Bất đẳng thức biến phân
3.1 Bài toán biến phân cổ điển
Nhiều vấn đề hình học, cơ học trong các thế kỷ 17, 18 đ−a đến bài toán sau đây: Cho X là một không gian Banach hàm (chẳng hạn C[ka,b]) và J là một
phiếm hàm trên X (chẳng hạn J(x) = b a f(t, x(t), x(t))dt ). Tìm x0 ∈ X sao cho J(x0) = min x∈X J(x). Chúng ta xét các ví dụ sau đây:
a) Mặt tròn xoay có diện tích nhỏ nhất. Trong tất cả các đ−ờng cong x = x(t) nối hai điểm (a, α) và (b, β) cho tr−ớc, hãy tìm đ−ờng nào khi quay xung quanh trục Ot sẽ gây ra mặt tròn xoay có diện tích nhỏ nhất.
Theo công thức tính diện tích mặt tròn xoay:
J(x) = 2π
b
a
x(t)1 +x(t)2dt.
Vậy vấn đề là tìm cực tiểu của tích phân này trên tập các hàm số x = x(t) thoả mãn điều kiện:
x(a) =α, x(b) = β.
b) Đ−ờng đoản thời. Trong mặt phẳng thẳng đứng cho hai điểm A(0,0) và
B(b, β) (b = 0), hãy tìm đ−ờng cong x = x(t) nối hai điểm đó sao cho một chất điểm tr−ợt theo đ−ờng cong ấy d−ới tác dụng trọng lực sẽ đi từ A đến B
trong khoảng thời gian ngắn nhất.
Theo cơ học, thời gian đi từ A đến B là
J(x) = 2π b 0 1 +x(t)2 2gx(t) dt.
Vậy vấn đề là tìm cực tiểu của tích phân này trên tập các hàm số x = x(t) thoả mãn điều kiện:
x(0) = 0, x(b) = β.
Nếu J khả vi và x0 ∈ X thì điều kiện cần của cực trị là J(x0) = 0, và do đó
J(x0), x−x0 = 0 với mọi x ∈ X. (1.1) Chú ý rằng (1.1) còn đúng cho cả điểm cực đại.
Bây giờ giả sử C ⊂ X là tập con khác rỗng và ta xét bài toán cực tiểu trên
C. Vẫn với giả thiết J khả vi trên toàn X và giả sử x0 ∈ ∂C. Khi đó vẫn có khả năng J(x0) = 0 tại điểm cực tiểu x0, nh−ng khi đó đẳng thức (1.1) biến thành bất đẳng thức. Thật vậy, theo định nghĩa của J(x0), ta có
J(x)−J(x0) = J(x0), x−x0+o(x−x0). (1.2) Đặc biệt, với mọi x ∈ C, do x0 là cực tiểu, ta có J(x) J(x0). Do đó từ (1.2), ta có
J(x0), x−x0 0 với mọi x ∈ C. (1.3) (hoặc J(x0), x−x0 0 nếu ta xét bài toán cực đại).
Nếu đặt J(x0) = T(x0), ta sẽ có
T(x0), x−x0 0 với mọi x ∈ C. (1.4) Đây chính là định nghĩa của bài toán biến phân hiện đại.