Các phương pháp viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Tài liu Khai Test đu xuân 2014 Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 1- CÁC PHNG PHÁP VIT PHNG TRÌNH NG TRÒN NI TIP TAM GIÁC Các em thân mn! Vit phng trình đng tròn là 1 dng thng gp trong hình hc gii tích trong mt phng. Có rt nhiu dng bài liên quan đn vit phng trình đng tròn.Mi mt dng bài s có nhng cách và phng pháp khác nhau. Hôm nay, trong chuyên đ nh này, thy s trình bày vi các em các phng pháp vit phng trình đng tròn ni tip tam giác – mt trong nhng dng bài mà không ít các bn hc sinh cm thy rt khó chu. Trc khi đi vào các phng pháp, chúng ta cùng nhau ôn li 1 chút lý thuyt v phn này: - ng tròn ni tip tam giác là đng tròn nm phía trong và tip xúc vi các cnh ca tam giác. - Tâm đng tròn ni tip tam giác là giao đim ca 3 đng phân giác trong. - Bán kính đng tròn ni tip tam giác chính là khong cách t tâm đng tròn ni tip ti 1 trong 3 cnh ca tam giác. - Chú ý: Tâm đng tròn ni tip tam giác cách đu 3 cnh tam giác nhng đim cách đu 3 cnh ca tam giác cha chclà tâm đng tròn ni tip tam giác. - Công thc tính bán kính đng tròn ni tip tam giác ABC vi I là tâm: ( , ) ( , ) ( , ) S r d I AB d I AC d I BC p     vi S là din tích tam giác, P là na chu vi. - Vi D là chân đng phân giác trong đnh A thì ta có : AB DB DC AC    , BD ID IA BA    Các trng hp đc bit : B C A I D NG TRÒN NI TIP Giáo viên: LU HUY THNG Tài liu Khai Test đu xuân 2014 Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 2- - Nu ABC là tam giác đu cnh a thì Tâm I là trng tâm tam giác ABC, bán kính 3 6 a r  - Nu ABC là tam giác cân ti A. Gi M là trung đim ca BC. Ta có : AM là đng phân giác trong đnh A. Phng pháp: Cách 1: (Hay dùng) Bc 1: Vit phng trình hai đng phân giác trong góc A và B Bc 2: Tâm I là giao đim ca hai đng phân giác trong k trên. Bc 3: Tính khong cách t I ti mt cnh ca tam giác ta đc bán kính. Bc 4: Vit phng trình đng tròn. Cách 2: Bc 1: Vit phng trình đng phân giác trong đnh A. Bc 2: Tìm ta đ chân đng phân giác trong đnh A. Bc 3: Gi I là tâm đng tròn. Ta đ đim I tha mãn h thc : BD ID IA BA    Bc 4: Tính khong cách t I ti mt cnh ca tam giác ta đc bán kính. Bc 5: Vit phng trình đng tròn. Cách 3: (Không nên dùng vì dài) Bc 1: Tính các cnh ca tam giác ABC và din tính ca tam giác. T đó suy ra bán kính đng tròn ni tip tam giác da vào h thc : S r p  Bc 2: Gi ( ; )I a b là tâm đng tròn ni tip tam giác ABC , khi đó t điu kin khong cách t I ti ba cnh bng r ta có th đc h theo 2 n ,ab . T đó suy ra ta đ đim I. Bc 3: Vit phng trình đng tròn. Ví d áp dng: Ví d 1: Trong mt phng vi h ta đ ,Oxy cho tam giác ABC có : (11; 7), (23;9), ( 1;2)A B C . Vit phng trình đng tròn ni tip tam giác ABC. Gii Tài liu Khai Test đu xuân 2014 Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 3- Ta có : Phng trình các cnh ca tam giác ABC : : 4 3 65 0AB x y   : 7 24 55 0BC x y   : 3 4 5 0AC x y   Cách 1: Phng trình đng phân giác góc to bi BA và BC : 1 2 : 13 9 380 0 4 3 65 7 24 55 : 9 13 90 0 5 25 d x y x y x y d x y                   Xét v trí tng đi ca 2 đim A và C so vi đng thng 1 d (Thay ta đ đim A và C vào phng trình đng thng 1 )d 13 9 380 300 A A A t x y     13 9 380 385 C C C t x y     .0 AC tt  Suy ra, A và C cùng phía so vi 1 d Vy, 1 d là đng phân giác ngoài góc B, 2 d là đng phân giác trong góc B. Tng t, ta có: 7 70 0xy   là đng phân giác trong góc A. Khi đó, ta đ tâm I là nghim ca h phng trình: 9 13 90 0 10 7 70 0 0 x y x x y y                 Vy, tâm (10;0)I . Bán kính đng tròn: ( , ) 5r d I AB Vy, phng trình đng tròn ni tip tam giác 22 : ( 10) 25ABC x y   Cách 2: B C A I D B C A I D Tài liu Khai Test đu xuân 2014 Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 4- Phng trình đng phân giác góc A: 7 70 0xy   Gi D là chân đng phân giác trong đnh A. Ta đ đim D là nghim ca h phng trình: 7 70 0 7 24 55 0 xy xy              65 65 ;5 7 7 5 x D y                        Gi ( ; )I a b là tâm đng tròn ni tip tam giác ABC. Ta có: (11 ; 7 )IA a b     65 ;5 7 ID a b               ; 100 20; 7 BA BD Ta có: 65 5 (11 ) 10 77 50 5 ( 7 ) 7 aa a BD ID IA b BA bb                                   Vy, ta đ đim (10;0)I Bán kính đng tròn ni tip tam giác: ( , ) 5r d I AB Phng trình đng tròn ni tip tam giác ABC: 22 ( 10) 25xy   Ví d 2: Vit phng trình đng tròn ni tip ca tam giác ABC bit: a) 3 1 3 1 ; ; ; ; (0;0) 2 2 2 2 A B C                    b) (2;4); (1;2); ( 1;3)A B C  Gii a) Ta có: 1AB BC CA ABC     đu Vy, đng tròn ni tip tam giác ABC có tâm I là trng tâm 3 ;0 3 G             ca tam giác. Bán kính đng tròn ni tip: 3 6 r  Phng trình đng tròn ni tip tam giác ABC: 2 2 31 3 12 xy                b) Ta có: 10AB AC ABC    cân ti A. Gi D là trung đim ca BC (0;2)D . Khi đó, phng trình đng thng AD : 20xy   1; 5BD BA Gi ( ; 2)I a a  là tâm đng tròn ni tip tam giác ABC. ( ; )ID a a    ; (2 ;2 )IA a a    Tài liu Khai Test đu xuân 2014 Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 5- Khi đó; ta có: 1 (2 ) 51 5 1 2 (2 ) 5 aa BD ID IA a BA aa                              Vy, 5 1 5 5 ; 22 I               Bán kính đng tròn ni tip tam giác: 51 25 r   Phng trình đng tròn ni tip tam giác: 2 2 2 5 1 5 5 5 1 22 25 xy                                                  Giáo viên: Lu Huy Thng Ngun: Hocmai.vn . tròn ni tip tam giác chính là khong cách t tâm đng tròn ni tip ti 1 trong 3 cnh ca tam giác. - Chú ý: Tâm đng tròn ni tip tam giác cách đu 3 cnh tam giác nhng đim cách đu 3. ng tròn ni tip tam giác là đng tròn nm phía trong và tip xúc vi các cnh ca tam giác. - Tâm đng tròn ni tip tam giác là giao đim ca 3 đng phân giác trong. - Bán kính đng tròn. Tính các cnh ca tam giác ABC và din tính ca tam giác. T đó suy ra bán kính đng tròn ni tip tam giác da vào h thc : S r p  Bc 2: Gi ( ; )I a b là tâm đng tròn ni tip tam giác