Phân tích mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM

Mục lục iii  Quyết định giao đề tài Lý lịch khoa học i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Tóm tắt v Danh sách các chữ viết tắt vii Danh sách các hình x Danh sách bảng biểu xii  1 1.1 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn và lý do của đề tài 1 1.2 Mục tiêu đề tài 4 1.3 Giới hạn của đề tài và các vấn đề cần giải quyết 4  6 2.1 Tính toán cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính 6 2.1.1 Hệ số cường độ ứng suất và miền vết nứt trong LEFM 6 2.1.2 Sự phát triển của vết nứt trong chất rắn đàn hồi tuyến tính 9 2.1.3 Phương pháp số dựa trên tích phân J 10 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 12 2.2.1 Điều chỉnh phương trình 12 2.2.2 Sự phân chia của phần tử đơn vị 14 2.2.3 Phép xấp xỉ phần tử hữu hạn mở rộng 15 2.2.4 Lựa chọn tiêu chuẩn của các nút được làm giàu 19 2.2.5 Phương pháp tập mức 20 2.2.6 Tích phân số 24 Mục lục iv 2.3 Cải thiện hệ số hội tụ của XFEM 25 2.3.1 XFEM với vùng làm giàu cố định 25 2.3.2 XFEM được hiệu chỉnh cho bài toán pha trộn 26 2.4 Làm mịn Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 29 2.4.1 Giới thiệu tóm tắt về làm mịn phương pháp phần tử hữu hạn 29 2.4.2 Làm mịn Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 31 2.5 Bài toán khảo sát dao động riêng của tấm 33  36 3.1 Khảo sát dao động riêng của tấm hình vuông làm bằng vật liệu thép 36 3.2 Khảo sát dao động riêng của tấm hình chữ nhật làm bằng vật liệu thép 39 3.3 Tấm chữ nhật có vết nứt biên dưới tác dụng của tải kéo 42  48 4.1 Kết luận 48 4.2 Đề xuất và hướng phát triển 49  50  54 Tóm tắt v  Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ mạnh mẽ được sử dụng rộng rãi để tính toán và mô phỏng nhiều vấn đề thực tế. Nhiều phần mềm được xây dựng dựa trên mã FEM để đáp ứng mục tiêu này, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thuật. FEM thực sự hiệu quả khi áp dụng cho các vấn đề làm mịn. Nhưng đối với vấn đề không mịn, như cơ học phá hủy thì có nhiều hạn chế và khó khăn. Đối với vấn đề phát triển vết nứt bắt buộc phải chia lại lưới và làm mịn lưới hơn ở vùng lân cận đỉnh vết nứt. Nhưng điều này cũng làm cho chi phí tính toán tăng lên. Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) của T. Belytschko đề xuất vào năm 1999 được coi là cách xử lý đặc biệt cho các vấn đề về vết nứt. Sau hơn mười năm phát triển, nhiều phương pháp đã được thực hiện để cải thiện XFEM tiêu chuẩn. Tập trung vào một số vấn đề chính như vấn đề pha trộn, độ hội tụ trong XFEM và làm giàu đỉnh vết nứt. Luận văn này trình bày một số kỹ thuật mới phát triển gần đây như làm mịn phương pháp phần tử hữu hạn (SFEM) [6,7,14], hiệu chỉnh XFEM [31] và áp dụng chúng vào XFEM tiêu chuẩn để có được giải pháp tốt hơn. Luận văn sẽ nghiên cứu các trường hợp vết nứt tĩnh và sự tăng trưởng vết nứt trong khuôn khổ Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (LEFM). Summary vi SUMMARY Finite Element Method (FEM) is powerful tools that have been widely used to compute and simulate many practical problems. Many softwares were built based on FEM code to serve this aim, especially in engineering area. FEM is really effective when applying for smooth problems. But for non- smooth problem, such as Fracture mechanics, it revealed many drawbacks and difficulties. For crack growth problems, remeshing and finer mesh at crack tip vicinity domain are required. This has a huge impact on computational cost. The extended finite element method (XFEM) proposed by T. Belytschko in 1999 is regarded as a special cure to crack problems. After more than ten years of development, many strategies and procedures have been implemented to improve the standard XFEM. They concentrated on some main problems such as blending problem, integration in XFEM and crack tip enrichment. This thesis presents some new techniques developed recently such as Smoothed Finite Element Method (SFEM) [6,7,14], corrected XFEM [31] and applies them to standard XFEM to get better solutions. The thesis will study the case of static crack and growing crack in Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) framework. Danh sách các chữ viết tắt vii   Góc của vết nứt nghiêng xy  Biến dạng cắt kỹ thuật  Sự biến thiên của hàm  Tenxơ biến dạng ij  Thành phần biến dạng  Góc tọa độ cực c  Góc lan truyền vết nứt đối với vết nứt ban đầu  Tham số vật liệu  Mô đun cắt  Hệ số Poisson  Hệ thống phối hợp phi tuyến địa phương ()x  Hàm khoảng cách  Tenxơ ứng suất ij  Thành phần ứng suất  ng suất cắt ()x  Hàm tập mức ()x  Hàm làm giàu  Tần số góc của dao động riêng  Đường biên c  Vết nứt biên t  Lực kéo biên u  Chuyển vị biên  Hàm biến thiên hữu hạn  Miền xác định a Chiều dài tấm Danh sách các chữ viết tắt viii a i Bậc tự do được làm giàu A * Vùng liên kết với miền tích phân J b Chiều rộng của tấm b i Bậc tự do làm giàu đỉnh vết nứt B Ma trận đạo hàm của hàm dạng k B  Hàm làm giàu đỉnh vết nứt C Ma trận thành phần vật liệu d Khoảng cách d/dt Đạo hàm theo thời gian D Ma trận mô đun vật liệu E Mô đun đàn hồi Young E ij Ma trận hệ chống cắt theo phương ngang f Vecto lực đặt tại nút G Mô đun cắt ()Hx Hàm Heaviside I Tích phân tương tác J Tích phân J J (1) Tích phân J thực J (2) Tích phân J bổ sung K Ma trận độ cứng K Hệ số cường độ ứng suất K i Hệ số cường độ ứng suất kiểu i (i = I, II, III) M ng suất uốn N Vecto thường N ng suất màng N i Ma trận hàm dạng Q Lực cắt q Hàm làm mịn bất kì r Khoảng cách theo bán kính Danh sách các chữ viết tắt ix R Hàm dốc t Thời gian u Vecto chuyển vị u Chuyển vị định mức (1) (2) , ii uu Trường chuyển vị thực, Trường chuyển vị phụ () h ux Trường chuyển vị xấp xỉ U s Công biến dạng v i , v j Hệ số trượt không đồng nhất theo phương ngang x Vectơ vị trí / t    Toán tử Nabla DOF Bậc tự do EPFM Cơ học phá hủy trong vật liệu biến dạng dẻo đàn hồi FE Phần tử hữu hạn FEM Phương pháp phần tử hữu hạn LEFM Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính LSM Phương pháp tập mức PU Vách ngăn đơn vị SIF Hệ số cường độ ứng suất SCs Các tế bào mịn XFEM, X-FEM Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng Danh sách các hình x DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 2.1: Các kiểu vết nứt cơ bản 6 Hình 2.2: Hệ tọa độ cực kết hợp với đỉnh vết nứt 9 Hình 2.3: Đường biên và miền xác định tại đỉnh vết nứt 12 Hình 2.4: Khối có vết nứt 13 Hình 2.5: Sự lựa chọn các nút làm giàu cho vấn đề vết nứt 2D 16 Hình 2.6: Hệ tọa độ cho hàm làm giàu đỉnh vết nứt 17 Hình 2.7: Các loại phần tử trong XFEM tiêu chuẩn 19 Hình 2.8: Tiêu chuẩn vùng cho lựa chọn nút làm giàu H(x) 20 Hình 2.9: Định nghĩa hàm tập mức 21 Hình 2.10: Hàm tập mức cho đại diện vết nứt 2D 22 Hình 2.11: Lựa chọn nút làm giàu bởi tập mức nút 23 Hình 2.12: Lựa chọn nút làm giàu bởi tập mức nút – phương pháp đã hiệu chỉnh 23 Hình 2.13: Việc phân chia thành các tam giác con cho tích phân 24 Hình 2.14: Sự chuyển đổi của các điểm Gauss từ tam giác con đến phần tử quy chiếu 25 Hình 2.15: Làm giàu cho vùng cố định xung quanh vết nứt. 26 Hình 2.16: Các tập hợp con điểm nút I * và J * với định nghĩa của sự mô phỏng và các phần tử pha trộn dựa trên I * 28 Hình 2.17: Sự lựa chọn của tập hợp con điểm nút I* 29 Hình 2.18: Trường hợp đơn giản của việc kết hợp kỹ thuật ES-XFEM trong XFEM 32 Hình 2.19: Mô hình tính toán tấm 33 Hình 3.1: Hình ảnh tấm vật liệu thép được khảo sát 36 Hình 3.2: Hình vẽ 3 Mode đầu tiên của tấm hình vuông 39 Hình 3.3: Hình vẽ 3 Mode đầu tiên của tấm hình chữ nhật 41 Danh sách các hình xi Hình 3.4: Hình dạng và tải của vấn đề về vết nứt cạnh 42 Hình 3.5: Các điểm Gauss được phân bố trong các phân tử 43 Hình 3.6: Sơ đồ chuẩn hóa K I và bán kính tích phân J R d 44 Hình 3.7: Bán kính tích phân J R d cho sự tính toán SIF 44 Hình 3.8: Hình biến dạng và đường biên chuyển vị 45 Hình 3.9: Tốc độ hội tụ năng lượng biến dạng 46 Hình 3.10: So sánh sai số của cường độ ứng suất thu được từ bốn phương pháp 47 Danh sách các bảng xii   TRANG  3.1: Tần số dao động riêng của tấm hình vuông 37 : Tần số dao động riêng của tấm hình chữ nhật 39 : So sánh các giá trị của hệ số cường độ ứng suất K I 46 [...]... lý thuyết cơ học phá hủy, một vết nứt hở có thể có 3 dạng chính như trong hình 2.1 được gọi là các kiểu (mode) vết nứt Vì thế chúng ta có hệ số cường độ ứng suất tại các đầu vết nứt tương ứng ký hiệu KI, KII, KIII cho các Mode I, II, III tương ứng y x z Mode 1: Kiểu vết nứt mở Mode 2: Kiểu vết nứt trượt Mode 3: Kiểu rách Hình 2.1: Các kiểu vết nứt cơ bản - Mode I: Vết nứt có dạng mở rộng do lực kéo một... chiều Bề mặt của vết nứt di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng có chứa vết nứt - Mode II: Vết nứt mở rộng do lực trượt nằm trong mặt phẳng tấm, sự chuyển dịch nằm trong mặt phẳng của vết nứt và vuông góc với cạnh có chứa vết nứt 6 Chương 2 - Cơ sở lý thuyết Mode III: Vết nứt có dạng trượt ngang (trượt 3 chiều) thường xảy ra trên những tấm thép mỏng do lực cắt nằm ngoài mặt phẳng tấm Sự chuyển...  tại đỉnh vết nứt được đưa ra để cùng mô tả vết nứt Do đó, một vết nứt được mô tả bởi 2 hàm tập mức (hình 2.10)  Tập mức chuẩn  cho bề mặt vết nứt: khoảng cách được đánh dấu đến hợp của mặt vết nứt và sự mở rộng tiếp tuyến của nó từ mặt trước  Tập mức tiếp tuyến  cho mặt trước của vết nứt: khoảng cách được đánh dấu đến bề mặt qua mặt trước và vuông góc với bề mặt vết nứt Bề mặt vết nứt:  ( x,... của vết nứt và song song với cạnh có chứa vết nứt Một vết nứt kiểu hỗn hợp xảy ra khi có nhiều hơn một hệ số cường độ ứng suất cần thiết để biểu diễn các miền vết nứt Hãy xem xét một khối trong một hệ tọa độ Đề Các, sử dụng các tọa độ cực (r ,  ) mà điểm mốc là ngay tại đỉnh vết nứt, như hình 2.2, tại bất kỳ điểm nào mà P = x = (r , )  , thì vùng ứng suất và vùng chuyển vị như sau: Vết nứt mở Mode. .. Và với mong muốn đóng góp vào việc xây dựng, phát triển phương pháp giải quyết các vấn đề trong cơ học phá hủy ở Việt Nam là lý do tôi chọn đề tài Phân tích Mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM 3 Chương 1 1.2 Tổng quan M c tiêu của đề tài: Trong XFEM, có ba miền trực tiếp ảnh hưởng đến kết quả chúng ta cần tính toán: miền làm giàu, miền tiêu chuẩn và miền pha trộn đó là lớp chuyển tiếp giữa miền... thuật làm giàu hình học 4 Chương 1 Tổng quan  Chương 3, trình bày kết quả của việc khảo sát dao động riêng của tấm hình vuông và hình chữ nhật làm bằng vật liệu Thép, và các vấn đề về cạnh vết nứt hai chiều (2D) thu được từ sự so sánh giữa XFEM tiêu chuẩn, XFEM với diện tích làm giàu cố định và ES -XFEM với diện tích làm giàu cố định  Trong chương 4, trình bày nhận xét và kết luận về các ảnh hưởng và... trước vết nứt:  ( x, t )  0 ,  ( x, t )  0 21 Chương 2 Cơ sở lý thuyết 1  0 2  0  0 1  0 2  0  0 Hình 2.10: Hàm tập mức cho đại diện vết nứt 2D Hàm tập mức tiếp tuyến và vuông góc ban đầu như sau:  ( x, t  0)   min x  x* (2.2.36)   i ( x, t  0)  ( x  xi ).t (2.2.37) x * là điểm gần nhất từ x đến vết nứt t xi là đỉnh vết nứt,  là vectơ đơn vị hướng ngoại từ đỉnh vết nứt Nếu vết. .. cho tích phân Quy trình tích phân số cho các phần tử được cắt bởi vết nứt như sau: 1 Xây dựng phép tam giác phân Delaunay để có được các tam giác con 2 Với mỗi tam giác con, tọa độ và trọng lượng của các điểm Gauss được tính toán và sau đó chuyển thành hệ tọa độ gốc của phần tử ban đầu Để xây dựng được phép tam giác phân Delaunay, cần thiết phải xác định được giao tuyến giữa các cạnh phần tử với vết nứt. .. pháp mà trong đó bài toán pha trộn có thể tránh được Các vấn đề về kết dính, tiếp xúc, độ dẻo và biến dạng lớn cũng đã được nghiên cứu từ năm 2002 Vết nứt dạng tấm và vỏ là những vấn đề thú vị đã được nghiên cứu và phát triển trong nhiều năm Bài toán XFEM động đã được đề xuất bởi Belytschko (2003) Ngoài ra, Réthoré cũng đề xuất XFEM tổng quát cho mô hình vết nứt động và vấn đề phụ thuộc vào thời gian... và trường tiệm cận gần đỉnh vết nứt sử dụng XFEM, giải pháp này trình bày về kỹ thuật của mô hình gián đoạn bất kì trong kết cấu của phần tử hữu hạn bằng cách làm giàu cục bộ một chuyển vị cơ bản thông qua phân vùng của phương pháp đơn vị Sau đó Sukumar đã mở rộng XFEM cho mô hình vết nứt ba chiều (3D) và giải quyết các vấn đề hình học liên kết với các đại diện của vết nứt và sự làm giàu của phần tử . ở Việt Nam là lý do tôi chọn đề tài Phân tích Mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM Chương 1 Tổng quan 4 1.2. M tiêu : Trong XFEM, có ba miền trực tiếp ảnh hưởng đến kết. z Hình 2.1: Các kiểu vết nứt cơ bản Mode 1: Mode 2: Mode 3: Kiểu vết nứt mở Kiểu vết nứt trượt Kiểu rách Chương 2 Cơ sở lý thuyết 7 - Mode III: Vết nứt có dạng trượt ngang (trượt 3. vết nứt. - Mode II: Vết nứt mở rộng do lực trượt nằm trong mặt phẳng tấm, sự chuyển dịch nằm trong mặt phẳng của vết nứt và vuông góc với cạnh có chứa vết nứt. x y z Hình 2.1: Các kiểu vết