Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 8

THI CHN HOC SINH GII TNH 12 (Thời gian làm bài 180 phút) Bi 1: Cho h phng trỡnh: =+ =++ 83 22 axyyx axyyx Vi iu kin no ca a thỡ h cú nghim. Bi 2: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn. Chng minh: ( ) ( ) +++++ tanCtanBAtan 3 1 sinsinsin 3 2 CBA Bi 3: Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim: ( ) mxx =+ 4 4 cos1cos Bi 4: Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú cnh ỏy bng a, ng cao bng h. (P) l mt phng i qua A vuụng gúc vi SC, (P) ct SB,SC,SD ln lt ,,, ,, DCB . 1. h phải thỏa mãn điều kiện gì để , C thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích thiết diện. 2. Tính thể tích hình chóp ,,, DCSAB . Bài 5: a, b, c là ba số thực 0 chứng minh rằng : a c c b b a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 Sơ lợc đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12 Năm học 2008-2009 Đáp án Bài 1 (4 điểm) =+ =++ 83 22 axyyx axyyx ( ) =+ =++ 83ayxxy axyyx Đặt = =+ pxy syx điều kiện PS 4 2 * = =+ 83aps asp đa về phơng trình 083 2 =+ aatt điều kiện để phơng trình có nghiệm 0 ( ) 84032120834 22 + aaaaaa (1) S 1 = 2 ; 2 2 = + a s a 1/ a 8 s,p 0 S= 4 2 ;4 2 = + a p a thỏa mãn 2/a< 0 3 8 sp khi đó S= 0 2 ;0 2 = + a p a thỏa mãn 3/ 0;4 3 8 psa khi đó S= 2 ; 2 = + a p a thế vào ps 4* 2 ( 2 +a ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 081348244 2 4 2 22 + aaaaaa a 8 3313 3 8 + a Vậy với những giá trị: 8 3313 3 8 + a hoặc a 8 Bài2 (4 điểm) : ( ) ( ) +++++ tanCtanBAtan 3 1 sinsinsin 3 2 CBA AAA + tan 3 1 sin 3 2 + 0tansin 3 2 tan 3 1 3 2 +++ CCCBBSinB Vai trò nh nhau Đăt f(x) = xxx + tan 3 1 sin 3 2 x 2 ,0 ( ) 1 cos3 1 cos 3 2 2 , += x xxf = 1 cos 1 cos2 3 1 2 + x x áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+ 3 cos 1 2 x ( ) 0 ' xf f(x) hàm đồng biến x 2 ,0 f(x) f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ đợc chứng minh Bài 3 (4 điểm ) ( ) mxx =+ 4 4 cos1cos Đặt t = cosx điều kiện 1t Xét hàm số f(x)= t 4 +(1-t) 4 Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất trên 1t f(x)=4t 3 - 4(1-t) 3 f(x)=0 khi t= 2 1 f(1) =1; f(-1) = 17 ; f( 2 1 ) = 8 1 vậy phơng trình có nghiệm 17 8 1 m Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo đờng cao AC của tam giác SAC muốn cho điểm C năm trên SC thi góc SAC nhọn suy ra HSC <45 0 . Vậy ta có SH>HC 2 2 ah 2 gọi k là giao điểm của đờng cao SH của hình chóp với ACta có: ( ) ( ) P SCBD SCP //BDVậy (P) cắt (SBD) theo BD đi qua K và //BD .Nên (P) cát hình chóp SABCD theo thiết diện là tứ giác ABCD có 2 đờng chéo vuông góc là AC và BD (Do BD vuông góc (SAC vì BD//BD) Vậy diện tích thiết diện ABCD là S = 2 1 AC BD mà AC.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra AC = 2 2 2 2 a h ha + = 22 2 2 ha ah + Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC HK = h ah SK h a 2 2 2 222 = theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SBD và SBD ( ) 2 2222 2 22 '' 2 2'' h aha DB h ah SB SK BD DB = == Vậy S = ( ) ( ) 22 222 22 2 ahh aha + S B H K C D A C Bài 4 (5 điểm) 2/ Hình chóp SAB CD có chiều cao là SC với SC.SC = SH.SK( vì tứ giác HCCK nội tiếp đợc) nên: SC = )2(2 2 22 22 ah ah + Vầy thể tích hình chóp SABCD 2V = 3 1 SC.dt(ABCD) = 3 1 )2(2 2 22 22 ah ah + ( ) ( ) 22 222 22 2 ahh aha + = ( ) ( ) 22 2 222 26 2 ahh aha + (ĐVTT) Bài 5( 3 Điểm) a c c b b a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 + +++++ ++ ++ + a c c b b a a c c b b a a a a c c c c b b b b a (1) + 22 2 b b b a b a a b b a 2.2 = + 2 2 2 2 c c c b c b c c c b 2.2 = + 2 2 2 2 a a a c a c a a b c 2.2 = ++++ ++ ++ + a c c b b a a c c b b a a a a c c c c b b b b a 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 (*) Mặt khác ++ 2 2 2 2 2 2 a c c b b a 3 3. 2 2 2 2 3 2 2 = a c c b b a (**) Cộng vế cho vế ta đợc (1) điều phải chứng minh . thi t diện. 2. Tính thể tích hình chóp ,,, DCSAB . Bài 5: a, b, c là ba số thực 0 chứng minh rằng : a c c b b a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 Sơ lợc đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12 Năm. thế vào ps 4* 2 ( 2 +a ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 081 3 482 44 2 4 2 22 + aaaaaa a 8 3313 3 8 + a Vậy với những giá trị: 8 3313 3 8 + a hoặc a 8 Bài2 (4 điểm) : ( ) ( ) +++++ tanCtanBAtan 3 1 sinsinsin 3 2 CBA AAA. nghiệm 0 ( ) 84 03 2120 83 4 22 + aaaaaa (1) S 1 = 2 ; 2 2 = + a s a 1/ a 8 s,p 0 S= 4 2 ;4 2 = + a p a thỏa mãn 2/a< 0 3 8 sp khi đó S= 0 2 ;0 2 = + a p a thỏa mãn 3/ 0;4 3 8 psa khi