SKKN Sử dụng hằng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 để giải phương trình

nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…mà nó còn cho ta một ứng dụng hết sức độc đáo đó là giải phơng trình nhất là những

Lời nói đầu

Trong phong trào thi đua phát huy sáng kiến, chắc hẳn ai cũng biết có nhiều cán bộ, công nhân, nhân dân lao động tuổi nghề cha cao, tuổi đời còn rất trẻ nhng do suy nghĩ, tìm tòi đã có những sáng kiến tiết kiệm cho nhà Nớc hàng chục tỉ đồng Tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo Trong dạy học toán cũng vậy, chúng ta không chỉ dạy cho học sinh y nh trong sách, hoặc chỉ cho học sinh làm một số bài tập lấy ra từ một cuốn sách nào đó Nh thế cha đủ, khi dạy hoặc học đến một phần nào đó ta phải suy nghĩ tìm tòi, suy rộng ra vấn đề này có liên quan gì đến vấn đề khác và trên cơ sở liên quan đó có thể rút ra những điều bổ ích

Trong dạy và học toán nó cũng giống nh trong đời sống nói chung, có những vấn đề tởng chừng nh đã quá quen thuộc, ta tởng nh chúng đã quá

tõ ràng không có gì đáng suy nghĩ thêm nữa, mà thực ra trong đó vẫn chứa đựng những vấn đề sâu sắc, suy nghĩ kĩ vẫn còn nhiều điều đáng chú ý, đáng nghiên cứu Thí dụ nh trong chơng trình đại số cấp THCS có gì quen thuộc hơn " Bảy hằng đẳng thức" !? ứng dụng của nó là không nhỏ Tuy nhiên có những ứng dụng của nó mà ta cha may may nghĩ tới, cũng có thể đã nghĩ tới, đã sử dụng nhng cha phát huy hết tác dụng của nó

Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi xin giới thiệu một ứng dụng của hai hằng đẳng thức đầu tiên dó là

" Sử dụng hằng đẳng thức (AB) 2 =A 22AB+B 2 để giải phương trỡnh ".

Mặc dầu trong quá trình tìm tòi tôi đã rất cố gắng chọn lọc một số ví

dụ cơ bản và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng dẫu sao cũng không tránh khỏi những sai sót, rất mong các đồng chỉ, đồng nghiệp góp ý, chỉ bảo

A/ lí do chọn đề tài đề tài

Trong chơng trình toán THCS, bảy hằng đẳng thức có một tầm quan trọng đặc biệt, đặc biệt là hai hằng đẳng thức đầu tiên: (A B)2=A2 

2AB+B2 Nó không những giúp cho chúng chúng ta một phơng pháp tính

nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…mà nó còn cho ta một ứng dụng hết sức

độc đáo đó là giải phơng trình nhất là những phơng trình mà tởng chừng

nh học sinh THCS không thể giải nổi mà khi biết vận dụng hai hằng đẳng thức này thì việc giải phơng trình đó lại không mấy khó khăn

Tuy nhiên ứng dụng của hai hằng đẳng thức này vào giải phơng trình tuy cha đợc đa vao một bài dạy cụ thể trong chơng trình chính khoá, song không ít bài tập trong SGK ( Sách giáo khoa) đã buộc học sinh phải sử dụng chúng thì mới giải đợc Tuy vậy ứng dụng của hai HĐT trên đối với các bài tập trong SGK cũng chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản mà nếu những HS ở mức trung bình khá mà chú ý đã phát hiện ra ngay Hơn thế cũng cha có tài liêu nào giới thiệu cho giáo viên và HS các phơng pháp biến đổi để ứng dụng hai HĐT này vào giải phơng trình, trong lúc đó

ch-ơng trình toán THCS, giải phch-ơng trình lại là một dạng toán cơ bản và khó, thờng gặp trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 Mặc dầu đã có rất nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa

về phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy về phơng trình bậc hai… Trong đó khá nhiều PT nếu biết sử dụng hằng đẳng thức (AB)2=A2 

2AB+B2 thì việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn và rất hiệu quả Chính vì lẽ đó tôi đã rút ra đợc một số dạng biến đổi mà cơ bản là sử dụng hai hằng đẳng thức này vào giải một số phơng trính khó thờng gặp để phục

vụ cho công tác giảng dạy của mình

Sau nhiều năm đa ứng dụng này vào giải phựơng trình tôi thấy việc

sử dụng HĐT (AB)2=A2 2AB+B2 vào giải phơng trình có rất nhiều

-u việt đó là: Biến đổi ngắn gọn, học sinh dễ tiếp th-u và vận dụng nhất là

số học sinh giải đợc nhiều PT khó trong các kỳ thi ngày càng tăng, do đó tôi xin phép giời thiệu một số dạng cơ bản của những PT thựôc loai này

hy vọng rằng sẽ giúp ích đợc cho quý đồng nghiệp trong quá trình dạy học

B/ nội dung đề tài

i/ Mục đích nghiên cứu đề tài

Tác giả muốn đa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh và đồng nghiệp có số cách vận dụng đẳng thức (AB)2=A2 

2AB+B2 để giải phơng trình Thông qua các ví dụ cụ thể bạn đọc có thể vận dụng từng phơng pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể.

ii/ cơ sở và phơng pháp nghiên cứu

Trên cơ sở những phơng pháp và dạng toán thờng gặp trong chơng trình toán THCS sáng kiến này có nhiệm vụ tổng hợp các phơng pháp hiện có một cách hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời tìm ra những phơng pháp mới mẻ mà những phơng pháp cũ không thể giải quyết

đợc hoặc nếu sử dụng các phơng pháp sẵn có sẽ làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn Đồng thời tác giả cũng đa ra một vài phơng pháp mới lạ, tuy có khó đối với học sinh THCS với mục đích để bạn đọc so sánh và tham khảo

Iii/ Thực trạng

Trong chơng trình toán THCS, các bài toán giải phơng trình ( hoặc bài toán tìm x, y, a, b,…) lại là một dạng toán cơ bản thờng đã có thuật toán giải, nhng cũng có bài toán giải phơng trình nếu không đợc trang bị một

số phơng pháp giải thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc tìm lời giải,

đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 Mặc dầu đã có rất

nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa về phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy về phơng trình bậc hai…Trong

đó khá nhiều PT nếu biết sử dụng hằng đẳng thức (AB)2=A2 2AB+B2

thì việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn và rất hiệu quả Chính vì lẽ đó tôi đã rút ra đợc một số dạng biến đổi mà cơ bản là sử dụng hai hằng

đẳng thức này vào giải một số phơng trính khó thờng gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy của mình

Sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng hằng đẳng thức (AB)2=A2 

2AB+B2 để giải phơng trình " chủ yếu khai thác, nghiên cứu những dạng toán và phơng pháp giải dành cho đối tuợng là học sinh THCS, tuy nhiên những phơng pháp này vẫn có thể áp dụng cho đối tợng là học sinh THPT Đồng thời tác giả cũng mạnh dạn nêu ra một vài

ph-ơng pháp tph-ơng đối khó áp dụng cho học sinh phổ thông nhng nếu biết cách vận dụng phù hợp chắc chắn sẽ giúp chúng ta giải quyết một số bài toán gải phơng trình mà nếu sử dụng phơng pháp khác

ch-a hẳn đã giải quyết đợc.

Trong khuôn khổ đề tài tác giả chủ yếu nghiên cứu các dạng biến

đổi phơng trình để vận dụng đợc hai HĐT trên phục vụ cho GPT trên từng PT cụ thể từ đó rút ra 4 dạng biến đổi cơ bản Do việc biến đổi củ từng PT khác nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức , hay phơng pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả các phơng trình dạng này mà chỉ thông qua các phơng trình cụ thể đẻ đồng nghiệp và HS

có cách nhìn phù hợp khi giải các tơng tự

Tuy nói việc vận dụng hai HĐT (AB)2=A2 2AB+B2 vào giải phơng trình sẽ làm cho cách giải dễ dàng và đơn giản hơn, nhng để có cách cách biến đổi phù hợp đòi hỏi HS phải có khả năng t duy, phân tích tổng hợp tốt, óc sáng tạo cao do đó các dạng toán này chỉ nên áp dụng cho đối tợng HS giỏi cuối cấp THCS và ôn tập cho HS khi đã có các kỹ năng giải các PT đơn giản hơn

Iv/ các biện pháp đã tiến hành

Đề tài " Sử dụng hằng đẳng thức (AB)2=A2 2AB+B2 để giải

ph-ơng trình " đợc nghiên cứu dựa trên những dạng bài tập thờng gặp, thông qua tìm tòi sáng tạo bản thân tôi đã vận dụng và hớng dẫn học sinh khối 8;9 vận dụng vào các bài toán tuơng tự từ đó rút ra dạng toàn cơ bản sau:

Dạng 1: Phơng trình quy về dạng

(AB) 2 = 0  (AB) = 0

Dạng 2: Phơng trình quy về dạng

(AB) 2 = (C D) 2  

















) (C D B

A

D C B A

Dạng 3: Phơng trình quy về dạng

(AB) 2 + (CD) 2 + (EF) 2 = 0 

















0 0

F E

D C

B

A

Dạng 4 Nghiệm nguyên quy về dạng

(A B) 2 p với A,B là các số nguyên và p nguyên dơng.

Dạng 1:Phơng trình quy về dạng

(AB) 2 = 0  (AB) = 0

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: x2( x4 - 1 )( x2 + 2 ) + 1 = 0 (1)

Lời giải:

Phơng trình (1)  x2( x2 +1) ( x2 - 1) ( x2 + 2) + 1 = 0

 ( x4 + x2 )( x4 + x2 - 2) + 1 = 0

 ( x4 + x2 )2 - 2(x4 + x2 ) + 1 = 0

 ( x4 + x2 - 1)2 = 0

 x4 + x2 - 1= 0

Đây là một phơng trình trùng phơng quen thuộc mà ta đã có phơng pháp giải

Đặt x2 = t điều kiện t  0

Lúc này ta có phơng trình bậc hai ẩn t nh sau:

t2 + t - 1 = 0

 t = 12 - 4.1.(-1) = 5

t1 =

2

5

1 

 > 0 ( Thảo mãn điều kiện); t2 =

2

5

1 

 < 0 ( loại vì

không thoả mãn điều kiện t > 0 ) Lúc này do đặt x2 = t nên ta có x2 =

2

5

1 



 x = 

2

5

1 



Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

x1=

2

5

1 

 ; x2 =

-2

5

1 



Ví dụ 2 Giải phơng trình:

20 













 1

2

x













 1

2

x













 1

4

2

2

x

x

= 0 (2) Lời giải: Điều kiện x 1

Đặt 















1

2

x

x

=y ; 













 1

2

x

x

= z lúc đó phơng trình (2) có dạng 20y2 + 5z2 - 20yz = 0

 5(2y - z)2 = 0  2y = z dẫn đến 2 













 1

2

x

x

=

1

2





x x

 2( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )

 2x2 - 6x + 4 = x2 + 3x + 2

 x2 - 9x + 2 = 0

Ta dễ dàng tìm đợc x1 =

2

73

9  ; x2 =

2 73

Vậy phơng trình (2) cố tập nghiệm là 

2

73

9  ;

2

73

Ví dụ 3: Giải phơng trình: x2 + 2 = 2 3 1



x (3) Lời giải: Điều kiện: x  1

Thêm và bớt x ở vế trái của (3) để xuất hiện hằng đẳng thức, lúc đó (3)

 x+1 + x2 - x + 1 - 2 (x 1 )(x2  x 1 ) = 0

 ( x 1)2 - 2 (x 1 )(x2  x 1 ) + ( 2 1



 x

 ( x 1- 2 1



 x

x )2 = 0

 x 1 = 2 1



 x x

 x + 1 = x2 - x + 1

 x2 - 2x = 0

 x1 = 0 và x2 = 2 ( thảo mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của PT(3) là: 0 ; 2 

Dạng 2 Phơng trình quy về dạng (AB) 2 = (C D) 2  

















) (C D B

A

D C B A

Ví dụ 4 : Giải phơng trình: x4 = 24x + 32 (4)

Lời giải: Thêm 4x2 + 4 vào hai vế của phơng trình (4) ta đợc:

x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36

 ( x2 + 2)2 = ( 2x + 6 )2

























) 6 2 ( 2

6 2 2

2

2

x x

x x























) ( 0 8 2

) ( 0 4 2

2 2

ii x

x

i x

x

Phơng trình (i) có hai nghiệm phân biệt x = 1 5

Phơng trình (ii) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của PT (4) là:1  5; 1+ 5 

Dạng 3 Phơng trình quy về dạng (AB) 2 + (CD) 2 + (EF) 2 = 0  















0 0

F E

D C

B A

Ví dụ 5: Giải phơng trình: x + y + z + 4 = 2 x 2+ 4 y 3 + 6 z 5 (5) Lời giải: Điều kiện x 2 ; y 3 ; z 5

PT(5)  x-2-2 x 2+1 +y - 3 - 4 y 3 + 4 + z - 5 - 6 z 5 + 9 = 0

 ( x 2 - 1)2 + ( y 3- 2)2 + ( z 5 - 3 )2 = 0

Vế trái của phựơng trình là tổng của ba biểu thức không âm nên sẽ bằng

0 khi và chỉ khi:

 





















0 3

5

0 2

3

0 1

2

z

y  















3 5

2 3

1 2

z

y 

















9 5

4 3

1 2

z

y  





 14 7

z y

(Thoả mãn điều kiện), vậy nghiệm của phơng trình là: (x,y,z)=(3,7,14)

Dạng 4 Nghiệm nguyên quy về dạng (A B) 2 p với A,B là các

số nguyên và p nguyên dơng.

Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = 0 (6)

Lời giải: PT(6)  2( x2 + y2 ) -2xy + x + y - 10 = 0

 2( x + y )2 - 4xy - 2xy + x + y - 10 = 0

 2( x + y )2 - 6xy + x + y - 10 = 0

Đặt S1 = x + y ; S2 = xy thì ta có phơng trình:

2S1 - 6S2 + S1 - 10 = 0

 S2 =

6

1

( 2S1 + S1 - 10)

Do S2  Z nên S1  2 ( S1 là số nguyên chẵn )

Mặt khác ( x - y)2  0 nên ( x + y )2 - 4xy  0  S2 

4

2 1

S

Do đó

6

1

( 2S1 + S1 - 10) 

4

2 1

S

S1 + 2S1 - 20  0  ( S1 +1 )2  21

Vì S1 là số nguyên chẵn nên ( S1 +1 )2   1 ; 9 

Do đó S1 =   4  ; 2 ; 0 ; 2 

Muốn cho S2 =

6

1

( 2S1 + S1 - 10) là một số nguyên thì ta chỉ chọn đợc:









 3 4

2 1

S

S

hoặc 





 0 2

2 1

S S

Do đó 









 3 4

xy y x

hoặc 







 0 2

xy y x

Giải hai hệ phơng trình này ta tìm đụơc các nghiệm nguyên (x;y) của PT(6) là (-1;-3); (-3;-1); (0;2); (2;0)

V/ hiệu quả của việc sử dụng đề tài

Trường PTCS Nam Thượng là một trong những trường ở huyện Nam Đàn

cú học sinh ớt Từ năm học: 2008-2009, toàn trường chỉ cú 4 lớp, trong đú mỗi khối 1 lớp Do đú rất khú khăn cho việc lựa chọn đối tượng để thực hiện đề tài Chớnh vỡ điều kiện ấy bắt buộc tụi phỏi sử dụng cựng là đối tượng học sinh lớp 9, nhưng là hai năm học liờn kề nhau để so sỏnh kết quả đạt đựoc sau khi

sử dụng đề tài

Nội dung đề tài chỉ đề cập đến một phạm vi hẹp trong chương trỡnh toỏn THCS Vỡ vậy đó gõy rất nhiều khú khăn cho việc đỏnh giỏ hiệu quả của đề tài Tụi đó nghĩ ra cỏch ra đề bài kiểm tra( khụng đưa vào để đỏnh giỏ học tập của học sinh, mà chỉ dựng để đỏnh giỏ hiệu quả của đề tài) trong đú được lồng ghộp cỏc bài tập là cỏc dạng toỏn giải phương trỡnh đó nờu trong đề tài

Bảng thống kờ điểm kiểm tra khi chưa sử dụng đề tài ở lớp 9

năm học 2008-2009

B ng 1ảng 1

Điểm trung bỡnh

của lớp ( sĩ số: 35) x_ = 1.12.33.34.7535.106.67.38.19.1= 4,8

Từ bảng 1 cho thấy điểm trung bỡnh chung của cả lớp chỉ đạt 4,8 điểm

Số học sinh đạt điểm thấp cũn nhiều, 14 em ( 41,2%) cú điểm dưới trung bỡnh

Bảng thống kờ điểm kiểm tra Sau khi thực hiện đề tài ở lớp 9

năm học 2009-2010:

B ng 2ảng 1

Điểm trung bình

của lớp ( sĩ số: 32) x_ = 3.14.55.15326.77.28.19.1= 5,4

+ Từ bảng 2 cho thấy điểm trung bình chung của cả lớp đã đạt được 5,4 điểm

Số học sinh đạt điểm thấp chỉ còn ít, 5 em ( 18,6%) có điểm dưới trung bình

- Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kì I của năm học:

2008-2009 và học kì I năm học: 2008-2009-2010 của lớp 9 trường PTCS Nam Thượng.

B ng 3ảng 1 Loại

Cách dạy

Giỏi ( %)

Khá (%)

TB (%)

Yếu (%)

Kém (%)

Trên TB (%)

ĐiểmTB (đ)

- Dựa vào bảng 3 ta có thể thấy rõ hiệu quả của việc sử dụng đề tài:

- Loại giỏi tăng: 0.3%

- Loại khá tăng: 1.2%

- Loại trung bình tăng: 24.2%

- Loại yếu giảm: 14.5%

- Loại kém giảm: 8.1%

- Đặc biệt điểm trung bình chung của cả lớp đã tăng 1.6 điểm

Kết luận

Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đã hết sức cố gắng trình bày

4 dạng bài giả phơng trình bằng cách sử dụng HĐT (AB)2=A2 

2AB+B2 Mỗi dạng toán nh vậy có ít nhất là hai ví dụ minh hoạ cơ bản

Có những ví dụ tôi đã đa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện

so sánh và tìm hớng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài tuơng tự

Để triển khai sáng kiến này một cách có hiệu quả trớc hết chúng ta cần cung cấp cho học sinh một cách tuờng minh các khái niêm mới mẻ mà trong chơng trình SGK cha đề cập tới Đồng thời mỗi dạng toán nh vậy cần chọn những bài toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen các dạng toán một cách tự nhiên và hiệu quả Bên cạnh đó cần phải thống kê những bài tập vận dụng để học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp

Trong đề tài này có một số dạng toán mà trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi cha thể nêu ra đợc cách giải tổng quát mà chỉ thông qua các

ví dụ minh hoạ để bạn đọc tự hình thành cách t duy sáng tạo, tuy nhiên nếu khi đã quen thuộc các dạng toán ta có thể tìm ra một phơng pháp cụ thể cho từng dạng toán để phát triển và nhân rộng

Sau nhiều năm ứng dụng hai HĐT này vào chơng trình dạy học tôi thấy việc giải quyết các bài tập về phơng trình học sinh giải quyết linh hoạt hơn và có những bài giải ngắn gọn và rết dễ hiểu, học sinh dễ tiếp