Luận văn thạc sĩ toán học lý thuyết KKM và bài toán cân bằng

Mục lục Lời nói đầu 1 Chơng 1 Cơ sở lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô 3 1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bất đẳng thức Ky Fan và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chơng 2 Bài toán cân bằng 33 2.1 CânbằngNash 33 2.2 Bàitoáncânbằng 38 2.3 Cáckếtquảgầnđây 49 Chơng 3 Bất đẳng thức biến phân 60 3.1 Bàitoánbiếnphâncổđiển 60 3.2 Kết quả cơ bản về bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . 61 3.3 Cáckếtquảgầnđây 66 Kết luận 102 Tài liệu tham khảo 104 Lời nói đầu Lý thuyết KKM ra đời năm 1961 với bài báo của Ky Fan: A generalization of Tychonoffs fixed point theorem, trong đó có một kết quả quan trọng mà ngày nay đợc gọi là nguyên lý ánh xạ KKM. Kết quả này là sự mở rộng bổ đề Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (1929) từ không gian tuyến tính hữu hạn chiều ra không gian vectơ tôpô tách bất kỳ. Nguyên lý ánh xạ KKM khởi nguồn cho một loạt kết quả quan trọng khác, có nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt là một bất đẳng thức minimax mà ngày nay gọi là bất đẳng thức Ky Fan. Từ bất đẳng thức này có thể dễ dàng suy ra một số kết quả nổi tiếng nh nguyên lý điểm bất động Schauder, định lý tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Mặt khác, cũng từ nguyên lý ánh xạ KKM có thể nhận đợc định lý điểm bất động Browder - Fan, từ đây lại nhận đợc định lý minimax Sion - Neumann, định lý tồn tại điểm cân bằng Nash Những kết quả này đợc tập hợp lại dới một cái tên c hung: L ý thuyết KKM. Lý thuyết này đã phát triển ra các không gian siêu lồi và nửa dàn tôpô. Năm 1950 chứng kiến sự ra đời của một lý thuyết quan trọng trong Toán kinh tế với bài báo của John Nash: Equilibrium points in n-person games về trò chơi không hợp tác. Lý thuyết này có một tầm quan trọng đặc biệt trong kinh tế nên tác giả c ủa nó đã đợc nhận giải thởng Nobel vào năm 1994. Định lý cơ bản của Nash về tồn tại điểm cân bằng cho một hệ kinh tế đến nay đã đợc nhiều nhà toán học cải tiến và nâng cao, từ không gian hữu hạn c hiều ra không gian vô hạn chiều, từ ánh xạ đơn trị ra á nh xạ đa trị, Dạng tổng quát nhất của bài toán cân bằng rất gần với bất đẳng thức Ky Fan, vì vậy lý thuyết KKM đóng một vai trò quan trọng khi nghiên cứu bài toán cân bằng, mà một trờng hợp riêng là các bất đẳng thức biến phân. Cả hai lý thuyết nêu trên đều rất quan trọng về lý thuyết và ứng dụng, vẫn đang trong quá trình phát triển và hoàn thiện. Có thể nói lý thuyết KKM là một cơ sở lý thuyết cho bài toán cân bằng. Đã có nhiều bài báo về các vấn đề này nhng theo chúng tôi đợc biết, cha có một tài liệu nào giới thiệu một cách hệ thống mối liên hệ giữa các lý thuyết nói trên. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài: Lý thuyết KKM và bài toán cân bằng với hy vọng cung cấp cho độc giả những thông tin bổ ích. Vì thời gian hạn chế nên chúng tôi chỉ giới thiệu các kết quả cơ bản theo các hớng nêu trên, đặc biệt là những kết quả gần đây. Trong bản luận văn này, chúng tôi trình ba chơng gồm những nội dung chính sau đây: Chơng 1 giới thiệu cơ lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô. Chơng 2 giới thiệu bài toán cân bằng. Chơng 3 giới thiệu bất đẳng thức biến phân. 1 Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TSKH Đỗ Hồng Tân đã hớng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Sự chỉ bảo ân cần của thầy Đỗ Hồng Tân trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thạc sĩ Nguyễn Thế Vinh đã cung cấp cho tác giả các tài liệu quan trọng và những lời khuyên quý báu. Tác giả cũng xin chân thành cám ơn những đóng góp bổ ích của các thành v iên của Xêmina Hình học của các không gian Banach và lý thuyết điểm bất động do Bộ môn Giải tích, Trờng Đại học S phạm Hà Nội tổ chức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo Khoa Toán, Trờng Đại học S phạm Hà Nội, cùng toàn thể bạn bè và ngời thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 02 tháng 09 năm 2007 Học viên: Trần Việt Anh 1 1 E-mail: tranvietanh.ceqea@gmail.com 2 Chơng 1 Cơ sở lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô Trong chơng này, chúng tôi trình bày các kết quả cơ bản của lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô. Đó là Nguyên lý ánh xạ KKM, bất đẳng thức Ky Fan và các ứng dụng của nó. Sau cùng chúng tôi trình bày một ứng dụng khá mới và hay của bất đẳng thức Ky Fan, đó là chứng minh định lý định lý điểm bất động Fan-Glicksberg. 1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động Năm 1929, ba nhà toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh đợc một kết quả quan trọng mang tên Bổ đề KKM([35, trang 68] 1 ). Định lý 1.1.1. Cho n := conv({e 0 ,e 1 , ,e n }) là n-đơn hình tiêu chuẩn trong R n , trong đó e i ,i=0, 1, ,n, là vectơ đơn vị thứ (i +1)của R n+1 và các tập hợp đóng F 0 ,F 1 , ,F n trong n thỏa mãn điều kiện: với mọi tập con khác rỗng J {0, 1, ,n},tacóconv({e j : j J}) {F j : j J}. Khi đó n j=0 F j = . ĐiềuthúvịlàBổđềKKMđợc chứng minh dựa trên một kết quả của Sperner năm 1928 ([35, trang 67]) về phép tam giác phân một đơn hình, thuộc lĩnh vực toán học tổ hợp, một lĩnh vực tởng chừng nh không liên quan gì đến lý thuyết điểm bất động. Mặc dù Bổ đề KKM rất quan trọng, vì nó cho ta một chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer (xem Định lý 1.1.3), nhng lại hạn chế do chỉ áp dụng đợc cho các không gian vectơ hữu hạn chiều. Để khắc phục điều này, năm 1961, nhà toán học nổi tiếng Ky Fan đã mở rộng Bổ đề KKM cho trờng hợp không gian vectơ tôpô Hausdorff. Định lý của Ky Fan ngày nay đợc gọi là Nguyên lý ánh xạ K KM. Sau đây chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM bằng cách sử dụng Bổ đề KKM. Điều thú vị và ngạc nhiên là Nguyên lý ánh xạ KKM vẫn còn đúng khi không gian nền không cần tính tách. Theo nh tác giả đợc biết thì ý tởng chứng 1 Trong [35], các tác giả phát biểu cho đơn hình S bất kỳ trong R n , ở đây ta chỉ sử dụng đơn hình tiêu chuẩn n trong R n . 3 minh định lý sau đây gần gũi với ý tởng của Horvath và Llinares Ciscar (1996) khi họ chứng minh nguyên lý ánh xạ KKM cho nửa dàn tôpô [17], tuy nhiên bản thân tác giả không hề biết phép chứng minh này. Định lý 1.1.2 (Nguyên lý ánh xạ KKM). Cho C là một tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X, F : C 2 X là một ánh xạ KKM, nghĩa là với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong C ta có conv(A) {F (x):x A}. Giả sử rằng F (x) là tập đóng trong X với mọi x C. Khi đó với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong C,tacó xA F (x) = . Chứng minh. Xét A = {a 0 ,a 1 , ,a n } là tập con hữu hạn khác rỗng trong C, ta chứng minh n j=0 F (a j ) = . Xét ánh xạ A : n X cho bởi, với x = n i=0 i (x)e i n , i (x) 0,i= 0, 1, ,n, n i=0 i (x)=1,thì A (x)= n i=0 i (x)a i . Với i =0, 1, ,n,taxétánhxạp i : n R cho bởi, với x = n i=0 i e i n , i 0,i =0, 1, ,n, n i=0 i =1,thìp i (x)= i .Rõràng các ánh xạ p i là liên tục. Với i =0, 1, ,n,taxétánhxạf i : R X cho bởi f i ()=a i với mọi R.VìX là không gian vectơ tôpô nên f i là ánh xạ liên tục. Từ đó, vì A = n i=0 f i p i nên A : n X là ánh xạ liên tục. Ta chứng minh với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, ,n} thì A (conv({e j : j J})) conv({a j : j J}). Thật vậy, với x = jJ j (x)e j conv({e j : j J}), j (x) 0 với mọi j J, jJ j (x)=1,thì A (x)= jJ j (x)a j .Dođó A (x) conv({a j : j J}). 4 Vì x conv({e j : j J}) là tuỳ ý nên A (conv({e j : j J})) conv({a j : j J}). (1.1) Vì F : C 2 X là một ánh xạ KKM nên conv({a j : j J}) {F (a j ):j J}. Kết hợp với (1.1), ta có A (conv({e j : j J})) {F (a j ):j J}. Suy ra conv({e j : j J}) 1 A ( {F (a j ):j J})= { 1 A (F (a j )) : j J}. (1.2) Đặt F j = 1 A (F (a j )),j =0, 1, ,n. Khi đó theo (1.2), với mọi tập con khác rỗng J {0, 1, ,n},tacóconv({e j : j J}) {F j : j J}. Vì ánh xạ A : n X là liên tục và các tập F (a 0 ),F(a 1 ), ,F(a n ) là đóng trong X nên các tập F j = 1 A (F (a j )) là đóng trong n . Khi đó, theo BổđềKKM(Địnhlý1.1.1) n j=0 F j = . Nghĩa là n j=0 1 A (F (a j )) = ,suyra n j=0 F (a j ) = . Vậy Nguyên lý ánh xạ KKM đợc chứng minh. Trong Nguyên lý ánh xạ KKM, ta chỉ khẳng định xA F (x) = với mọi A hữu hạn trong C. Tính chất này thờng đợc phát biểu là họ {F (x):x C} có tính chất giao hữu hạn. Trong [35], các tác giả đã đarađiềukiệnđể xC F (x) = , sau đây tác giả xin đa ra điều kiện có phần tốt hơn. Điều kiện đó là: tồn tại hữu hạn các điểm a 1 ,a 2 , ,a n thuộc C và tập compact K trong không gian vectơ tôpô X để n j=1 F (a j ) K. Thật vậy, ta chứng minh xC F (x) = . Giả sử xC F (x)=.SuyraX = X\ xC F (x)= xC (X\F (x)).VìF(x) là đóng trong X và K X = xC (X\F (x)) nên {X\F (x):x C} là 5 phủmởcủatậpcompactK. Do đó, tồn tại x 1 ,x 2 , ,x k C sao cho K k i=1 (X\F (x i )) = X\ k i=1 F (x i ).TừđótacóK k i=1 F (x i )=. Kết hợp với n j=1 F (a j ) K,tasuyra n j=1 F (a j ) k i=1 F (x i )=. Điều này trái với tính chất giao hữu hạn của họ {F (x):x C}.Vậy xC F (x) = . Một trong những định lý nổi tiếng nhất của Toán học trong thế kỷ trớc là Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động và cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến. Định lý này đợc Brouwer chứng minh năm 1912 dựa vào một công cụ rất sâu sắc của tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục nên khá phức tạp. Vì thế, nhiều nhà toán học đã tìm cách chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer bằng những công cụ đơn giản hơn. Bây giờ ta sẽ chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer từ Bổ đề KKM. Định lý 1.1.3 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer). Cho T : n n là một ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động trong n . 2 Chứng minh. Mỗi điểm x n đợc biểu diễn duy nhất dới dạng x = n i=0 x i e i , với x i 0 với mọi i =0, 1, ,n và n i=0 x i =1. Vì T (x) n nên ta có thể viết T (x)= n i=0 (T (x)) i e i ,với(T (x)) i 0 với mọi i =0, 1, ,n và n i=0 (T (x)) i =1. Với mỗi i =0, 1, ,n,đặt F i = {x n : x i (T (x)) i }. Vì T : n n là á nh xạ liên tục nên các tập F i là đóng trong n . Thật vậy, với i =0, 1, ,n,taxétánhxạp i : n R cho bởi, v ới x = n i=0 i e i n , i 0,i =0, 1, ,n, n i=0 i =1,thìp i (x)= i .Rõ ràng các ánh xạ p i là liên tục. Vì T : n n là ánh xạ liên tục và 2 Trong một số tài liệu, Nguyên lý điểm bất động Brouwer thờng đợc phát biểu là:Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong R n vào chính nó đều có điểm bất động. 6 p i : n R là ánh xạ liên tục nên p i T : n R cũng là ánh xạ liên tục.Chúýrằng,vì(p i T )(x)=(T (x)) i nên các tập F i có thể đợc viết lại nh sau F i = {x n : p i (x) (p i T )(x)}. Vì p i : n R và p i T : n R là các ánh xạ liên tục với mọi i =0, 1, ,n nên các tập F i là đóng trong n với mọi i =0, 1, ,n. Giả sử I {0, 1, ,n} là một tập hợp khác rỗng, ta chứng minh conv({e i : i I}) {F i : i I}. Lấy x conv({e i : i I}) tuỳ ý, khi đó x = n i=0 x i e i với x i 0 với mọi i =0, 1, ,n, n i=0 x i =1và x i =0với mọi i/ I. Ta chứng minh x {F i : i I}.Giảsửx/ F i với mọi i I,suyra x i < (T (x)) i với mọi i I. Khiđótagặpmâuthuẫn 1= n i=0 x i = iI x i < iI (T (x)) i n i=0 (T (x)) i =1. Vậy x {F i : i I}.Vìx conv({e i : i I}) là tuỳ ý nên conv({e i : i I}) {F i : i I}. Theo Bổ đề KKM n i=0 F i = , nghĩa là tồn tại x n i=0 F i . Khi đó x F i với mọi i =0, 1, ,n hay x i (T (x )) i với mọi i =0, 1, ,n. Kết hợp với n i=0 x i =1= n i=0 (T (x )) i ,tasuyra x i =(T(x )) i với mọi i =0, 1, ,n.DođóT (x )=x .VậyT có điểm bất động trong n . Nguyên lý điểm bất động Brouwer có nội dung trực quan rất tự nhiên nh sau. Giả sử có n +1doanh nghiệp cạnh tranh nhau trên một thị trờng, và mỗi điểm x n biểu thị tình thế trong đó doanh nghiệp i chiếm đợc một thị phần bằng x i .Docạnhtranhnêntừmộttìnhthếx n có thể dẫn tới tình thế mới f(x).Đơng nhiên, doanh nghiệp i mong muốn chuyển đến một tình thế f(x) 7 với (f(x)) i >x i . Nguyên lý điểm bất động Brouwer cho biết nếu á nh xạ f liên tục thì bao giờ cũng có một điểm x = f(x ), nghĩa là một tình thế cân bằng mà không doanh nghiệp nào muốn thay đổi để đợc lợi hơn. Chính vì thế mà Nguyên lý điểm bất động Brouwer (cùng với c ác mở rộng của nó) là công cụ xây dựng các lý thuyết cân bằng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Trong chứng minh Bổ đề KKM, tính đóng của các tập F 0 ,F 1 , ,F n là bắt buộc. Một điều bất ngờ lý thú là tính đóng ở đây có thể thay bằng tính mở và việc chứng minh lại dựa chính vào Bổ đề KKM. Định lý 1.1.4. Cho F 0 ,F 1 , ,F n là các tập hợp mở trong n thỏa mãn đ iều kiện: với mọi tập con khác rỗng J {0, 1, ,n},tacó conv({e j : j J}) {F j : j J}. Khi đó n j=0 F j = . Chứng minh. Với mỗi y n i=0 F i ,đặtH y = n i=0 {F i : y F i }. Khi đó y H y và H y là tập hợp mở trong n . Do đó tồn tại tập hợp mở U y trong n sao cho y U y U y H y . Với mọi I {0, 1, ,n},tacó {F i : i I} {U y : y iI F i }. và conv({e i : i I}) {F i : i I}. Suy ra conv({e i : i I}) {U y : y iI F i }. Vì conv({e i : i I}) là tập compact trong R n+1 nên tồn tại tập hữu hạn khác rỗng B I iI F i sao cho conv({e i : i I}) {U y : y B I }. Đặt B = {B I : I {0, 1, ,n}} thì B là tập hữu hạn khác rỗng. Với mỗi i {0, 1, ,n},đặt G i = {U y : y B,U y F i }. 8 Ta chứng tỏ rằng tập G i là xác định. Đặt I = {i},vìB I = nên tồn tại y B I .NgoàiravìB I F i nên y F i . Theo định nghĩa của H y thì H y F i và do đó U y F i .Vìy B I và B I B nên y B.Vậytồntạiy B để U y F i , tức là tập G i xác định. Mà B là tập hữu hạn nên G i là tập hợp đóng trong n . Nếu z G i thì tồn tại y B để y U y F i và z U y H y . Từ định nghĩa của H y ,tasuyraz F i .VậyG i F i . Bây g iờ ta chứng minh conv({e i : i I}) {G i : i I} với mọi tập con khác rỗng I của {0, 1, ,n}. Lấy z conv({e i : i I}) {U y : y B I } thì tồn tại y B I {F i : i I} để z U y .Dođótồntạij I để y F j . Theo định nghĩa của H y thì H y F j ,dođóU y F j . Mặt khác, từ định nghĩa của G j thì U y G j và do đó z U y U y G j hay z G j .Vậytacóz {G i : i I}.Vìz conv({e i : i I}) là tùy ý nên conv({e i : i I}) {G i : i I}. Chú ý rằng, vì các tập G i là đóng trong n nêntheoĐịnhlý1.1.1 n j=0 G j = .TừG j F j với mọi j =0, 1, ,n,tasuyra n j=0 F j = .Địnhlýđợc chứng minh. Định lý 1.1.4 đợc gọi là Bổ đề KKM cho các tập hợp mở. Vận dụng Định lý 1.1.4, ta phát biểu và chứng minh định lý Shih. Định lý 1.1.5 (Định lý Shih). Cho C là một tập hợp lồi khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X và A là một tập con hữu hạn của C.Giảsử F : A 2 C là một ánh xạ KKM và F (x) là tập mở tr ong C với mọi x A. Khi đó xA F (x) = . Chứng minh. Xét A = {a 0 ,a 1 , ,a n } là tập con hữu hạn khác rỗng trong C, ta chứng minh n j=0 F (a j ) = . Xét ánh xạ A : n X cho bởi, với x = n i=0 i (x)e i n , i (x) 0,i= 0, 1, ,n, n i=0 i (x)=1,thì A (x)= n i=0 i (x)a i . 9 [...]... đó cũng là câu trả lời cho giả thuyết Schauder đợc nêu ra năm 1935 32 Chơng 2 Bài toán cân bằng Trong chơng này, chúng tôi giới thiệu về cân bằng Nash và bài toán cân bằng Ngoài ra chúng tôi tìm cách mở rộng bất đẳng thức Ky Fan và bất đẳng thức Minty, góp phần bổ sung cho lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô 2.1 Cân bằng Nash Ta xét một trò chơi không hợp tác giữa n ngời chơi A1 , A2 , , An... i i i ui Ki 33 Kết quả gốc về sự tồn tại điểm cân bằng Nash do Nash chứng minh trong không gian hữu hạn chiều và sử dụng định lý Kakutani (định lý 1.2.17) Sau đây chúng tôi sẽ chứng minh định lý Nash về sự tồn tại điểm cân bằng trong không gian bất kỳ bằng cách sử dụng định lý Browder - Fan (Định lý 1.2.9) Trớc hết, ta cần có kết quả bổ trợ sau đây: Định lý 2.1.2 Giả sử K1, K2, , Kn là các tập lồi... Vậy định lý Shih đợc chứng minh Bằng cách sử dụng định lý Shih, ta có thể chứng minh định lý điểm bất động Fan-Glicksberg (xem [35, trang 91]) Trong mục tiếp theo, ta sẽ chứng minh định lý điểm bất động Fan-Glicksberg bằng cách sử dụng bất đẳng thức Ky Fan và định lý Hahn-Banach Ta nhắc lại một số khái niệm và Bổ đề sau: Định nghĩa 1.1.6 Cho X và Y là hai không gian tôpô và T : X 2Y , khi đó T đợc gọi... Định lý yY xX 1.2.12, tồn tại x0 X sao cho T (x0) S (x0) = Lấy y0 T (x0) S (x0) thì f (x0, y0) < và f (x0, y0 ) > Điều này là vô lý Vậy ta có max min f (x, y) = min max f (x, y) xX yY yY xX Định lý đợc chứng minh Bây giờ, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Ky Fan và định lý Hahn-Banach để chứng minh định lý điểm bất động Fan-Glicksberg Trớc hết, ta nhắc lại một hệ quả của định lý Hahn-Banach Định lý. .. K với j = 1, 2, , n, và do đó T 1(y) là tập mở trong K với mọi y K Theo định lý Browder - Fan (Định lý 1.2.9), tồn tại u K sao cho u T (u), do đó u = (uj , uj ) Sj với mọi j = 1, 2, , n, nghĩa là u Sj với mọi j = 1, 2, , n Vậy n Sj = j=1 Vận dụng Định lý 2.1.2, ta phát biểu và chứng minh định lý Nash về sự tồn tại điểm cân bằng trong trò chơi nhiều ngời Định lý 2.1.3 Cho K1, K2, ... chơng này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Ky Fan để chứng minh định lý điểm bất động Fan-Glicksberg, từ đó suy ra một loạt các định lý điểm bất động khác Định lý điểm bất động sau đây là một hệ quả của Nguyên lý ánh xạ KKM, thờng gọi là định lý Browder - Fan Định lý 1.2.9 Cho C là tập lồi compact khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và ánh xạ T : C 2C thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (i)... ta có conv({ej : j J}) 3 Do tác giả tự đặt 13 {Fj : j J} Khi đó n Fj = j=0 Vận dụng Bổ đề KKM tổng quát, ta phát biểu và chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM tổng quát 4 sau: Định lý 1.1.9 (Nguyên lý ánh xạ KKM tổng quát) Cho C là một tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X, F : C 2X là một ánh xạ KKM Giả sử F (x) là tập đóng trong X (tơng ứng mở) với mọi x C Khi đó với mọi tập hợp hữu hạn... định lý Hahn-Banach) Cho A và B là hai tập hợp lồi khác rỗng rời nhau trong không gian lồi địa phơng X, A là tập compact trong X còn B là đóng trong X, khi đó tồn tại f X và 1, 2 R sao cho Re f (a) < 1 < 2 < Re f (b) với mọi a A và mọi b B Chứng minh định lý, bạn đọc có thể xem ở trong [40, trang 59] 28 Định lý 1.2.16 (Định lý điểm bất động Fan-Glicksberg) Cho C là một tập hợp lồi, compact và khác... Gr(T ) Nh vậy với mọi (a, b) (X ì Y )\ Gr(T ), tồn tại lân cận U của a trong X và lân cận V của b trong Y sao cho U ì V (X ì Y )\ Gr(T ) Do đó (X ì Y )\ Gr(T ) là tập mở trong X ì Y hay Gr(T ) là tập đóng trong X ì Y Vậy T là đóng Kết hợp Định lý 1.1.1 và Định lý 1.1.4, ta có Bổ đề KKM tổng quát 3 sau: Định lý 1.1.8 (Bổ đề KKM tổng quát) Cho F0 , F1, , Fn là các tập hợp đóng trong n (tơng ứng mở)... Hausdorff X nên A = T (x) là compact trong X Ngoài ra, vì x T (x) nên A B = Theo Định lý / 1.2.15, tồn tại f X và R sao cho Re f (a) < < Re f (b) với mọi a A và mọi b B Điều này có nghĩa là Re f (a) < < Re f (x) với mọi a T (x) Dĩ nhiên, hàm f và số thực phụ thuộc vào x C Vì vậy, ta thay nó bằng fx và x Từ đó, ta thu đợc Re fx (a) < x < Re fx(x) với mọi a T (x) (2.14) Với mỗi x C, đặt . phân. Cả hai lý thuyết nêu trên đều rất quan trọng về lý thuyết và ứng dụng, vẫn đang trong quá trình phát triển và hoàn thiện. Có thể nói lý thuyết KKM là một cơ sở lý thuyết cho bài toán cân bằng. . đa trị, Dạng tổng quát nhất của bài toán cân bằng rất gần với bất đẳng thức Ky Fan, vì vậy lý thuyết KKM đóng một vai trò quan trọng khi nghiên cứu bài toán cân bằng, mà một trờng hợp riêng là. . . . . . . . . . . 15 Chơng 2 Bài toán cân bằng 33 2.1 CânbằngNash 33 2.2 Bàitoáncânbằng 38 2.3 Cáckếtquảgầnđây 49 Chơng 3 Bất đẳng thức biến phân 60 3.1 Bàitoánbiếnphâncổđiển 60 3.2 Kết quả