Khóa luận chuẩn cho sinh viên sư phạm Toán Một số vấn đề cơ bản của chuỗi số

Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận là nêu được các khái niệm, tính chất cơ bản thường dược sử dụng về chuỗi số, đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải các bài tập liê

3.2 Tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng của dãy không cách đều 39 3.3 Tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng của dãy là phân số 47

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích là một trong những ngành quan trọng của Toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống Đó cũng là một bộ môn được áp dụng nhiều trong Toán THCS nhưng với mức độ thấp và chưa được hiểu sâu Trong những vấn đề của giải tích thì vấn đề tổng hữu hạn được áp dụng nhiều trong Toán THCS đặc biệt

là khối 6,7 Hiện nay, tài liệu tham khảo về tổng hữu hạn trong Toán THCS bằng tiếng Việt còn chưa có nhiều và chưa có hệ thống tổng quát Vì vậy, tác giả khóa luận muốn đi tìm hiểu một số vấn đề cơ bản của chuỗi số trong giải tích Qua để tổng hợp và đưa ra cho người đọc một cái nhìn tổng quan về những vấn đề cơ bản của chuỗi số cũng như các dạng toán liên quan đến tổng hữu hạn trong toán THCS

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu khóa luận là nêu được các khái niệm, tính chất cơ bản thường dược sử dụng về chuỗi số, đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải các bài tập liên quan đến sự hội tụ của chuỗi số Đồng thời khóa luận cũng hệ thống được các phương pháp giải các bài toán tính tổng chuỗi số hữu hạn trong Toán THCS

Qua đây tôi hi vọng rằng khóa luận sẽ đem lại cho người đọc nhiều điều bổ ích, giúp các bạn có hứng thú hơn với môn Toán và có thêm kiến thức, tài liệu giảng dạy trong Toán THCS về vấn đề chuỗi số hữu hạn

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các dạng bài tập và các phương pháp giải các bài tập

về chuỗi số, tổng của chuỗi hữu hạn

4 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi đề tài này xoay quanh các kiến thức về chuỗi số trong toán cao cấp và sử dụng tổng chuỗi số hữu hạn trong Toán THCS

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, tham khảo tài liệu, phân tích tài liệu, sắp xếp các nội dung thành hệ thống logic và tham khảo ý kiến các giảng viên hướng dẫn

6 Cấu trúc khóa luận

Nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Lý thuyết cơ bản về chuỗi số

Tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về chuỗi số, các tính chất của chuỗi hội tụ, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu và chuỗi có dấu bất kỳ

Chương 2: Một số phương pháp xét tính hội tụ chuỗi số

Phân loại các phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số gồm có phương pháp sử dụng tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn Raabe, tiêu chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn tích phân Cauchy, tiêu chuẩn Leibniz, tiêu chuẩn Dirichlet, tiêu chuẩn Abel với các ví dụ điển hình minh họa cho từng phương pháp

Chương 3: Một số vấn đề về tổng hữu hạn trong Toán THCS

Phân loại và trình bày các bài toán liên quan đến tổng hữu hạn của chuỗi trong Toán THCS, áp dụng vấn đề tổng chuỗi số trong các bài toán tính tổng hữu hạn mà trong

đó các số hạng của dãy cách đều, không cách đều và các tổng hữu hạn mà trong đó

số hạng là phân số

Khóa luận này được hoàn thành tại khoa Khoa học tự nhiên và công nghệ trường ĐH Thủ đô Hà Nội dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của ThS Nguyễn Thị Hồng Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm khóa luận

Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các Thầy cô giáo trong trường Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt là thầy cô bộ môn toán của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm khóa luận Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và sự hiểu biết còn hạn chế nên trong quá trình viết khóa luận cũng như viết văn bản chắc chắn không tránh được những thiếu xót nhất định Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày… tháng… năm…

Họ và tên sinh viên:

Lê Minh Huyền

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ

1.1 Chuỗi số

Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi số

Cho dãy số u ,u ,u , ,u , 1 2 3 n

Tổng vô hạn u1u2  u3 un  được gọi là chuỗi số và được ký hiệu là

u với n tổng quát được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số

Định nghĩa 1.1.2 Dãy tổng riêng

Đặt Sn  u1 u2 u3   unđược gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số n

Ví dụ 1.1.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số n 1 n 1

Ta có Sn     1 1 1 n. Do đó: n

n

  c) q  1





Lời giải

Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1

Định lý 1.1.1 Tiêu chuẩn Cauchy

Điều kiện để chuỗi số n

n 1

u





 hội tụ là với mọi   cho trước, tìm được số nguyên 0

dương n sao cho khio p q n  ta cóo p q p n

Vậy tồn tại 1

3

  sao cho với mọi số nguyên dương N tồn tại p 2N q N N   sao cho Sp Sq  S2N SN  

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Định lý 1.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ

Gọi S là tổng của chuỗi số hội tụ n

Tính chất hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi khỏi

chuỗi số đó một số hữu hạn các số hạng đầu tiên

Định lý 1.3.1 Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy(S )n bị chặn trên

Ví dụ 1.3.1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau:





Định lý 1.3.2 Tiêu chuẩn so sánh

 là hai chuỗi số dương thỏa mãn un vn với n đủ lớn Khi đó

(i) Nếu chuỗi n

 đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ

(ii) Nếu k = 0 và chuỗi số n

Định lý 1.3.4 Tiêu chuẩn D’Alembert

Suy ra chuỗi n

n 1

n5

1

.n

  với mọi n 1 nên un 1 un với mọi n 1.

Đặc biệt un  u1 e suy ra limun e

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Định lý 1.3.5 Tiêu chuẩn Cauchy

u  với mọi 1 n n , 0 nghĩa là un 1

với mọi n n  0 Do đó unkhông tiến về 0 khi n 

Định lý 1.3.6 Tiêu chuẩn tích phân Cauchy

Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1, ), f(x)  0 và f giảm với x đủ lớn

Ví dụ 1.3.7 Xét sự hội tụ của chuỗi số

n 1

1n

 = ∞ ≠ 0 Suy ra chuỗi đã cho phân kỳ

Nếu  = 0 ,

n

1lim n

 =1 ≠ 0 Suy ra chuỗi đã cho phân kỳ

Định lý 1.3.7 Tiêu chuẩn Raabe

(i) Nếu r < 1 thì chuỗi phân kỳ

(ii) Nếu r > 1 thì chuỗi hội tụ

(iii) Nếu r = 1 thì chưa kết luận được chuỗi hội tụ hay phân kỳ

1.4 Chuỗi đan dấu – chuỗi có dấu bất kì

Định nghĩa 1.4.1 Chuỗi đan dấu

Chuỗi có dạng sau đây được gọi là chuỗi đan dấu:

Định lý 1.4.1 Định lý Leibniz

Nếu dãy  un là một dãy giảm và u dần tới 0 khi n tiến dần ra vô cùng thì chuỗi n

Vậy chuỗi đan dấu hội tụ và có tổng S u  1

 tiến dần tới 0 khi n tiến ra vô cùng và dãy {u }n đơn điệu giảm Suy ra{u }n

hội tụ theo Leibnitz và tổng S u 1 1

Chú ý 1.4.1

Nếu chuỗi (1) thỏa mãn định lý Leibnitz và hội tụ về S thì chuỗi (u1 u2 u3  )

hội tụ về  S

Như vậy nếu các giả thiết của định lý Leibniz được thỏa mãn thì chuỗi đan dấu

1 2 3

    hội tụ và tổng S của nó thỏa mãn S u 1

Định lý 1.4.2 Tiêu chuẩn Abel

Giả sử a là dãy đơn điệu và bị chặn n ak  với mọi n Còn k k

Định lý 1.4.3 Tiêu chuẩn Dirichlet

Giả sử a là dãy đơn điệu giảm về 0 tức là n ak ak 1 và k

k

  Còn b là dãy có tập các tổng riêng bị chặn n b1b2   bn M với mọi n Khi đó:

Theo giả thiết, chuỗi số n

n 1

u





 hội tụ suy ra S'nhội tụ về S’ vàS'n S'với mọi n (2)

Từ (1) và (2) suy ra Sn  ,S' Sn S' với mọi n

Suy ra (S )n và (S )n đều hội tụ

kỳ Tuy nhiên, nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết được n

(n 1)

n n

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI

2.1 Sử dụng tiêu chuẩn so sánh

Nhận xét: Việc sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét chuỗi hội tụ hay phân kỳ ta cần phải nắm vững sự hội tụ hay phân kỳ của các chuỗi số cơ bản để có thể vận dụng linh hoạt khi so sánh ví dụ như:

+ chuỗi điều hòa

n 1

1n

Ví dụ 2.1.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:

n 2

(2n 3)!!

.(2n 2)!!

 là chuỗi điều hòa nên phân kỳ

Theo dấu hiệu so sánh suy ra chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ 2.1.1 Cho chuỗi số sau:

p

n 1

1.3.5 (2n 1)

.2.4.6 2n

Nhận xét: Tiêu chuẩn Cauchy trong chuỗi số dương thường được sử dụng khi ta muốn hạ bậc của các chuỗi số có số mũ cao , giá trị lớn Vì vậy tiêu chuẩn Cauchy thường dùng để chứng minh tính hội tụ của các chuỗi số mà số hạng tổng quát của

nó có dạng lũy thừa bậc cao ví dụ như n , n

Ví dụ 2.2.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số sau: n

2

n 1

btan a

Theo tiêu chuẩn Cauchy ta có:

Chuỗi đã cho hội tụ khi tan a < 1 tức là a <

n 1

u  , với mọi n nên un không dần tới 0 khi n 

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ 2.2.2 Xét sự hội tụ của chuỗi

Ta có

1 1

n ln(1 ) n

n n

n 2

k6

2.3 Sử dụng tiêu chuẩn D’ Alembert

Nhận xét: Tiêu chuẩn D’Alembert thường được sử dụng khi chuỗi số là phân số với

số mũ cao hoặc có tử số, mẫu số là các giai thừa Khi sử dụng tiêu chuẩn D’Alembert phân số sẽ được tối giản và có thể dễ dàng hơn khi xét tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số

Ví dụ 2.3.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số n

n 1

(n!),a R

Nếu   thì 1 n 1

n n

   khi n  Chuỗi số đã cho hội tụ

Vậy chuỗi số đã cho hội tụ khi   , phân kỳ khi 1   1

Ví dụ 2.3.2 Xét sự hội tụ của chuỗi

n 2

n 1

4 (n!)

.(2n)!

Dãy {un} là dãy tăng, un không thể dần tới 0 khi n →∞

Do đó chuỗi đã cho phân kỳ

2.4 Sử dụng tiêu chuẩn Raabe

Nhận xét: Cũng tương tự như tiêu chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn Raabe thường

được sử dụng khi chuỗi số là phân số với số mũ cao hoặc có tử số, mẫu số là các

giai thừa để phân số sẽ được tối giản và có thể dễ dàng hơn khi xét tính hội tụ hay

phân kỳ của chuỗi số

Sử dụng dấu hiệu Raabe ta suy ra chuỗi hội tụ khi a > 1 và phân kỳ khi 0 < a < 1

Trường hợp a = 1 chuỗi sẽ trở thành chuỗi điều hòa phân kỳ

n 1

1

n 1



 



Ví dụ 2.4.2 Cho a là hằng số dương tùy ý và { }bn là dãy số dương hội tụ tới b

           

n

n 1 n

Suy ra theo dấu hiệu Raabe chuỗi hội tụ khi b > a và phân kỳ khi b < a

Trường hợp b = a sự hội tụ của dãy phụ thuộc vào dãy { }bn

Thật vây, nếu { }bn là dãy hằng số thì dãy của ta sẽ là chuỗi điều hòa phân kỳ

Vậy dãy dương {an (n 1) ln(n  1)} đơn điệu giảm và do đó hội tụ

Từ đây ta suy ra được sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát

2 Cho dãy {a } được xác định bởi n a1 a2 1, an 1 an 12 an 1

Ví dụ 2.5.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số sau

n 3

ln n.n

2.6 Sử dụng tiêu chuẩn Leibniz

Nhận xét: Tiêu chuẩn Leibniz được sử dụng cho các chuỗi đan dấu để chứng minh một chuỗi hội tụ hay phân kỳ

Xét bất đẳng thức: 1 a 11 a 1 a 2   n  1 a1 a2   a n

(*) Thật vậy với n = 1 ta có 1 + a1 = 1 + a1

  giảm khi n tăng và dần tới 0 khi n → ∞

Suy ra chuỗi số ấy hội tụ khi n → ∞

2.7 Sử dụng tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel

Ví dụ 2.7.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số

a

n 1

nsin4n



a

a

nsin4n

nsin41

Chuỗi a

n 1

nsin

4n

n đơn điệu giảm khi n tăng và dần tới 0 khi n → ∞

+) Xét chuỗi với các phần tử dương

2 2a

n 1

a

nsin4

nsin41





CHƯƠNG 3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG HỮU HẠN TRONG TOÁN THCS

3.1 Tổng hữu hạn mà các số hạng của dãy cách đều

Ví dụ 3.1.1 Tính B = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99

Lời giải

Cách 1:

Nhận xét: Tổng: 2 + 3 + 4 + + 98 + 99

Cặp số ở giữa là 51 và 50 (vì tổng trên chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau:

B = 1 + (2 + 3 + 4 + + 98 + 99) Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là:

Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng

Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập

3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:

Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát:

Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của

Ví dụ 3.1.5 Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp

Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này

là tích của hai số tự nhiên giống nhau Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1

  (1') Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1)3 ta có:

Ak + (k + 1)3 =

2

k(k 1)2

 Ak+1 =

2

k(k 1)2

(theo kết quả ở trên)

Khi đó S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 được tính tương tự như bài trên, ta có:

= 2n4 n2

Ví dụ 3.2.8 Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1)

Lời giải

Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1:

Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:



Tổng quát hoá ta có:

Sn = 1 + q + q2 + q3 + … + qn (1) Khi đó ta có:

Cách 1: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: (q 1)S = qn+1 – 1

5S = 6 2.6 + (2.623.62) + (3.634.63) + … + (99.699100.699) + 100.61001

= 100.6100 1  (6 + 62 + 63 + … + 699) (*) Đặt S' = 6 + 62 + 63 + … + 699

 Thay vào (*) ta có:

Từ đó suy ra 5S = 100.6100  1  6100 6

5

 = 499.6100 1



Ví dụ 3.2.10 Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?

Lời giải

Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ

số của dãy là: 673189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số

3.3 Tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng là phân số

Nhận xét: Ta thấy các giá trị ở tử không thay đổi và chúng và đúng bằng hiệu hai

mẫu luôn bằng giá trị ở tử thì phân số đó luôn viết được dưới dạng hiệu của hai phân số khác với các mẫu tương ứng) Nên ta có một tổng với các đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn đối nhau (số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau liên tiếp), cứ như vậy các số hạng trong tổng đều được khử liên tiếp, đến khi trong tổng chỉ còn số hạng đầu và số hạng cuối, lúc đó ta thực hiện phép tính sẽ đơn giản hơn

Ví dụ 3.3.2 Tính giá trị của biểu thức C =

Ví dụ 3.3.3 Tính giá trị của biểu thức D = 3 3 3 3

1.3 3.5 5.7    49.51

Lời giải

Ta lại thấy: 31 = 2 ≠ 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên bằng cách nào đó ta

đưa 3 ra ngoài và đưa 2 vào trong thay thế

Suy ra B > 2A thì hiển nhiên B > A

Ví dụ 3.3.6 (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986)

Hãy tính tổng a1 + a2 + a3 + … + a2007

Lời giải

Ta thấy với mọi n N* thì:

2 n

1990 1991

1.2 2.3 3.4   n(n 1)

không phải là số nguyên

8 Chứng minh rằng: S = 12 12 12 1 2 1.

KẾT LUẬN

Khóa luận đã trình bày được những vấn đề sau đây của chuỗi số:

1 Tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về chuỗi số, các tính chất của chuỗi hội

tụ, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu và chuỗi có dấu bất kỳ

2 Phân loại một số phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số gồm có phương pháp sử dụng tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn Raabe, tiêu

chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn tích phân Cauchy, tiêu chuẩn Leibniz, tiêu chuẩn Dirichlet, tiêu chuẩn Abel với các ví dụ điển hình minh họa cho từng phương pháp

3 Phân loại và trình bày các bài toán liên quan đến tổng hữu hạn của chuỗi trong Toán THCS, áp dụng vấn đề tổng chuỗi số trong các bài toán tính tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng của dãy cách đều, không cách đều và các tổng hữu hạn mà trong đó số hạng là phân số

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Văn Mậu, Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nhà xuất bản Giáo

dục, Hà Nội, 2003

[2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2001

[3] Phan Doãn Thoại – Phạm Thị Bạch Ngọc, Phương pháp giải toán 6 theo chủ

đề (phần số học), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2012

[4] Phan Doãn Thoại – Phạm Thị Bạch Ngọc, Phương pháp giải toán 7 theo chủ

đề (phần số học), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2012

[5] Nguyễn Đình Trí – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp tập

2, Nhà xuất bán giáo dục, Hà Nội, 2011

[6] Nguyễn Đình Trí – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập Toán cao cấp

tập 2, Nhà xuất bán giáo dục, Hà Nội, 2011

[7] Tuyển chọn theo đề chuyên toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục, 2003 [8] W.J.Kaczkor – M.T.Nowak, Bài tập giải tích 1: số thực – dãy số - chuỗi số,

Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm, Hà Nội, 2003

[9] P.E Đankô, A.G Pôpôp, I Ia Côgiepnhicôva, Bài tập toán học cao cấp (Phần

2 bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất bản Mir Maxcơva, Maxcơva, 1983