Khóa luận chuẩn cho sinh viên sư phạm Toán Một số vấn đề cơ bản của chuỗi số

1 MỤC LỤC Trang Chương 1 Lý thuyết cơ bản về chuỗi số 5 1.1. Chuỗi số 5 1.2. Các tính chất của chuỗi hội tụ 8 1.3. Chuỗi số dương 9 1.4. Chuỗi đan dấu – chuỗi có dấu bất kì 11 Chương 2 Một số phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số 19 2.1. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh 19 2.2. Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy 21 2.3. Sử dụng tiêu chuẩn D’Alembert 24 2.4. Sử dụng tiêu chuẩn Raabe 25 2.5. Sử dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy 28 2.6. Sử dụng tiêu chuẩn Leibniz 30 2.7. Sử dụng tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel 33 Chương 3 Một số vấn đề tổng hữu hạn trong toán THCS 36 3.1. Tổng hữu hạn mà các số hạng của dãy cách đều 36 3.2. Tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng của dãy không cách đều 39 3.3. Tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng của dãy là phân số 47 Kết luận 56 2 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích là một trong những ngành quan trọng của Toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống. Đó cũng là một bộ môn được áp dụng nhiều trong Toán THCS nhưng với mức độ thấp và chưa được hiểu sâu. Trong những vấn đề của giải tích thì vấn đề tổng hữu hạn được áp dụng nhiều trong Toán THCS đặc biệt là khối 6,7. Hiện nay, tài liệu tham khảo về tổng hữu hạn trong Toán THCS bằng tiếng Việt còn chưa có nhiều và chưa có hệ thống tổng quát. Vì vậy, tác giả khóa luận muốn đi tìm hiểu một số vấn đề cơ bản của chuỗi số trong giải tích. Qua để tổng hợp và đưa ra cho người đọc một cái nhìn tổng quan về những vấn đề cơ bản của chuỗi số cũng như các dạng toán liên quan đến tổng hữu hạn trong toán THCS. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận là nêu được các khái niệm, tính chất cơ bản thường dược sử dụng về chuỗi số, đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải các bài tập liên quan đến sự hội tụ của chuỗi số. Đồng thời khóa luận cũng hệ thống được các phương pháp giải các bài toán tính tổng chuỗi số hữu hạn trong Toán THCS. Qua đây tôi hi vọng rằng khóa luận sẽ đem lại cho người đọc nhiều điều bổ ích, giúp các bạn có hứng thú hơn với môn Toán và có thêm kiến thức, tài liệu giảng dạy trong Toán THCS về vấn đề chuỗi số hữu hạn 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là các dạng bài tập và các phương pháp giải các bài tập về chuỗi số, tổng của chuỗi hữu hạn. 3 4. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi đề tài này xoay quanh các kiến thức về chuỗi số trong toán cao cấp và sử dụng tổng chuỗi số hữu hạn trong Toán THCS. 5. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, tham khảo tài liệu, phân tích tài liệu, sắp xếp các nội dung thành hệ thống logic và tham khảo ý kiến các giảng viên hướng dẫn. 6. Cấu trúc khóa luận Nội dung gồm 3 chương: Chương 1: Lý thuyết cơ bản về chuỗi số. Tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về chuỗi số, các tính chất của chuỗi hội tụ, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu và chuỗi có dấu bất kỳ. Chương 2: Một số phương pháp xét tính hội tụ chuỗi số. Phân loại các phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số gồm có phương pháp sử dụng tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn Raabe, tiêu chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn tích phân Cauchy, tiêu chuẩn Leibniz, tiêu chuẩn Dirichlet, tiêu chuẩn Abel với các ví dụ điển hình minh họa cho từng phương pháp. Chương 3: Một số vấn đề về tổng hữu hạn trong Toán THCS Phân loại và trình bày các bài toán liên quan đến tổng hữu hạn của chuỗi trong Toán THCS, áp dụng vấn đề tổng chuỗi số trong các bài toán tính tổng hữu hạn mà trong đó các số hạng của dãy cách đều, không cách đều và các tổng hữu hạn mà trong đó số hạng là phân số. 4 Khóa luận này được hoàn thành tại khoa Khoa học tự nhiên và công nghệ trường ĐH Thủ đô Hà Nội dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của ThS. Nguyễn Thị Hồng. Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm khóa luận. Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các Thầy cô giáo trong trường Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt là thầy cô bộ môn toán của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm khóa luận. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và sự hiểu biết còn hạn chế nên trong quá trình viết khóa luận cũng như viết văn bản chắc chắn không tránh được những thiếu xót nhất định. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày… tháng… năm… Họ và tên sinh viên: Lê Minh Huyền 5 CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 1.1 . Chuỗi số Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi số Cho dãy số 123 n u ,u ,u , ,u , Tổng vô hạn 123 n u u u u  được gọi là chuỗi số và được ký hiệu là n n1 u.    Các số 123 n u ,u ,u , ,u , được gọi là các số hạng của chuỗi số. n u với n tổng quát được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số. Định nghĩa 1.1.2 Dãy tổng riêng Đặt n123 n S u u u u được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số n n1 u.    Dãy   n S với n = 1, 2 … được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi số n n1 u.    Định nghĩa 1.1.3 Chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ Chuỗi số n n1 u    được gọi là chuỗi hội tụ nếu tồn tại giới hạn n n limS S   hữu hạn và S được gọi là tổng của nó. Ta viết n n1 uS.     Nếu giới hạn n n limS  không tồn tại hay bằng vô cùng thì chuỗi số n n1 u    được gọi là chuỗi phân kỳ. Định nghĩa 1.1.4 Phần dư thứ n Giả sử n n1 u    là một chuỗi số hội tụ và S là tổng của nó. Hiệu nn rSS gọi là số dư thứ n của chuỗi số đã cho. Hiển nhiên n n lim r 0.   6 Ví dụ 1.1.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số n1 n1 n0 q1q q        Lời giải Ta có tổng riêng n n S1q q   . Ta có 2n1 n S 1 q q q ,     2n n qS q q q .  Trừ hai đẳng thức trên từng vế một, ta được n n S(1 q) 1 q. Do đó, xét các trường hợp sau: a) q1 Ta có n1 n 1q S 1q     , suy ra n n ,q 1 limS . 1 ,q 1 1q           b) q = 1 Ta có n S 1 1 1 n.  Do đó: n n limS .    c) q1 Ta có n 1, n 2k 1 S111 . 0,n 2k         Do đó n n limS  không tồn tại. Vậy chuỗi n1 n0 1 q 1q       hội tụ nếu q1.  Chuỗi n1 n0 q     phân kỳ nếu q1. Ví dụ 1.1.2 Xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi số n1 1 . n(n 1)     Lời giải 7 n 111 1 S 1.2 2.3 3.4 n(n 1)   11111 11 1 22334 nn1               1 1. n1   Suy ra n n limS 1.   Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1. Định lý 1.1.1 Tiêu chuẩn Cauchy Điều kiện để chuỗi số n n1 u    hội tụ là với mọi 0   cho trước, tìm được số nguyên dương o n sao cho khi o p qn ta có p pq n nq1 SS u .     Ví dụ 1.1.3 Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ rằng chuỗi số n1 1 n    phân kỳ. Lời giải Giả sử tồn tại 1 3  ta có với mọi số nguyên dương N tồn tại p2NqNN sao cho: p q2NN SS S S  11111 1 111 N1N2NN1N2 2N N1N2N 11 1 N1 N2 2N 11 1 2N 2N 2N N 2N 11 . 23              8 Vậy tồn tại 1 3  sao cho với mọi số nguyên dương N tồn tại p2NqNN sao cho pq 2NN SS S S .   Vậy chuỗi đã cho phân kỳ. Định lý 1.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Nếu chuỗi số n n1 u    hội tụ thì n n lim u 0.   Chứng minh: Gọi S là tổng của chuỗi số hội tụ n n1 u    suy ra n S hội tụ khi n tiến dần ra vô cùng. Suy ra nnn1 uSS SS0    khi n tiến ra vô cùng. Hệ quả 1.1.1 Nếu n n lim u 0   thì chuỗi n n1 u    phân kỳ. Ví dụ 1.1.4 Chuỗi số n1 n 2n 1     phân kỳ vì n n1 u0 2n 1 2    khi n. Nhận xét: n u dần tới 0 khi n tới vô cùng chỉ là điều kiện cần mà không đủ để chuỗi số n n1 u    hội tụ. Ví dụ 1.1.5 Xét sự hội tụ của chuỗi số n1 1 . n    Lời giải n 11 1 1 1 1 n S n. 12 n nn n n         Mà n lim n .  Suy ra n n limS .    Vậy chuỗi n1 1 n    phân kỳ. 1.2. Các tính chất của chuỗi hội tụ Tính chất 1.2.1 9 Nếu chuỗi số n n1 u    hội tụ có tổng là S, chuỗi số n n1 v    hội tụ có tổng là T thì các chuỗi số nn n1 uv     cũng hội tụ có tổng là ST.  Tính chất 1.2.2 Nếu chuỗi số n n1 u    hội tụ có tổng là S thì chuỗi số n n1 ku    cũng hội tụ có tổng là kS. Tính chất 1.2.3 Tính chất hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi khỏi chuỗi số đó một số hữu hạn các số hạng đầu tiên. 1.3 . Chuỗi số dương Định nghĩa 1.3.1 Chuỗi số dương là chuỗi số n n1 u    , mà n u0 với mọi n1. Định lý 1.3.1 Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy n (S ) bị chặn trên. Ví dụ 1.3.1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau: a) 2 n1 1 . n    n1 1 b ). n    Lời giải a) Ta có n 22 2 11 111 1 1 S 22. 12 n11.2 (n1).n n       Suy ra n S bị chặn. Vậy chuỗi 2 n1 1 n    hội tụ. b) Ta có n n1 111 111 1n S n. n12 nnn nn     Suy ra n S không bị chặn. Vậy chuỗi n1 1 n    phân kỳ. Định lý 1.3.2 Tiêu chuẩn so sánh 10 Giả sử n n1 u    và n n1 v    là hai chuỗi số dương thỏa mãn nn uv  với n đủ lớn. Khi đó (i) Nếu chuỗi n n1 v    hội tụ thì chuỗi n n1 u    hội tụ. (ii) Nếu chuỗi n n1 u    phân kỳ thì chuỗi n n1 v    phân kỳ. Ví dụ 1.3.2 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: n n1 1 a) . 2n    b) n1 1 . n1     Lời giải a) Do n n 11 2 2n  với mọi n. Mà chuỗi n n1 1 2    hội tụ suy ra chuỗi n n1 1 2n    hội tụ. b) Do 11 nn1   với mọi n2 . Mà chuỗi n1 1 n    phân kỳ nên chuỗi số n1 1 n1     phân kỳ. Định lý 1.3.3 Tiêu chuẩn tương đương Giả sử n n1 u    và n n1 v    là hai chuỗi số dương thỏa mãn n n n u lim k : v   (i) Nếu 0kthì hai chuỗi số n n1 u    và n n1 v    đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ. (ii) Nếu k = 0 và chuỗi số n n1 v    hội tụ thì n n1 u    hội tụ. (iii) Nếu k  và chuỗi số n n1 v    phân kỳ thì chuỗi n n1 u    phân kỳ. Ví dụ 1.3.3 Xét sự hội tụ của chuỗi số sau: n2 n n1 2n1 . 52n2        Lời giải [...]... với chuỗi số  v n    n 1 n 1  5    n 2 Chuỗi số  v n    hội tụ n 1 n 1  5    un  1 hội tụ, do đó chuỗi số đã cho hội tụ n  v n Dễ thấy rằng lim Định lý 1.3.4 Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương  u n 1 n và lim n  u n 1  l Khi đó: un  Nếu l < 1 thì chuỗi số  u n hội tụ (i) n 1  (ii) Nếu l > 1 thì chuỗi số  u n phân kỳ n 1  (iii) Nếu l = 1 thì chuỗi số ... chuỗi đã cho phân kỳ 18 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI 2.1 Sử dụng tiêu chuẩn so sánh Nhận xét: Việc sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét chuỗi hội tụ hay phân kỳ ta cần phải nắm vững sự hội tụ hay phân kỳ của các chuỗi số cơ bản để có thể vận dụng linh hoạt khi so sánh ví dụ như: + chuỗi điều hòa  1  n là chuỗi phân kỳ n 1 + Chuỗi có dạng  1 n n 1  Nếu 0    1 thì chuỗi 1... 2)  n n 1 n 2.4 Sử dụng tiêu chuẩn Raabe Nhận xét: Cũng tương tự như tiêu chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn Raabe thường được sử dụng khi chuỗi số là phân số với số mũ cao hoặc có tử số, mẫu số là các giai thừa để phân số sẽ được tối giản và có thể dễ dàng hơn khi xét tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số  n! hội tụ n 1  a  1 (a  2) (a  n) Ví dụ 2.4.1 Xác định a để chuỗi  Lời giải Ta có:  a  ...   , do đó n 1  (n  1)1 Do đó un e e  n u n 1   Chuỗi số đã cho phân kỳ n  u n Nếu   1 thì lim 24 u n 1  0 Chuỗi số đã cho hội tụ n  u n Nếu   1 thì lim Nếu   1 thì u n 1 1   1 khi n   Chuỗi số đã cho hội tụ un e Vậy chuỗi số đã cho hội tụ khi   1 , phân kỳ khi   1 Ví dụ 2.3.2 Xét sự hội tụ của chuỗi 4n (n!) 2  (2n)! n 1  Lời giải Ta có u n 1 4 n 1 [(n  1)!]2... Tiêu chuẩn tích phân Cauchy Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1,  ), f(x)  0 và f giảm với x đủ lớn Đặt u1  f (1), u 2  f (2), , u n  f (n), Khi đó chuỗi số   u n 1 n hội tụ tương đương  f (x)dx hội tụ 1 13 1 ,  là hằng số  n 1 n  Ví dụ 1.3.7 Xét sự hội tụ của chuỗi số  Lời giải 1 = ∞ ≠ 0 Suy ra chuỗi đã cho phân kỳ  n  n Nếu  < 0 , lim 1 =1 ≠ 0 Suy ra chuỗi đã cho phân... tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel, hãy nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi sau:  sin 2 n a)   1 n n 1 n  sin n  1 1 1     n  2 n n 1 b)   n2  1 cos    n 1 ln 2 n n 1   c)  2 Với   R , nghiên cứu sự hội tụ của các chuỗi số: a) sin(na)sin(n 2 a)  n n 1  sin(na)cos(n 2 a) b)  n n 1  35 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG HỮU HẠN TRONG TOÁN THCS 3.1 Tổng hữu hạn mà các số. .. tự Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 2n 2  1 1  2 n 1 3n  2 4   2  sin    3 n n 1  n 1  5    n 2  n  1      3 e   n  1 n 1  n  n2 n4n 5n 1 n  n 1  kn 6  k n 2 n n 1 2.3 Sử dụng tiêu chuẩn D’ Alembert Nhận xét: Tiêu chuẩn D’Alembert thường được sử dụng khi chuỗi số là phân số với số mũ cao hoặc có tử số, mẫu số là các giai thừa... trị lớn Vì vậy tiêu chuẩn Cauchy thường dùng để chứng minh tính hội tụ của các chuỗi số mà số hạng tổng quát của nó có dạng lũy thừa bậc cao ví dụ như n , n  Ví dụ 2.2.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:   tan n n 1  b    a  2  với 0 < a  ; b > 0 n  2  Lời giải Ta có n b  u n  tan  a  2 n   n  Do đó lim u n  tan a n   Theo tiêu chuẩn Cauchy ta có: Chuỗi đã cho hội tụ khi tan... xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 2  1  1  n  e n  1 n 1    2   n 1  3  n 1 l 1 n  ln   n  n 1  sin 2 n n3  1  4  tan 3 n n 1 5 n 1  n 1   4 n 1  n 1 2.2 Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy 21 n 3 n  ln  n  1  6  n 3 n  3n  3 4 p n hội tụ Nhận xét: Tiêu chuẩn Cauchy trong chuỗi số dương thường được sử dụng khi ta muốn hạ bậc của các chuỗi số có số mũ cao , giá... là chuỗi hội tụ Định lý 1.4.4 Chuỗi có dấu bất kỳ   u n hội tụ thì Nếu chuỗi số n 1  u n 1 n hội tụ Chứng minh: Gọi Sn và S'n lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi số   n 1 n 1  u n và  u n , nghĩa là Sn  u1  u 2   u n và S'n  u1  u 2   u n Trong chuỗi  u n 1 n , ký hiệu: S là tổng tất cả các số hạng dương trong n số hạng đầu tiên n S là tổng các giá trị tuyệt đối của . tụ của chuỗi số. Đồng thời khóa luận cũng hệ thống được các phương pháp giải các bài toán tính tổng chuỗi số hữu hạn trong Toán THCS. Qua đây tôi hi vọng rằng khóa luận sẽ đem lại cho người. trong suốt quá trình làm khóa luận. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm khóa luận. Tuy đã có nhiều. trong quá trình viết khóa luận cũng như viết văn bản chắc chắn không tránh được những thiếu xót nhất định. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn thiện