . Vậy OH là khoảng cách từ O đến   SBC . Với hình thoi ABCD , ta có: BD a  vì ABD  đều 2 a OB   , 3 2 2. 3 2 a AC AO a    . Trong OBC  vuông tại O , ta có:   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 13 3 3 2 OI OB OC a a a            39 13 a OI  . Trong SAE  vuông tại A , ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 16 3 39 13 OH SO OI a a a            3 4 a OH  . Vậy khoảng cách từ O đến   SBC bằng 3 4 a . b) Nhận xét rằng: AD BC    AD SBC             , , , d AD SB d AD SBC d J SBC    . Mặt khác, ta lại có   JO SBC I   nên:         , 2 , d J SBC IJ OI d O SBC           3 , 2 , 2 2 a d J SBC d O SBC OH    . Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng 3 2 a . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có ; 2. SA SB SC AB AC a BC a      Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Đs: 60 0 Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB AC  và . AB BD  Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và IJ vuông góc nhau. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD   và   0 60 BAC BAD  . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng A B C D O I J [...]... Cho hình vuông ABCD Dựng đoạn thẳng AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD a) Chỉ ra các mặt phẳng lần lượt chứa SB, SC, SD và vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD) Bài 17: Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC=5 cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs: 6 34 17 Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông. .. giác MAB vuông tại M Trên đường thẳng vuông góc với (MAB) tại A ta lấy hai điểm C, D ở hai phía điểm A Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC’ a Chứng minh rằng CC '  ( MBD) b Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh rằng K là trực tâm tam giác BCD Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  a 2 và SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là hình. .. diện tích thiết tạo bởi mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với SC với hình chóp theo a và h Quan hệ vuông góc trong không gian Đs: 3a 2 h 4 3h 2  a 2 Bài 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  a , đường cao bằng a 6 Mặt phẳng (P) qua A và 2 vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’ Tính diện tích tứ giác AB’C’D’ theo a Đs: a2 3 3 Bài 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng... vuông góc với đáy và SA = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a) SB và AD b) BD và SC Đs: a) a 2 a 6 ; b) 2 6 Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm của CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE Đs: SH  3a 5 5 Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với đáy, SA = h Quan. .. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC Đs: IJ  6 cm Bài 23: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC Tính diện tích tam giác AMN biết rằng hai mặt phẳng (AMN) và( SBC) vuông góc Đs: a 2 10 16 Bài 24: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a,... I vuông ở A b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và AB' I  Đs: cos   30 10 Bài 14: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc nhau Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc nhau Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC Tính diện tích tam giác AMN biết rằng hai mặt phẳng (AMN) và( SBC) vuông góc. .. mặt đáy Đs: d  3a 2 http://baigiangtoanhoc.com Quan hệ vuông góc trong không gian b) Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC’ Đs: arctan 3 c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy Đs: arctan(2 3 ) Bài 12: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P) Gọi ,  lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P) Gọi  là góc hợp bởi (ABC) và (P) Chứng minh rằng sin 2... đều cạnh a và SA vuông góc với đáy, SA = h Quan hệ vuông góc trong không gian a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h Đs: ah 3 3a 2  4h 2 b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác SBC CMR OH vuông góc với mặt phẳng (SBC) Bài 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ.. .Quan hệ vuông góc trong không gian a) AB  CD b) MN  AB; MN  CD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và có SA  SB  SC  SD Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD là hình vuông b) AC   SBD  ; BD   SAC  Bài 5: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung... thẳng SB và SD Tính góc giữa: a) SC và (AMN) Đs: SC  ( AMN ) b) SC và (ABCD) Đs: 450 Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a; AD  a 3; SA   ABCD  ; SA  a Tính góc giữa: a) SB và CD Đs: 450 b) SB và (SAB) c) SD và (SAB) Đs: 600 Bài 9: Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC  a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng .     , P a . b a' a  P a b c d O a b b' a' Quan hệ vuông góc trong không gian Đặc biệt: o Khi a thuộc   P hoặc a song song với   P thì     0 , 0 a P  . o Khi a vuông. theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , AC . Khi đó, ta nhận thấy: MP SC MN AB          , , SC AB MP MN   . A D B C S I K B C A S M N P Quan hệ vuông góc trong không gian Trong. lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Dựng góc dựa trên giao tuyến. Giả sử AD BC E       SAD SBC SE    . B A C S O B E A S D C F O Quan hệ vuông góc trong không gian