Một số định nghĩa về xác suất

Một số định nghĩa về xác suất

ĐỀ TÀI:

Một số định nghĩa về xác suất

Trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các câu:

- Khả năng xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa khi tung một đồng tiền là như nhau.

- Khi gieo con xúc xắc, khả năng xuất hiện mặt lẻ nhiều hơn khả năng xuất hiện mặt “lục”.

- Khả năng lấy được sản phẩm của phân xưởng

thứ nhất nhiều hơn, v.v

Trong mỗi câu nói trên chứa đựng một nội dung của xác suất thống kê Để hiểu thêm chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm xác suất để hiểu rõ hơn.

Đặt vấn đề:

Các vấn đề cần giải quyết cho đề tài:

• Để tính khả năng xảy ra của một

biến cố, ta dùng khái niệm “xác suất”.

• Xác suất có nhiều định nghĩa: định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê, định nghĩa theo hình học, xác suất theo tiên đề, …

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

• Xác suất của một biến cố

• Định nghĩa cổ điển về xác suât

• Định nghĩa thống kê về xác suất

• Định nghĩa xác suất theo hình học

• Xác suất theo tiên đề

Xác suất của một biến cố

• Trong cuộc sống hàng ngày,khi nói về biến cố ta thường nói biến cố này có nhiều khả năng xảy ra,biến cố kia ít có khả năng xảy ra,biến cố này

có nhiều khả năng xảy ra hơn biến cố kia.

• Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một số không âm,nhỏ hơn hay bằng 1 gọi là xác suất của biến

cố đó.Xác suất của biến cố A được kí hiệu là P(A).Nó đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố A.

• Xác suất xuất hiện biến cố A là tỷ số giữa số các trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra

và số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử Nếu ký hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, m là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A, n là số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra thì ta có công thức:

Định nghĩa cổ điển về xác suất :

ra xay the

co nang kha

cung hop

truong so

ra

A xay de

loi thuan hop

truong

so )

n

m A

P

Định nghĩa cổ điển về xác suất :

• Cho A1, A2, …, An là nhóm các biến cố đầy đủ

và có cùng khả năng xảy ra Khi đó xác suất

để xảy ra biến cố Ai là:

P(Ai) = 1/n

• Nếu biến cố A nào đó là tổng của m biến cố

thuộc nhóm các biến cố đầy đủ trên thì xác

suất của biến cố A là:

P(A) = m/n

Định nghĩa cổ điển về xác suất :

• Ưu điểm:

o Đơn giản, không cần thực hiện phép thử

o Cung cấp mô hình học thô trong nghiên cứu khoa học

• Nhược điểm: trong thực tế nhiều phép thử

o Vô hạn các biến cố

o Các biến cố không đồng khả năng

• Ví dụ 1: từ 1 hộp có 13 bi đỏ và 7 bi trắng có kích thước như nhau, rút ngẫu nhiên 1 bi.

0 20

13 )

(D  

P

35 ,

0 20

7 )

(T  

P

Định nghĩa cổ điển về xác suất :

• Ví dụ 2: Một bộ bài có 52 quân, rút hú họa 3 quân Tìm xác suất để trong 3 quân rút ra có duy nhất một quân Cơ.

• Giải: Mỗi cách rút 3 quân từ 52 quân là một tổ hợp

chập 3 từ 52 phần tử, do đó số trường hợp cùng khả năng xảy ra là:

Gọi A là biến cố xảy ra một quân Cơ và 2 quân còn lại không là quân Cơ khi rút 3 quân.

Số trường hợp thuận lợi cho A xảy ra là: 

• Vậy:

3 52

C

n 

2 39

0 52

17 25

39 19

13 )

52

2 39

1 13

m A

P

Định nghĩa cổ điển về xác suất :

• Ví dụ 3: Một lô sản phẩm có 10 sàn phẩm,

trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó 3 sản phẩm Tìm xác suất để:

a) Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm

b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm

Định nghĩa cổ điển về xác suất :

• Giải: Gọi A là biến cố “lấy được 3 chính phẩm”

• Số kết quả cùng khả năng xảy ra trong phép thử là:

   Số kết quả thuận lợi cho biến cố A xảy ra là:

Do đó:

• Gọi B là biến cố ” trong ba sản phẩm lấy ra có 2  chính phẩm” số kết quả thuận lợi cho B xảy ra  là:       Do đó: 

120

3

10 

C n

56 )

(B  

P

2 Định nghĩa thống kê về xác suất

a) Định nghĩa tần suất: Tần suất xuất hiện biến

cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong

đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện Nêu ký hiệu phép thử là n, số lần xuất hiện

biến cố A là k, tần suất xuất hiện biến cố A là:

Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết

xác suất.

n

k A

f ( ) 

2 Định nghĩa thống kê về xác suất

• Ví dụ 1: Khi khảo sát ngẫu nhiên 40 sinh viên người ta phát hiện ra 5 sinh viên

giỏi Nếu gọi A là biến cố “xuất hiện sinh viên giỏi” thì tần suất xuất hiện sinh viên giỏi trong số 40 SV được khảo sát là: 

8

140

5)

f

2 Định nghĩa thống kê về xác suất

b) Định nghĩa xác suất

• Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất hiện biến cố tiến dần đến một số xác định được gọi là xác suất của biến cố đó Hay nói cách khác, xác suất là giới hạn của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn:

n

k A

P

n 

lim )

(

2 Định nghĩa thống kê về xác suất

• Ưu điểm: Không đòi hỏi những điều kiện áp dụng như đối với những định nghĩa cổ điển

Nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố

• Nhược điểm: Trong thực tế không thể tiến

hành vô hạn phép thử, nhưng đối với số phép thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất:

10



 y x

n

k A

P( ) 

Ví dụ:

• Xác suất sinh con trai là 51%

• Xác suất mặt sấp ngửa khi tung đồng xu là ½

• Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào bia Có xấp

xỉ 50 viên trúng bia Khi đó xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 50/1000=5%

2 Định nghĩa thống kê về xác suất

3 Định nghĩa xác suất theo hình học:

• Giả sử một điểm được rơi ngẫu nhiên vào một

miền D, A là một mền con của D Khi đó xác suất

để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A được xác

định bởi công thức:

• Trong đó sd(A), sd(D) là số đo của miền A, D (có thể là độ dài, diện tích hay thể tích tùy thuộc vào miền xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều theo từng bài toán cụ thể).

) (

)

( )

(

D sd

A

sd A

3 Định nghĩa xác suất theo hình học:

• Ví dụ: “Bài toán gặp gỡ”

Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm đã định trước trong khoảng thời gian từ 19 đến 20 giờ Hai người đến chổ hẹn độc lập với nhau và qui ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi người đến sau 10 phút, nếu không gặp thì sẽ đi Tính xác suất để hai người có thể gặp nhau?

3 Định nghĩa xác suất theo hình học:

Giải:

• Gọi A là biến cố hai người gặp nhau.

• Gọi x là số phút tại thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn: 0 ≤

x ≤ 60.

• Gọi y là số phút lúc người thứ hai đến điểm hẹn:

0 ≤ y ≤ 60 Nếu ta biểu diễn số phút x theo trục hoành và số phút y theo trục tung.

• Như vậy số phút lúc đến của cả hai người được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (x, y) nằm trong hình vuông có cạnh là 60 (ta lấy phút làm đơn vị) Đó chính là miền D.

D = {(x,y): 0 ≤x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}

3 Định nghĩa xác suất theo hình học:

• Để hai người gặp nhau thì số phút lúc đến x,y của mỗi người phải thỏa mãn điều kiện:

0 36

11 60

50

60 )

(

)

( )

2 2

A

S A

P

• Xác suất P của biến cố E nào đó, ký hiệu P(E) ,

được xác định trong một "vũ trụ" hoặc không gian

mẫu gồm mọi biến cố sơ cấp (elementary event)

sao cho P phải thỏa mãn các tiên đề

Kolmogorov.

• Theo một cách khác, một xác suất có thể được hiểu là một độ đo trên một σ-đại số của các tập đại số của các tập con của không gian mẫu, với các tập con đó là các biến cố, sao cho độ đo của tập bao trùm bằng 1

Tính chất này rất quan trọng, do từ nó mà có được khái niệm tự nhiên về xác suất điều kiện

Mọi tập với xác suất khác 0 (nghĩa là P(A)> 0 )

xác định một xác suất khác

trên không gian Biểu diễn trên thường được

đọc là "xác suất của B nếu có A" Nếu xác suất điều kiện của B nếu có A bằng xác suất của B, thì

A và B được coi là độc lập.

Xác suất theo tiên đề

• Trong trường hợp không gian mẫu là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, một hàm xác suất còn có thể được xác định bởi các giá trị của nó trên tập biến cố sơ cấp {e1},

{e2},…

trong đó Ω={e1,e2,…}

Xác suất theo tiên đề

• Các tiên đề Kolmogorov

Ba tiên đề sau được gọi là các tiên đề Kolmogorov, đặt theo tên nhà toán học Andrey Kolmogorov, người đã xây dựng chúng Ta có

một tập Ω, một σ-đại số của các tập đại số F của các tập con của Ω,

và một hàm P ánh xạ mỗi thành viên của F tới một giá trị là số thực Các thành viên của F, nghĩa

là các tập con của Ω, được gọi là các "biến cố"

Xác suất theo tiên đề

Tiên đề thứ hai

• Nghĩa là, xác suất một biến cố sơ cấp nào đó trong tập mẫu sẽ xảy ra là 1 Cụ thể hơn, không có biến

cố sơ cấp nào nằm ngoài tập mẫu.

• Điều này thường bị bỏ qua trong một số nhầm lẫn trong tính toán xác suất; nếu ta không thể định

nghĩa chính xác toàn bộ tập mẫu thì cũng sẽ không thể định nghĩa xác suất của tập con bất kỳ.

Xác suất theo tiên đề

Tiên đề thứ ba

• Một chuỗi đếm được bất kỳ gồm các biến cố đôi

một không giao E1 ,E2,…nhau thỏa mãn

• Nghĩa là, xác suất của một tập biến cố là hợp của các tập con không giao nhau bằng tổng các xác

suất của các tập con đó Đó gọi là σ-đại số của các tập cộng tính (σ-đại số của các tập additivity) Quan hệ này không đúng nếu có hai tập con giao nhau.

Xác suất theo tiên đề

Tính chất:

• Từ các tiên đề Kolmogorov, ta có thể rút ra các quy tắc 

hữu ích khác cho việc tính toán các xác suất:

• Đó là quy tắc cộng xác suất. Nghĩa là, xác suất A hoặc B sẽ  xảy ra bằng tổng xác suất A sẽ xảy ra với xác suất B sẽ xảy 

) ( )

( )

(A B P A P B P A B

)(1

)( E P E

P    

• Sử dụng xác suất điều kiện, ta có

• Nghĩa là, xác suất A và B sẽ xảy ra bằng xác suất A sẽ xảy ra nhân với xác suất B sẽ xảy ra nếu A đã xảy ra Quan hệ này dẫn tới Định lý Bayes Từ đó ta có: A và B độc lập khi và chỉ

khi

Xác suất theo tiên đề

)

\ ( ).

( )

( A B P A P B A

P  

)()

()

(A B P A P B

P  

• Các nội dung đặt ra đã được giải quyết

• Ý nghĩa của việc thực hiện chuyên đề:

Xác suất thống kê là môn học ngày càng có

nhiều ứng dụng trong thực tế vì vậy việc hiểu rõ các khái niệm liên quan đến xác suất thực sự rất quan trọng để đặt tiền đề cho tìm hiểu về môn học này

KẾT LUẬN VẤN ĐỀ

Tài liệu tham khảo

• chuong-1-nhung-khai-niem-co-ban-ve-xac-

Cám ơn thầy đã theo dõi