SỞ GD- ĐT HÒA BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán. Ngày thi: 22/12/2012 (Thêi gian lµm bµi 180' kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số: + = − 2 1 2 x y x (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x 10y = − + . 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ( 2) 2y m x= − + cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn AB có độ dài bằng 40 . Câu 2( 6 điểm). 1. Tìm nghiệm [ ] 0;2x π ∈ của phương trình 2 sin 1 5cos 9 27.3 x x− = 2. Giải phương trình: 2 10 5 10 2x x x+ = + − − 3. Giải bất phương trình: ( ) 2 3 2 11 log log 2x 0x x π + − ≤ Câu 3( 2 điểm). Giải hệ phương trình: 3 5 5 3 3 5 log 5 log 3 log 1 log 1 y x x y − = − − = − Câu 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) 2 2 2 6 2 0x y x y+ + − + = và đường thẳng d: 2 0x y+ − = . Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (C) biết đỉnh A thuộc d và có hoành độ dương. Câu 5 (3điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a , khoảng cách từ tâm của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng 6 a . a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC). b. Tính thể tích của khối lăng trụ. Câu 6 (2điểm). Cho hai số không âm ,x y thỏa mãn điều kiện: + + = 2 2 3x y xy . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức = + − + 3 2 2 ( ) ( )F x y x y . HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ và tên giám thị Chữ kí HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 4,0 1 Tập xác định của hàm số: { } \ 2D = ¡ Ta có 2 5 ' ( 2) y x − = − Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 2 5 5 ( 2)x − = − − 0, 5 2 3 ( 2) 1 1 x x x = ⇔ − = ⇔ = 0, 5 + 3 7x y= ⇒ = phương trình tiếp tuyến là: 5 22y x= − + . + 1 3x y= ⇒ = − phương trình tiếp tuyến là: 5 2y x= − + . 0, 5 0, 5 2 Đường thẳng ( 2) 2y m x= − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi + = − + − 2 1 ( 2) 2 2 x m x x có hai nghiệm phân biệt ⇔ − + − = 2 4 4 5 0 (*)mx mx m có hai nghiệm phân biệt khác 2 2 0 ' 4 (4 5) 0 0 4 8 4 5 0 m m m m m m m m ≠ ⇔ ∆ = − − > ⇔ > − + − ≠ 0,5 0,5 Giả sử 1 1 2 2 ( ; ), ( ; )A x y B x y trong đó 1 2 ,x x là hai nghiệm của (*). Khi đó 1 1 2 2 2 2; 2 2y mx m y mx m= − + = − + Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 4 ( 1)AB x x y y x x m x x x x m = − + − = − + = + − + 2 2 4(4 5) 20( 1) 16 ( 1) m m m m m − + = − + = , theo giả thiết ta có phương trình : 2 2 0 20( 1) 40 1 2 1 0 m m m m m m ≠ + = ⇔ ⇔ = − + = Vậy với 1m = thì 40AB = . 0,5 0,5 Câu 2 6.0 1 Phương trình đã cho tương đương với 2 2sin x 4 5cos x 3 3 − = 2 2sin x 4 5cos x⇔ = − 2 cosx=2 (L) 2cos x 5cosx 2 0 1 cosx= 2 ⇔ − + = ⇔ x k2 3 π ⇔ = ± + π 0,5 1,0 Ta có phương trình đã cho có nghiệm [ ] 0;2x π ∈ là 5 ; 3 3 x x π π = = . 0,5 2 Đk 2x ≥ Phương trình đã cho tương đương với 2 2 10 2 5 10 2 6 20 1 (*) x x x x x x + + − = + ⇔ + − = + 1,0 Vì 2x ≥ nên (*) 2 4x 21 0x⇔ + − = 7 ( ) 3 x L x = − ⇔ = Vậy nghiệm của phương trình là: 3x = . 1,0 3 Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 0 1 2x 0 2x 0 2 0 log 2x 0 2x 2 2x 2 log 2x 1 x x x x x x x x x x x x x x − ≥ ≥ + − > − ≥ ⇔ ⇔ ≤ + − > + − ≥ − ≥ − + − ≥ 1,0 2 2 2 2 2 1 1 2 2 4 2 2 1 0 0 2x (2 ) x 3 4 0 x x x x x x x x x x x ≥ ≥ ≤ < ≤ < ≤ − ⇔ ⇔ ⇔ ≥ ≤ ≤ − ≥ − + − ≥ 1,0 Câu 3 2,0 Đặt 2 3 3 2 5 5 5 log log 5 ( , 0) log 1 log 1 a y y a a b x b b x = − = − ≥ ⇒ = + = − Hệ đã cho trở thành 2 2 3a 4 3b 4 b a = − = − Trừ vế với vế ta được phương trình: ( )( 3) 0 3 a b a b a b a b − + − = = ⇔ = − 0,5 0,5 + Với a b = Ta có 2 1 3 4 0 4 ( ) b b b b L = + − = ⇒ = − Tìm được nghiệm ( ; ) (25;81)x y = . + Với 3a b= − Ta có 2 3 5 0b b− + = vô nghiệm. 0,5 0,5 Câu 4 3.0 + Đường tròn 2 2 ( 1) ( 3) 8x y+ + − = có tâm ( 1;3)I − bán kính 2 2R = + A thuộc d nên ( ;2 )A x x− . + Ta có 2 2 2 8 ( 1) (1 ) 8IA x x= ⇒ + + + = 2 ( 1) 4 1 3 ( ) x x x L ⇒ + = = ⇔ = − Vậy (1;1) ( 3;5)A C⇒ − . 0,5 0,5 0,5 + Đường thẳng BD đi qua ( 1;3)I − vuông góc với IA nên nhận (2; 2)IA = − uur // (1; 1)u − r làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: 4 0x y− + = . + Tọa độ giao điểm D, C thỏa mãn phương trình: 2 2 2 1 ( 1) ( 1) 8 ( 1) 4 3 x x x x x = + + + = ⇔ + = ⇔ = − 0,5 0,5 + 1 5x y= ⇒ = + 3 1x y= − ⇒ = Vậy (1;5) ( 3;1)C D⇒ − hoặc ( 3;1) (1;5)C D− ⇒ . 0,5 Câu 5 3,0 a A' H' C B B' C' A I O H Xác định khoảng cách và tính được khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) là AH’ 2 a = . 1,5 b + Tính được 2 3 4 ABC a S ∆ = + Tính đường cao AA’ Cách 1: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 ' ' ' 3 6 AA ' 4 AH AI AA AA a a a = + ⇒ = − ⇒ = Cách 2: ( Phương pháp thể tích ) Gọi AA ' h = 2 '. 3 . (1) 3 4 A ABC h a V = . ' ' 1 1 . ' ' 3 3 2 2 A A BC A BC a BC A I V AH S ∆ = = ( Do 'A BC∆ cân tại A’) 2 2 2 1 3a (2) 12 4 a h= + Từ (1) và (2) ta có: 2 2 2 2 3 1 3a . 3 4 12 4 6 4 h a a h a h = + ⇒ = + 3 . ' ' ' 3a 2 .AA' 16 ABC A B C ABC V S ∆ = = 0,5 0,5 0,5 Câu 6 2,0 Đặt ( , 0) S x y S P P xy = + ≥ = điều kiện 2 4S P≥ 0,5 Theo giả thiết ta có 2 2 3 3S P P S− = ⇒ = − . Tìm được điều kiện 3;2S ∈ Xét 3 2 ( 2 )F S S P= − − 3 2 6S S= + − với 3;2S ∈ Ta có: 2 ' 3S 2S 0F = + > với 3;2S ∈ 0,5 0,5 + min ( 3) 3 3 3F F= = − khi 3 0 ( ; ) ( 3;0),(0; 3).S P x y= ⇒ = ⇒ = + max (2) 6F F= = khi 2 1 ( ; ) (1;1).S P x y= ⇒ = ⇒ = 0,5 Mọi lời giải đúng đều được xem xét và cho điểm tương ứng. −−−−− HẾT −−−−− . SỞ GD- ĐT HÒA BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2011-2 012 Môn: Toán. Ngày thi: 22 /12/ 2 012 (Thêi gian lµm bµi 180 ' kh«ng kÓ thêi gian. giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ và tên giám thị Chữ kí HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 4,0 1 Tập xác định của hàm số: { } 2D = ¡ Ta có 2 5 ' (. (2điểm). Cho hai số không âm ,x y thỏa mãn điều kiện: + + = 2 2 3x y xy . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức = + − + 3 2 2 ( ) ( )F x y x y . HẾT Cán bộ coi thi không giải thích