tóm tắt luận văn thạc sĩ kỹ thuật nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền cho bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu

Trong các dây chuyền sản xuất công nghiệp hiện nay đa số các hệ thống có nhiều tínhiệu đầu vào và nhiều tín hiệu đầu ra, do vậy các bài toán điều khiển gắn với thực tế là làcác bài toán

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Trong các dây chuyền sản xuất công nghiệp hiện nay đa số các hệ thống có nhiều tínhiệu đầu vào và nhiều tín hiệu đầu ra, do vậy các bài toán điều khiển gắn với thực tế là làcác bài toán tối ưu đa mục tiêu Tuy nhiên chưa có nhiều nghiên cứu về các bài toán này.Hiện nay các đề tài khoa học chủ yếu mới chỉ giải quyết và ứng dụng các bài toán tối ưumột mục tiêu Ví dụ ta xét công nghệ gia nhiệt phôi kim loại trong lò nung là một trongnhững quá trình có tham số biến đổi chậm, trong đó các hàm mục tiêu đặt ra với lò gia nhiệtnhư sau: nung nhanh nhất, nung chính xác nhất, nung ít bị ôxi hóa nhất; hoặc trong các bàitoán điều khiển mức của dây truyền sản xuất nước ngọt thì các hàm mục tiêu có thể là: ổnđịnh mức dung dịch H chính xác nhất, thời gian ổn định nhanh nhất

Đã có nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết các loại bài toán này,song gần đây việc ứng dụng các giải thuật tính toán tiến hóa hứa hẹn nhiều triển vọng Hiệnnay nghiên cứu về lĩnh vực này trong nước ta chưa nhiều, nhất là chưa đưa ra được những

mô hình ứng dụng thực tế cụ thể trong khi nhu cầu ứng dụng lại rất cao

Xuất phát từ tình hình thực tế và góp phần vào công cuộc CNH - HĐH đất nước nóichung và phát triển ngành Tự động hóa nói riêng, trong khuôn khổ của khóa học Cao học,chuyên ngành Tự động hóa tại trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái nguyên, được sự

tạo điều kiện giúp đỡ của nhà trường, khoa sau Đại học và PGS TS Lại Khắc Lãi, tác giả

đã lựa chọn đề tài tập trung chủ yếu vào việc xây dựng bài toán tối ưu nhiều mục tiêu chodây chuyền công nghệ thực tế và ứng dụng giải thuật di truyền (Genetic Algorithm – GA)

để giải quyết bài toán tối ưu đó, nhằm tiết kiệm thời gian và đảm bảo chất lượng sản phẩm

đầu ra là tốt nhất với tên đề tài là: “Nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền cho bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu”.

2 Mục đích của đề tài

- Xây dựng bài toán tối ưu đa mục tiêu gắn liền với các hệ thống thực hiện nay

- Ứng dụng giải thuật gen di truyền (GA) để tìm lời giải tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

- Tiếp tục nghiên cứu và hoàn thiện hơn nữa việc lựa chọn và tính toán phương án nâng caochất lượng điều khiển mức cho dây chuyền sản xuất nước ngọt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết của bài toán điều khiển tối ưu

- Các kỹ thuật trong giải thuật gen di truyền GA

- Các hệ thống điều khiển có nhiều đầu vào và nhiều đầu ra với các ràng buộc và hạnchế, cụ thể là điều khiển tối ưu đa mục tiêu cho bài toán điều hiển mức dung dịch

- Mô hình hóa và mô phỏng hệ thống để kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

a Ý nghĩa khoa học

Bài toán tối ưu đa mục tiêu là một hướng nghiên cứu mới có thể ứng dụng cho nhiềudây chuyền công nghệ trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhằm tìm kiếm ra phương án tối ưunhất trong sản xuất và kinh doanh về các chỉ tiêu chất lượng như trong ngành luyện kim,ngành hóa chất, ngành năng lượng Trong khi sản phẩm đầu ra lại phụ thuộc rất nhiều vàocác yếu tố trong quá trình công nghệ Trong đề tài này ứng dụng giải thuật di truyền nhằmgiải quyết bài toán tối ưu với hai chỉ tiêu chất lượng chính trong bài toán điều khiển mứcnhư sau:

+ Ổn định chính xác nhất: Chỉ tiêu sai lệch mức điều khiển là nhỏ nhất

+ Thời gian ổn định nhanh nhất: Chỉ tiêu thời gian quá độ nhỏ nhất

Bằng việc ứng dụng giải thuật di truyền vào giải quyết bài toán sẽ giúp cho việc tínhtoán được thông minh hơn, nhanh gọn hơn, mềm dẻo hơn và đặc biệt có ưu điểm hơn hẳntrong tìm kiếm toàn cục

và cơ chế song song ẩn, giải pháp này sẽ cho ra kết quả tối ưu, nhanh nhất và có tính linh hoạt cao

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 3 chương, 94 trang, 15 tài liệu tham khảo, 21 hình vẽ và bảng biểu

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN

(Genetic Algorithm - GA) 1.1 CÁC GIẢI THUẬT TÍNH TOÁN TIẾN HÓA-GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 1.1.1 Khái quát.

Giải thuật di truyền ( GA – Genetic Algorithm) là giải thuật tìm kiếm, chọn lựa cácgiải pháp tối ưu để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau, dựa trên cơ chế chọn lọc của tựnhiên: Từ tập lời giải ban đầu, thông qua nhiều bước tiến hóa, hình thành tập lời giải mớiphù hợp hơn, và cuối cùng dẫn đến lời giải tối ưu toàn cục

Trong tự nhiên, mỗi cá thể muốn tồn tại và phát triển phải thích nghi với môi trường,

cá thể nào thích nghi hơn thì tồn tại, cá thể nào kém thích nghi thì bị tiêu diệt Từ ý tưởng

đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu và xây dựng nên giải thuật di truyền dựa trên cơ sởchọn lọc tự nhiên và quy luật tiến hóa Giải thuật di truyền sử dụng các thuật ngữ được lấy

từ di truyền học như: lai ghép, đột biến, NST, cá thể,… Ở đây mỗi cá thể được đặc trưng bởimột tập nhiễm sắc thể, nhưng để đơn giản khi trình bày, ta xét trường hợp tế bào mỗi cá thểchỉ một NST Các NST được chia nhỏ thành các gen được sắp xếp theo một dãy tuyến tính.Mỗi cá thể (hay NST) biểu diễn một lời giải có thể của bài toán Một xử lý tiến hóa duyệttrên tập các NST tương đương với việc tìm kiếm lời giải trong không gian lời giải của bàitoán Quá trình tìm kiếm phải đạt được hai mục tiêu:

 Khai thác lời giải tốt nhất

 Xem xét trên toàn bộ không gian tìm kiếm

GA sử dụng các toán tử: chọn lọc, lai ghép, đột biến trên các NST để tạo ra chuỗi mới.Những toán tử này thực chất là việc sao chép chuỗi, hoán vị các chuỗi con và sinh số ngẫunhiên

Cơ chế của GA đơn giản nhưng lại có sức mạnh hơn các giải thuật thông thườngkhác nhờ có sự đánh giá và chọn lọc sau mỗi bước thực hiện Do vậy, khả năng tiến gần đếnlời giải tối ưu của GA sẽ nhanh hơn nhiều so với các giải thuật khác

Có thể nói GA khác với những giải thuật tối ưu thông thường ở những đặc điểm sau:

 GA làm việc với tập mã của biến chứ không phải bản thân biến

 GA thực hiện tìm kiếm trên một quần thể các cá thể chứ không phải trên một điểmnên giảm bớt khả năng kết thúc tại một điểm tối ưu cục bộ mà không tìm thấy tối ưutoàn cục

 GA chỉ cần sử dụng thông tin của hàm mục tiêu để phục vụ tìm kiếm chứ không đòihỏi các thông tin hỗ trợ khác

 Các thao tác cơ bản trong giải thuật dựa trên khả năng tích hợp ngẫu nhiên, mangtính xác suất chứ không tiềm định.

1.1.2 Giải thuật di truyền kinh điển.

Mô tả giải thuật

Giải thuật di truyền kinh điển sử dụng mã hóa nhị phân, mỗi cá thể được mã hóa làmột chuỗi nhị phân có chiều dài cố định

1.1.2.1 Mã hóa – Biểu diễn các biến bằng véctơ nhị phân.

Ta sử dụng véctơ nhị phân có độ dài L như một NST để biểu diễn giá trị thực của biến

 x; x

x l u Độ dài L của NST phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán Một bit mã hóa x

ứng với một giá trị trong khoảng 0;2 L sẽ được ánh xạ lên giá trị thực thuộc miền l u x; x.Nhờ đó, ta có thể kiểm soát miền giá trị của các biến và tính chính xác của chúng Tỷ lệ cogiãn của ánh xạ được tính như sau:

Giá trị x tương ứng với chuỗi NST nhị phân là: x l x decimal NST * g Trong đó,

decimal NST là giá trị thập phân của chuỗi NST nhị phân và

2

x x L

 Trong đó, m bit đầu tiên biểu diễn các giá trị trong miền i a b ;…; i; i m bit cuối k

cùng biểu diễn các giá trị trong miền a b k; k

Để khởi tạo quần thể, chỉ cần đơn giản tạo pop – size (kích cỡ quần thể) nhiễm sắc

thể ngẫu nhiên theo từng bit Phần còn lại của thuật giải di truyền rất đơn giản: Trong mỗi

thế hệ, ta lượng giá từng NST (tính giá trị của hàm f trên các chuỗi biến nhị phân đã được

giải mã), chọn quần thể mới thỏa mãn phân bố xác suất dựa trên độ thích nghi và thực hiệncác phép đột biến và lai để tạo ra các cá thể thế hệ mới Sau một số thế hệ, khi không còncải thiện thêm được gì nữa, NST tốt nhất sẽ được xem như lời giải của bài toán tối ưu(thường là toàn cục) Thông thường, ta cho dừng thuật giải di truyền sau một số bước lặp cốđịnh tùy thuộc vào điều kiện về tốc độ về tài nguyên máy tính

1.1.2.2 Toán tử chọn lọc.

a) Sử dụng bánh xe Roulette.

Có nhiều cách để thực hiện toán tử chọn lọc, nói chung đều theo tư tưởng cá thể có độthích nghi cao hơn thì khả năng được chọn nhiều hơn Nhưng có lẽ đơn giản và hiệu quảnhất là sử dụng bánh xe Roulette (roulette wheet), mỗi cá thể trong quần thể chiếm một khe

có độ rộng tỷ lệ thuận với giá trị phù hợp Độ rộng của khe được tính bằng tỷ lệ phần trămgiá trị phù hợp của một cá thể trên tổng giá trị phù hợp của toàn quần thể.

Gọi f là độ phù hợp của cá thể thứ i trong quần thể gồm N cá thể Khi đó, cá thể i sẽ i

được chọn với xác suất

1

i N i

i i

f p

f





 Trên vòng tròn Roulette, mỗi chuỗi trong quần thể

chiếm một khe có độ rộng tỷ lệ với độ phù hợp của chuỗi Độ rộng của khe được tính theo

tỷ lệ phần trăm độ phù hợp của chuỗi với tổng độ phù hợp của toàn quần thể là 100% Cácbước tiến hành thủ tục quay Roulette:

- Đánh số các cá thể trong quần thể Tính tổng độ phù hợp của bài toán quầnthể sumfitness, và ứng với mỗi cá thể tính một tổng chạy subtotal bằng tổng

độ phù hợp của cá thể đó với độ phù hợp của các cá thể đứng phía trước

- Sinh một số ngẫu nhiên r trong khoảng từ 0 đến tổng độ phù hợp sumfitness.

- Cá thể đầu tiên trong quần thể có tổng chạy subtotal lớn hơn hoặc bằng r sẽ

được chọn

b) Chọn lọc xếp hạng

Với dạng này các cá thể được sắp xếp theo giá trị của hàm mục tiêu Cá thể đầu tiên

là cá thể tốt nhất và cá thể cuối cùng là cá thể tốt nhất Cá thể thứ N  j trong dãy sẽ có

Các bước tiến hành của thủ tục là:

 Sắp xếp các chuỗi theo thứ tự giảm dần của hàm mục tiêu (bài toán cực đại) hoặctheo thứ tự tăng đần của hàm mục tiêu (bài toán cực tiểu)

 Tính độ phù hợp của chuỗi

 Sử dụng thủ tục quay Rulet chọn chuỗi để sao chép sang quần thể tạm thời

c) Chọn lọc cạnh tranh

 Chọn t cá thể từ quần thể hiện tại một cách ngẫu nhiên và chọn cá thể tốt nhất trong t

cá thể đó để sao chép sao chép sang quần thể tạm thời

 Lặp lại bước trên N lần chúng ta sẽ có quần thể tạm thời.

Giá trị t được gọi là kích cỡ của chọn lọc cạnh tranh Khi t  chúng ta chọn lọc cạnh2tranh nhị phân

1.1.2.3 Toán tử lai ghép.

 Lai ghép một điểm

Lai ghép một điểm được thực hiện rất đơn giản Với hai cá thể cha mẹ đã chọn P P toán1, ;2

tử này cần sinh một vị trí ngẫu nhiên k 1 k L, sau đó hai cá thể con được tạo thànhbằng cách tráo đổi các gen của cặp cha mẹ tính từ điểm cắt

 Lai ghép nhiều điểm

Lai ghép nhiều điểm được thực hiện tương tự như lai ghép một điểm Với hai cá thể

cha mẹ đã chọn P1, P2; toán tử này cần sinh ngẫu nhiên k vị trí i1, , ;i có thể giả thiết thêm k

i  i Các điểm cắt này chia các cá thể đã chọn thành các đoạn được đánh số chẵn lẻ;sau đó hai cá thể con được tạo thành bằng cách tráo đổi các gen của cặp cha mẹ tùy theo cácđoạn chẵn hay lẻ đã nêu Trong lai ghép nhiều điểm thì lai ghép hai điểm cắt được quan tâmnhiều nhất

 Lai ghép mặt nạ

Loại lai ghép này còn gọi là lai ghép đều; với hai cá thể cha mẹ đã chọn P1, P2 trước

hết phát sinh một chuỗi nhị phân ngẫu nhiên cũng có độ dài L gọi là chuỗi mặt nạ Sau đó

các con được tạo ra dựa trên chuỗi mặt nạ này để quyết định lấy thành phần của cá thể cha

hay mẹ Chẳng hạn gen thứ I của cá thể con C1 được lấy là gen thứ i của P1 nếu bit mặt nạ

tương ứng là 1 và lấy gen thứ i của P2 nếu bit mặt nạ là 0 Cá thể con C2 được tạo ngược lại

1.1.2.4 Toán tử đột biến.

Toán tử đột biến làm thay đổi các thông tin của quần thể ở mức bit (gen) Đột biến

làm thay đổi giá trị của một bit bất kỳ theo xác suất p m Mỗi bit đều có cơ hội đột biến nhưnhau

1.1.2.5 Hàm phù hợp.

Biến đổi hàm mục tiêu thành hàm phù hợp:

Do giá trị phù hợp trong giải thuật di truyền là không âm, nên để áp dụng GA cho bàitoán tối ưu ta cần phải chuyển giá trị hàm mục tiêu thành hàm phù hợp

Nếu bài toán tối ưu là cực tiểu hàm mục tiêu g x thì ta chuyển sang hàm phù hợp 

trị lớn nhất của hàm mục tiêu trong tập hiện tại

Nếu bài toán tối ưu là cực đại hàm mục tiêu g x thì ta chuyển sang hàm phù hợp 

1.1.3 Giải thuật di truyền mã hóa số thực.

Trong phần này chỉ nghiên cứu giải thuật di truyền mã hóa số thực (RCGA – Real –Coded Genetic Algorithm ) để giải các bài toán tối ưu giá trị thực trong không gian n

 vàkhông có các ràng buộc đặc biệt

Một cách tổng quát, bài toán tối ưu số thực có thể xem là một cặp S f , trong đó, 

n

S   và : f S S là một hàm n biến Bài toán đặt ra là tìm véc tơ xx1, ,x n S

sao cho f x đạt giá trị cực tiểu trên S Nghĩa là với mọi y S   phải có f x   f y 

Hàm f ở đây có thể không liên tục nhưng cần bị chặn trên S (đối với các bài toán tìm cực đại

có thể chuyển về cực tiểu một cách đơn giản)

Trong GA mã hóa số thực, mỗi các thể được biểu diễn bằng một như một véctơ n

chiều: bx1, ,x n, x i 

Như vậy một quần thể kích cỡ m là một tập hợp có m véctơ trong n

 Ta cũng có thểxem một quần thể kích cỡ m như một ma trận thực cấp m n , đây là cách mã hóa tự nhiên

và thuận tiện trong việc thực hiện các toán tử tiến hóa Sau đây ta xem xét cụ thể hơn cáctoán tử này trong giải thuật di truyền mã hóa số thực

1.1.3.1 Toán tử chọn lọc.

Ta thấy toán tử chọn lọc đã trình bày trong GA kinh điển không cần một đòi hỏi đặcbiệt nào trong việc mã hóa số thực, vì vậy trong GA mã hóa số thực, toán tử chọn lọc vẫnđược áp dụng như đối với GA kinh điển Cụ thể gồm các dạng: chọn lọc tỷ lệ, chọn lọc xếphạng hay chọn lọc cạnh tranh

1.1.3.2 Toán tử lai ghép.

GA mã hóa số thực cũng được áp dụng các toán tử lai ghép như GA kinh điển baogồm lai ghép một điểm, lai ghép nhiều điểm, lai ghép mặt nạ Ngoài ra do cách mã hóa quầnthể, người ta còn nghiên cứu và đề xuất nhiều dạng khác nhau của toán tử lai ghép trongRCGA Dưới đây là một số dạng toán tử lai ghép thường được sử dụng với giả thiết cặp cáthể cha mẹ chọn để tiến hành lai ghép là:

 1, , m

X  x x và Y  y1, ,y m

a) Lai ghép 1 điểm (One – point Crosover).

Lai ghép một điểm là lai ghép đơn giản nhất được sử dụng cả trong GA mã hóa nhị

phân lẫn trong mã hóa số thực Với cặp cha mẹ X, Y là các véc tơ m chiều, toán tử lai ghép một điểm lai ghép chọn ngẫu nhiên một vị trí k (1  k  m ) rồi sinh ra hai cá thể con theo

công thức:

X’ = (x1,… , x k , y k+1 ,…, y m),

Y’ = (y1,…, y k , x k+1 ,…, x m)

b) Lai ghép đa điểm (Multi – point Crosover).

Toán tử lai ghép đa điểm được mô tả như sau:

Chọn ngẫu nhiên k điểm j1 , …, j k (1 j1< j2 < ….< j k < m), lai ghép đa điểm tạo ra cặp con (X’ , Y’) bằng cách đánh số các đoạn [ j t , j t+1] từ 0 trở đi sau đó:

x ’

i lấy bằng x i tại các đoạn có số hiệu chẵn và bằng y i tại các đoạn có số hiệu lẻ.

y ’

i lấy bằng x i tại các đoạn có số hiệu lẻ và bằng y i tại các đoạn có số hiệu chẵn.

c) Lai ghép đều hoặc lai ghép mặt nạ (Uniform Crosover).

Trong lai ghép mặt nạ, ta chọn ngẫu nhiên k vị trí 1< i1< i2 <…< i k < m Các cá thể con

được lập như sau:

d) Lai số học (Arithmetic Crosover).

Phép lai này chọn một số thực a (0< a <1); các con X’ , Y’ được tính bởi:

f) Lai ghép BLX- (Blend Crosover).

Ký hiệu cặp nhiễm sắc thể đã chọn lai ghép là:

X = (x1,…, x k , x k+1 ,…,x n),

Y = (y1,…, y k , y k+1 ,…,y n)

Với các ký hiệu cá thể cha mẹ được lai ghép như trên, đặt:

I = max (x i , y i ) – min (x i , y i ) với mỗi i.

Khi đó thành phần thứ i của cá thể con tạo ra là một số ngẫu nhiên chọn trong khoảng

Đột biến không đều: Giả sử t max là một số cực đại định nghĩa trước, thành phần x i được thaythế bởi một trong hai giá trị tính theo các công thức sau:

1.2 CHIẾN LƯỢC TIẾN HOÁ

Chiến lược tiến hóa (ES – Evolutionary Strategies) được phát triển bởi I.Rechenbergnăm 1973, sử dụng phép chọn lọc, đột biến trên quần thể chỉ có một cá thể Schwefel đã giớithiệu phép tái tổ hợp và quần thể nhiều hơn một cá thể và chuẩn bị chi tiết cho việc so sánhchính xác ES với các kỹ thuật tối ưu truyền thống

Trong ES, mỗi cá thể được biểu diễn như một véctơ 2N chiều xem như sự tổ hợp 2 véctơ b = ( x1,…, x N ; 1, …,N).

Nửa thứ nhất của véctơ tương ứng là thành phần của lời giải bài toán như GA mã hóa

số thực Nửa thứ hai xác định véctơ độ lệch chuẩn đối với toán tử đột biến ES cũng sử dụngcác toán tử lai ghép và đột biến, song không giống như GA, ở đây toán tử đột biến đóng vaitrò trung tâm

Chương 2

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

2.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU

2.1.1 Đặc điểm của bài toán tối ưu.

2.1.1.1 Khái niệm.

Một hệ điều khiển được thiết kế ở chế độ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng thái tối

ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào đó (đạt được giá trị cực trị) Trạng thái tối ưu có đạtđược hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng đặt ra, vào sự hiểu biết về đối tượng vàcác tác động lên đối tượng, vào điều kiện làm việc của hệ điều khiển …

Hình 2.1 Sơ đồ hệ thống điều khiển

Hệ thống điều khiển như hình trên bao gồm các phần tử chủ yếu: đối tượng điều khiển(ĐTĐK), cơ cấu điều khiển (CCĐK) và vòng hồi tiếp (K).Với các ký hiệu :

r : tín hiệu đầu vào, mục tiêu điều khiển, đáp ứng mong muốn của hệ thống

u : tín hiệu điều khiển, luật điều khiển

x : tín hiệu đầu ra, đáp ứng ra của hệ thống.

 = r – x : sai lệch của hệ thống.

f : tín hiệu nhiễu

Chỉ tiêu chất lượng J của một hệ thống có thể được đánh giá theo sai lệch của đại lượng được điều khiển x so với trị đáp ứng mong muốn r, lượng quá điều khiển (trị số cực đại x max so với trị số xác lập x   tính theo phần trăm), thời gian quá độ … hay theo một chỉtiêu hỗn hợp trong điều kiện làm việc nhất định như hạn chế về công suất tốc độ, gia tốc …

Do đó việc chọn một luật điều khiển và cơ cấu điều khiển để đạt được chế độ làm việc tối

ưu J đạt cực trị còn tùy thuộc vào lượng thông tin ban đầu mà ta có được.

Ở đây chúng ta có thể thấy được sự khác biệt về kết quả nhận được chất lượng tối ưukhi lượng thông tin ban đầu thay đổi ( Hình 2.2 )

Hình 2.2 Tối ưu cục bộ và tối ưu toàn cục

2.1.1.2 Điều kiện thành lập bài toán tối ưu

Để thành lập bài toán tối ưu thì yêu cầu đầu tiên là hệ thống phải có đặc tính phi tuyến

có cực trị

Bước quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ưu là xác định chỉ tiêu chất lượng J Nhiệm vụ cơ bản ở đây là bảo đảm cực trị của chỉ tiêu chất lượng J Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t), tín hiệu điều khiển u(t) và thời gian t Bài toán điều khiển tối

ưu là xác định tín hiệu điều khiển u(t) làm cho chỉ tiêu chất lượng J đạt cực trị với những điều kiện hạn chế nhất định của u và x.

Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau:

0

[ ( ), ( ), ]

T

J L x t u t t dt

2.1.3 Các phương pháp điều khiển tối ưu

2.1.3.1 Phương pháp biến phân cổ điển Euler_Lagrange.

Nhiệm vụ của điều khiển tối ưu là giải bài toán tìm cực trị của phiếm hàm L x t u t[ ( ), ( )]

bằng cách chọn tín hiệu điều khiển u(t) với những điều kiện hạn chế của đại lượng điều

khiển và tọa độ pha Một trong những công cụ toán học để xác định cực trị là phương pháp

biến phân cổ điển Euler_Lagrange.

Đường cực trị là những hàm trơn còn phiếm hàm cùng các điều kiện hạn chế là nhữnghàm phi tuyến Do đó phương pháp này không thể áp dụng cho những trường hợp mà tínhiệu điều khiển có thể là các hàm gián đoạn

2.1.3.2 Phương pháp quy hoạch động Bellman.

a Giới thiệu

Phương pháp quy hoạch động được dựa trên nguyên lý tối ưu sơ khai của Bellman:

Một chiến lược tối ưu có tính chất không phụ thuộc vào những quyết định trước đó (ví dụ như những luật điều khiển) song các quyết định còn lại phải cấu thành nên chiến lược tối ưu có liên quan với kết quả của những quyết định truớc đó

Nguyên lý tối ưu của Bellman: “Bất kỳ một đoạn cuối cùng nào của quỹ đạo tối ưu cũng là một quỹ đạo tối ưu ”.

Nguyên lý này giới hạn xem xét trên một số các chỉ tiêu tối ưu Nó chỉ ra rằng phương án tối ưu phải được xác định từ trạng thái cuối đi ngược về trước đó.

Điều kiện áp dụng: nguyên lý tối ưu Bellman là một phương pháp số, chỉ áp dụng được khi

hệ thống có phân cấp điều khiển và ta biết trước sơ đồ mắt lưới được xây dựng bằng thựcnghiệm

b Hệ rời rạc

Phương pháp quy hoạch động cũng có thể dễ dàng áp dụng cho hệ phi tuyến Ngoài ra,nếu có càng nhiều điều kiện ràng buộc đối với tín hiệu điều khiển và biến trạng thái thì ta cóđược lời giải càng đơn giản

2.1.3.3 Nguyên lý cực tiểu Pontryagin _ Hamilton

a Nguyên lý cực tiểu của Pontryagin

 

x T T,  0

và x(t0) đã được cho trước

Điều kiện để bài toán tối ưu là:

Giả sử hàm điều khiển u(t) là ràng buộc trong một vùng giới hạn cho phép, có nghĩa

là giá trị yêu cầu có độ lớn nhỏ hơn giá trị đã cho Điều kiện dừng thay bằng điều kiện tổng

quát: H x u( , , , )   t H x u( ,  u, , ) t thỏa mãn tất cả giá trị  u.

Dấu * thể hiện chỉ số chất lượng tối ưu Mà bất kỳ sự biến thiên nào trong bộ điều khiển tối

ưu xảy ra tại thời điểm t (trong khi trạng thái và biến trạng thái nếu được duy trì) sẽ tăng đến

giá trị của hàm Hamilton Điều kiện này được viết như sau:

Chúng ta sẽ thấy nguyên lý cực tiểu hữu dụng như thế nào Đặc biệt chú ý không thể nóirằng biểu thức H x u( , ,  )H x u( , , , ) t chắc chắn phải đúng

b Điều khiển Bang-Bang

Chúng ta hãy thảo luận bài toán tối thiểu thời gian tuyến tính với ngõ vào ràng buộc

  1

u t  với  t t T0,  (2.90)

Bài toán tối ưu đặt ra là tìm tín hiệu điều khiển u(t) để cực tiểu hoá J(t0), thỏa mãn điều

kiện (2.90) với t, đi từ trạng thái x(t0) đến trạng thái cuối cùng x(T) thỏa mãn công thức

phía bên trái trên trục tọa độ thực; T Bu = - là giá trị nhỏ nhất) Nếu không có sự ràng

buộc nào trên u(t), thì điều này sẽ cho ra những giá trị vô hạn (dương hoặc âm) của những

biến điều khiển Với kết quả này, bài toán tối ưu đặt ra phải có những điều kiện ràng buộcđối với tín hiệu điều khiển

Theo nguyên lý cực tiểu Pontryagin (2.87), hàm điều khiển tối ưu u * (t) phải thỏa mãn:

đối với tất cả giá trị u(t) cho phép Điều kiện này cho phép chúng ta biểu diễn u * (t) dưới

dạng biến trạng thái Để thấy điều này, trước tiên chúng ta thảo luận về trường hợp một ngõvào

Đặt u(t) là một đại lượng vô hướng và đặt b tượng trưng cho véctơ ngõ vào Trong trường hợp này dễ dàng chọn u * (t) để tối thiểu T (t) Bu(t) (Chú ý: giá trị nhỏ nhất nghĩa là

T (t)Bu(t) nhận một giá trị càng gần - càng tốt )

Nếu T (t)B là giá trị dương, chúng ta nên chọn u(t) = -1 làm cho T (t)Bu(t) có giá trị âm

nhất Mặt khác, nếu T (t)B là giá trị âm, chúng ta nên chọn u(t) ở giá trị cực đại là giá trị 1

để giá trị T (t)Bu(t) càng âm càng tốt Nếu giá trị T (t)Bu(t) bằng zero tại thời điểm t, khi đó u(t) có thể nhận bất cứ giá trị nào tại thời điểm này.

Quan hệ giữa điều khiển tối ưu và biến trạng thái có thể biểu diễn bằng hàm sgn(w)

w w w

Ta có u* được biểu diễn dưới dạng biến trạng thái, với hệ tuyến tính dạng toàn phương Giá trị B T

(t) được gọi là hàm chuyển đổi Một hàm chuyển đổi mẫu và bộ điều khiển tối ưu

được diễn tả ở hình 2.5 Khi hàm chuyển đổi này đổi dấu, bộ điều khiển chuyển từ cực trịnày đến cực trị khác Bộ điều khiển trong hình được chuyển đổi bốn lần Điều khiển thờigian tối thiểu tuyến tính tối ưu luôn bão hòa khi nó chuyển đổi tại vị trí giữa các giá trị cực

trị, cho nên được gọi là điều khiển Bang-bang

Nếu bộ điều khiển là một véctơ có m phần tử, theo nguyên lý cực tiểu ta chọn các thành phần u i (t) bằng 1, nếu các thành phần B i T(t) là giá trị âm; và bằng -1 nếu B i T(t) là giá trị dương, với B i là cột thứ i của B Phương pháp điều khiển này tạo thành một giá trị:

)()()

Bu

i m

i i

nếu chúng ta định nghĩa hàm sgn cho véctơ w như sau:

v = sgn(w) nếu v i = sgn(w) cho mỗi i (2.98)

Trong đó v i , w i là những thành phần của v và w.

Thành phần Bi T(t) của hàm chuyển đổi B T

(t) có thể bằng zero trên một khoảng thời gian hữu hạn Nếu điều đó xảy ra, thành phần u i (t) của bộ điều khiển tối ưu không định

nghĩa được bởi biểu thức (2.93) Đó gọi là điều kiện kỳ dị Nếu điều đó không xảy ra, thì bộđiều khiển thời gian tối ưu được gọi là bình thường

Nếu hệ thống là bất biến theo thời gian, ta sẽ có được quả đơn giản và bộ điều khiểnthời gian tối ưu là duy nhất

Hình 2.5 Hàm chuyển đổi mẫu và bộ điều khiển tối ưu

Hệ thống bất biến theo thời gian trong biểu thức (2.88) có thể đạt được nếu chỉ có một

cấp n cho mỗi giá trị i = 1, 2, … , m; mà khi thành lập cho mỗi giá trị riêng biệt u, U   m.

Giả sử hệ thống bình thường và ta muốn dẫn x(t0) tiến đến trạng thái cuối cố định x(T) với

hàm điều khiển thỏa u(t)  1 Khi đó:

1 Nếu trạng thái cuối x(T) bằng zero, khi đó sẽ tồn tại bộ điều khiển thời gian tối thiểu

nếu hệ thống không có cực với phần thực dương (ví dụ không có cực trên mặt phẳng phíabên phải)

2 Cho bất kỳ giá trị x(T) cố định, nếu tồn tại đáp án cho bài toán tối ưu thời gian thì nó

là duy nhất

3 Cuối cùng, nếu hệ thống có n cực thực và nếu tồn tại bộ điều khiển tối ưu thời gian thì mỗi thành phần u i (t) của bộ điều khiển tối ưu thời gian thay đổi n-1 lần.

2.2 TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

2.2.1 Quy hoạch đa mục tiêu.

Trong nhiều ứng dụng thực tế gắn liền với thiết kế, kế hoạch hóa các nghành kinh tế

kỹ thuật, điều khiển sản xuất, ta thường gặp các bài toán liên quan đến việc phân tích, lựachọn định hướng vào nhiều mục tiêu khác nhau Chẳng hạn một dây truyền sản xuất củamột nhà máy bất kỳ thường đối mặt với các mục tiêu như: Hạ giá thành sản phẩm, nănglượng tiêu hao ít nhất, năng suất lao động cao nhất… Các dạng bài toán trên gọi là quyhoạch đa mục tiêu Mô hình toán học của bài toán này như sau:

Có k hàm mục tiêu, ký hiệu Y1, ,Y với : K Y D   ; trong đó D là miền các phương i

án chấp nhận được n

D   Cần tìm giá trị x0 trên D làm tối ưu đồng thời các hàm Y1, ,Y K Tuy nhiên, việc tìm các giá trị x0 như vậy (gọi là nghiệm lý tưởng của bài toán) thường làrất hiếm gặp hoặc không có vì các hàm mục tiêu Y không hoàn toàn độc lập với nhau, thậm i

chí có khi trái ngược nhau

Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) khác với các chương trình phi tuyến hay các kỹthuật tối ưu ở chỗ nó cố gắng tìm một hoặc một số lời giải thỏa mãn một số mục tiêu ở mức

độ nào đó Nói cách khác, nó nhằm tìm lời giải ở mức chấp nhận được, thỏa mãn một sốmục tiêu mà độ vi phạm mục tiêu là cực tiểu; nếu như không có lời giải nào đạt được mụctiêu trong tất cả các hàm điều kiện thì nhiệm vụ là tìm lời giải có độ lệch cực tiểu so vớimục tiêu

Quy hoạch đa mục tiêu giới thiệu đầu tiên và được áp dụng vào bài toán quy hoạchtuyến tính một mục tiêu bởi Charnes, Cooper và Ferguson, song nó chỉ đạt tới sự phổ biếnsau các công trình của Ignizio, Lee và những người khác Remeo đã đưa ra một cách nhìntoàn diện và danh mục các ứng dụng kỹ thuật sử dụng quy hoạch đa mục tiêu Quan điểm