Các phương pháp tính Tích phân - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P3

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - <2> TÍCH PHÂN TNG PHN a. Công thc: . bb aa b udv u v vdu a   b. Các dng bài tp DNG 1:   ( ).ln ( ) b a P x f x dx  (P x là đa thc) Cách gii: t   ln ( ) () f x u P x dx dv        BÀI TP MU: Tính tích phân <1> I = 1 2 1 1 1 ln ln ln 2 e e e x x x dx dx dx x x x     . t ln 1 2 xu dx dv x         1 dx du x vx         I= 11 11 .ln 2 (2 2) 2 11 ee ee x x x dx e dx e x e e e x x            . <2> HKD 2010 I = 1 3 2 .ln . e x xdx x      . t ln 3 2 xu x dx dv x            2 1 3ln dx du x v x x        I = (x 2 -3lnx). ln 1 e x - 2 2 1 1 1 3ln 3 3 ln (ln ) e e e xx dx e xdx xd x x         = 2 2 2 2 22 3ln 1 3 3 3 1 11 2 2 2 2 2 2 ee x x e e ee           <3> HKB 2009 I = 3 2 1 3 ln ( 1) x dx x    . t 2 3 ln 1 ( 1) xu dx dv x          1 1 1 dx du x v x            I = 33 11 3 3 3 3 ln 3 3 ln3 1 1 3 ln3 ln ln 1 1 1 1 1 ( 1) 2 4 1 4 x dx dx x x x x x x x                     = 1 27 3 ln 4 16     . BÀI 8. CÁC PHNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHN 3) ÁP ÁN BÀI TP T LUYN Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Bài 8. Các phng pháp tính tích phân (phn 3) thuc khóa hc Toán 12 ậ Thy Lê Bá Trn Phng ti website Hocmai.vn giúp các Bn kim tra, cng c li các kin thc đc giáo viên truyn đt trong bài ging Bài 8. Các phng pháp tính tích phân (phn 3)  s dng hiu qu, Bn cn hc trc Bài ging sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này. Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - <4> HKD 2008 I = 2 3 1 ln x dx x  t 3 ln 1 xu dx dv x         2 1 1 2 dx du x v x           I = 2 2 3 2 1 23 1 1 1 1 1 .ln ln2 11 2 2 8 4 x dx x x x       <5> HKD 2004 I = 3 2 2 ln( )x x dx  . t 2 ln( )x x u dx dv       2 21x dx du xx vx          I = 3 3 3 2 1 2 2 3 2 1 2( 1) 1 1 .ln( ) 3ln6 2ln2 3ln6 ln4 2 2 1 1 1 xx x x x dx dx dx x x x                      = 33 3ln6 ln4 2 ln 1 22 xx     . <6> HKB 2007 I = 32 1 .ln e x xdx  . t 2 3 ln xu x dx dv         4 1 2.ln . 4 x dx du x x v          44 23 1 11 .ln .ln 1 4 2 4 2 e e xe I x x xdx J J      t 3 ln xu x dx dv       4 1 4 dx du x x v           J= 4 4 4 4 4 4 3 11 1 1 1 3 1 .ln . . 11 4 4 4 4 4 4 4 16 ee ee x x e e x e x dx x dx x         4 4 4 1 3 1 4 2 4 32 e e e IJ      . <7> I = 1 2 2 0 .ln( 1 ) 1 x x x dx x    . t 2 2 ln( 1 ) 1 x x u x dx dv x            2 2 1 1 dx du x vx          I = 1 2 2 2 2 0 11 1 .ln( 1 ) 1 2.ln(1 2) 2.ln(1 2) 1 00 1 dx x x x x x x              . <8> I = 9 4 ln( )xx dx x   . t ln( ) 1 x x u dx dv x         1 1 2 21 2 ( ) 2 x x dx du dx du xx x x x vx               Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - 99 44 9 2 1 2 1 2 .ln( ) 2 . 6ln6 4ln 2 4 2 ( ) xx I x x x x dx dx x x x x x J          t t = x  x = t 2 , dx = 2tdt x 4 9 t 2 3 J= 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2( 1) 1 1 .2 2 2 2 2 1 1 1 t t t t dt dt dt dt t t t t t                    = 2 33 2 ln 1 2(2 ln2) 4 2ln 2. 22 tt          Vy I = 6ln6 - 4ln2 ậ 4 - 2ln2 = 6ln6 - 6ln2 ậ 4 = 6ln3- 4. <9> I = 1 2 0 ln( 1)x x x dx  . t 2 ln( 1)x x u xdx dv         2 2 21 1 2 x dx du xx x v            I = 11 2 3 2 2 22 00 1 1 2 1 1 1 ln( 1) ln3 2 1 0 2 2 1 2 2 1 x x x x x x dx x dx x x x x                 I = 11 2 2 2 00 13 (2 1) 1 1 1 1 1 2 1 3 22 ln3 2 1 ln3 2 1 . 2 2 1 2 2 2 1 2( 1) x x x dx x dx x x x x x x                          11 2 2 22 00 1 1 1 1 ( 1) 3 3 3 ln3 ( ) ln3 0 2 2 4 1 4 1 4 4 d x x dx I x x J x x x x J              J = 1 2 2 0 13 22 dx x         . t x+ 2 1 3 3 1 tan , , . 2 2 2 2 2 os t t dx dt ct          x 0 1 t 6  3  J = 3 6 2 3 3 39 dx      . Vy I= 33 ln3 4 12   . <10> I = 3 2 2 1 ln 1x dx x   . t 2 2 ln 1 1 xu dx dv x         2 1 1 x dx du x v x            33 2 22 11 11 3 ln 1 ln 2 ln 2 11 3 1 dx dx Ix x x x J          Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - t x 2 1 tan , , 2 2 os t t dx dt ct          x 1 3 t 4  3  J = 3 4 3 12 4 dt t        . Vy I = 1 ln 2 ln 2 12 3   . <11> I = 11 32 22 22 22 2 1 2 .ln( 1) 2 1 .ln( 1) 11 ee x x x x dx x x dx xx             = 11 22 2 22 12 2 (2 1).ln( 1) .ln( 1) 1 ee x x x dx x dx x II        * Tính I 1 : t 2 ln( 1) (2 1) xu x dx dv       2 2 2 1 x dx du x v x x         11 22 22 2 22 1 2 ( ) 2 ( ).ln( 1) 1 1 11 2 ee e x x x x I x x x dx e e dx xx               = 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2ln 1 1 2 e e e e x dx e e x x x x                        = 11 1 2 2 2 2ln 21 e e       . Tính I 2 11 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 .ln( 1) ln( 1) ln( 1) ln ( 1) 1 2 2 2 ee e x I x dx x d x x x             . Vy I = I 1 +I 2 = 5 1 1 1 2 2 2ln 2 21 e e       <12> 2 22 11 ln ln 2 ee xx I dx dx xx   . t 2 ln 1 xu dx dv x         1 1 dx du x v x           I = 2 1 2 2 2 4 ln 2 2 11 e ee dx x x x e x e        . <13> I = 11 4 2 4 2 2 11 33 ln(3 ) 2ln ) ln(3 ) ln )x x x dx x x x dx               . = 11 42 2 2 11 33 3 ln (3 1) xx dx x dx x    . <14> Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - I = 3 2 6 ln(sinx) os dx cx    . t 2 ln(sinx) 1 os u dx dv cx         cos sinx tan x x dx du v        I = 33 66 cos 3 1 1 3 1 1 3 tan x.ln(sin x) tan x. . 3.ln ln 3.ln ln . sinx 2 2 2 2 6 33 6 x dx dx              <15> HKA 2012 I = 3 2 1 1 ln( 1)x dx x   . t 2 1 ln( 1) 1 xu dx dv x           1 1 1 dx du x v x            I =   33 11 33 1 2 ln 2 1 1 2 ln2 1 ln( 1) ln 11 ( 1) 3 1 3 1 dx x x dx x x x x x x                   22 ln3 ln 2 33    . DNG 2: f ( ) f ( ) e () a x b x a P x dx      Cách gii: t f ( ) f ( ) () e a x x p x u dx dv            Bài tp mu: Tính tích phân 1. HKD 2006: I = 1 0 ( 2). x x e dx  . t x 2 e x x u dx du e dx dv v         I = (x-2). 1 xx 0 1 ee 0 dx  x 1 2e 0 e     = 21ee    = 3-2e. 2. I = 1 22 0 (4 2 1). x x x e dx    . t 2 -2x 2 (8 2) 4 2 1 1 e 2 x x dx du x x u v e dx dv                  1 2 -2x 2 0 1 1 (4 2 1) e (4 1). 0 2 x I x x x e dx J            = 2 1 2e  - 1 2 +J t 2 2 4 41 1 2 x x dx du xu ve e dx dv                I = 1 22 0 1 1 .(4 1) 2 0 2 xx e x e dx     = 2 31 22e   . Vy I = 2 11 22 J e   = 2 2 2 1 1 3 1 2 1 2 2 2 2 2e e e       3. I = 1 2 0 ( 2 ).3 x x x dx    . t 2 (2 2) 2 3 3 ln3 x x x dx du x x u v dx dv                 Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - I = 1 2 0 1 3 1 1 1 ( 2 ). (2 2).3 . 0 ln3 ln3 ln3 ln3 x x x x x dx J             = 2 31 22e   . t 2 (2 2) 3 3 ln3 x x dx du xu dx dv v                I = 1 2 0 11 3 2 4 2 2 3 .( 2 ) 3 . 00 ln3 ln3 3ln3 ln3 ln3 ln3 xx x x x dx               = 2 2 2 4 2 2 2 2 4 3ln3 ln3 3ln 3 ln 3 3ln3 3ln 3       . Vy I = 2 1 1 2 4 ln3 ln3 3ln3 3ln 3      . 4. I = 1 1 1 2 2 2 0 0 0 (1 ) (1 ) 1 (1 ) x x x x x x xe xe e e e e dx dx dx x x x x               = 11 2 00 1 (1 ) xx ee dx dx xx    Tính J= 1 2 0 (1 ) x e dx x  . t x 2 e 1 1 (1 ) 1 x eu dx du dx dv v x x                J = 11 00 1 11 . . 1 0 1 1 2 1 x xx ee e e dx dx x x x           I = 11 00 11 1 2 1 2 xx e e e e dx dx xx            5. I = 1 1 1 1 ln . .ln e e e x xx x x e e dx dx e xdx xx      . Tính 1 e x e J dx x   . t x x e e 1 ln u dx du vx dx dv x              J= 1 .ln .ln 1 e xx e e x e xdx  Vy I= 1 .ln .ln 1 e xx e e x e xdx  + 1 .ln e x e xdx  = e .ln e 1 x e ex . 6. I = 2 2 2 0 0 0 (1 sin ) .sin 1 os 1 os 1 os x x x x e e e x dx dx dx c x c x c x            Tính J = 2 0 1 os x e dx cx    . t x x 2 e e 1 tan 1 os 2 os 2 2 u dx du dx x dx dv v x cx c                 J = 2 2 2 22 2 0 0 0 sin 2.sin . os 2 2 2 .tan .tan . . 2 22 os 2 os 0 22 x x x x x x x c xx e e dx e e dx e e dx xx cc              Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - = 2 2 0 .sin 1 cos x ex e dx x      . Vy I = 22 22 00 .sin .sin . 1 cos 1 cos xx e x e x e dx dx e xx        Cách khác: t x 1 sin 1 os e x u cx dx dv          7. I = 4 2 0 sin x dx x   . t 2 1 cot sin xu dx du vx dx dv x             8. I = 23 3 3 3 2 3 3 0 0 0 .sin .sin 1 .sin sin2 . os 2sin . os 2 os x x x x x x dx dx dx xc x xc x c x        . t 32 sinx 1 os 2cos x u dx du dx dv v c x x         9. I = 4 4 4 22 0 0 0 2 1 2 1 1 2 1 1 os2 2 os 2 os x x x dx dx dx c x c x c x            . t 2 21 2 1 tan x os xu dx du v dx dv cx             I = 44 00 sin (cos ) (2 1)tanx 2 1 4 cos 2 cos 0 x d x x dx xx          = ln 2 1 ln cos 1 4 2 2 2 0 x        . 10. I = 2 0 ( 2).sin2x xdx    . t 2 1 sin2 os2x 2 dx du xu xdx dv vc             . 11. I = 4 0 ( 1). osx c xdx    . t 1 cos sinx x u dx du xdx dv v         12. I = 0 .sin3x xdx   . t sin3 xu xdx dv      13. I = 3 1 os(ln ) e c x dx   . t 1 os(ln ) .sin(ln ) c x u x dx du x dx dv vx              14. I = 6 1 sin(ln ) e x dx   . t 1 sin(ln ) . os(ln ) xu c x dx du x dx dv vx             DNG 3: ( ). (sinx,cos ) b a P x R x dx  . Cách gii: t () (sinx,cos ) P x u R x dx dv      Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 - 1. I = 2 3 4 . os sin xc x dx x    . t 32 os 1 sin 2sin x u dx du cx dx dv v xx           I = 2 22 4 1 1 1 1 1 22 .x ( cot ) (0 1) 2sin 2 sin 4 4 2 2 2 44 dx x xx                 . 2. I = 3 2 3 .sin os xx dx cx     . t 2 sin 1 os os x u dx du x dx dv v c x c x         3. I = 2 22 0 0 0 0 1 1 sin 2 (sin os ) os ( ) 2 os( ) 2 2 2 4 24 x x xdx xdx dx dx x x x x x cc c                    . t 2 1 tan( ) os ( ) 24 24 xu dx du x dx dv v x c                  I = 00 os sin 24 24 x.tan 2 0 24 os os 2 4 2 4 x x dc x dx xx cc                                          = 2ln os . 0 24 x c          22 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 12 sin (1 os ) 4. .tan . os os os os x x c x x x I x xdx x dx dx x dx dx xdx c x c x c x c x II                        Tính I 1 2 1 tan os xu dx du vx dx dv cx              I 1 = 44 00 sin x ( osx) 2 x.tanx ln cos ln 44 cos 4 cos 4 4 2 00 dc dx x xx              Tính I 2 I 2 = 2 4 2 32 0 x    Vy I = I 1 -I 2 = 2 ln 42   - 32  = 72 ln 32 2   . 2 2 2 2 2 0 0 0 0 12 1 os2 1 5. . os . . os2 22 cx I xc xdx x dx xdx xc xdx II                      Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 9 - Tính I 1 : I 1 = 2 2 28 0 x    . Tính I 2 : t 1 os2 sin2 2 dx du xu c xdx dv vx              I 2 =   2 0 1 1 1 1 x.sin2x sin2 os2 1 1 22 2 2 4 4 2 00 xdx c x            . Vy I = 1 2 [I 1 +I 2 ]= 1 2 [ 1 82   ]= 4 16   . 2 2 2 2 2 0 0 0 0 12 1 os2 1 6. (2 1).sin (2 1). (2 1) (2 1). os2 22 cx I x xdx x dx x dx x c xdx II                          Tính I 1 : I 1 = 2 () 2 4 2 4 0 xx          . Tính I 2 : t 2 21 1 os2 sin2 2 dx du xu c xdx dv vx              I 2 =   2 0 1 1 1 (2 1). .sin2x sin2 os2 1 1 1 22 2 2 2 00 x xdx c x            . Vy I = 1 2 [I 1 -I 2 ]= 1 2 [ 1 4    ]. 7. HKD 2012 4 4 4 12 0 0 0 (1 sin2 ) .sin 2 .I x x dx xdx x xdx I I             Tính I 1 : I 1 = 22 4 2 32 0 x    . Tính I 2 : t 1 sin2 os2 2 dx du xu xdx dv v c x               I 2 = 44 00 1 1 1 1 1 x.cos2x os2 os2 sin2 . 44 2 2 2 4 4 00 c xdx c xdx x         Vy I = 1 2 [I 1 +I 2 ]= 1 2 [ 1 82   ]= 4 16   . Do đó I = I 1 +I 2 = 2 1 32 4   . Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - 8. HKB 2011 3 3 3 2 2 2 0 0 0 12 1 .sin 1 .sin os os os x x x x I dx dx dx c x c x c x II           Tính I 1 : I 1 = tanx 3 3 0   . Tính I 2 : t 2 sin 1 os os x u dx du x dx dv v c x c x          I 2 = 3 3 3 22 0 0 0 1 1 2 cosx 2 (sinx) . 3 cosx cosx 3 1 sin 3 1 sin 0 d x dx dx xx               = 3 0 2 1 1 1 2 1 1 (sinx)= ln 1 sinx ln 1 sinx 33 3 2 1 sin 1 sin 3 2 2 00 d xx               = 2 ln(2 3) 3   . Vy I = 2 3 ln(2 3) 3     . 0 0 0 22 33 1 1 1 12 9. ( 1) . 1 xx I x e x dx xe dx x x dx II             Tính I 1 : t 2 2 1 2 x x dx du xu ve e dx dv              I 1 = 0 2 22 2 2 2 2 1 00 1 1 1 1 1 1 1 3 1 x. . 11 2 2 2 2 4 2 4 4 4 4 x xx e e e dx e e e e               . Tính I 2 : t 3 1xt  x+1=t 3 , dx=3t 2 dt x -1 0 t 0 1 I 2 = 11 74 3 2 6 3 00 11 1 1 9 ( 1). .3 3 ( ) 3 3 00 7 4 7 4 28 tt t t t dt t t dt                 . Vy I= I 1 + I 2 = 22 3 1 9 3 4 4 4 28 4 7ee     . 3 22 1 1 1 1 12 1 1 1 10. ln ln ln ln e e e e x I xdx x xdx x xdx xdx x x x II              Tính I 1 : t 23 1 ln 3 dx du xu x x dx dv x v               [...]... dt dv du v e t n: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang | 12 - Khóa h c Toán 12 I =2 Th y Lê Bá Tr 1 1 t e t 03 Nguyên hàm - Tích phân e t dt 0 2 e 1 e 1 t 2 1 0 0 2 e e2 x.ln 2 xdx 3 x t = t2 , dx = 2tdt t 1 x t e2 e 1 1 e 2 2 I = t.ln t.2t dt 2 t 8 t ln t dt 1 I= 2 e 1 ln t u t 2 dt dv 1 2.ln t dt t 3 t v 3 du 40e3 16 27 4 4 I = 0 x tan x.ln(cos x) dx cosx 0 4 sin x.ln(cos x) dx cos 2 x 0 -sinx dx = dt 4 t 1 1 I=... x dx 0 x 1 ln x V y I= ) sin( x 4 Tính I2 : I2 = 4 ) 4 dx 0 cos( x ) 4 4 1 (x-1).tan(x- ) 4 2 4 0 1= = 03 Nguyên hàm - Tích phân 5 2 2 2e 3 3 b ef ( x) R(sinx, cos x)dx D NG 4 a Cách gi t e f ( x) u R(s inx, cos x)dx dv BÀI T P M U : Tính tích phân e3 x sin 5 xdx 1 I= 3e3 xdx du 1 v cos5x 5 3x 2 e u sin 5xdx dv t 0 2 2 ecos x sin 2 xdx 1 I = ecos x 2sin x.cos xdx 0 -sinxdx = dt 0 x 0 t 1 2 0 1 2 et... (s inx cosx) 2 0 4 cos2 x dx (s inx cosx) 2 0 I1 4 Tính I1 : I1= 0 Hocmai.vn x 1 [ 2cos( x dx 2 4 )] x 1 14 2 0 cos 2 ( x ng chung c a h c trò Vi t I2 T ng n: 1900 5 8-5 8-1 2 dx 4 ) - Trang | 11 - Khóa h c Toán 12 Th y Lê Bá Tr x 1 u 1 t cos 2 ( x 1 2 dx du dx dv 4 v tan( x ) 1 ln cos( x 1 2 ) 4 4 0 4 cos2 x dx (s inx cosx)2 0 14 I Tính I1 t 1 ln x Tính I2 : t t cos2 x dx 1 sin 2 x 0 I2 x2 dx dv V y...Khóa h c Toán 12 Th y Lê Bá Tr 03 Nguyên hàm - Tích phân e 1e 2 1 3 e3 x3 e e3 I1 = x ln x x dx 1 31 3 3 9 1 3 Tính I2 : e e 1 ln 2 x e 1 ln xdx ln xd (ln x) I2 2 1 2 x 1 1 1+I2= 2 ( x sin 2 x) cos xdx 2 sin 2 x.cos xdx x cos xdx 0 0 0 I1 Tính I1 : I2 x u 2 dx du cosxdx dv t 2e3 1 9 1 9 2e 3 1 1 + 9 2 2 11 I e3 9 v sin x 2 1= x.sinx 2 0 sin 3 x 2 3 0 2 Tính I2 : I2 = sin 2 x.cos... sin 2 xd (sin x ) 0 0 1 2 -1 + = 3 2 3 2 e 1 e 1 x 1 1 ln( x 1) x.ln( x 1) dx dx x 1 x 1 0 0 sin xdx 0 cosx 2 0 2 2 1 1 3 V y I = I1+I2= 12 I e 1 = e 1 ln( x 1) dx 0 0 Tính I1 : 1= dx du x 1 v x e 1 e 1 0 e 1 x x 1 0 = e 1 [x ln( x 1)] e 1 0 dx ln( x 1) d ln( x 1) e 1 e 1 1 0 1 x 1 dx ln 2 ( x 1) e 1 1 0 2 2 1 2 2 4 13 I 1 2 x 1 1 dx x 1 1 0 V y I = I1-I2= 1- e 1 0 e 1 Tính I2 : I2 = 0 ln( x 1)... t2 1 I = ln t t 1 2 2 ln t u t 1 dt dv t2 1 2 2 1 dt t2 2 2 2 2 1 dt t v ln 2 1 t du 1 t 1 2 2 2 1 2 ln 2 2 Giáo viên: Lê Bá Tr Ngu n: Hocmai.vn ng chung c a h c trò Vi t T ng n: 1900 5 8-5 8-1 2 Hocmai.vn - Trang | 13 - . hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang | 1 - <2> TÍCH. 8. CÁC PHNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHN 3) ÁP ÁN BÀI TP T LUYN Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Bài 8. Các phng pháp tính tích. Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang | 9 - Tính I 1 :