Bài tập tiếp tuyến đại số 12

Bài tập tiếp tuyến đại số 12 Lý thuyết, phương pháp, ví dụ, bài tập tự luyện Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm và đi qua điểm Viết tiếp tuyến biết hệ số góc Tìm điều kiện tiếp xúc Tìm điều kiện viết được 2, 3 tiếp tuyến Bài toán về giao điểm của tiếp tuyến với 2 trục, 2 tiệm cận; khoảng cách

Page | 1 Luyện tập: Đại số 12 – Một số bài toán về tiếp tuyến Tóm tắt kiến thức và Phương pháp Page | 2 Page | 3 Page | 4 Page | 5 Bài tập ví dụ Bài 1. Cho hàm số y = x x-1 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Hướng dẫn 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Page | 6  TXĐ : D = R\{1}  Chiều biến thiên lim ( ) lim ( ) 1 xx f x f x    nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 11 lim ( ) ,lim xx fx       nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y’ = 2 1 0 ( 1)x   Bảng biến thiên Hàm số nghịch biến trên ( ;1) và (1; ) Hàm số không có cực trị  Đồ thị.(bạn đọc tự vẽ) Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0 ;0) Vẽ đồ thị Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng 2) Giả sử M(x 0 ; y 0 ) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : 0 0 2 00 1 () ( 1) 1 x y x x xx      2 0 22 00 1 0 ( 1) ( 1) x xy xx       Page | 7 Ta có d(I ;tt) = 0 4 0 2 1 1 1 ( 1) x x    Xét hàm số f(t) = 4 2 ( 0) 1 t t t   ta có f’(t) = 2 44 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 1 ttt tt     f’(t) = 0 khi t = 1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay 0 0 0 2 11 0 x x x          Với x 0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x  Với x 0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4 Bài 2. Cho hàm số 21 1 x y x    (1). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9. Hướng dẫn 1) Hàm số: 2 1 3 2 11 x y xx       Giới hạn, tiệm cận: ( 1) ( 1) 2; 2; ; lim lim lim lim xx xx y y y y              Page | 8 TC đứng: x = -1; TCN: y = 2.    2 3 ' 0, 1 y x D x       Bảng biến thiên  Dạng đồ thị 2) Ta có I(- 1; 2). Gọi 0 2 0 0 33 ( ) ( ;2 ) 1 ( 1) MI IM MI yy M C M x k x x x x           Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:   0 2 0 3 '( ) 1 M k y x x   .9 M IM ycbt k k   Giải được x 0 = 0; x 0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) Bài 3. Cho hàm số 2)2()21( 23  mxmxmxy (1) m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2. 2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: 07  yx góc  , biết 26 1 cos   . Page | 9 Hướng dẫn 1) Khảo sát hàm số khi m = 2 Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x 3  3x 2 + 4  TXĐ: D=R  Sự biến thiên Giới hạn: lim ; lim xx yy       Có y’ = 3x 2  6x; y’=0  x =0, x =2  Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; +), nghịch biến trên (0 ; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = y(0) = 4; Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y CT = y(2) = 0.  Đồ thị 2) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến  tiếp tuyến có véctơ pháp )1;( 1  kn d: có véctơ pháp )1;1( 2 n Page | 10 Ta có             3 2 2 3 0122612 12 1 26 1 . cos 2 1 2 2 21 21 k k kk k k nn nn  Yêu cầu của bài toán thỏa mãn  ít nhất một trong hai phương trình: 1 / ky  (1) và 2 / ky  (2) có nghiệm x          3 2 2)21(23 2 3 2)21(23 2 2 mxmx mxmx        0 0 2 / 1 /        034 0128 2 2 mm mm          1; 4 3 2 1 ; 4 1 mm mm  4 1 m hoặc 2 1 m Bài 4. Cho hàm số 2x 3 y x2    có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . Hướng dẫn Hµm sè y = 2x 3 x2   cã :  TX§: D = R \ {2}  Sù biÕn thiªn: Giíi h¹n : x Limy 2   . Do ®ã §THS nhËn ®-êng th¼ng y = 2 lµm TCN x 2 x 2 limy ; limy       . Do ®ã §THS nhËn ®-êng th¼ng x = 2 lµm TC§ Bảng biến thiên [...]... hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2) Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất Hng dn 1) Khảo sát hàm số y= Tập xác định: R\{1} 2x 1 x 1 Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' 2( x 1) (2 x 1) 3 2 ( x 1) ( x 1) 2 Hàm số nghịch... lm) 2) Vit phng trỡnh tip tuyn (C) i qua A(1, 13) Ta cú y' = 6x2 + 12x Gi M0(x0, y0) l tip im thuc (C) y0 2x3 6x2 5 0 0 Phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti M0: y y0 = f '(x0)(x x0) y 6x2 12x0 x x0 2x3 6x2 5 0 0 0 Vỡ tip tuyn i qua A(1, 13) nờn 13 2x3 6x2 5 6x2 12x2 1 x0 0 0 0 0 13 2x3 6x0 5 6x2 6x3 12x0 12x2 0 0 0 0 x3 3x0 2 0 x0 1vx0 2 0 Ta cú y(1) 1v y(2) 35... tự vẽ đồ thị hàm số 2) Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất Gọi M x0 ;2 3 (C) x0 1 Tiếp tuyến tại M có dạng: y 3 3 ( x x0 ) 2 2 x0 1 ( x0 1) Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A 1;2 6 ; x0 1 Ta có: SIAB= B(2x0-1; 2) ; I(1; 2) 1 6 1 2 x0 1 2.3 6 (đvdt) IA IB= 2... nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+) Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị Tiệm cận: lim y lim lim y lim x1 x 1 x 1 x1 2x 1 x 1 2x 1 x 1 Do đó đ-ờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng 2x 1 2 x x 1 lim y lim x Vậy đ-ờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang Bng bin thiờn Page | 15 Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số 2) Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam... vi (C) / x 1 k coự nghieọm 2x 1 x 1 1 2x 1 k x 2 (1) 3 k (2) 2x 12 Th (2) vo (1) ta cú pt honh tip im l 1 3 x x 1 2 2 2x 1 2x 1 1 1 3 (x 1)(2x 1) 3(x ) v x x 1 2 2 2 Page | 19 x 5 1 Do ú k 12 2 Vy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y Bi 11 Cho hm s y x 1 1 1 x 12 2 m (Cm) 2x 1) Kho sỏt v v th hm s vi m = 1 2) Tỡm m th (Cm) cú cc i ti im A sao cho...Ta có : y = 1 x 2 2 < 0 x D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;2 và hàm số không có cực trị Đồ thị Giao điểm với trục tung : (0 ; 3 ) 2 Giao điểm với trục hoành :A(3/2; 0) ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng 1 1 Ly im M m; 2 C Ta cú : y... xC xC = x2 2 m v yC = Bi 12 Cho hm s y 2x 2 3 = 1 2 m 1 x (C) x 1 1) Kho sỏt v v th hm s 2) Vit phng trỡnh tip tuyn d ca (C) sao cho d v hai tim cn ca (C) ct nhau to thnh mt tam giỏc cõn Hng dn 1) Kho sỏt hm s (Bn c t gii) 2) Ta cú y ' 1 x 1 2 0, x 1 T th ta thy tip tuyn to vi hai tim cn mt tam giỏc vuụng cõn ta phi cú h s gúc ca tip tuyn l 1 tc l: 1 1 x 12 1 x1 0, x2 2 2 x 1 ... ti M cú phng trỡnh: y 6 2a 4 2 x a a 1 a 1 Page | 22 2a 10 a 1 Giao im vi tim cn ngang y 2 l B 2a 1;2 Giao im vi tim cn ng x 1 l A 1; Giao hai tim cn I(-1; 2) IA 12 1 1 ; IB 2 a 1 S IAB IA AB 24 12 dvdt a 1 2 2 Suy ra pcm Bi tp t luyn Page | 23 Page | 24 Page | 25 Page | 26 Page | 27 ... v cỏc ng tim cn: lim y ; x 2 lim y x 2 Do ú ng thng x = 2 l tim cn ng ca th hm s lim y lim y 2 ng thng y = 2 l tim cn ngang ca th hm s x x Bng bin thiờn: Ta cú: y' 1 0, x 2 x 22 Page | 12 Hm s nghch bin trờn mi khong ;2 v 2; th: 3 3 th ct trc tung ti 0; v ct trc honh ti im ;0 2 2 Nhn xột: th nhn giao im I( 2; 2) ca hai tim cn lm tõm i xng 2) Tỡm M ng trũn cú din tớch nh . Luyện tập: Đại số 12 – Một số bài toán về tiếp tuyến Tóm tắt kiến thức và Phương pháp Page | 2 Page | 3 Page | 4 Page | 5 Bài tập ví dụ Bài 1 tiếp tuyến là y = -x  Với x 0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4 Bài 2. Cho hàm số 21 1 x y x    (1). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp. 2) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến  tiếp tuyến có véctơ pháp )1;( 1  kn d: có véctơ pháp )1;1( 2 n Page | 10 Ta có             3 2 2 3 0122 612 12 1 26 1 . cos 2 1 2 2 21 21 k k kk k k nn nn 