Bài tập và lời giải vật lý nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản

Điện tử di chuyển quanh hạt nhân trong diện trường E trong m ột nửa vòng có th ể có năng lượng eE a.. Tần số dã quan sát của m ột vạch phổ có thể thay đổi m ột ít nếu như chuyển động c

Bài tập và lời giái cúa các Trường Đại học

M a jo r A m e r ic a n U n iv e r s it ie s P h D Q u a lif y in g Q u e s t i o n s a n d S o lu t io n s

Bái Tập và Lời Giái Vật lý Nguyên Tử, Hạt Nhân và

Các Hạt Cơ Bản Problems and Solutions

on Atom ic, Nuclear and Particle Physics

BÀI TẬP & LỜI GIẢI

Problem s and Solutions on A tom ic, N uclear and P article Physics

C om piled by

The Physics C oaching Class

U niversity o f Science and T echnology o f C hina

I-dited by

Lim Yung-kuo

N ational U niversity o f Singapore

© W orld Scientific Publishing Co Pte Ltd

N ew Jersey.L ondon.S ingapore.H ong K ong

Tuon sách đư ợc x u ất b àn th eo hợ p đ ồ n g ch u y ển n h ư ợ n g bàn q u y ền giữa 'Ihà x u ất bàn G iáo dụ c v à N h à x u ất bản W o rld S cien tific M ọi hình thức sao :hép m ột phần hay toàn bộ cuốn sách dưới dạng in ấn hoặc bàn điện từ mà Lhông có sự cho phép bằng văn bản của Công ty c ổ phần Sách dịch và Từ điền - Jhà xuất bàn G iáo dục đều là vi phạm pháp luật

Bán quyền tiếng V iệt © C ôn g ty c ổ phần Sách dịch và T ừ điển G iáo dục

7 N hiệt động lực học & Vật lý thong kẽ

Đ ây là tuyển tập gồm 2550 bài lập được lự a chọn k ĩ lư ỡng từ 3100 để thi vào đại học và thi tuyển nghiên cứu sinh chuyên ngành vật lý cùa 7 trường đại học nổi tiếng ở M ỹ (Đ ại học C alifornia ở Berkeley, Đ ại học Columbia, Đ ại học Chicago, Viện C ông nghệ M assachusetts (MIT), Đ ại học B ang N ew York ớ Buffalo, Đ ại học Princeton, Đ ại học Wiscosin) Trong số này còn có các để thi trong chươ ng trình C U SP EA và các đề thi do nhà vật lý đoạt g iã i N obel người

M ỹ g ố c Trung Q uốc C c Ting (CCT) soạn đê tuyên chọn sinh viên Trung

Q uốc đi du học ờ H oa Kỳ N hững để thi này được xu ấ t bàn kèm theo lờ i giài của hơn 70 nhà vật lý có uy tín cùa Trung Quốc và 20 nhà vật lý nôi tiếng kiêm tra, hiệu đính Tất cà các cuốn sách trên đ ã được tái bàn, riêng cuốn Đ iện từ học đà đượ c tái ban 7 lần.

Đ iếm đ á n g lư u ỷ về bộ sách này là nó bao quát được m ọi vấn để cùa vật lý học, từ cố điến đến hiện đại Bén cạnh n hữ ng bài tập đơn giả n nhằm khắc sâu nhữ ng khái niệm cơ bản của Vật lý học, không cần nhữ ng công cụ toán học p h ứ c tạp cũng g ià i được, bộ sách còn có những bài tập khó và hay, đòi hỏi p h á i có kiến thức và tư duy vật lý sâu sắc với các p h ư ơ n g p h á p và k ĩ thuật toán học p h ứ c tạp hơn m ới giả i được Có thể nói đây là m ột tài liệu bổ

su n g vô g iá cho sách giá o khoa và giáo trình đại học ngành vật lý, p h ụ c vụ m ột

p h ạ m vi đoi tư ợ ng rất rộng, từ các giá o viên vật lý p h ô thông, giàng viên các trường đại học cho đến học sinh các lớp chuyên lý, sinh viên khoa vật lý và sinh viên các lớ p tài n ă n g cùa các trư ờng đại học khoa học tự nhiên, đặc biệt

là cho n hữ ng ai m uốn du học ờ Mỹ.

N hà x u ấ t bàn G iáo dục trân trọng g iớ i ¡hiệu bộ sách tới độc già.

H à Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2008

N HÀ X U Á T BẢN G IÁ O DỤC

iii

V

MỤC LỤC

2 Các tương tác điện từ và yếu, các lý thuyết

Phần IV: Phương pháp thực nghiệm và các chủ đề đa dạng

vii

PHAN I

VAT LY NGUYEN T tf

VA VAT LY PHAN TLT

Vật lý nguyên [ủ và vật lý phân tủ 3

1 VẬT LÝ NGUYÊN TỬ (1 0 0 1 -1 1 2 2 )

1001

Giả sử rằng có m ột thông báo về m ột phương pháp tuyệt vòi có khả năng

d ặ t tất cả nội dung của m ột thư viện vào m ột bưu ảnh rất phang, c ó thê đọc được nó nhò m ột hiển vi diện tử không? Hãy giải thích

{Columbia)

Lời giải:

Giả sử có 10fi quyển sách trong thư viện, mỗi quyển 500 trang và mỗi trang lớn bằng 2 bưu ảnh (cho mỗi bưu ảnh là có th ể đọc dược) Cho m ột bưu ảnh

phóng dại dài là 104'5 Khi độ phóng đại dài của m ột kính hiển vi diện tử là

Câu trả lòi gần n h ất là 1 tấn trong 1 cm3

M ật dộ năng lượng bức xạ dược cho bỏi u = 4ơ T 4/c , trong đó ơ = 5,67 X

10- 8 W m- 2 K- 4 là hằng số Stefan-B oltzm ann Từ hệ thức năng lượng - khối lượng Einstein, chúng ta thu được khối lượng của bức xạ vật đen tuyệt đối trong m ột đơn vị th ể tích là u = 4ơT4/c 3 = 4 X 5,67 X 10~ 8 X 104O/(3 X 108)3 R5

4 Bài cập & lời giải Vật lý nguyên củ, hạt nhán và hạc cơ bản

(c) tương tự nhau

(CCT)Lời giải:

Bán kính Bohr của nguyên từ hydro và bước sóng C om pton của electron

dược cho tương ứng \ằ a = ^ ĩ và Ac = Từ đó £ = ¿ ( ^ r ‘ = ^ = 22,

trong đó e2/h c là hằng số cấu trúc tinh tế Do dó, câu trả lòi là (a).

1004Hãy đánh giá diện trường cẩn thiết đê giải phóng le ra khỏi nguyên tử so với điện trưòng cần thiết cho e chuyển dộng quanh hạt nhân

(Columbia)

Lời giải:

Khảo sát m ột nguyên tử tưctng tự nguyên tử hyđro có diện tích hạt nhân

Ze Năng lượng ion hoá (hoặc năng lượng cần th iết đ ể tách é) là 13,6Z2 eV

Điện tử chuyên dộng trên quỹ dạo có khoảng cách trung bình từ hạt nhân la

a = a o /Z , trong dó a0 = 0 53 X 10~ 8 cm là bán kính Bohr Điện tử di chuyển

quanh hạt nhân trong diện trường E trong m ột nửa vòng có th ể có năng lượng

eE a Do dó, đê giải phóng electron cần phải thoả m ãn

eE a > 13.6 z2 eV,hay là

£ ~ o Ì 3 ,x ĩ o * 2 x l 0 , Z ’ V /C m

-1005

Khi ta di ra khỏi tâm nguyên tử, m ật độ e sẽ

(a) giảm theo hàm Gauss

(b) giảm theo hàm mũ

(c) dao động với biên độ giảm chậm

(CCT)

Vật lý nguyên tủ và vật lý phân tủ 5

Lòi giải:

Câu trả lòi là (c)

1006

Một chuyển dời e trong các ion của 12c dẫn den p h át xạ photon vào khoảng

A = 500 nm [hu = 2,5 eV) Các ion ỏ trạng thái cân bằng nhiệt tại nhiệt độ ion k T = 20 e ỵ m ật dộ Tỉ = 1024 m ~ 3, và m ột từ trưòng không đồng nhất lên

tới B = 1 Tesla.

(a) Hãy thảo luận vắn tắ t cơ chế mỏ rộng có th ể tạo nên sự dịch chuyển

có bề rộng được quan sát AA lốn hơn độ rộng đã tìm dược cho những giá trị

rấi nhỏ của T , n và B

(D) Cho m ột trong các cơ chế này, hãy tính độ rộng vạch được mỏ rộng

AA, sử dụng cõ dộ lón đê đ án h giá các tham số cần thiết

Hiệu ứng Doppler: Các nguyên tử và phân tử chuyển động nhiệt không dổi tại T > 0 K Tần số dã quan sát của m ột vạch phổ có thể thay đổi m ột ít

nếu như chuyển động của các nguyên tử p h át xạ có m ột th àn h phần dọc theo hướng ngắm , do hiệu ứng Doppler, vĩ các nguyên tử hoặc phân tử có phân bố vận tốc, m ột vạch được p h át xạ nhò các các nguyên tử sẽ bao gồm m ột khoảng tần số được phân bố xung quanh tần số gốc, dóng góp vào dộ rộng vạch quan sát

Các va chạm: Một hệ nguyên tử có th ể bị nhiễu loạn bỏi những ảnh hưởng

bên ngoài như các diện trường và từ trưòng do các nguồn ngoài hoặc các nguyên tử lân cận N hưng những ảnh hưởng dó thông thường tạo ra sự dịch chuyển các mức năng lượng hơn là mở rộng chúng Tuy nhiên, sự mỏ rông cũng có th ể bắt nguồn từ những va chạm nguyên tử, tạo nên những thay đổi pha trong bức xạ và do đó tạo ra sự mỏ rộng mức năng lượng

6 Bài tập & lởi giải Vật lý nguyên tủ, hạc nhăn và hạt cơ bản

vói M là khối lượng của nguyên tử bức xạ Sự phân bố tầ n số của cưòng độ

bức xạ cũng có quan hệ như thế Tại m ột nửa cưòng độ cực đại

đủ gần d ể ản h hưởng đến quá trình bức xạ vận tốc tru n g bình V cùa 1 nguyên

tử có thế làm xấp xỉ nhò vận tốc căn quân phương \ M v* = 5 k T Tù đó

Lúc dó, thòi gian trung bình giữa các lần va chạm kế tiếp là

(a) Giải thích định lượng sự thay dổi của E i từ H, He đến Li.

(b) Năng lượng ion hoá thứ cấp của He, tức là năng lượng cần đ ể giải

(c) Các mức n ăn g lượng của trạn g thái n = 3 của điện tử hoá trị của Na

(bỏ qua spin riêng) dược chỉ ra trong hình 1.1

Tại sao các m ức năng lượng phụ thuộc vào số lượng tử /?

( SUNY, Buffalo)

3d 11 = 2 ) - -1,5 eV3p (1 = 1 ) - -3,0 eV3s (l = 0 ) - - 5,1 eV

Hình 1.1

8 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tủ, hạt nhân và hạc cơ bản

Lời giải:

(a) Bảng chỉ ra năng lượng ion hoá của He lón hơn nhiêu năng lưọng ion hoá của H Nguyên nhân chính là do diện tích hạt nhân của He gảp dói diện 'tích hạt nhân của H, trong khi tất cả các electron của chúng đều ỏ lóp vỏ thứ nhất, có nghĩa là thế năng của các electron là th âp hơn nhiêu trong trương hợp của He Năng lượng ion hoá rất thâp của Li là do sự che chăn diện tích hạt nhân nhò các electron ỏ lốp vỏ bên trong Nhờ dó m à với electron ơ lóp

vò ngoài, diện tích hạt nhân hiệu dụng trỏ nên nhỏ hơn và do đó thế năng lớn hơn Điều này có nghĩa là năng lượng cần th iết cho việc giải phóng electron là nhỏ hơn

(b) Các mức năng lượng cùa nguyên tử giống hyđro được cho bời

z 2

X 13,6 eV

n z Cho z = 2, n = 1 ta có

E i = 4 X 13,6 = 54,4 eV.

(c) Cho các trạng thái 71 = 3, điện từ hoá trị có l càng nhỏ, sự lệch tâm khỏi

quỹ đạo của nó càng lỏn Điều này có khuynh hướng làm cho các hạt nhân

nguyên tử bị phân cực nhiều hơn Hơn nữa, l càng nhò thì hiệu ứng thẩm thấu

quỹ đạo sẽ càng lớn Các hiệu ứng này làm cho thế n ăn g của điện tử giảm đi

theo chiều giảm của l.

1008

Mô tả vắn tắ t lần lượt các hiệu ứng sau, trong các trường hợp quy tắc, nêu

rõ quy tắc:

(a) Hiệu ứng A uger

(b) Hiệu ứng Zeem an dị thường

(c) Dịch chuyển Lamb

(d) Quy tắc khoảng Landé

(e) Các quy tắc H und cho các mức nguyên tử

( Wừconsin)

Lời giải:

(a) Hiệu ứng Auger: Khi m ột electron nằm ỏ lớp vỏ trong (lớp vỏ K ) của

Vật lý nguyên tủ và vật lý phân tử 9

m ột nguyên tử dược lấy ra, m ột electron liên kết có năng lượng nhỏ hơn (lớp

L ) có thê nhảy vào lỗ trống do electron đă được lấy di, làm phát xạ m ột

photon Nếu quá trình xảy ra nhưng không phát xạ photon, thay thế vào đó,

lớp vỏ có năng lượng cao hơn (lớp vỏ L ) dược ion hoá do m ất đi m ột electron

Quá trình này được gọi là hiệu ứng Auger và electron nhảy ra dó được gọi là electron Auger: nguyên tử dược ion hoá 2 lần và quá trình chuyển dời không phát xạ photon

(b) Hiệu ứng Zeem an dị thường: Hiệu ứng đã được Zeem an quan sát năm

1896, khi nguyên tử bị kích thích dặt trong từ trường ngoài Phổ phát xạ trong quá trình khử kích thích tách thành 3 vạch phổ cách dều nhau Đó là hiệu ứng Zeem an thường Sự tách vạch dược hiểu dựa trên lý thuyết cổ điển dã dược Lorentz p h át triển Tuy nhiên, ngưòi ta dã phát hiện ra số vạch tách của vạch phổ khác nhiều, thường lón hơn 3- Sự tách vạch phổ như thế chưa thể giải thích được cho đến khi xuất hiện khái niệm spin electron, dó là hiệu ứng Zeem an dị thường

Trong lý thuyết lượng tử hiện đại, cả 2 hiệu ứng có thể hiểu dễ dàng Khi

m ột nguyên tử d ặt trong từ trường yếu, do tương tác giữa m om en lưõng cực

từ của cả nguyên tử với từ truòng ngoài nên cả 2 mức năng lượng ban dầu

và cuối cùng dược tách ra một vài thành phần Những dịch chuyển quang học giữa 2 trạn g thái da bội làm tăng thêm số vạch Hiệu ứng Zeem an thường chỉ

là trưòng hợp đặc biệt, ỏ đây, những chuyển dời giữa các trạng thái đơn bội trong m ột nguyên tử vỏi số chẵn các electron quang hoạt

(c) Dịch chuyển Lamb: Khi không có cấu trúc siêu tinh tế, các trạng thái

22S i/2 và 2 2P ự2 của nguyên tử hydro sẽ bị suy biến đối với số lưcng tử quỹ

đạo l vì chúng tương ứng vòi mom en động lượng toàn phần j = 1/2 Tuy

nhiên, bằng thực nghiệm Lamb dã quan sát thấy năng lượng của mức 225]/2

cao hơn năng lượng của mức Ĩ 2P \Ị 2 là 0,035 c m '1 Đó là dịch chuyển Lamb Dịch chuyển Lamb là do tương tác giữa electron và trưòng bức xạ diện từ.(d) Quy tắc khoảng Landé: Đối vối liên kết LS, hiệu năng lượng giữa 2 mức J liền kề, trong giới hạn LS dã cho là tỉ lệ với giá trị lốn hơn trong hai giá

trị của J

(e) Các quy tắc H und cho các mức nguyên tử là:

(1) Nấu cấu hình điện tử có nhiều hơn 1 kí hiệu phổ, cấu hình với spin toàn phần cực dại 5 có năng lượng thấp nhất

(2) Neu spin to àn phần cực đại 5 tương ứng vối m ột vài kí hiêu thì cấu

hình với L cực dại có năng lượng th ấp nhất.

10 Bài tập & lời gidi Vật lý nguyên tủ, hạt nhân và hạt cơ bán

(3) Nếu lớp vỏ ngoài của nguyên tử nhỏ hơn m ột nửa dầy, ki hiệu phổ vói

m om en động lượng toàn phần J cực tiểu có năng lượng thấp nhát Nẻu số electron của lớp vỏ này lón hơn m ột nửa đầy kí hiệu phổ vối J cực đại có năng

lượng thấp nhất Quy tắc này chỉ áp dụng cho liên kết LS

Hãy đưa ra các biểu thức cho các đại lượng sau trong các th u ật ngữ

e, ft, c, k, m e và m p.

(a) N ăng lượng cần thiết dê ion hoá một nguyên tử hydro

và nguyên tử đơteri

(c) Momen từ của electron

(d) Sự m à rộng trong phép do của khối lượng 7r° cho rằng thòi gian sống

7r° dã cho là T

(e) Từ trường B có dư 10“ 4 proton tự do theo 1 hư ỏng spin ỏ nhiệt dộ T (0 Sự tách cấu trúc tinh tế ỏ trạng thái n = 2 của hydro.

eo là hằng số điện môi của không gian tự do.

hạt nhân, số sóng của vạch Q của nguyên tử hydro là

1009

(Columbia)

Lời giải:

(a)

m p là khối lượng nuclon, ta có

/¿B là m anheton Bohr

(d) Sự phân tán khối lượng do dược (trong thệ đơn vị năng lượng) liên

q uan đến thòi gian sống T th eo nguyên lý bất định

A E - T > h ,

từ dó

A E > í

T

(e) Giả định các proton tự do như là 1 khí lý tưởng, trong dó các spin

proton có 2 hướng được lượng tử hoá: song song vói B vói n ăn g lượng E p =

12 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản

các mức năng lượng cấu trúc tinh tế của hydro ta thu được

Hãy ưỏc lượng dộ rộng vạch cộng hưởng Không cần th iết dùng nhữ ng kết quả này từ những nguyên lý ban đầu nếu như nhớ lại các suy luận gọi ý thích hợp

( Princeton)

Lời giải:

Tiết diện ngang được định nghĩa Ơ.4 = P ^ / I ^ , trong dó P_,cL; là năng lượng hấp thụ do các nguyên tử trong khoảng tầ n số UJ tói uj + tro n g m ột

Vật lý nguyên tủ và vật lý phân tủ 13

2

Hình 1.2

đơn vị thòi gian, I^dui là năng lượng tỏi trên m ột dơn vị diện tích trong một

đơn vị thời gian trong cùng khoảng tần số Theo dịnh nghĩa,

trong đó B]2 là hệ số B của Einstein cho xác suất nguyên tử ỏ trạng thái 1

hấp thụ m ột lượng tử hu! trong m ột dơn vị thòi gian và N ^ d u là m ật độ năng lượng trong khoảng tần số UI tới UI + du> Hệ thức Einstein

trong dó T là thòi gian sống của trạng thái kích thích 2, độ rộng vạch tự nhiên của nó là r Kí 0 1 ,5 2 là độ suy biến của các trạng thái 1 và 2, sử dụng quan

hệ A i 2 = 1 / t và nguyên lý bất dịnh r v í» h vì Nu = Iui/c, c là vận tốc ánh

sáng trong không gian tự do, ta có

Đưa vào thừa số d ạn g g(ui) và khảo sát UJ và như những giá trị trung bình

trong dải g(u>), ta có th ể viết đại lượng trên như sau

14 Bài tâp & lời giải Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản

Tại điểm cộng hưỏng,

Tiết diện ngang của kích thích do va chạm electron ờ m ộ t mức nguyên

tử nào dó 4 là (7.4 = 1.4 X 1CT20 cm 2 Mức năng lượng có ửiòi gian sống

r = 2 X 10- s s, và phân rã 10% thòi gian dến mức B và 90% dến mức c

(hình 1.3)

(a) Hãy tính sô nguyên tử cân bằng trong cm 3 ỏ mức A khi m ột chùm tia

electron 5 m A /cm 2 đi qua qua hoi nguyên tử này ỏ áp su ất 0 05 torr.(b) Hay tính cưòng dộ ánh sáng phát ra trên cm 3 trong dịch chuyển 4 —

B , biểu diễn bàng o at/sterad ian

Vật lý nguyên tử và vật lý phân tủ 15

( Wừconsiti)

Lời giải:i giải:

(a) Theo hệ thức Einstein, số dịch chuyển B , c —> A trong m ột dơn vị thòi gian (tốc dộ sinh A ) là

trong đó N b c và N a là số nguyên tử ở các mức năng lượng B , c và A, n 0 là

số electron qua trên m ột đơn vị diện tích trong m ột dơn vị thòi gian Khi cân bằng,

do n 0 = 5 X 10 3/ l , 6 X 10-19 = 3,1 X 1016 cm “ 2 S_1 và như vậy ị » 2n 0ơA.

Từ đó số nguyên tử trong m ột đơn vị th ể tích ỏ mức năng lượng A ỏ cân

16 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên củ, hạt nhán và hạc cơ bản

ỏ đây, nhiệt độ phòng là T = 300 K.

(b) Xác suất phân rã nguyên từ từ 4 —* B là

Bước sóng của bức xạ phát ra trong dịch chuyển A —» B là Afl = 500 nm Cưòng độ ánh sáng I trong đơn vị thể tích, trong m ột đơn vị góc dặc được cho

tử Ví dụ rất đáng quan tâm là hiện tượng dập tắ t m om en dộng lượng của nguyên tử sắt trong nhóm hem trong hem oglobin của m áu Tất nhiên, sắt và hem oglobin là rất phức tạp Giả sử m ột nguyên tử chứa m ột electron hoá trị chuyên dộng trong trường thế xuyên tâm của nguyên tử, ỏ mức / = 1 Bỏ qua spin, điều gì sẽ xảy ra ỏ mức này khi electron bị tác dộng bởi thế bên ngoài xung quanh nguyên tử tăng lên Lấy thế ngoài có dạng là

Vpert = A r 2 + B y 2 - ( A + B ) z 2

(Hạt nhân nguyên tử ỏ gốc toạ độ) và khảo sát thế đến bậc thấp nhất

(a) Bây giò mức / = 1 tách thành ba m ức phân biệt Như dã khẳng định, môi một mức tương ứng hàm sóng dạng

;,}trong đó0,/(/■' là hàm xuyên tâm chung và mỗi m ột m ức có m ột tập họp riêng

Vật lý nguyên tử và vật lý phân tủ 17

lượng, chỉ rõ những dịch chuyển tương đối A E theo các tham số A và B , nghĩa

là tính ba dịch chuyển dến thừa số chung

(b) Q uan tâm hơn, tính giá trị kì vọng vủa L z , thành phần 2 của mom en dộng lượng cho mỗi m ột trong ba mức

trong đó a = h2/ịue2, Ị 1 khối lượng rú t gọn của electron hoá trị

Sau khi tương tác với thế ngoài V , các hàm sóng thay đổi là

' Ị ' = a i ' I , 2 i i + ¿ 2 2 ^ 2 1 — ] + ^ 3 ^ 2 1 0 ■

Lý thuyết nhiễu loạn cho các hệ suy biến dẫn dến phương trình ma trận

cho năng lượng nhiễu loạn E '

18 Bài tập & lời gidi Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạc cơ bản

cho tấ t cả ba m ức n ăn g lượng.

1013

Mô hình Thom as-Ferm i của các nguyên t ử m ô tả đám m ây diện tử ư o n g

m ột nguyên tử như m ột phân bố liên tục p(x) của điện tích M ột điện tử đơn lẻ

dược giả th iết chuyển động trong m ột thế được xác định bỏi h ạt nhân có diên

tích Ze và của dám m ây này Hãy viết phương trình cho th ế tĩnh điện theo các

bước sau:

(a) Giả th iết điện tích đám m ây điều chỉnh cục bộ dến khi các điện tử tai

m ặt cầu Fermi có năng luợng 0, tìm quan hệ giữa thế ộ và động lượng Fermi PF-

20 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên cử, hạt nhân và hạt cơ bàn

(b) Sử dụng quan hệ thu được từ (a) dể tìm hệ thức đại số giữa m ật độ

điện tích p{x) và thế ậ (x).

(c) Đặt kết quả của (b) vào phương trình Poisson d ể tìm phưong trình vi

phân riêng phi tuyến cho ó.

(Princeton)

Lời giải:

(a) Vói m ột điện tử liên kết, năng lượng của nó E = ^ - eở (x) phải thấp

hơn năng lượng liên kết của m ột điện tử trên bề m ặt Fermi Do đó

Trong một bức tranh thô sơ, kim loại dươc m inh hƯạ như m ột hệ các diện

Hình 1.5Lòi giải:

Số lượng trạn g thái trong yếu tố th ể tích dpxdpydpz trong không gian động lượng là d N = Ậ d p xdpydpz Mỗi trạng thái e có độ suy biến e x p ( - ^ í ) , trong

dó £ là năng lượng của diện tử và n là năng lượng Fermi.

Chỉ có các diện tử với th àn h phần động lượng p z > (2m Vo)1/ 2 có thể thoát

ra khỏi giếng thế, trục 2 được chọn là song song với pháp tuyến ngoài của

bề m ặt kim loại Do đó, số lượng điện tử thoát ra khỏi yếu tố th ể tích trong

khoảng thòi gian dt là

trong dó v z là th àn h phần vận tốc của các diện tử theo huống 2 thoả m ãn diều

kiện m v z > (2mKo)1/2, A là diện tích của bề m ặt kim loại, vì thế, số lượng

diện tử th o át khỏi bề m ặt kim loại trên một dơn vị diện tích trong m ột dơn vị thời gian là

22 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản

(a) Hãy mô tả ảnh tách các trường hợp sau:

(i) Chùm tia phân cực dọc theo hướng + z

(ii) Chùm tia phân cực dọc theo hướng +x.

(iii) Chùm tia phân cực dọc theo hướng +y.

(iv) Chùm tia không bị phân cực

(b) Đối vói các trưòng hợp trên, nếu trường hợp nào đó với các kết quà không thể phân biệt, hãy mô tả người ta phải làm như thế nào d ể phân biệt một trong sô các trường hợp này nhò các thực nghiệm bổ sung thêm , các thục nghiệm bổ sung này sử dụng thiêt bị Stern-Gerlach trên và m ột vài thiết bị bổ sung khả dĩ

(Columbia)

Lời giải:

(a) (i) Chùm tia phân cực dọc theo hướng + z không bị tách như ng hưóng

của nó bị thay dổi

(ii) Chùm tia bị phân cực dọc theo hướng + x tách th àn h 2 tia, m ột tia lệch theo hướng + ĩ , một tia khác theo hướng —z.

(iii) Cũng như trong (ii)

(iv) Chum H3 khong phan cực bi tach thành 2 tia, m ôt tia lệch theo hướng

+ z và m ột tia lệch theo hướng - z

(b) Cac chum tia cua (li), (111) va (ìv) không phân biệt được, chúng có thể phân biệt nhò cách sau

vật lý nguyên tủ và vật lý phân tủ 23

(1) Q uay từ trưòng theo hướng +y Điều này cho phân biệt (iii) từ (ii) và

(iv), khi chùm tia trong (iiij không bị tách nhưng bị lệch, trong khi dó các chùm tia trong (ii) và (iv) mỗi chùm tia tách thành 2 chùm

(2) Đặt m ột gương phản xạ ỏ m ặt trưỏc thiết bị, nó sẽ làm thay dổi các vị trí tương đối của nguồn và thiết bị (hình 1.6) Khi dó, chùm (ii) không tách

m ặc dù bị lệch, còn chùm tia (iv) tách thành 2

1016Phạm vi h o ạt động của thế giữa 2 nguyên tử hydro là xấp xỉ 4 Ẳ Cho khí

ỏ trạn g thái cân bằng nhiệt, đánh giá bằng số nhiệt độ khí m à dưới nhiệt dộ

này, tán xạ nguyên tử - nguyên tử cơ bản là sóng s.

24 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tủ, hạt nhân và hạt cơ bản

doán tốt nhất của mình Đảm bảo sự phụ thuộc z , phụ thuộc năng lượng, phụ

thuộc góc và các thứ nguyên là hợp lý Hãy sử dụng biểu thức dó, hoặc là dúng hoặc là những suy doán tốt nhất của bạn dể đánh giá các phần (b-e) dưới đây.Một máy gia tốc cung cấp 1 chùm tia proton 1012 hạt trong 1 giây và động lượng 200 MeV/c c h ù m tia này đi qua m ột cửa sổ nhôm 0,01 cm (Mật dộ

nhôm p = 2,7 g m /cm 3, dộ dài bức xạ của nhôm x 0 = 24 g m /c m 2, z = 13,

(d) Hãy tính tiết diện ngang tán xạ Rutherford tích phân cho các góc > 5°

(G ợi ý: sin Odd = 4 sin ị COS | d | )

(e) Có bao nhiêu proton tán xạ ra ngoài chùm tia vào các góc > 5°?(0 Hãy tính góc tán xạ Coulomb bội số căn quân phương thiết kế cho chùm tia proton qua cửa sô trên Lây hăng sô trong biểu thức cho tán xạ Coulomb nhiều lần là 15 MeV/c

26 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản

Số proton tán xạ trên ống đếm trong 1 đơn vị thòi gian là

í = 0.01 X 2 7 g cm - 2, Xo = 24 g c m t / x 0 = 1.125 X 10 ta co

vậ t lý nguyên tử và vât lý phân tủ 27

v/2 X 0,2085 X 200 x

= 2,72 X 10_2 rad

1018Thòi gian sống điển hình vói 1 nguyên tử bị kích thích là 10 \ 10 8, 10 13,

Một nguyên tử có khả năng kích thích ỏ 2 trạn g thái: Trạng thái cơ bản,

khối lượng M và trạn g thái đã kích thích khối lượng M + A Nấu dịch chuyển

từ trạng thái cơ bản đến trạn g thái kích thích do hấp thụ m ột photon, tần số photon trong phòng thí nghiệm là bao nhiêu, ở đây nguyên tử ban đầu đứng yên?

Gọi tần số của photon là V và động lượng của nguyên tử ỏ trạn g thái kích thích là p Định lu ật bảo toàn n ăn g lượng và bảo toàn dộng lượng cho ta

28 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tủ, hạt nhân và hạt cơ bản

spin tổng cộng bằng 0:

(a) hàm sóng thay dổi dấu,

(b) hàm sóng không thay dổi dấu,

(c) hàm sóng thay đổi th àn h hàm sóng khác hoàn toàn

(CCT)Lời giải:

Trạng thái của spin tổng cộng bằng 0 có tính chẵn, nghĩa là đối xứng không gian Từ đó, hàm sóng không thay đổi khi toạ dộ không gian của các điện tử

bị tráo dổi

Như vậy, câu trả lòi là (b)

Độ rộng Doppler của 1 vạch quang phổ từ nguyên tử trong ngọn lửa là10ß, 109, 1013, 1016 Hz

Hãy nhớ lại nguyên lý phân bố đều năng lượng m v 2/ 2 = 3 k T /2 vói hydro

Một electron bị nhốt trong m ột hốc cầu rỗng, bán kính R với vách không

thẩm thấu Hãy tìm biểu thức cho áp suất tác dụng lên các vách hốc bởi electron ỏ trạn g thái co bản

(MIT)

Lời giải:

Giả thiết bán kính hốc tăng dR Công thực hiện bỏi electron trong quá

trình là 4wR 2PdR, làm giảm năng lượng của electron là dE Từ dó, áp suất

nén lên vách bỏi electron là

30 Bài tâp & lời giải vât lý nguyên tủ, hạt nhân và hạt cơ bản

Với electron ỏ trạng thái co bản, m ôm en dộng lượng = 0 và hàm sóng có dạng

# = 1 x M

T

trong đó, x(r ) là phần nghiệm xuyên tâm của phương trình Schrödinger,

x"(r) + k 2x ( r ) = 0 , vói k 2 = 2 m E /h ? và xí?-) = 0 tại r = 0 Do vậy,

Trong biểu diễn (s2, s x ), các ma trận spin là

với các hàm riêng tương ứng ( ị ) , ( Ị ) , (Ị ) N hư vậy, H am inton cùa tương tác

giữa m om en từ của hạt và từ trường ngoài là

Lời giải:

Các h ạ t spin 1 là boson N hư vậy, hàm sóng phải dối xứng với sự thay đổi hạt Vì vối trạn g th ái cơ bản hàm sóng không gian dôi xứng, phần spin cũng phải đối xứng Với 2 h ạ t spin 1, spin tổng cộng s có th ể là 2, 1 hoặc 0 Các

32 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tủ, hạt nhân và hạc cơ bản

hàm sóng spin cho s = 2 và s = 0 là dối xứng, trong khi dó, hàm sóng spin cho 5 = 1 là phản dối xứng Từ đó, cho trạng thái cơ bản chúng ta có s = 2 hoặc s = 0 Độ suy biến tổng cộng là

( 2 X 2 + 1) + ( 2 X 0 + 1) = 6

1027Một chùm tia nơtron (khối lượng 771) lan truyền vói vận tốc phi tương dối

tính V đập vào một hệ thống dược vẽ trong hình 1.7 và vói các gưong tách chùm tia ỏ B và D, các gương ỏ A và c và m ột bộ thu nơtron tại E Tất cà

các góc là góc vuông và không có gương nào hoặc không có bộ tách nào ảnh

hưởng đến spin ndtron Các tia dược tách tại B hợp nhất lại m ột cách kết họp tại D và bộ thu E thông báo cưòng dộ nơtron I.

Hình 1.7

(a) Trong phần này của bài toán, giả thiết hệ ỏ trong m ặt phẳng thẳng

đứng sao cho trọng lực hướng xuống dưới song song với A B và D C Gọi cường độ thu đưọc là I 0 đối với hệ nằm trong m ặt phang ngang, hãy suy ra biểu thức cho cưòng độ Ig đối vói cấu hình thẳng dứng.

(b) Với phần này của bài toán, giả sử hệ nằm trong m ột mặt phẳng ngang Một từ trường đồng nhất hướng ra ngoài m ặt phẳng, tác dụng trong vòng nét

dứt đã vẽ, nó bao hàm 1 phần đoạn B C ■ Các nơtron tỏi bị phân cực với spin

hướng dọc B A như trong hình Các nơtron này di qua m iền từ trường, spin

của chúng bị nén lại m ột phần tùy thuộc vào cường dộ từ truờng Giả sử, giá

trị kì vọng spin nén qua 1 góc 6 như đã được chỉ ra Cho 1(d) là cuòng dộ tại

bộ thu E Hãy suy ra 1(6) như là m ột hàm của 0, cho biết 1(9 = 0) =

/o-Vật lý nguyên tủ và văt lý phân tủ 33

cPrinceton)

Lời giải:

(a) Giả sử, khi hệ trong m ặt phẳng ngang, 2 chùm tía nơtron tách nhau

có cùng cường dộ khi chúng đạt tối D và như thế, mỗi hàm sóng có biên dộ

v 7 õ /2 Bây giờ, hãy khảo sát hệ trong m ặt phẳng thẳng dứng Do B A và C D

là tương đương nhau về m ặt động lực học, không cần phải khảo sát chúng Vận tốc của nơtron V trong BC và V\ trong A D là có quan hệ vói nhau qua

phương trình năng lượng

Nấu chúng ta có th ể lấy ị m v 2 » m g H , khi dó V\ R í V — và

(b) Lấy trục z cùng hư ớng S A và tiếp tục trong biểu diễn (s2, s 2) Tại D,

trạng thái spin là (¿) cho các nơtron diễn tiến dọc theo B A D và là I I I

\ s i n ị j cho các diễn tiến dó dọc theo B C D Sự tái tổ hợp cho biết

34 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên củ, hạt nhản và hạt cơ bàn

và từ đó

m = | ¥ | 2 = t + sin = ỉo C O S

1028

Cấu trúc tinh tế của các vạch phổ nguyên tử xuất phát từ

(a) liên kết spin quỹ dạo của electron,

(b) tương tác giữa electron và hạt nhân,

Cấu trúc siêu tinh tế của hydro

(a) quá nhỏ để phát hiện dược

(b) xuất phát từ spin hạt nhân

vật lý nguyên tủ và văt lý phân tử 35

Vối trạng thái 2p của nguyên tử hydro, n = 2, l = 1, s = 1/2, j i = 3/2,

trong dó R là hằng số Rydberg và hcR = 13,6 eV là thế ion hoá của nguyên

tử hydro, a = là hằng số cấu trúc tinh tế Như thế