Kinh nghiệm tính tích phân

Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 1 CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất ñịnh : ∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx 1 1 1 −≠+ + = ∫ + nC n x dxx n n Cxdx x += ∫ ln 1 ∫ += Cedxe xx ∫ = C a a dxa x x ln ∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos ∫ += Cxdx x tan cos 1 2 ∫ +−= Cxdx x cot sin 1 2 ∫ += ′ Cxudx xu xu )(ln )( )( ∫ + + − = − C ax ax a dx ax ln 2 11 22 ∫ +++++=+ Caxx a ax x dxax 222 ln 2 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số )(xf liên tục trên ñoạn [ ] ba; có nguyên hàm là )(xF . Giả sử )(xu là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn [ ] βα , và có miền giá trị là [ ] ba; thì ta có : [ ] [ ] CxuxFdxxuxuf += ∫ )()()('.)( BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 1 0 2 1 1x xdx I b) ∫ − = 1 0 2 1 x x e dxe I c) ∫ + = e x dxx I 1 3 ln1 Bài làm : a) ðặt 2 21 2 dt xdxxdxdtxt =⇒=⇒+= ðổi cận :    =→= =→= 21 10 tx tx Vậy : 2ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 === + = ∫ ∫ t t dt x xdx I b) ðặt dxedtet xx =⇒−= 1 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 2 ðổi cận :    −=→= −=→= 12 11 2 etx etx Vậy : )1ln(ln 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 +=== − = − − − − ∫∫ et t dt e dxe I e e e e x x c) ðặt dx x tdtxt 1 ln1 =⇒+= ðổi cận :    =→= =→= 2 11 tex tx Tích phân lượng giác : Dạng 1 : ∫ = β α nxdxmxI cos.sin Cách làm: biến ñổi tích sang tổng . Dạng 2 : ∫ = β α dxxxI nm .cos.sin Cách làm : Nếu n m , chẵn . ðặt x t tan = Nếu m chẵn n lẻ . ðặt xt sin = (trường hợp còn lại thì ngược lại) Dạng 3 : ∫ ++ = β α cxbxa dx I cos.sin. Cách làm : ðặt :        + − = + = ⇒= 2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t Dạng 4 : ∫ + + = β α dx xdxc xbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : ðặt : x d x c xdxcB A x d x c xbxa cos . sin . )sin.cos.( cos . sin . cos.sin. + − += + + Sau ñó dùng ñồng nhất thức . Dạng 5: ∫ ++ ++ = β α dx nxdxc mxbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : )122( 3 2 3 2ln1 2 1 2 1 2 3 1 3 −=== + = ∫∫ tdtt x dxx I e Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 3 ðặt : n x d x c C n x d x c xdxcB A n x d x c mxbxa ++ + ++ − += ++ + + cos . sin . cos . sin . )sin.cos.( cos . sin . cos.sin. Sau ñó dùng ñồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : a) ∫ + = 2 0 4 1 )1(sin cos π x xdx I b) ∫ = 2 0 5 2 cos π xdxI c) ∫ = 4 0 6 3 tan π xdxI Bài làm : a) ðặt : xdxdtxt cos1sin = ⇒ + = ðổi cận :      =→= =→= 2 2 10 tx tx π Vậy : 24 7 3 1 )1(sin cos 2 1 3 2 1 4 2 0 4 1 =−== + = ∫∫ tt dt x xdx I π b) ðặt : xdxdtxt cossin = ⇒ = ðổi cận :      =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) ( ) 15 8 3 2 5 211cos 1 0 1 0 3 5 1 0 1 0 24 2 2 2 0 5 2 =         +−= −+=−== ∫ ∫ ∫∫ tt t dtttdttxdxI π c) ðặt : dxxdtxt )1(tantan 2 +=⇒= ðổi cận :      =→= =→= 1 4 00 tx tx π Vậy : 415 13 35 1 1 1 1 tan 4 0 1 0 35 1 0 1 0 2 24 2 6 4 0 6 3 π π π −=−         +−=       + −+−= + == ∫ ∫ ∫∫ dut tt dt t tt t dtt xdxI Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 4 Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 2 0 2222 1 cos.sin. cos.sin π dx xbxa xx I b) ∫ + = 3 0 2 2cos2 cos π dx x x I Bài làm : a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+= ðổi cận :      =→= =→= 2 2 2 0 btx atx π Nếu ba ≠ Vậy : ( ) ba ab ba t ab t dt ab dx xbxa xx I b a b a + = − − = − = − = + = ∫ ∫ 11 2 1 cos.sin. cos.sin 2222 2 0 22 22 1 2 2 2 2 π Nếu ba = Vậy : a x a xdx a a xdxx dx xbxa xx I 2 1 2cos 4 1 2sin 2 1 cos.sin cos.sin. cos.sin 2 0 2 0 2 0 2 0 2222 1 =−== = + = ∫ ∫∫ π π ππ b) ðặt : xdxdtxt cossin = ⇒ = ðổi cận :      =→= =→= 2 3 3 00 tx tx π Vậy : ∫∫∫ − = − = + = 2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 23 2cos2 cos t dt t dt dx x x I π ðặt : ududtut sin 2 3 cos 2 3 −=⇒= ðổi cận :        =→= =→= 42 3 2 0 π π ut ut Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 5 Vậy : ( ) 242 1 2 1 cos1 2 3 sin 2 3 2 1 2 32 1 2 4 4 4 2 4 2 2 3 0 2 2 π π π π π π π === − = − = ∫ ∫∫ udu u udu t dt I Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 2 0 1 5cos3sin4 1 π dx xx I b) ∫ ++ ++ = 2 0 2 5cos3sin4 6cos7sin π dx xx xx I Bài làm : a) ðặt : 1 2 1 2 tan 2 tan 2 2 + =⇒       +=⇒= t dt dxdx x dt x t ðổi cận :      =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) 6 1 2 1 1 5 1 1 3 1 2 4 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 = + −= + = + + − + + + = ∫∫ t t dt dt t t t t t I b)ðặt : 5 cos 3 sin 4 5 cos 3 sin 4 sin3cos4 5 cos 3 sin 4 6cos7sin ++ + ++ − += ++ + + x x C x x xx BA x x xx Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 = = = CBA Vậy : ( ) 6 1 8 9 ln 2 5cos3sin4ln 5cos3sin4 1 5cos3sin4 sin3cos4 1 5cos3sin4 6cos7sin 1 2 0 2 0 2 0 2 ++=++++=       ++ + ++ − += ++ ++ = ∫∫ π π ππ Ixxx dx xxxx xx dx xx xx I Bạn ñọc tự làm : a) ∫ = 2 6 2 3 1 sin cos π π dx x x I b) ∫ = 2 0 3 2 sin.cos π xdxxI c) ∫ + = 2 0 3 2sin π x dx I Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 6 c) ∫ + = 2 0 3 3 1cos sin4 π dx x x I d) ∫ ++ = 2 0 5 3cos2sin 1 π dx xx I d) ∫ ++ +− = 2 0 6 3cos2sin 1cossin π dx xx xx I Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ Dạng 1 : ( ) ( ) C ax n ax dx I nn + − − −= − = − ∫ 1 1 . 1 1 với ( ) { } ( ) 1,0, −×∈ NCna ta có : Nếu Ran ∈ = ,1 ta có : Cx a x dx I += − = ∫ ln Dạng 2 : ( ) ∫ ++ + = dx cbxax x I n 2 β α trong ñó :    <−=∆ ∈ 04 ,,,, 2 acb Rcba βα * Giai ñoạn 1 : 0 ≠ α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++ 2 , sai khác một số : ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ ++       −+ ++ + = ++ −++ = nnn cbxax dx b a a dx cbxax bax a dx cbxax b a bax a I 222 2 2 2 2 2 2 2 α βαα α β α * Giai ñoạn 2 : Tính ( ) ( ) ∫∫ ∆− + = + ∆−       ∆− = ++ = bax t n n n t dt a a dx cbxax dx I 2 22 1 2 . 4 * Giai ñoạn 3 : Tính ( ) ∫ + = dt t I n 1 1 2 có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt φ tan = t Dạng 3 : ( ) ( ) ∫ = dx xQ xP I n m Ta có : ( ) ( ) 01 01 bxbxb axaxa xQ xP n n m m n m +++ +++ = Nếu : ( ) ( ) QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xQ xR xA xQ xP n r nm n m += − trong ñó phân số ( ) ( ) xQ xR n r có ( ) ( ) QR degdeg < Nếu : ( ) ( ) QP degdeg < ta có các qui tắc sau : *Qt 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n xm ax A ax A ax A ax P − + − ++ − = − − − 1 11 Vdụ 1a : ( ) ( ) ( ) ∑ ∏ = = − = − n i i i i n i i i m ax A ax xP 1 1 Vdụ 1b : ( ) ( ) 2 2 ))()(( cx D cx C bx B ax A cxbxax xP m − + − + − + − = −−− Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 7 *Qt 2' : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n nn n nn n m cbxax BxA cbxax BxA cbxax BxA cbxax xP ++ + + ++ + ++ ++ + = ++ − −− 2 1 2 11 2 11 2 với 0 < ∆ *Qt 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = ++ + + − = ++− m i n k i i i i n m t cbxax BxA x A cbxaxx xP 1 1 2 1 2 α α Vdụ 1 : ( ) ( ) ( ) cbxax CBx x A cbxaxx xP t ++ + + − = ++− 22 )( αα Vdụ 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 11 2 2 cbxax CxB cbxax CxB x A cbxaxx xP t ++ + + ++ + + − = ++− α α BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 1 0 2 1 23xx dx I b) ( ) ∫ ++ = 1 0 2 2 2 23xx dx I Bài làm : a) ( )( ) ∫∫∫       + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 1 1 21 23 dx xxxx dx xx dx I b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dx xx xx dx xx dx I ∫∫       ++ − + + + = ++ = 1 0 22 1 0 2 2 2 21 2 2 1 1 1 23 ( ) OKxx xx =       +−+− + − + −= 1 0 2ln1ln2 2 1 1 1 Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 1 0 24 1 33xx dx I b) ( ) ( ) ∫ ++ − = 1 0 2 2 21 24 dx xx x I Bài làm : a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ += + = C a x a a x dx I arctan 1 22 0 với 0 > a ( )( ) dx xxxx dx xx dx I ∫ ∫∫       + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 2222 1 0 24 1 3 1 1 1 2 1 3133 ( ) 329 2 3 arctan 3 1 arctan 2 1 1 0 −=       −= π x x [ ] 3 4 ln2ln1ln 1 0 =+−+= xx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 8 b) ðặt : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 22 1212 24 2 2 22 ++ +++++ = + + + + = ++ − xx ACCBxBAx x CBx x A xx x Do ñó ta có hệ :      = = −= ⇔      =+ =+ =+ 0 2 2 02 42 0 C B A AC CB BA Vậy : ( ) ( ) ∫ ∫       + + + −= ++ − = 1 0 1 0 2 2 2 1 2 2 2 21 24 dx x x x dx xx x I [ ] 9 4 ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2 1 0 2 =−++−=+++−= xx Bạn ñọc tự làm : a) ( ) ∫ − + = 3 2 2 1 1 1 dx xx x I b) ∫ −+ = 5 2 2 2 32xx dx I c) dx xx x I ∫ − − = 2 1 3 3 3 4 1 d) ∫ +− = 2 3 24 3 23 dx xx x I HD: a) ( ) 1 1 1 22 − ++= − + x C x B x A xx x b) 3 1 3 2 1 2 + + − = − + x B x A x x c) ( )( )         −+ − += − − 1212 4 1 4 1 4 1 3 3 xxx x xx x d) 22 11 23 24 − + + + + + − = +− x D x C x B x A xx x ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng. BÀI TẬP Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ −=− 1 0 1 0 11 dxxxdxxx m n n m Bài làm : Xét ( ) ∫ −= 1 0 1 dxxxI n m ðặt : dtdxdxdtxt − = ⇒ − = ⇒ − = 1 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 9 ðổi cận :    =→= =→= 01 10 tx tx Vậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−−=−= 0 1 1 0 1 0 111 dtttdtttdxxxI n m n mn m (ñpcm) Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ] aa,− thì : ( ) ∫ − == a a dxxfI 0 Bài làm : ( ) ( ) ( ) 1)( 0 0 ∫ ∫ ∫ − − +== a a a a dxxfdxxfdxxfI Xét ( ) ∫ − 0 a dxxf . ðặt dtdxdxdtxt − = ⇒ − = ⇒ − = ðổi cận :    =→= =→−= 00 tx atax V ậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−= − a a a dttfdttfdxxf 0 0 0 Thế vào (1) ta ñược : 0 = I (ñpcm) Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn [ ] aa,− thì ( ) ( ) ∫ ∫ − == a a a dxxfdxxfI 0 2 Cho 0 > a và ( ) xf là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ − = + α α α dxxfdx a xf x 0 1 Bài làm : Xét ( ) dx a xf x ∫ − + 0 1 α . ðặt dtdxdxdtxt − = ⇒ − = ⇒ − = ðổi cận :    =→= =→−= 00 tx tx αα Vậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ + = + − = + − − α α α 0 0 0 111 t t tx a tfa dt a tf dx a xf ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − − + + + = + α α α α 0 0 1 111 dx a xf dx a xf dx a xf xxx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 10 Thế vào (1) ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ = + + + = + − − αα α α α 0 0 0 111 dxxfdx a xf dx a xfa dx a xf xx x x (ñpcm) Cho hàm số ( ) xf liên tục trên [ ] 1,0 . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ = π π π 0 0 sin 2 sin. dxxfdxxfx Bài làm : Xét ( ) ∫ π 0 sin. dxxfx . ðặt dtdxdxdtxt − = ⇒ − = ⇒ − = π ðổi cận :    =→= =→= 0 0 tx tx π π Vậy : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−−= π ππ πππ 0 00 sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx ( ) ( ) ∫ ∫ −= π π π 0 0 sin.sin dttftdttf ( ) ( ) ( ) ( ) dxxfdxxfx dxxfdxxfx ∫∫ ∫∫ =⇒ =⇒ ππ ππ π π 00 00 sin 2 sin. sinsin.2 Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số ( ) xf liên tục trên [ ] ba, và ( ) ( ) xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có : ( ) ( ) ∫ ∫ + = b a dxxf ba dxxfx π 0 2 . Cho hàm số ( ) xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ + = Ta a T dxxfdxxf 0 Bài làm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫∫ ∫ +++ ++=+= Ta T T a Ta T Ta a T a dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf 0 0 Vậy ta cần chứng minh ( ) ( ) ∫ ∫ + = a Ta T dxxfdxxf 0 Xét ( ) ∫ a dxxf 0 . ðặt dxdtTxt = ⇒ + = [...]... 2009π ∗ h) I 8 = ∫ 1 − cos 2 x dx 0 Tích phân t ng ph n : Cho hai hàm s u và v có ñ o hàm liên t c trên ño n [a, b] , thì ta có : b b ∫ udv = [uv] a − ∫ vdu b a a Trong lúc tính tính tích phân t ng ph n ta có nh ng ưu tiên sau : *ưu tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph i ñ t u = ln x hay u = log a x *ưu tiên 2 : ð t u = ?? mà có th h b c BÀI T P Tính các tích phân sau : Thienthi4784@yahoo.com |... 0 0 0  M ts ng d ng c a tích phân thư ng g p : 1 )Tính di n tích : Cho hai hàm s f (x )& f (x ) liên t c trên ño n [a, b] Di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng là : x = b x = a ;    y = g (x )  y = f (x ) ðư c tính như sau : b S = ∫ f ( x ) − g (x ) dx a 2 )Tính th tích : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 21 N u di n tích S (x ) c a m t c t v... ∫ Tích phân hàm tr tuy t ñ i, min , max : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 13 b Mu n tính I = ∫ f (x ) dx ta ñi xét d u f (x ) trên ño n [a, b] , kh tr tuy t ñ i a b Mu n tính I = ∫ max[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a b Mu n tính I = ∫ min[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a Tính các tích. .. hàm s liên t c trên ño n [a, b] thì th tích v t th ñư c tính : b V = ∫ f ( x )dx a f ( x ) liên t c trên [a, b] và (H) là hình ph ng gi i h n b i các ñư ng: N u hàm s x = a , x = b   y = f (x ) Ox  Khi (H) quay quanh Ox ta ñư c 1 v t th tròn xoay Lúc ñó th tích ñư c tính : b V = π ∫ [ f (x )] dx 2 a Tương t ta cũng có th tính th tích v t th quay quanh oy 3 )Tính gi i h n : b n  xi −1 ≤ ξ i ≤ x... xdx (1) 0 π 2 Ta ñi tính tích phân ∫ x sin xdx 0 u = x ⇒ du = dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x ð t:  π π π 2 π 2 π ∫ x sin xdx = − x cos x 02 + ∫ cos xdx = − x cos x 02 + sin 02 = 1 V y: 0 0 1 Th vào (1) ta ñư c : I1 = ∫ x.e x dx = π2 −8 4 0 1  u = ln x ⇒ du = dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  e e V y : I 3 = ∫ ln xdx = x ln x 1 − ∫ dx = x ln x 1 − x 0 = 1 e 1 e e 1 Tính các tích phân sau : π π a)... ch n s li u thích h p,sau ñó dùng ñ ng nh t th c, bư c cu i cùng là tính tích phân Hình1a hình1b Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 22 hình1c hình1d BÀI T P Tính di n tích hình tròn , tâm O , bán kính R Bài làm : (hình 1a) Phương trình ñư ng tròn có d ng : x2 + y2 = R2 ⇔ y = ± R2 − x2 R Do tính ñ i x ng c a ñ th nên : S = 4∫ R 2 − x 2 dx 0 ð t : x = R sin... thành d ng : S n = ∑ i =1 1 i f   sau ñó l p phân ho ch ñ u trên [0,1] , ch n n n 1 1 i i ξ i = xi = ta có lim ∑ f   = ∫ f ( x )dx n→∞ n n 0 i =1 n n 4 )Tính ñ dài cung ñư ng cong trơn: N u ñư ng cong trơn cho b i phương trinh y = f (x ) thì ñ dài ñư ng cung nó ñư c tính như sau : b l = ∫ 1 + ( y ′) dx v i a, b là hoành ñ các ñi m ñ u cung 2 a 4 )Tính t ng trong khai tri n nh th c Newton Tìm... max(sin x, cos x )dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx 0 3 5 −2 1 d) I 4 = ∫ max (x 2 ,4 x − 3)dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx     Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t : Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng trư ng h p ñơn gi n c a tích phân Abel ( ) D ng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ñây ta ñang xét d ng h u t 2 a > 0 − ∆   2ax + b   2 → ax + bx + c =   1 +   4a   − ∆   ∆ 0   a > 0  V y di n tích c n tính là : 1 a a   x2  x2  S = ∫  ax − dx = ∫  a x 2 − dx a a 0 0 a 3 3 1 x3  =  ax 2 −  = a2 3a  3 2 0 (dvtt ) B n ñ c t làm : Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng : x − y3 + 1 = 0  a)  x + y − 1 = 0 x = 2  y = x2  b)  y = 4 x y = 4 ... + k 2 + (4 − k ) 2  3  1 2 k − 4k + 16 (k 2 − 4k + 16 ) = 6 1 = (k 2 − 4k + 16)3 = 1 (k − 2)2 + 12 3 ≥ 4 3 6 6 V y : min S = 4 3 khi k = 2 [ (*) ] Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng : 2  ax = y  ay = x 2  Bài làm : (hình 1c) Do tính ch t ñ i x ng c a ñ th mà ta ch c n xét a > 0 ax = y 2 ( x − y )( x + y + a ) = 0   Xét : ay = x 2 ⇔ ay = x 2 a > 0 a > 0   V i x = y ta . 22 11 23 24 − + + + + + − = +− x D x C x B x A xx x ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn. dxxI ∫ −= ∗ π 2009 0 8 2cos1 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ ] ba, , thì ta có : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv Trong lúc tính tính tích phân từng phần. Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 1 CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất ñịnh : ∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx 1 1 1 −≠+ + = ∫ + nC n x dxx n n Cxdx x += ∫ ln 1